历年考研数学二历年真题.pdf

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1、2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：卜8小题,每小题4分，共 3 2 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在管孥纸指定位置上.(1)曲线y =的渐近线条数()x -1(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 设函数/3 =(d-1)(6 2 -2 -)，其中为正整数，则/(0)=()(A)(-i r Cn-l)!(B)(-l)n(n-l)!(0 (1)。！(D)(-1)!设 4 0 (=1,2,3),5“=+电+%+则 数 列 有界是数列 ,收敛的()(A)充分必要条件(B)充分非必要条件(0必要非充分条件(D)非充分也非必要 设人

2、=si nx dr,6 =1,2,3),则有()(A)/,/,/3(B)1312 7,(C)I2I3 L(D)/2/,(),如 但 /(x,当)成立的d x d y一个充分条件是()(A)Xj x2,y,x2,y y2(C)x1 x2,y1 y2(D)x1 y2(6)设区域。由 曲 线)*”=已=1 围成，则。(丁 一1)(1 1)=D()(A)71(B)2(0 -2(D)-7t 0(7)设%=0a0、1-n1,其中q/g/为任意常数，则下列向量组线性相关的为()(A)叫 仆，叫(B)apa2,a4(C)apa3,a4(D)a2,a3,a4 1(8)设A 为3 阶矩阵，尸为3 阶可逆矩阵，且

3、P P=0、00、1 0 .若尸=(0i 1,a 2，a 3),Q =(ot+(12,0(2，13)则。T/1Q =0 2 J 1 0 0 0 0、2 0 0、2 0 0、(A)0 2 0(B)0 1 0(00 1 0(D)0 2 0、0 0 1,1 0 2,、0 0 2；、。L二、填空题：9-1 4小题,每小题4分，共2 4分.请将答案写在等孥纸指定位置上.(9)设y =y(x)是由方程一一 +1 =，所确定的隐函数，则.(1 0)l i m/i l-r +m g+2+n+n )(1d z 2&(1 1)设 z =/I l n x+一1 y)，其中函数)可微，则“以.(1 2)微分方程)dx

4、 +(x-3 y 2)d)，=0满足条件)，k=1的解为y =(1 3)曲线=/+(0)上曲率为学的点的坐标是(1 4)设A为3阶矩阵，|止3,A*为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行 得 矩 阵 则 忸41=,三、解答题：1 5-2 3小题，共9 4分.请将解答写在答踵纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(1 5)(本 题 满 分1 0分)+X 1已知函数/(冗)=-,记(I)求。的值；(H)若x-0时，/(x)-Q与一是同阶无穷小，求常数攵的值.(1 6)(本 题 满 分1 0分)7求函数/(x,y)=x e 2的极值.(1 7)(本题满分1 2 分)过(0,1)点作曲

5、线L:y =l i r v 的切线，切点为力，又乙与x 轴交于8 点，区域。由L与直线AB围成,求区域D的面积及。绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(1 8)(本 题 满 分 1 0 分)计算二重积分，町d。，其中区域。为曲线r =l +c os 6(0 4 84)与极轴围成.D(19)(本题满分10分)已知函数/(x)满足方程 f(x)+f x)-2/(x)=0 及/(x)+/(x)=2 e,(1)求/(x)的表达式；(I I)求曲线丫=/(/)/(-/油 的 拐 点.(20)(本题满分10分)2证明x ln +cosxN 1 +土，(-1%1 的整数)，在区间(g1)内有且仅有一个实根;

6、(H)记(I)中的实根为x“,证明limx,存在，并求此极限.(22)(本题满分1 1 分)4 0 0、(P0 1 Q 0-1设 4 =，（3=0 0 1。00 0 1 y(I)计算行列式|山；(I I)当实数。为何值时，方程组A x=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分1 1 分)1 0 1、已知A=,二次型对工2，*3）=/（A，A）x 的秩为2,、0 of（I）求实数。的值；（ID求正交变换x=Q），将/化为标准形.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18 小题,每小题4分，共 3 2 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字

7、母填在等踵纸指定位置上.1 .已知当X-0 时，函数/(X)=3 5 诂-5 足3%与(?是等价无穷小，则A k=l,c=4 B k=a,c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-42.已知/(x)在x=0 处 可 导，且/(0)=0,则l i m :2/(/)=x-0%A -2/,(0)B -八 0)C 尸(0)D 03 .函数 f(x)=ln|(x-l)(x-2)(x-3)|的驻点个数为A 0 B 1 C 2 D 34 .微分方程/-方y =e +(A 0)的特解形式为A a(e 独+)B ax(e *+e-屁)C x(aeZ l+b e-Zr)D x2(ae +)5设函数/(x)具

8、有二阶连续导数，且/(x)0 J (0)0,则函数z=/(x)ln/(y)在 点(0,0)处取得极小值的一个充分条件A /(0)l，r(0)0 B /(0)l，r(0)0 c /(0)0 D /(0)l，r(0)06.设/=I ns inxd x,/=I nc otxd x,K =I nc os xd x 则/、人 K的大小关系是J o J o J oA I J K B I K J C J K K D K J I7.设 A 为 3阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得 矩 阵 B,再 交 换 B 的第二行与第一行得单位矩阵。记1 O O-召=1 1 1O O O1 OO户2=。1O 1 O则A二

9、A 6 6 B P P?C P2P D P lP8 设 4 =(%,%，%，。4)是 4 阶矩阵，卬 是 A的伴随矩阵,若(1,0 ,0 尸是方程组A x=0的一个基础解系，则=0的基础解系可为A%Ba”%C a a2,a3 D%，%二填空题 1+2 J9.lim(-)x=_.s o 2i o.微分方程y+y=e x cos%满 足 条 件y(0)=。的 解 y=Xi i.曲线y =JO71tantd t(Si x 一)的弧长s=412.设函数/(无)=o j 0则 f x于 QQdx J-O O13.设平面区域D由 y=X,圆/+y2=2 y 及 y 轴所组成，则二重积分，孙设7 =D14.

10、二次型/(%,工 2/3)=X+3X22+X32+2中 2+2国 工 3+2%2%3,则f的正惯性指数为三解答题l n(l +)力15.已知函数尸(x)=工-，设 l i m F(x)=l i m F(x)=0 ,试求a的取值范围。Xa X T+8 X T O+I 3 316.设函数尸y(x)有参数方程11 3_z+l ，求尸y(x)的数值和曲线尸y(x)的凹凸区间及拐点。I 3 317.设 z=/(盯,)(外)，其 中 函 数 f具有二阶连续偏导数，函 数 g(x)可导，旦 在 x=l 处取得极值g(l)=l,求挤Zdxdyx=l,y=l18.设函数y(x)具有二阶导数，且 曲 线 l:y=

11、y(x)与直线y=x 相切于原点，记a是曲线1在 点(x,y)外切线的倾角也=,求 y(x)的表达式。dx dx19 .证明：1)对任意正整数n,都有一!一 l n(l +!)L +1 n n2)设=1H-T-I nn(n=1,2,.),证明 收敛。2 n20.一容器的内侧是由图中曲线绕y 旋转一周而成的曲面，该曲面由/+丁=2义而成。(1)求容器的容积。(2)若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？(长度单位:的密度为l O A g/m )1 .-1Z 3),x 2+y 2=l(y 4/)连接m；重力加速度为g m/s水2 1.已 知 函 数 f (x,y)具 有 二 阶 连

12、 续 偏 导 数，且f (1,y)=0,f (x,1)=0,ff)=(%,y)|0 x l,0 y l ,计算二重积分/=JJ砂J 乃&，y)dxdy。Dj|f(x,y)dxdy=a,其中D（22）（本题满分I I分）设向量组%=（1,0,1）。a2=（0,1,l）r,%=（1，3,5）,不能由向量组4=（覃 ,A =（1 2 3）丁,.=（3,4,a）7线性表示。求。的值;（II）将 瓦 夕2,03用%以3线性表示。1 P23.A为三阶实矩阵，R(A)=2,且A 0 011,-i ro o求A的特征值与特征向量；(2)求A2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：上8小题,每

13、小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在写题纸指定位置上.(1)函数/(*)=J i+与的无穷间断点数为x*-l V x2 32 1 2(C).(D)?!=一 =二.3 3 3 3(3)曲线y=./与曲线y=alnx(。/0)相切，则。=(A)4e(B)3e(C)2e(D)e (A)O.(B)l.(C)2.(D)3.|(2)设M，”是一阶线性非齐次微分方程)，皿),=虱 )的 两 个 特 解 一 若 常 数 使/+乃是每方程的解，小】-”是对应的会次方瘟的解、则小 “1 1 E、.1 1(A)(B)2=./=.(4)设 是 正 整 数.则

14、 反 常 积 分 二吸土之比的收敛性:(A)仪 泡 与值有关一(C)与n 值都有关.(B)仪”与值有关.(D)与 1、值都无关一(5)设函数二=二8了)由方程F(工.三)=0确定，其中产为可微函数，1 1乃过.则(A)X.(B)z.(C)-x.(D)-z.n 岑(n+i)(n2+j2)(A)f dvf1-(B)dr l -(0.12B*3A*、0，.f (3B*2A*o (1 0 0)设A,P均为3阶矩阵，P 为P的转置矩阵，且P AP=0 1 00 2,C(O匕2，3)(2 11 1、o 2 00 1、o,Q=(a+a2,a 2,00(6).2jO 0(p).2j%),0)x(17)(本题满

15、分10分)设 z =/(x +y,x -y,孙)，其 中,具 有 2 阶连续偏导数，求 废 与 一-dxdy(18)(本题满分10分)设非负函数y=y(x )(x 2 0)满足微分方程盯y +2=0,当曲线y=y(x )过原点时，其与直线x =I 及 y=0围成平面区域。的面积为2,求。绕 y 轴旋转所得旋转体体积。(19)(本题满分10分)求二重积分J J(x-)，)及 力，D其中。(20)(本题满分12分)TT 7T设 =y（X）是区间（小，万）内过（一云，金）的光滑曲线，当-乃X 0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当（）x 万时，函数y（x）满足y+y+x =O。求 y（x）的表达式（

16、21）（本题满分11分）（I ）证 明 拉 格 朗 日 中 值 定 理：若 函 数“X）在 a,目 上 连 续，在（a可 导，则存在使得/伍）a）=r（）Q a）（I I ）证 明：若 函 数 x）在 x =0 处 连 续，在（0）伍 0）内 可 导，且lim/（x）=A,则/（0）存在，且九（O）=A。1（22）（本题满分11分）设 4=1,0-1-1、1 1-4 2,（I）求满足4。2=。，4、3=。的所有向量$，刍（H）对（I ）中的任一向量$,刍，证明：2片3线性无关。（2 3）（本题满分1 1分）设二次型/（/,3）=苫：+0；+（0-1）4+2%3-2%2%3（I）求二次型/的矩阵

17、的所有特征值；（U）若二次型/的规范形为y：+,求。的值。2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)设/(x)=/(%-l)(x-2),则/,(X)的零点个数为()0 L(C)2(D)3(2)曲线方程为y=/(x)函数在区间 0,。上有连续导数，则 定 积 分 矿 (心()(A)曲边梯形AB0D面积.(8)梯形AB0D面积.(C)曲 边 三 角 形 力 面 积.(。)三角形ACO面积.(3)在下列微分方程中，以)，=q/+C 2cos2x+Gsin2x(为任

18、意常数)为通解的是()(A)y+y-4 y-4)，=0 y”+y+4y+4y=0(C)y-y -4y+4y=0()y-y +4y-4y=0(5)设函数/(x)在(-8,+8)内单调有界，%为数列，下列命题正确的是()(A)若%收 敛,则 /*,)收敛.(5)若%“单 调,则 /(%)收敛.(C)若/(%)收敛，则 七 收敛.(。)若/*.)单调，则 当 收敛.(6)设函数/连续，若产(#)=|W+)dM y,其中区域0 3为图中阴影部分，则 竺=出旧+y2 加(A)vf(u2)(5)-/(w2)八U(c)vf(u)(D)-f(u)产2u9+产 1 (7)设A为”阶非零矩阵，E为阶单位矩阵.若4

19、=0,则()/O X(A)E 力不可逆，E+A不可逆.(8)E A不可逆，E+A可逆.(C)E A可逆，E+A可逆.(O)E A可逆，E+A不可逆.(1 2、(8)设4=，则在实数域上与A合同的矩阵为()2 1二、填空题：9-1 4 小题，每小题4分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)已知函数/(x)连续，且 l i m c o s (刈=,则/()=_.-0 (e*-1)/(%)(1 0)微分方程(+%2 )公一。=0的通解是 =.(1 1)曲线s i n(孙)+l n(y x)=x在点(0,1)处的切线方程为2(1 2)曲线y =(x-5)户 的 拐 点 坐 标 为.(设

20、H.则孤尸一(1 4)设 3 阶矩阵A的特征值为2,3 4.若行列式1 2A l =-4 8,则4 =三、解答题：1 5 23题，共 9 4 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(1 5)(本题满分9分)求极限l i mx-0 s i n x-s i n(s i n x)s i n xx4(1 6)(本题满分1 0 分)八 一 2te JC=0 d2y设函数y =y(x)由参数方程(1+加，乩_。=0%(1 7)(本题满分9分)求积分 I x a r c s i nx ,，0,a x.(1 8)(本题满分1 1分)求二重积分|ma x(i y,l)d xd

21、 y,其中 )=(x,y)0 x 2,0 y 夕,夕(2)f(p(x)d x,证明至少存在一JaJ2点 火(1,3),使 得“2+/在约束条件Z=f +y2和x+y+z=4下的最大值与最小值.(22)(本题满分12分)，2a 1 、设矩阵A=0,现矩阵A 满足方程A X=B,其中X=(x”,J，,8 =(1,0,0),、6r 2。人.(1)求 证 同=(+1”；(2)。为何值，方程组有唯一解，并求玉；(3)。为何值，方程组有无穷多解，并求通解.(23)(本题满分10分)设 A 为 3 阶矩阵，为4的分别属于特征值-1特征向量，向量%满足A%=。2+。3，(1)证明里,。2，。3 线性无关;(2

22、)令尸=，求尸-A P.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1 10小题，每小题4 分，共 4 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)当x f 0+时，与五等价的无穷小量是(A)l -e(B)I n1 +x1 y/x(C)+y x 1 (D)1 CO SJX(2)函数/(x)=4卑 理 在-万,句上的第一类间断点是工=x ex-ek71 71(A)0(B)1 (C)(D)2 2(3)如图，连续函数y =/(x)在区间-3,-2,2,3 上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间-2,0,0,2(4)设函数/(x)

23、在x =0处连续，下列命题错误的是：(A)若存在，则/(0)=0(B)若l i m丛 小 上 也 存 在，则/(0)=0.x-0%X TO x(C)若lim/存在，则/(0)=0(D)若l i m(x)一，(r)存 在,则 广 二。Xx-0%(5)曲线 =,+111(1+6*)的渐近线的条数为(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.(6)设函数/(x)在(0,+8)上具有二阶导数，且/(x)0,令%,=/()，则下列结论正确的是:(A)若%2，则 4必 收 敛.(B)若%的，则 “必发散(0若/%，则 “必收敛.若/0,v-0 y(C)l i m 小厂。，.(x.y)-O.O)Jx2+y 2(

24、D)l i m /v，(x,0)-f：(0,0)=0,且lim(0,y)-f；(0,0)=0.(8)设函数/(x,y)连续，则二次积分/(x,y)d y等于J Jsinx f d y./(x,y)d rJO J-arcsin yW-arc$in y三 f(x,y)d x22(9)设向量组4,。2，。3线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则(A)ax-a2,a1a3,ai-ay(B)ai+a2,a2+a3,a3+a.(C)/一2 a 2，%2%,a,2al.(D)a+2 a2,a2+2 a3,a3+2 at.2-1-r 1 0(1 0)设矩阵A=-1 2-1,B=0 1、一1 -1 2)

25、、0 0(A)合同且相似(B)(C)不合同，但相似.(D)0、0,则A与80,合同，但不相似.既不合同也不相似 二、填空题：11 16小题，每小题4 分，共 24分.把答案填在题中横线上.,、a r c t a n x-s in x(11)hm-=_.i o x2(1 2)曲线(*=c o s t+c o s-上对应于=的点处的法线斜率为_ _ _ _ _ _ _ _.y =1 +s in r 4(1 3)设函数y=,则 严(0)=_.2 x +3(1 4)二阶常系数非齐次微分方程y-4 y+3 y=2e2 x的通解为y=(1 5)设 是 二 元 可 微 函 数，z=f，则x 丝一=(x y)

26、d x d y 0 10 0、0 0 10(1 6)设矩阵A =0 0 0 1、0 0 0 0,则 的 秩 为三、解答题：17 24小题，共 86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分1 0 分)设/(x)是 区 间 0,7T-上单调、可导的函数 且满足C4事”4其中/T是/的反函数，求/(X).(1 8)(本题满分1 1 分)X设。是位于曲线y =&-%(a l,0 4 x +o o)下方、x轴 上 方 的 无 界 区 域.(I)求区域。绕 x轴旋转一周所成旋转体的体积K(a)；(II)当。为何值时，V(a)最小？并求此最小值.(1 9)(本题满分1 0 分)求微分方

27、程)，(x +y 2)=y 满足初始条件y(l)=y (l)=l的特解.(2 0)(本题满分1 1 分)已知函数/()具有二阶导数，且/(0)=1,函数y =y(x)由方程y x e T =1 所确定,dz设 z =/(ln y-s in x),求 瓦d2zx=0.(21)(本 题 满 分 1 1 分)设函数/(x),g(尤)在 可 上 连 续，在他力)内具有二阶导数且存在相等的最大值,fa)=g(a),f(b)=g(b),证明：存 在 欠 Qb),使 得/C)=g G).(2 2)(本题满分1 1 分)设二元函数f(x,y)lx l+ly l l1=必 二 的 通 解 是X(5)设函数y =

28、y(x)由方程y =l-x e 确定，则 L=o=_ _ _ _ _d r(2(6)设矩阵A=，E为2阶单位矩阵，矩阵8满足氏4 =B +2E,则1-1 2)忸|=-二、选择题：7 14小题，每小题4分，共3 2分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数y =/(x)具有二阶导数，且/(x)0,/(x)0,A r为自变量x在点处的增量，A y与d y分别为/(X)在点与处对应的增量与微分，若A x 0,贝 亚(A)0 d y A y.(B)0 A y d y .(C)A y d y 0.(D)d y A y ,A a,线性无关.1 1 0、

29、(14)设A为3阶矩阵，将月的第2行加到第1行得8,再将8的第1列的 1倍加到第2列得C,记尸=0 1 0、。o b则(A)C P AP.(B)C =PAP-1.(C)C=P7P.(D)C =P A Py.三、解答题：15 23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)试确定A,&C的值，使得e*(l+e x?)=1 +A x +o(d),其中。(/)是当x f 0时比/高阶的无穷小.(16)(本题满分10分)求 a rC Se dx.J e（17）（本题满分10分）设区域 =（,），）,2+2 1,X 20卜计算二重积分1 +x+yd x d y.（1

30、8）（本题满分12分）设数列 x“满足0 玉 乃,当+1 =sin x“（=l,2,）（I ）证明limx.存在，并求该极限；（I I）计算lim1K X,oOf 8(1 9)(本题满分10分)证明：当乃时，/?sin/?+2c o s/7+Qsin。+2c o s.(2 0)(本题满分12分)设函数/()在(0,+o o)内具有二阶导数，且Z =/(满 足 等 式 鉴+!=0.(I)验 证/口)+工=0；U(I I)若/(1)=0,广(1)=1,求函数/()的表达式.(21)(本题满分12分)X =广 +1已知曲线/的方程1-y=A t-1”2 0)(I)讨论/的凹凸性；(H)过点(1,0)

31、引入的切线，求切点(用,),并写出切线的方程；(I H)求此切线与/(对应于x x o 的 部 分)及 x 轴所围成的平面图形的面积.(2 2)(本题满分9 分)已知非齐次线性方程组xl+x2+xi+x4-1 a o V(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(0 恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.(8)设 F(设是连续函数f (数的一个原函数,M O N 表 示 M 的充分必要条件是N，则必有 (A)F (x)是偶函数Of(x)是奇函数.(B)F(x)是奇函数=f(x)是偶函数.(0 F(x)是周期函数of(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数Of(x)是单调函数.x=产+2(

32、9)设函数y=y(x)由参数方程 确定，则曲线尸y (x)在 x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是y=ln(l+1)(A)-ln 2 +3.8(B)-ln 2 +3.8(0-81n2+3.(D)81n2+3.(10)设区域 P =(x,y)|x2+y2 0,y 0f(x)为 D 上 的 正 值 连 续 函 数，a,b 为 常 数，则U GW I (A)a b/r.(B)a b一71(C)(Q+/?).(D)区;乃(1 1)设函数(羽)，)=夕 0+)+*0-)，)+“。)力，其中函数夕具有二阶导数，具有一阶导数，则必有Jx-yA、d2u d2u/、d2u 小 d2u d2u d2u d2uA)

33、=(B)=,(0 =-.(D)d x2 d y2 d x2 d y d xd y d y d xd y d x(12)设函数/(x)=,则e x -1(A)x=0,x=l 都是f(x)的第一类间断点.(B)x=0,x=l 都是f(x)的第二类间断点.(0 x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=l 是 f(x)的第二类间断点.(D)x=0 是 f (x)的第二类间断点，x=l 是 f(x)的第一类间断点.(13)设4,友是矩阵A的两个不同的特征值,对 应 的 特 征 向 量 分 别 为%,则%,4(%+。2)线性无关的充分必要条件是(A)4 H o.(B)22 0.(C)4 =0.(D)Z2=

34、0.(14)设 A为 n (之2 )阶可逆矩阵，交 换 A的 第 1 行与第2行得矩阵B,分别为A,B的伴随矩阵，则 (0 交换A*的 第 1 列与第2列得5*.(B)交换A 的第1 行与第2行得5*.(0 交换A*的第1 列与第2列得一3.(D)交换A*的 第 1 行与第2行得 8*.三、解答题(本题共9 小题，满分94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分11分)设 函 数 f(x)连续，且/(0)#0,求极限l im 也-.0 x ：/(x T)力(16)(本题满分11分)如图，G 和 分 别 是 y =；(i+/)和 y =/的 图 象，过点(o,D增函数的

35、图象.过。2 上任一点M(x,y)分别作垂直于X 轴和y 轴的直线4。所围图形的面积为S,(x)；。2，。3 与ly所围图形的面积为s2(y).如果S,(x)=S2(y),求曲线C 3 的方程x =e(y).(17)(本题满分11分)如图，曲线C的方程为y=f(x),点 2)是它的一个拐点，直线人与线 C在点(0,0)与 2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶的曲线G 是一单调和记G，C 2 与总 有12分别是曲连续导数，计算定积分+x)/”(x)d x.(18)(本题满分12 分)用变量代换X =c o s，(0 f )化简微分方程(1 2)y 一孙，+),=0,并求其满足

36、y =,y=2的x=0 x=0特解.(19)(本题满分12 分)已知函数f(x)在 0,1 上连续，在(0,1)内可导，且 f (0)=0,f (1)=1.证明:(I)存在J e(O,l),使得了)=1 。；(H)存在两个不同的点(0,1),使 得:()/)=L(2 0)(本题满分10 分)已 知 函 数 z=f (x,y)的 全 微 分d z=2xd x-2yd y,并且f (1,1,)=2.求f (x,y)在 椭 圆 域。=(x,y)F+41 上的最大值和最小值.4(2 1)(本题满分9 分)计算二重积分 J J N +y 2 _ 巾。，其中 o=(X,)|o x l,0 y l).D（2

37、 2）（本题满分9 分）确 定 常 数 a,使向量组%=（1,1,。尸，&2=（1,。,1）丁，=（。，1，1尸可 由 向 量 组笈=（l,l,a）T,色=（2,a,4）T,尸 3 =线性表示，但向量组儿,2 2/3 不能由向量组%，%，%线性表示（2 3）（本题满分9 分）1已知3阶矩阵A的第一行是（。,4c）,a,c 不全为零，矩阵8=232 34 6（k为常数），且 A B=O,求线性方6 k程组A x=O 的通解.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题填空题(本题共6 小题，每小题4 分，满分24分.把答案填在题中横线上.)(1)设f x)=l i m ”生，则/(x)的间断点

38、为xT8%+1(2)设函数y(x)由参数方程X=f 3+3f +1,确定,y =P -3/+1则曲线y =y(x)向上凸的x取值范围为(3)+8 d x1 xy/x2-1(4)设函数z =z(x,y)由方程z =e 2A 3z +2 y 确定,贝!13包+包d x d y(5)微分方程()，+/)公 2x d y =0 满足=|的特解为(6)设矩阵A1,01200、0,矩阵5满足A B A*=2 A 4*+E,其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则B =二.选择题(本题共8小题，每小题4 分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(7)

39、把 x -0+时的无穷小量a =(c o s/力，p=Jtany/td t,7 =J：s i n P 力排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A)a邛，y.(B)a,y,f3.(C)B,a .(D)(3./,a.(8)设 x)=k(l x),贝 叶(A)x =0是/(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y =/(x)的拐点.(B)x =0不是/(x)的极值点，但(0,0)是曲线y =/(x)的拐点.(C)x =0是/(x)的极值点，且(0,0)是曲线y =/(x)的拐点.(D)x =0不是/(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y =/(x)的拐点.(9)l i m l

40、n j(l +，)2(l +2)2.(i+囚产等于“is n n n(A)I n2 xd x.(B)2j：l n x d x.(C)2j-l n(l +x)0,则存在30,使 得(A)/(尤)在(0,5)内单调增加.(B)/(x)在(3,0)内单调减小.(C)对任意的x e(0,b)有/(x)/(0).(D)对任意的x e(5,0)有/(x)/(0).(11)微分方程丁 +)，=*2+1+411的特解形式可设为(A)=a x+c +x(As i n x +Bc o s x).(B)y*=x(a x+/?x +c +A s i n x +Bc o s x).(C)y*=a x+/?x +c +A

41、 s i n x.(D)y*=a x+x +c +A c o s x(12)设函数73)连续，区域Z)=(x,y)|x 2+y 242)，,则 J J 7(x y)d x d y等于D 工 时”)(孙取(B)2j：d y j，r f(xy)d x.r n 2 s i n 6?o 八 八(C)j()d e。/(f s i n c o s0)d r.(D)J。d e。/(r s i n c o s0)rd r(13)设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得3,再把3的第2列加到第3列得C,则满足A Q =C的可逆矩阵为 0 1 0、(A)1 0 0J L 0 1 0、(C)1 0 0、0 1 L

42、(14)设A,B为满足A 3=0的任意两个非零矩阵，则必有|1(A)A的列向量组线性相关，5的行向量组线性相关.(B)A的列向量组线性相关，5的列向量组线性相关.(C)A的行向量组线性相关，8的行向量组线性相关.(D)A的行向量组线性相关，5的列向量组线性相关.三.解答题(本题共9小题，满分9 4分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)求极限l i m-f+c osx 一11 3 J(16)(本题满分10分)设 函 数/(x)在(-8,+00)上 有 定 义，在 区 间 0,2上，/(x)=x(x 2 4),若 对 任 意 的X都满足/(x)=k/(x +2),

43、其中女为常数.(I)写出/(x)在 -2,0上的表达式；(H)问为 何 值 时,/(x)在x =0处可导.(17)(本题满分11分)n设/(x)=J:斗s i n力力，(I)证明/(x)是以乃为周期的周期函数；(II)求/(x)的值域.(18)(本题满分12分)曲线y =e；1与直线=0,=/0)及丫=0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体,其体积为V 8),侧面积为S Q),在x =f处的底面积为广.(I)求 出 的值；(II)计算极限l i m+8 F(f)4(19)(本题满分12分)设e a =(0-a).(20)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在

44、触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9 0 0()总 的飞机,着陆时的水平速度为7 0 0 0/?.经测试,减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为=6.0 x l()6).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注 依 表 示 千 克，也?/表示千米/小时.(21)(本题满分10 分)设 =/(/),2,1，)，其中/具有连续二阶偏导数，求 当，合，变dx dy dxdy(22)(本题满分9分)设有齐次线性方程组(1+a)xx+x2+x3+x4=0,V2%4-(2+a)x2+2X3+2x4=0,3玉 +3X2+(3+0)X3+

45、3X4=0,4xj+4X2+4X3+(4+。)=0,试问。取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.(2 3)(本题满分9 分)(12-3设矩阵-14-3的特征方程有一个二重根，求。的值,并讨论A是否可相似对角化.1j结5)总 结下2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题填空题(本题共6小题，每小题4 分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)若X 0 时，(-a xy-1 与 x s i n x 是等价无穷小，则 a=.(2)设函数y=f(x)由方程x y +21n x =y 4所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是.(3)y =2,的麦克劳林公式中x 项的系数是.(

46、4)设曲线的极坐标方程为夕=e (a 0),则该曲线上相应于。从。变到2 7的一段弧与极轴所围成的图形的面积为.-1 -1 1 (5)设a为 3 维列向量，a，是a的 转 置.若=-1 1 -1,贝 U1 -1 1a a =.-1 0 r 设 三 阶 方 阵 A,B满足A B =E，其中E 为三阶单位矩阵，若 A=0 2 0,则怛|=.-2 0 1二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分2 4 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设。“,。,。”均为非负数列，且出11。“=0,玉 1)也=1,1 1 0 1%=8,则 必 有 n-3 3

47、n Q O n Q O(A)an bn对任意n 成立.(B)bn /2 1.(B)1 /,I2.(C)/2 /,1.(D)1 /2 /,.(6)设向量组I：%,a?,%可由向量组I I：4,色,国 线 性 表 示,则(A)当r s时，向量组H 必线性相关.(B)当r s 时，向量组H 必线性相关.(0当r s时，向量组I 必线性相关.三、(本题满分10 分)设 函 数f(x)=l n(l +a xy)x-a rc s i n x6,e“+c tx 1x 0,.xxsin I4问 a为何值时，f(x)在 x=0 处连续；a为何值时,x=0 是 f(x)的可去间断点？四、（本题满分9分）x =1+

48、2 f2设函数y=y （x）由参数方程/fi+2 i n；euy=U五、（本题满分9分）计算不定积分.1)所确定，求Td2 V.d u dx2，=9“c a rc ta n x-歹dx.(1+x2)六、(本题满分12分)设函数y=y(x)在(-oo,+oo)内具有二阶导数，且y W 0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.4 21(1)试将乂=乂)所满足的微分方程萼+()，+011%)(空)3=0变换为丫=丫(以满足的微分方程;cly-dy3(2)求变换后的微分方程满足初始条件义0)=0,y(0)=|的解.七、(本题满分12分)讨论曲线y=41nx+k与y=4x+ln4x的交点个数.八、(本题

49、满分12 分)J?1设位于第一象限的曲线y=f(x)过 点(半,),其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q,且线段P Q被 x 轴平分.(1)求 曲 线 y=f(x)的方程;(2)已知曲线丫=5 1”在 0,句上的弧长为/,试用/表示曲线y=f(x)的弧长s.九、(本题满分10 分)有一平底容器，其内侧壁是由曲线x =9(y)(yZ 0)绕 y 轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为 2 m.根据设计要求，当以3 n?/m i n 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以加/mi n的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体).(1)根 据 t 时刻液面的面积，写出t 与

50、夕(y)之间的关系式；求曲线x =Q(y)的方程.(注：m表示长度单位米，m in 表示时间单位分.)十、(本 题 满 分 1 0 分)设 函 数 f(x)在闭区间 a,b 上连续，在开区间(a,b)内可导，且若极限lim 2 x-a)存在,证明：xM x a(1)在(a,b)内 f(x)0;(2)在(a,b)内存在点 使=二=互;f(x)dx/(3)在(a,b)内存在与中J相异的点小 使/()(一。2十 *、（本题满分10分）2若矩阵A=802 02 a相似于对角阵A,试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使P7 AP=A.0 6十 二、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为乙：ax+