考研数学二历年真题及部分答案.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流考研数学二历年真题及部分答案.精品文档.2010年考研数学二真题（强烈推荐）一 填空题(84=32分)2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。（1）函数与是等价无穷小，则（）（A）1（B）2（C）3（D）无穷多个（2）当时，与是等价无穷小，则（）（A）（B）（C）（D）（3）设函数的全微分为，则点（0，0）（）（A）不是的连续点（B）不是的极值点（C）是的极大值点（D）是的极小值点（4）设函数连续，则=（）（A

2、）（B）（C）（D）（5）若不变号，且曲线在点（1，1）的曲率圆为，则在区间（1，2）内（）（A）有极值点，无零点（B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点（D）无极值点，无零点（6）设函数在区间-1,3上的图形为 则函数为（）（7）设、B均为2阶矩阵，分别为A、B的伴随矩阵。若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵的伴随矩阵为（）（A）（B）（C）（D）（8）设A，P均为3阶矩阵，为P的转置矩阵，且A，若，则为（）（）（）（）（）二、填空题：9-14 小题，每小题 4分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。（9）曲线在（0，0）处的切线方程为_（10）已知，则k=_（11）=_（12）

3、设是方程确定的隐函数，则=_（13）函数在区间(0,1上的最小值为_（14）设为3维列向量，为的转置，若相似于，则=_三、解答题：15-23 小题，共 94 分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分9分）求极限（16）（本题满分10分）计算不定积分（17）（本题满分10分）设，其中具有2阶连续偏导数，求与（18）（本题满分10分）设非负函数y=y(x)(x0)，满足微分方程，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。（19）（本题满分10分）求二重积分，其中（20）（本题满分12

4、分）设y=y(x)是区间内过点的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的发现都过原点，当时，函数y(x)满足。求y(x)的表达式。（21）（本题满分11分）（I）证明拉格朗日中值定理：若函数在a,b上连续，在（a,b）可导，则存在，使得。（II）证明：若函数在x=0处连续，在内可导，且则存在，且。（22）（本题满分11分）设（I）求满足的所有向量；（II）对（I）中的任一向量，证明：线性无关。（23）（本题满分11分）设二次型（I）求二次型的矩阵的所有特征值；（II）若二次型的规范形为，求a的值。2008考研数学二真题一、选择题：（本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项

5、符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1)设，则的零点个数为( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3(2)曲线方程为，函数在区间上有连续导数，则定积分在几何上表示( ) (A) 曲边梯形的面积 (B) 梯形的面积(C) 曲边三角形面积 (D) 三角形面积(3)在下列微分方程中，以（为任意的常数）为通解的是( )(A) . (B) .(C) . (D) .(4) 判定函数间断点的情况( )(A) 有1可去间断点，1跳跃间断点(B) 有1跳跃间断点，1无穷间断点(C) 有2个无穷间断点. (D)有2个跳跃间断点. (5)设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是(

6、)(A) 若收敛，则收敛 (B) 若单调，则收敛 (C) 若收敛，则收敛. (D) 若单调，则收敛. (6)设函数连续，若，其中区域为图中阴影部分，则( )(A) (B) (C) (D) (7)设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵若，则下列结论正确的是( )(A) 不可逆，不可逆. (B) 不可逆，可逆.(C) 可逆， 可逆. (D) 可逆， 不可逆.(8) 设，则在实数域上，与A合同矩阵为( )(A) . (B) . (C) . (D) . 二、填空题：（914小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上）(9)已知函数连续，且，则(10)微分方程的通解是 .(11)曲线在点处的切线方程为 .

7、(12)曲线的拐点坐标为 .(13)设，则 .(14)设3阶矩阵的特征值为若行列式，则_.三、解答题(1523小题，共94分)(15)(本题满分9分)求极限(16)(本题满分10分)设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解，求(17)（本题满分9分）计算(18)(本题满分11分)计算，其中(19)(本题满分11分)设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式(20)(本题满分11分)(I) 证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得；(II) 若函数具有

8、二阶导数，且满足，证明至少存在一点，使得(21)(本题满分11分)求函数在约束条件和下的最大值和最小值(22) (本题满分12分)设元线性方程组，其中（I）证明行列式；（II）当为何值时，该方程组有惟一解，并求（III）当为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解(23) (本题满分10分)设为3阶矩阵，为的分别属于特征值的特征向量，向量满足，(I)证明线性无关；(II)令，求2007年研究生入学考试数学二试题一、选择题：110小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当时，与等价的无穷小量是 （A） （B） （C） （

9、D） （2）函数在上的第一类间断点是 （ ） （A）0 （B）1 （C） （D）（3）如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设，则下列结论正确的是： （A） (B) （C） （D） （4）设函数在处连续，下列命题错误的是： （A）若存在，则 （B）若存在，则 . （B）若存在，则 （D）若存在，则.（5）曲线的渐近线的条数为（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. （6）设函数在上具有二阶导数，且，令，则下列结论正确的是： (A) 若 ，则必收敛. (B) 若 ，则必发散 (C) 若 ，则必收敛. (D) 若 ，则必发散. （

10、7）二元函数在点处可微的一个充要条件是（A）.（B）.（C）.（D）.（8）设函数连续，则二次积分等于（A） （B）（C） （D）（9）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则(A) (B) (C) .(D) . （10）设矩阵，则与 (A) 合同且相似 （B）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 二、填空题：1116小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（11） _.（12）曲线上对应于的点处的法线斜率为_.（13）设函数，则_.（14） 二阶常系数非齐次微分方程的通解为_.（15） 设是二元可微函数，则 _.（16）设矩阵，则的秩

11、为 . 三、解答题：1724小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17） (本题满分10分)设是区间上单调、可导的函数，且满足，其中是的反函数，求.（18）（本题满分11分） 设是位于曲线下方、轴上方的无界区域. （）求区域绕轴旋转一周所成旋转体的体积； （）当为何值时，最小？并求此最小值.（19）（本题满分10分）求微分方程满足初始条件的特解（20）（本题满分11分）已知函数具有二阶导数，且，函数由方程所确定，设，求.（21） (本题满分11分)设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，证明：存在，使得.（22） (本题满分11分) 设二元函数，计算二重积分，

12、其中.（23） (本题满分11分) 设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解.1.【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当时， 故用排除法可得正确选项为（B）. 事实上， 或.所以应选（B）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. 2【分析】因为函数为初等函数，则先找出函数的无定义点，再根据左右极限判断间断点的类型.【详解】函数在均无意义， 而； 所以为函数的第一类间断点，故应选（A）.【评注】本题为基础题型. 对初等函数来讲，无定义点即为间断点，然后再根据左右极限判断间断点的类型；对分段函数来讲，每一分段支中的无定义点为间

13、断点，而分段点也可能为间断点，然后求左右极限进行判断.段函数的定积分.【详解】利用定积分的几何意义，可得 所以 ，故选（C）.【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.4【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取，则，但在不可导，故选（D）. 事实上， 在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得.在（C）中，存在，则，所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值

14、型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效. 5【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.【详解】， 所以 是曲线的水平渐近线； ，所以是曲线的垂直渐近线； ，所以是曲线的斜渐近线. 故选（D）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意当时的极限不同.6【分析】本题依据函数的性质，判断数列. 由于含有抽象函数，利用赋值法举反例更易得出结果.【详解】选（D）. 取，而发散，则可排除（A）；取，而收敛，则可排除（B）；取，而发散，则可排除（C）； 故选（D）.事实

15、上，若，则. 对任意，因为，所以， 对任意，. 故选（D）.【评注】对于含有抽象函数的问题，通过举符合题设条件的函数的反例可简化计算.7.【分析】本题考查二元函数可微的充分条件. 利用可微的判定条件及可微与连续，偏导的关系.【详解】本题也可用排除法，（A）是函数在连续的定义；（B）是函数在处偏导数存在的条件；（D）说明一阶偏导数存在，但不能推导出两个一阶偏导函数在点(0,0) 处连续，所以（A）（B）（D）均不能保证在点处可微. 故应选（C）. 事实上， 由可得 ，即同理有从而 根据可微的判定条件可知函数在点处可微，故应选(C). 【评注】二元函数连续或偏导数存在均不能推出可微，只有当一阶偏导

16、数连续时，才可微.8,【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.【详解】由题设可知，则， 故应选（B）.【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.9.【分析】本题考查由线性无关的向量组构造的另一向量组的线性相关性. 一般令，若，则线性相关；若，则线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由可知应选（A）.或者因为，而， 所以线性相关，故选（A）.【评注】本题也可用赋值法求解，如取，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.10.【分析】本题

17、考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得的特征值，并考虑到实对称矩阵必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案. 【详解】 由可得， 所以的特征值为3,3,0；而的特征值为1,1,0. 所以与不相似，但是与的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以与合同，故选（B）.【评注】若矩阵与相似，则与具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算与的特征值可立即排除（A）（C）.11【分析】本题为未定式极限的求解，利用洛必达法则即可.【详解】【评注】本题利用了洛必达法则. 本题还可用泰勒级数展开计算. 因为 ， 所以 .12.【分析】本题考查参数方程的导数及导数的几何意义.【详解】因

18、为，所以曲线在对应于的点的切线斜率为，故曲线在对应于的点的法线斜率为.【评注】本题为基础题型.13.【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.【详解】，则，故.【评注】本题为基础题型.14.【分析】本题求解二阶常系数非齐次微分方程的通解，利用二阶常系数非齐次微分方程解的结构求解，即先求出对应齐次方程的通解，然后求出非齐次微分方程的一个特解，则其通解为 .【详解】对应齐次方程的特征方程为 则对应齐次方程的通解为 . 设原方程的特解为 ，代入原方程可得 所以原方程的特解为， 故原方程的通解为 ，其中为任意常数.【评注】本题为基础题型.15【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接

19、利用公式即可.【详解】利用求导公式可得 所以.【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性.16【分析】先将求出，然后利用定义判断其秩.【详解】.【评注】本题考查矩阵的运算和秩，为基础题型.17【分析】对含变上限积分的函数方程，一般先对x求导，再积分即可.【详解】 两边对求导得两边积分得. （1）将代入题中方程可得 .因为是区间上单调、可导的函数，则的值域为，单调非负，所以. 代入（1）式可得，故.【评注】利用变限积分的可导性是解函数方程的方法之一.18.【分析】V(a)的可通过广义积分进行计算，再按一般方法求V(a) 的最值即可【详解】（）（）令，得. 当时，单调增加；

20、当时，单调减少. 所以在取得极大值，即为最大值，且最大值为.【评注】本题为定积分几何应用的典型问题，需记忆相关公式，如平面图形的面积，绕坐标轴的旋转体的体积公式等.19.【分析】本题为不含的可降阶方程，令，然后求解方程.【详解】本题不含，则设，于是，原方程变为 则 ，解之得，将代入左式得 ， 于是 ，结合得， 故 .【评注】本题为基础题型.20.【分析】本题实质上是二元复合函数的求导，注意需用隐函数求导法确定.【详解】令，则. 两边对求导得 ，又，可得 在两边对求导得 所以【评注】也可利用两边对求导得可得. 21【分析】由所证结论可联想到构造辅助函数，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.【详解】

21、令，则在上连续，在内具有二阶导数且.（1）若在内同一点取得最大值，则， 于是由罗尔定理可得，存在，使得 再利用罗尔定理，可得 存在，使得，即.（2）若在内不同点取得最大值，则，于是 于是由零值定理可得，存在，使得 于是由罗尔定理可得，存在，使得 再利用罗尔定理，可得 ，存在，使得，即.【评注】对命题为的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证为的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证； 方法二：验证在包含于其内的区间上满足罗尔定理条件. 22.【分析】由于积分区域关于轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分.【详解】因为被积函数关于均为偶函数，且积分区域关于轴均对称，

22、所以 ，其中为在第一象限内的部分. 而 所以 .【评注】被积函数包含时, 可考虑用极坐标，解答如下：23【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得.【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组其系数矩阵显然，当时无公共解.当时，可求得公共解为 ,为任意常数；当时，可求得公共解为 .【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.（24） (本题满分11分)设三阶对称矩阵的特征向量值，是的属于的一个特征向量，记，其中为3阶单位矩阵. （I）验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；（II）求矩阵. 【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质. 【详解】（I）， 则是矩阵的属于2的特征向量. 同理可得 所以的全部特征值为2，1，1 设的属于1的特征向量为，显然为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得 即 ，解方程组可得的属于1的特征向量 ，其中为不全为零的任意常数. 由前可知的属于2的特征向量为 ，其中不为零.（II）令，由（）可得，则【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为的形式. 请记住以下结论：（1）设是方阵的特征值，则分别有特征值 可逆），且对应的特征向量是相同的. （2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的