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1、湖南省各地区2022年中考数学真题按题型难易度分层分类汇编-10解答题（中档题）.一元一次方程的应用（共 1 小题）1.（2 0 2 2 永州）受第2 4 届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动.一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道A端以平均（x+2）米/秒的速度滑到B端，用了 2 4 秒；第二次从滑雪道A端以平均（x+3）米/秒的速度滑到B端，用了 2 0 秒.（1）求 x的值；（2）设小勇从滑雪道A端滑到8端的平均速度为v 米/秒，所用时间为r 秒，请用含的代数式表示v （不要求写出 的取值范围）.二.二元一次方程组的应用（共 2 小题）2.（2 0 2 2 岳阳）为迎
2、接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A,B两种跳绳若干.若购买3 根 A种跳绳 和 1根 2种跳绳共需14 0元；若购买5根 A种跳绳和3根B种跳绳共需3 0 0 元.（1）求 A,B两种跳绳的单价各是多少元？（2）若该班准备购买A,B两种跳绳共4 6 根，总费用不超过17 8 0 元，那么至多可以购买 8种跳绳多少根？3.（2 0 2 2 娄底）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍 少4 m g,若一
3、片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为6 2 m g.（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约5 0 0 0 0 片树叶.问 这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？三.一次函数的应用（共 1 小题）4.（2 0 2 2 衡阳）冰 墩 墩（BingDwenDwen）,雪 容 融（S hueyR honR hon）分别是 2 0 2 2 年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物.冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国.小雅在某网店选中两种玩偶.决定从该网店进货并销售.第一次小雅用1 4 0 0
4、 元购进了冰墩墩玩偶 1 5 个和雪容融玩偶5个，已知购进1 个冰墩墩玩偶和1 个雪容融玩偶共需1 36 元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利2 8 元，每个雪容融玩偶可获利2 0 元.(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍.小雅计划购进两种玩偶共4 0个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？J四.反比例函数综合题(共2小题)5.(2 0 2 2常德)如 图，已知正比例函数y i=x与反比例函数”的图象交于A(2,2),B两点.(1)求”的解析式并直接写出y i 时x的取值范围；(2)以A B为一条
5、对角线作菱形，它的周长为4行，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式.6.(2 0 2 2湘潭)已知A(3,0)、B(0,4)是平面直角坐标系中两点，连接A3.(1)如图，点P在线段A B上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反比例函数表达式；(2)如图，点N是线段O B上一点，连接A N,将 AO N沿A N翻折，使得点。与线段A B上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式.五.二次函数的应用（共 1小题）7.（2 0 2 2湘潭）为落实国家 关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见，某校准备在校园里利用围墙（墙 长1 2相）和2 1机长的篱笆墙，围成I、I I两
6、块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图，全部利用围墙的长度，但要在I区中留一个宽度A E=l m的水池,且需保证总种植面积为3 2 m2,试分别确定CG、Z）G的长；（2）方案二：如图，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问B C应设计为多长？此时最大面积为多少？/?/B六.二次函数综合题（共 3 小题）8.（2 0 2 2郴州）已知抛物线y=/+f e t+c与x轴相交于点A （-1,0）,B（3,0）,与y轴相交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）如 图1,将 直 线 向 上 平 移，得
7、到过原点O的直线M N.点O是 直 线 上 任 意一点.当点。在抛物线的对称轴/上时，连 接C Q,与x轴相交于点E,求线段O E的长；如图2,在抛物线的对称轴/上是否存在点F,使得以B,C,D,尸为顶点的四边形是9.(2 0 2 2 常德)如 图，已知抛物线过点。(0,0),A (5,5),且它的对称轴为x=2,点 B是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限.(1)求此抛物线的解析式；(2)当 OA B的面积为1 5 时，求 8的坐标；(3)在(2)的条件下，P 是抛物线上的动点，当 公-P B 的值最大时，求 P 的坐标以及 P A-PB的最大值.1 0.(2 0 2 2 邵阳)如图，已
8、知直线)，=2%+2 与抛物线)，=0?+笈+。相交于A,B 两点，点 A在 x轴上，点 B 在 y 轴上，点 C(3,0)在抛物线上.y=2r+2y=2r+2y=2r+2(1)求该抛物线的表达式.(2)正方形O P C E的顶点。为直角坐标系原点，顶 点P在线段O C上，顶 点E在y轴正半轴上，若a A O B与。尸C全等，求点P的坐标.(3)在条件(2)下，点Q是线段C 上的动点(点Q不与点。重合)，将P。沿PQ所在的直线翻折得到P。)，连接C。，求线段C。长度的最小值.七.平行四边形的性质(共1小题)1 1.(2 0 2 2长沙)如图，在oA BCZ)中，对角线A C,B O相交于点O,
9、AB=AD.(1)求证：AC A.BD；(2)若点E,F分别为A。，A。的中点，连接EF,EF=1,A O=2,求8。的长及四边2形A BC力的周长.八.菱 形 的 性 质(共1小题)1 2.(2 0 2 2张家界)如图，菱形A B C D的对角线A C、2 0相交于点。，点E是C D的中点,连接O E,过点C作C尸B。交O E的延长线于点凡 连接。尸.(1)求证：A O D E A F C E；(2)试判断四边形O Q F C的形状，并写出证明过程.九.菱 形 的 判 定（共1小题）1 3.（2 0 2 2 岳阳）如图，点 E,F分别在。A B C D 的边A B,B C 上，A E=C F
10、,连接。E,D F.请从以下三个条件：/1 =/2；D E=D F：/3 =N 4中，选择一个合适的作为已知条件，使口A BC。为菱形.（1）你添加的条件是 （填序号）；（2）添加了条件后，请证明c A BC。为菱形.1 4.（2 0 2 2 娄底）如图，以B C 为边分别作菱形B C C E 和菱形BCF G （点 C,D,尸共线），动点A在以B C 为直径且处于菱形B C F G 内的圆弧上，连接E尸交B C 于点。.设N G=6.（1）求证：无论。为何值，E F与 B C 相互平分；并请直接写出使E F L B C 成立的。值.（2）当。=90 时，试给出t a n/A BC的值，使得E
11、f 垂直平分AC,请说明理由.一十一.直线与圆的位置关系（共1小题）1 5.（2 0 2 2 娄底）如图，已知B O 是 Rt Z A B C 的角平分线，点。是斜边A8上的动点，以点 O为圆心，OB长为半径的。0经过点O,与 04相交于点E.(1)判定AC与。的位置关系，为什么？(2)若 BC=3,CZ)=与，2求 sinNQBC、sinNABC 的值；试用sinZD B C和cosN D B C表示sinZ A B C,猜测sin2a与 sina、cosa的关系，并用a=3 0 给予验证.16.(2022衡阳)如图，4 B 为O O 的直径，过圆上一点。作O O 的切线C 交 8A 的延长
12、线于点C,过点。作 OEA。交 C 于点E,连接8E.(1)直线BE与 相 切 吗？并说明理由；(2)若 CA=2,C D=4,求。E 的长.一 h三.圆 的 综 合 题(共 1 小题)17.(2022株洲)如图所示，/XABC的顶点A,B 在。上，顶 点 C 在。外，边 AC与。相交于点。，Z B A C=4 5Q,连接0 8、O D,已知0 8c.(1)求证：直线BC是。的切线；（2）若线段0。与线段AB相交于点E,连接BD求证：X A B D s 丛D B E；若A B，B E=6,求。的半径的长度.一十四.作 图-旋转变换（共 1 小题）18.（2022张家界）如图所示的方格纸（1格长
13、为一个单位长度）中，AAOB的顶点坐标分别为 A（3,0）,0（0,0）,B（3,4）.（1）将AAOB沿 x 轴向左平移5 个单位，画出平移后的40121（不写作法，但要标出顶点字母）；（2）将AOB绕点。顺时针旋转90,画出旋转后的42O2B2（不写作法，但要标出顶点字母）；（3）在（2）的条件下，求点B 绕点。旋转到点汝 所经过的路径长（结果保留T T）.y-T厂TrHTT+一十五.相似三角形的判定与性质（共 1 小题）19.（2022湘潭）如图，在。0 中，直径A 8与弦CZ）相交于点E,连接AC、BD.（1）求证：X A E C s M D E B；（2）连接4力，若 A0=3,ZC
14、=30,求。的半径.A一十六.相似形综合题（共1小题）20.（2022郴州）如 图 1,在矩形ABC。中，AB=4,BC=6.点 E 是线段AO上的动点（点E 不与点A,。重合），连接C E,过点E 作交AB于点尸.（1）求证：（2）如图2,连接C F,过点8 作 8 G L C F,垂足为G,连接A G.点 M 是线段BC的中点，连接GM.求AG+GM的最小值;当A G+G M取最小值时，求线段D E的长.（图2）（图 I）一十七.解直角三角形（共1小题）21.（2022湘西州）如图，在 RtZVIBC 中，ZB=90,AE 平分NBAC 交 BC 于点 E,O为 AC上一点，经过点A、E
15、的。分别交A&AC于点。、F,连接。交 AE于点M.（1）求证：2 c 是。0 的切线.（2）若 CF=2,s in C=3,求 AE 的长.5AB E C一十八.解直角三角形的应用（共 3 小题）22.（2022常德）第 24届冬季奥林匹克运动会于今年2 月 4 日至2 0 日在北京举行，我国冬奥选手取得了9 块金牌、4 块银牌、2 块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情.某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如 图 1）,它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成.图2 是其示意图，已知：助滑坡道A F=50米，弧形跳台的跨度F G=7米，顶端E 到 8。的距离为4
16、0米，HG/BC,乙4/=4 0 ,N E F G=25,NEC8=36.求此大跳台最高点A 距地面8。的距离是多 少 米（结果保留整数）.（参考数据：sin40-0.64,cos40%0.77,tan400-0.84,sin250-0.42,cos25%0.91,tan25 七 0.47,sin36 0.59,cos36 七 0.81,tan36 0.73）23.（2022娄底）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”.墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉.如图，握力器弹簧的一端固定在点P 处，在无外力作用下，弹簧的长度为3 c m,即 PQ=3cm.开始训练时，将弹簧的端点。调在点B
17、处，此时弹簧长PB=4”，弹力大小是100M 经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点。调到点C 处，使弹力大小变为3 0 0 M 已知/PBC=120,求 BC的长.注：弹簧的弹力与形变成正比，即尸k 是劲度系数，是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为x o,在外力作用下，弹簧的长度为X,则 A x=x-xo.2 4.（2 0 2 2 湘潭）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片.某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动.小 文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中理七0.6 1
18、8）：伞 柄A HAH始终平分N B A C,A B A C=2 0 c m,当N B A C=1 2 0 时，伞完全打开，此时N 8 C=9 0 .请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：7 3 1.7 3 2）一十九.解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）2 5.（2 0 2 2 郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝 高 8=20?，背水坡8c的坡度为i i =1 ：1 .为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i 2=l：V3-求背水坡新起点A与原起点B之间的距离.（参考数据：&F.4 1,J F.7 3.结果精确到0.1%）二十
19、.解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）2 6.（2 0 2 2 怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为8 0 0米的圆形纪念园.如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东6 0。方向上.C村在B村的正东方向且两村相距2Akm.有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村.问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明.（参考数据：愿 心 1.7 3,7 2 1.4 1）二十一.条形统计图（共 2 小题）2 7.（2 0 2 2 益阳）为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满 分 为 1 0 分）
20、，已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图.（1）班学生成绩条形统计图（2）班学生成绩扇形统计图（1）求（2）班学生中测试成绩为1 0 分的人数;（2）请确定下表中a,b,。的 值（只要求写出求a的计算过程）;统计量平均数众数中位数方差 班88C 1.1 6(2)班ab81.5 6（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀.2 8.（2 0 2 2 邵阳）2 0 2 1 年秋季，全国义务教育学校实现课后服务全覆 盖.为了促进学生课后服务多样化，某校组织了第二课堂，分别设置了文艺类、体育类、阅读类、兴趣类四个社团（假设该校要求人人参与社团，每人只能选择一个）.为了了解
21、学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查，并绘制成如图1、图 2所示的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题.（1）求抽取参加调查的学生人数.（2）将以上两幅不完整的统计图补充完整.图1图2二 十 二.加权平均数（共 1 小题）2 9.（2 0 2 2 株洲）某校组织了一次“校徽设计”竞赛活动，邀请5名老师作为专业评委，5 0名学生代表参与民主测评，且民主测评的结果无弃权票.某作品的评比数据统计如下:专业评委 给 分（单位：分）8 8 8 7 94 91 90（专业评委给分统计表）记“专业评委给分”的平均数为7.（1）求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；（2）对于该作
22、品，问彳的值是多少？（3）记“民主测评得分”为 y,“综合得分”为 S,若规定：“赞成”的票数X3分+“不赞成”的票数X （-1）分;S=0.7 +0.3 y.二 十 三.列表法与树状图法（共 4 小题）30.（2022郴州）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了 5 个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A.音乐；&体育；C.美术；。.阅 读；E.人工智能.为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示（1）此次调查一共随机抽取了 名学生；补全条形统计图（要求在条形图上方注
23、明人数）；扇形统计图中圆心角a=度；（2）若该校有3200名学生，估计该校参加。组（阅读）的学生人数；（3）刘老师计划从E 组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率.31.（2022张家界）为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查.根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表:频数分布统计表组别时间X（分钟）频数A0Wx206B2 0 4 014C4 0 6 0mD60Wx80nE8 0 1 0 04根据统计图表提供的信息解答下列问题：（1）频数分布统计表中的，=,=;（2
24、）补全频数分布直方图；（3）己知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上（含 60分钟）的学生有多少人？（4）若 E 组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率.32.（2022长沙）2022年 3 月 2 2 日至2 8 日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛.为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了 150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表.成绩X/分频数频率607 01 50.
25、1708 0a0.280904 5b9 04V1 0 06 0C(1)表中 a=,b=,c=；(2)请补全频数分布直方图；(3)若某班恰有3名女生和1 名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率.3 3.(2 0 2 2 衡阳)为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：A:测量B:七巧板C：调查活动D：无字证明E：数学
26、园地设计图根据以上信息，解答下列问题:图（1）参与此次抽样调查的学生人数是 人，补全统计图（要求在条形图上方注明人数）；（2）图中扇形C的圆心角度数为 度；（3）若参加成果展示活动的学生共有1 2 0 0 人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；（4）计划在A,B,C,D,E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B,E这两项活动的概率.湖南省各地区2022年中考数学真题按题型难易度分层分类汇编-10解答题（中档题）参考答案与试题解析一.一元一次方程的应用（共 1 小题）1.（2 0 2 2 永州）受第2 4 届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪
27、上运动.一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道A 端以平均（x+2）米/秒的速度滑到B端，用了 24秒；第二次从滑雪道A 端以平均（x+3）米/秒的速度滑到8端，用了 20 秒.（1）求 x的值；（2）设小勇从滑雪道A 端滑到B端的平均速度为v 米/秒，所用时间为r 秒，请用含f 的代数式表示v （不要求写出r 的取值范围）.【解答】解：（1）由题意得：24（x+2）=20 （x+3）,解得：x3,答：x的值为3；（2）从滑雪道A 端滑到8端的路程为：24X（3+2）=1 20 （米），V小勇从滑雪道A 端滑到B端的平均速度为V 米/秒，所用时间为r 秒，.m=侬.t二.二 元一次方程组
28、的应用（共 2 小题）2.（20 22岳阳）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A,B两种跳绳若干.若购买3 根 A 种跳绳和I 根 B种跳绳共需1 40元；若购买5 根 A 种跳绳和3 根B种跳绳共需30 0 元.（1）求 A,B两种跳绳的单价各是多少元？（2）若该班准备购买A,B两种跳绳共46 根，总费用不超过1 7 8 0 元，那么至多可以购买 8种跳绳多少根？【解答】解：（1）设 A 种跳绳的单价为x元，3 种跳绳的单价为），元.根据题意得：（3x+y=1 40 ,I 5x+3y=30 0解得：卜=30.l y=50答：A 种跳绳的单价为3
29、0 元，8种跳绳的单价为50 元.（2）设购买B种跳绳。根，则购买A 种 跳 绳（4 6-）根，由题意得:30 （46 -a）+50 a W1 7 8 0,解得：a W20,答：至多可以购买B种跳绳20 根.3.（20 22娄底）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2 倍 少 4 吆，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg.（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的
30、三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50 0 0 0 片树叶.问 这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？【解答】解：（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为xmg,一片国槐树叶一年的平均滞尘量为ymg,由题意得：卜4 y.，Ix=2y-4解得：卜=吗ly=22答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40 琢，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22/w g：（2）50 0 0 0 X40=20 0 0 0 0 0 （m g）=2kg,答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2 千克.三.一次函数的应用（共 1 小题）4.（20 22衡阳）冰 墩 墩（BingDwenDwen）、雪 容 融（S hueyR ho
31、nR hon）分别是 2 0 2 2 年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物.冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国.小 雅在某网店选中两种玩偶.决定从该网店进货并销售.第一次小雅用1 4 0 0 元购进了冰墩墩玩偶 1 5 个和雪容融玩偶5个，已知购进1 个冰墩墩玩偶和1 个雪容融玩偶共需1 3 6 元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利2 8 元，每个雪容融玩偶可获利2 0 元.（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5 倍.小雅计划购进两种玩偶共4 0 个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？【解答】解：
32、(1)设冰墩墩的进价为X元/个，雪容融的进价为y元/个，由题意可得：115x+5y=1400,lx 灯=136解得。=72,ly=64答：冰墩墩的进价为7 2 元/个，雪容融的进价为6 4 元/个；(2)设冰墩墩购进个，则雪容融购进(4 0-“)个，利润为w元，由题意可得：w=2 8 a+2 0 (4 0-a)=8 a+8 0 0,.w 随的增大而增大，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5 倍，；.a W 1.5 (4 0-(7),解得a W 2 4,当 a=2 4 时，w取得最大值,此时w=992,4 0 -a=1 6.答：冰墩墩购进2 4 个，雪容融购进1 6 个时
33、才能获得最大利润，最大利润是992 元.四.反比例函数综合题(共2小题)5.(2 0 2 2 常德)如图，已知正比例函数川=尤与反比例函数”的图象交于A (2,2),8两点.(1)求”的解析式并直接写出y i FO=90 ,:.DO F是等腰直角三角形，：.DF=O F,:菱 形A C B D的周长为4 1 0，：.AD=yflQ,在 R t A O Q 中，A D 2-0 A 2r 产-(2&)2=VL：.DF=O F ,：.D(1,-1),由菱形的对称性可得：C (-1,1),设直线A D的解析式为y=mxJt-n,则 白 廿-1,2 m+n=2解得：f m=3 ,l n=-4：.A D所
34、在直线的解析式为），=3 x -4；同理可得8 c所在直线的解析式为y=3 x+4,A C所在直线的解析式为y=L+9，B O所3 36.（2 0 2 2湘潭）已知4 （3,0）、B（0,4）是平面直角坐标系中两点，连接4 B.（1）如图，点P在线段A 8上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反比例函数表达式;（2）如图，点N是线段0 8上一点，连接4M将 AON沿A N翻折，使得点O与线N两点的一次函数表达式.【解答】解：（1）作P CJ _ x轴于C,2力 _1 _），轴于。,y则四边形OCPD是矩形,以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切,：.PC=PD,.矩 形O C P O是
35、正方形,设 PD=PC=x,：A(3,0)、B(0,4),：.OA=3,。8=4,：.BD=4-x,PD/OA,P D BD-=-，AO BO x=-4-x,3 4解得x=,7/.P (1 2,必,7 7设过点P的函数表达式为y=K,X“产空超=出，7 7 4 9.y=J ；4 9x(2)方法一：.将 4 ON沿A N翻折，使得点。与线段A B上的点例重合,：.ON=NM,MN LAB,由勾股定理得，AB=5,SAOB=S 4AON+S 丛 ABN，yX3 X4=yX3 X0 N+yX5 XM N 解得，cw=旦，2：.N（0,3）,2设直线A N的函数解析式为y=wu+3,2则 3?+3=0
36、,2.1m=-,2直线A N的函数解析式为尸-l x+1.方法二：利用 B M N s/X B O A,求出B N的长度，从而得出O N的长度，与方法一同理得出答案.五.二次函数的应用（共1小题）7.（20 22湘潭）为落实国家 关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见，某校准备在校园里利用围墙（墙 长 1 2机）和 21 机长的篱笆墙，围成I、H两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图，全部利用围墙的长度，但要在I 区 中 留 一 个 宽 度 的 水 池,且需保证总种植面积为3 2m 2,
37、试分别确定C G、O G的长：（2）方案二：如图，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问2 C 应设计为多长？此时最大面积为多少？/4/【解答】解：（1）V （21 -1 2）+3 =3 （机），I、II两块矩形的面积为1 2X3=3 6 （加 2）,设水池的长为卬”，则水池的面积为“XI=（?2）,.*.36。=32,解得6 7 =4,*.D G=4m,：.C G=C D -DG=12-4=8(m),即C G的长为8，、D G的长为4w；(2)设 BC长为x m,则 CD长度为2 1-3x,，总种植面积为(21-3x)x=-3(x2-7x)=-3(x-工)2+lL,2 4；-3+bx+c与 x
38、 轴相交于点A(-1,0),B(3,0),与 y 轴相交于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)如 图 1,将直线BC向上平移，得到过原点O 的直线M N.点 O 是直线MN上任意一点.当点。在抛物线的对称轴/上时，连 接 C Q,与x 轴相交于点E,求线段OE的长；如图2,在抛物线的对称轴/上是否存在点尸，使得以B,C,D,尸为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 与点。的坐标；若不存在，请说明理由.11图1【解答】解：(1)将 A(-1,0)图2 备用图B(3,0)代入y=r+bx+c得，,:BC MN,:.丛 DEOs 丛 CEB,OD OE*B C =B E 设 O E=x,则 8
39、E=3-X,&_ x-=-=-,3V2 3-x解得x=l,4OE=3.4存在点F,使得以8,C,D,尸为顶点的四边形是平行四边形.理由如下：（I）若平行四边形以8 c 为边时，由8CF。可知，FD 在直线MN上，.点F 是 直 线 与 对 称 轴/的 交 点，即 尸（1,1）,由点。在直线MN上，设。（f,f）,如图，若四边形BCFO是平行四边形，则。F=BC,M7 C X /I/I/III过点。作 y 轴的垂线交对称轴/于点G,则 G(l,f),YBC/MN,：./OBC=/DOB,GD 二轴,：.ZGDF=ZDOBf：.ZOBC=ZGDF,XV ZBOC=ZDGF=90Q,.DGF之 BO
40、 C(4 A S)，:GD=O B,GF=O C,GD=t-1,0 3=3,A r-1 =3,/=4,：.D(4,4),如图，若四边形B C Q F 是平行四边形，则。尸=C 8,同理可证 QK F gZXC OB (A 4 S),:KD=O C,：KD=l-f,OC=3,1 -z=3,：.t=-2,：.D(-2,-2)；(ID 若平行四边形以8c 为对角线时，由于。在 BC的上方，则点尸一定在BC的下方,如图，四边形B F C O 为平行四边形，设。(f,Q,F(1,n),同理可证OH C四B PF (AAS),:.DH=BP,HC=P F,：DH=t,BP=3-1=2,HC=t-(-3)=
41、t+3,P F=0-n=-n,.f t=2lt+3=-n.f t=2T n=-5，：.D(2,2),F (1,-5),综上所述，存在 点 凡 使 得 以B,C,D,尸为顶点的四边形是平行四边形.当点尸的坐标为(1,1)时，点。的坐 标 为(4,4)或(-2,-2)；当点F的坐标为(1,-5)时，点。的坐 标 为(2,2).9.(2 0 2 2常德)如 图，已知抛物线过点O(0,0),A (5,5),且它的对称轴为x=2,点8是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限.(1)求此抛物线的解析式；(2)当A O A B的面积为1 5时，求B的坐标；(3)在(2)的条件下，尸是抛物线上的动点，当 以-
42、P 8的值最大时，求P的坐标以及 以-P 8的最大值.【解答】解：(1).抛物线过点。(0,0),4 (5,5),且它的对称轴为x=2,.抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4,0),设抛物线解析式为y=or(x-4),把A (5,5)代入，得5 a=5,解得：a ,.y=x(x -4)=x2-4x,故 此 抛 物 线 的 解 析 式 为-4x；(2)I点B是抛物线对称轴上的一点，且点8在第一象限，.设 B (2,m)设直线。4的解析式为)，=，贝ij 5k=5,解得：k=T,直线0 4的解析式为)，=x,设直线OA与抛物线对称轴交于点H,则H(2,2),SA()AB=1 5，A Ax(/n-2)
43、X5 =1 5,2解得：f=8,点8的坐标为(2,8)；(3)设直线A 3的解析式为y=cx+d,把A (5,5),B(2,8)代入得：f5c+d=5I2c+d=8解得：(a,ld=10二直线A 8的解析式为y=-x+1 0,当B 4-P8的值最大时，A、B、尸在同一条直线上,p是抛物线上的动点,y=-x+102 4y=x-4xx.=-2 f X9=5解得：I,(舍去),丫1=12|y2=5:.p(-2,12),此时，-P B=AB=yJ(5-2)2+(5-8)2=3V2-10.(2022邵阳)如图，己知直线y=2x+2与抛物线y=af+bx+c相交于A,8 两点，点 A在 x 轴上，点 B
44、在 y 轴上，点 C(3,0)在抛物线上.y=2 r+2y=2 r+2y=2 r+2(1)求该抛物线的表达式.(2)正方形O P Q E的顶点。为直角坐标系原点，顶点户在线段O C上，顶点E在y轴正半轴上，若 A OB与 DPC全等，求点P的坐标.(3)在条件(2)下，点。是线段C D上的动点(点Q不与点。重合)，将尸。沿PQ所在的直线翻折得到P。，连接C。，求线段C。长度的最小值.【解答】解：在直线y=2 x+2中，当元=0时，y=2,当 y=0 时，x=-1,点A的坐标为(-1,0),把点 A (-1,0),点 B(0,a-b+c=0,c=2 ，9 a+3 b+c=02a，解得，%c=2
45、抛物线的解析式为y=-23(2)当a A O B也 1时又.四边形OPDE为正方形,点6的坐标为(0,2),2),点C (3,0)代入丁=公2+加；+小/+生:+2；3,AO=DP,：.DP=OP=AO=,此时点尸的坐标为(1,0),当 A QB g。尸。时，OB=DP,又.四边形O P O E 为正方形，：.D P=O P=O B=2,此时点P 的坐标为（2,0）,综上，点 P 的坐标为（1,0）或（2,0）；点。在以点尸为圆心，0P 为半径的圆上运动，当点O,点 P,点 C三点共线时，C D 有最小值，由（2）可得点P 的坐标为（1,0）或（2,0）,且 C点坐标为（3,0）,：.C D
46、的最小值为1.七.平行四边形的性质（共 1小题）1 1.（2 0 2 2 长沙）如图，在nA B C Z）中，对角线A C,80相交于点。，AB=AD.（1）求证：A C _ L B O；（2）若点E,F分别为A。，AO 的中点，连接E F,E F=3,AO=2,求 8。的长及四边形 A 8 C ）的周长.【解答】（1）证明：四边形A 8 C Q 是平行四边形，AB=AD,二。A B C。是菱形，.A C 1 B D；(2)解：.,点E,尸分别为A ,AO 的中点,.E F 是 A O。的中位线，：.O D=2EF=3,由(1)可知，四边形A B C C 是菱形，：.AB=BC：=C D=A
47、D,AC 1BD,B D=2 O D=6,在 Rt Z A OZ)中，由勾股定理得：二菱形A B C Q 的周长=4 A C=4 j，3.八.菱形的性质(共1小题)1 2.(2 0 2 2 张家界)如图，菱形A B C。的对角线A C、BO 相交于点。，点 E是 CO 的中点,连接。E,过点C作 C 尸B/)交 O E的延长线于点尸，连接。F.(1)求证：OQE 之 F C E；(2)试判断四边形O D F C 的形状，并写出证明过程.【解答】(1)证明：I 点E是 CD 的中点，：.C E=DE,又,：C F BD：.Z O D E Z F C E,在 OOE 和小；中，Z0 DE=ZF C
48、 E D E=C E ，Z D E 0=Z C E F：./O DE/FC E(A S A)；(2)解：四边形O D F C 为矩形，证明如下:：/O DE/FC E,：.O E=FE,又：C E=DE,.四边形O D F C为平行四边形,又.四边形A B C。为菱形，J.AC V BD,即 N D O C=9 0 ,二四边形O 0 F C为矩形.九.菱 形 的 判 定(共1小题)1 3.(20 22岳阳)如图，点E,F分别在c A B C D的边A B,B C上，AE=C F,连接。E,DF.请从以下三个条件：N 1 =N 2；D E=D F：/3 =N4中，选择一个合适的作为已知条件，使
49、口 A B C。为菱形.(1)你 添 加 的 条 件 是 或 (填序号)；(2)添加了条件后，请证明A B C Q为菱形.【解答】(1)解：添加的条件是/1 =/2或/3 =/4,故答案为：或；(2)证明：添加，.四边形A B C O是平行四边形，：.ZA=ZC,在 A D E和C D/中，N 1=N 2尸中,N 3=N 4 A E=C F ，Z A=Z C.ADE之CDF CASA）,：.AD=CD,A B C。为菱形.一十.圆周角定理（共 1 小题）14.（2022娄底）如图，以BC为边分别作菱形3COE和菱形BCFG（点 C,D,F 共线），动点A 在以BC为直径且处于菱形B C F G
50、内的圆弧上，连接EF交 8 c 于点。.设/G=0.（1）求证：无论。为何值，E尸与BC相互平分；并请直接写出使EF_LBC成立的8 值.（2）当。=9 0 时，试给出ta n/4 8 c 的值，使得EF垂直平分A C,请说明理由.【解答】（I）证明：.四边形BCFG,四边形BCOE都是菱形,：.CF/BG,CD/BE,C B=C F=C D=B G=B E,:D,C,尸共线,：.G,B,E 共线，：.DF/EG,DF=GE,.四边形D E G F是平行四边形，与 3 c 互相平分.当 EF_LFG 时，,:G F=B G=B E,：.EG=2GF,：.Z G E F=30 ,.*.9=90-