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1、中考压轴题训练二次函数I.如图，在平面直角坐标系中抛物线)，=0?+法+c经过原点，且与直线y=-日+6交于则A(6,3)、8 (-4,8)两点.(1)求直线和抛物线的解析式；(2)点尸在抛物线上，解决下列问题：在直线A B下方的抛物线上求点P,使得必B的面积等于2 0；连接OA,OB,O P,作P C L x轴于点C,若 P OC和A A B O相似，请直接写出点P的坐标.2 .已知抛物线y=/-2 m r+/2-2/n(m 2),顶点为点M,抛物线与x轴交于A、8点(点A在点8的 左 侧)，与y轴交于点C.(1)若抛物线经过点(1,1)时，求此时抛物线的解析式；(2)直线1与抛物线交于P、
2、。两点，若代，请求出，的取值范围；(3)如图，若直线CM交x轴于点M请 求 处 典 的 值.3 .若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”.(D判断抛物线C l：y=近x2-2 JE x是否为“等边抛物线”？如果是，求出它的对称轴和顶点坐标；如果不是，说明理由.(2)若抛物线C 2：y=/+2 x+c为“等边抛物线，求好的值；(3)在(2)的条件下，对 于“等边抛物线”C3：y x i+bx+c,当 x m时，二次函数C 3的图象落在一次函数y=x图象的下方，求用的最大值.4 .如图，抛物线)，=-f+b x+c的图象与x轴交于4 (-4,0)和点8两点，与
3、y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=-1 与x 轴交于点。.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点)为抛物线上一点，且-4 根V-L 过点P作 P x轴，交抛物线的对称轴x=-1 于点E,作 P F L x 轴于点F,得到矩形P E D F,求矩形P E Z)/周长的最大值；(3)点。为抛物线对称轴x=-1 上一点，是否存在点Q,使以点。，B,C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.5 .在平面直角坐标系中，直 线 y=x+3 与 x 轴交于点A,与 y 轴交于点B,抛 物 线 y=a+bx+c(a 0)经过点 A、B.(1)求 c的值及“、。满足的
4、关系式；(2)当x,C B,C E.(1)求点C、D、E的坐标；(2)如图2,延长E O交x轴于点M,请判断ACEM的形状，并说明理由；(3)在图2的基础上，将 C E M沿着C E翻折，使点M落在点时处，请判断点”是否图1图2参考答案:1.如图，在平面直角坐标系中抛物线y=o?+b x+c经过原点，且与直线y=-日+6交于则A(6,3)、8(-4,8)两点.(1)求直线和抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，解决下列问题：在直线A B下方的抛物线上求点P,使得出8的面积等于2 0；连接O A,OB,O P,作轴于点C,若 P O C和A A B O相似，请直接写出点尸的坐标.【分析】(1)利
5、用待定系数法确定函数解析式即可；(2)如 图1,作P Q y轴，交A 8于点Q,设尸(x,工，-x),则Q (x,-工工+6),4 2则易得线段P Q的长度，利用三角形面积公式得到S 以B=-1)2+号=2 0,然后解方程求出x即可得到点P的坐标；设P(x,L2-*),如图2,利用勾股定理的逆定理证明/A O B=9 0 ,根据三角形4相似的判定，由于N A 0 8=N P C。，则 当 空=空 时，XCPOSXOAB,当鱼=旦殳时,C O O B 0 C 0 A C P O sXO BA,由此得到相似三角形的对应边成比例，然后分别解关于x的绝对值方程即可得到对应的点P的坐标.【解答】解：(1
6、)把A (6,3)代入y=-入+6,得3=-6 x+6.解得上=-1.2故直线的解析式是：y=-上x+6.2把 0(0,0)、A(6,3)、B(-4,8)分别代入 丫=0?+灰+,得c=0 2),得1 -2m+m-2/77=1.解得 zl=0(舍 去)，加 2=4,即加=4 符合题意，.原抛物线解析式为：y=-8/8；(2)设 尸(无 1,yi),Q(J t2,”),f 2 2联立,y=x-2mx+m-2m得：/-(2加+2)3+川-2加+1=0,y=2 x-lx+x2=2m+2f xi*xim-2m+1,:.(A2-XI)2=(X1+X2)2-4X1*X2=16/77.:.(y2-yi)2=
7、(2x1-1 -2x2+1)2=4(%2-x i)2=6 4w.pQ=(y 2-y1)2+(x2-x1)2 =4V 5m-又；=-(2机+2)产-4(机 2_2巾+1)=4 后 o,即 =4通 0.由 8代 WPQW10遥，得 8栋4 忘10代，解得：44in 亍；(3)设 A(xi,0)、B(X2,0),令 x=0,贝 ij y=/7?-2m,C(0,机2-2 m).由 y=7-2mx+/-2m 得：y=(x-机)2-2m,(m,-2m)设直线CM的解析式为：y=kx+b(2 0),则f 9=返？-2 汇是否为“等边抛物线”？如果是，求出它的对称2轴和顶点坐标；如果不是，说明理由.(2)若抛
8、物线C2：y=/+2x+c为“等边抛物线”，求ac的值；(3)在(2)的条件下，对 于“等边抛物线 C 3：y=x2+bx+c,当l x=率/-2 M 是“等边抛物线”.对称轴x=2,顶点坐标为（2,-2愿）；（2）设等边抛物线与;I轴的两个交点分别为A（x i,0）,B（北,0）,令 y=a/+bx+c=0,.-2 v2-4ac x-,2a.A B=一 切=|N.N?2喳甚_,二 之 心 七 士 邑=|正 二*K =|V4-4ac j=2a 2a a a2Tac a又.抛物线的顶点坐标为（-，型 士），a a产-1 I.a 1 2jl-ac 2aV4 -4 a cW 0,|Vl-ac V32
9、 刀，ac=-2；(3)由(2)得，ac=-2:,f-4G C=1 2,.r_ b2-1 2 c ,4，C3：y=x2,+bx+）4.Tx 1,2a 2：.b-2,:b=-6,.*.y=；r -6 x+6,联 立 卜=x -6 x+6,y=x解得x=l 或 x=6,-m的最大值为6.4.如图，抛物线y=-/+fcc+c的图象与x轴交于A（-4,0）和点8 两点，与），轴交于点C,抛物线的对称轴是直线=-1 与x轴交于点D.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P （机，n）为抛物线上一点，且-4 机 -1,过点P作 P E x 轴，交抛物线的对称轴x=-1 于点E,作P F L x轴于点F,得
10、到矩形P E D F,求矩形尸切F周长的最大值；（3）点。为抛物线对称轴x=-1 上一点，是否存在点Q,使以点Q,B,C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)先根据对称轴公式可得人的值，最后利用待定系数法即可解决问题；(2)表示矩形尸E O F的周长，构建二次函数利用配方法可求最值；(3)分三种情形分别求解：当/Q CB=90时，Q B 2=2+B C2,当/Q BC=90时，QC 2=BC 2+QB2,当/8Q C=90时，B B +Q C2,列出方程并解方程可解答.【解答】解：(1)抛物线y=-/+bx+c的对称轴是直线x=-1,-
11、=-1,b=-2,-2-y-x2-2x+c,把4 (-4,0)代入得：-1 6+8+c=0,c 8,抛物线的函数表达式为：y=-/-2r+8；(2):点P(m,)为抛物线上一点，且-4 V m V-l,如 图1,图1；.=-m2-2/w+8,.四边形P EO尸是矩形，矩形 PEDF 的周长=2P E+2P尸=2(-1 -/n)+2(-ni2-2?+8)-2m2-6机+1 4=-2(m+)2+或，2 2：-2：.Q(-1,4+V1 3)或(-1，4-岳)；综上，点Q的坐标是(-1,9)或(-1,一旦)或(-1,4+)或(-1,4 -A/13).4 45.在平面直角坐标系中，直 线y=x+3与x轴
12、交于点A,与y轴交于点B,抛 物 线y=a x 1+bx+c(a 0)经过点 4、B.(1)求c的值及、方满足的关系式；(2)当x 0时，若 尸a&bx+cQ VO)的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围;(3)如图，当a=-1时，在抛物线上是否存在点P,使以B的面积为g？若存在,2请求出符合条件的所有点尸的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)求出点A、B的坐标，即可求解；(2)当x =2+加+。(4 即可求解;2a 2a(3)过点P作直线/A B,作P Q)轴交B A于点。，作P”,A B于点“，SAH B=XA B X P H l x 3-/2 X P Q X 则|y p-y ol
13、=l，即可求解.2 2 2【解答】解：（l）y=x+3,令x=0,则 j=3,令 y=0,贝|x=-3,故点A、B的坐标分别为（-3,0）、（0,3）,则c=3,则函数表达式为：y=a x1+bx+3,将点A坐标代入上式并整理得：b=3a+；(2)当x 0时，若y=a?+6 x+c(0)的函数值随x的增大而增大,则函数对称轴x=-0,而6=3“+1,2a即：-囱!L 2 0,解得：a-工，2a3故：a的取值范围为：-Lw”2+尸：2=；2,在 R t 尸 K 中，=VPK2+K D2=3依，在 R tA B D S 中，BD=7DQ2+BQ2 D E=,ER/PK,故 黑=1_,5娓即=里，解
14、得：E R=9,即可求解.3 V5 6 3【解答】解：(1)抛物线的表达式为：y=a(x+2)2-2=ax2+4ax+4a-2,故 4 a-2=0,解得：a=,2b=4 a=2；(2)抛物线的表达式为：y=*/+2x,过点8作 轴 于 点“，过点。作。G L C 3 于点G,直线B C 的表达式为：y=3x+4,则点尸(-乌，0),3:点 5 (-2,-2),BH=2,CH=4+2=6,则 t a n/B C H=ta n a,C H 3VD G 1B C,NFDG=NFCO=a=ZDCG,在 RtZFG 中，设 F G=m,则 DG=3m,则 CG=3DG=9m,CF=9m-?=8%=,0F
15、2 K。2=4VT_,3解得：，=返 _,6DF=VDG2+FG2=-f-，oO D=O F+D F=3,故点。(-3,0),由点8、拉的坐标可得，直线P 8 的表达式为：y=-2 x-6 ,联立并解得：x=-2 (舍 去)或-6,故点 P(-6,6)；(3)如图2,过点P 作轴于点M,过点B 作轴于点”,V P(-6,6),则 PM=0M=6,:CM=2,PM=CH,:BH=CM,；NPMC=NBHC=90,:Z M C经ACHB Q H L),:.CP=CB,N M P C=/B C H,；NMPC+NPCM=90,.ZBCH+ZPCM=90,NPCB=90,：.ZCPB=ZCBP=45,
16、过 点 C 作 CNLCE 过点5 作 3NL3P,CN、8N 交于点M 连接。N,则/C 8N=90-NCPB=45,:/C P B=/C B N,；NECN=NEBN=90,；NCEB+NCNB=180,VZCEB+ZPEC=180,：,/C N B=/P E C,;PC=CB,：.P E C/B N C (S A S),则 PE=BN,CE=CN,NECB=NEDC+NDCB,NPDC=NDCB+NCBD,ZECB=ZPDC,；NECD=NCBD=45,；/DCN=90-ZECD=45,：NECD=/DCN,；CD=CD,:ECDQ/XNCD(SA S),:.DE=DN,在 RtZXQB
17、N中，BN+B心=D心,则过点P 作尸K L c轴于点K,:.PK=KO=6,.*0 0=3,:KD=3,在 RtZPK。中，尸。=而百标=3遥，设 0=3 则 尸石=3遥-3故点 8 作 BQLx 轴于点 Q,则 3。=0。=2,DQ=OD-O Q=lf在 中，8D=JDQ2+BQ2=返,故(遥)2+(3遥-/)2=落解得：仁 旦 区，3故 DE=,3故点E 作 E R L x轴于点R,则 ER/PK,5娓故旦L/即,=坞P D P K 3 75 6解得：曰?=独:N E D R=N B D Q,故 ta nZ EDR=ta nZ BDQ,即：巡型_=2，D R D Q故。/?=&,O R=
18、D R+O D=+3=,3 3 3故点E的坐标为：（-廷，改）.3 37.已知I：抛物线y=/+号x+m交x 轴于A,B 两点，交y 轴于点C,其中点B 在点A的右侧，且 AB=7.（1）如 图 1,求抛物线的解析式；（2）如图2,点。在第一象限内抛物线上，连 接 CO,AD,AO交 y 轴于点E.设 点。的横坐标为乩的面积为5,求 S 与 之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）；（3）如图3,在（2）的条件下，过点。作 DHLCE于点”，点 P 在。”上，连接CP,若 Z OC P=2/DAB,且H E：CP=3：5,求 点D的 坐 标 及 相 应S的【分析】（1）令 y=0,则（
19、x+2）（x-力=0,根据A B=7可求出山的值，则答案可求出；（2）如 图 1,过点。作 K_Lx轴于点K,设N D 4 B=a,则。（d,-y r f2玲 d+5），求出CE=5-（5-J）=d,根据三角形面积公式可得解；（3）如图2,过点E 作 CE的垂线，过 C 作NOCP的平分线交E于点J,交 CE的垂线于点F,过点尸作E）的 平 行 线 交 于 点 N.则/EC F=ZH O E=a,HE=3k,C P=5k,CE=H D=d,证明得出 E F=H E=D N=3 k,C F=D E=F N,可得出d=6 k,在 RtZV）/E 中，tan a ，由（2）可求出的值，则。点坐标可求
20、出.则5=8.【解答】(1)由y=二/+至2x+zn,2 2令 y=0,则(x+2)(x-M =0,4O=2,BO=m,：.A(-2,0),B(机，0),.48=7,*.m -(-2)=7,6=5,(2)过点。作。K_Lx轴于点K,设N D 4 8=a,则。(d,京多+5)-P i K 3(d+2)(d-5)1 ttaann a=A K-=-d-(-2-)-=2(5 H )：.EO=AOnm a=5-d,C E=5-(5-4)=d,11 oS 方ED H=d；(3)过点E作CE的垂线，过C作/O CP的平分线交。E于点J,交CE的垂线于点尸,过点F作E D的平行线交H D于点N.：.Z EC
21、F=Z HDE=a,HE=3k,C P=5k,C E=HD=d,：C E=HD,N C EF=N C HD=90 ,A ACEFADWE(/ISA),JEF/DN,N F/DE,四边形EDNF为平行四边形,:,EF=HE=DN=3k,CF=DE=FN,CSV为等腰直角三角形，：.ZPCN=ZFNC=45,:NPCN=/PNC=45-a,:PC=PN=5k,：.PD=2k,:CH=d-3k,PH=d-2k,：.(d-3k)2+3 2k)2=(5Z)2,:.Cd-6k)(d+k)=0,：.d=6k9 d=-k(舍 去)，在 RtADHE 中,i a n a=，D H 6k 2由(2)知tana=1
22、(5-d),(5-d)-=4,：.D(4,3),S=yd2 X 1 6=8-8.如图，抛物线y=a?+法+3经过点A(1,0),B(4,0).(1)求抛物线的表达式；(2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形以OC的周长最小？若存在，求出四边形朋OC的周长最小值；若不存在，请说明理由；(3)如图，点。是0 3上的一动点，连接B C,在线段BC上是否存在这样的点M,使CQW为等腰三角形且BQM是直角三角形？若存在，求出点例的坐标；若不存在,请说明理由.【分析】(1)将点4(1,0)、B(4,0)代入=0?+法+3,列方程组求出a、6的值即可；(2)A、B两点关于对称轴对称，连接B C
23、交对称轴于点P,则P点即为所求，在R t 4B O C中可求得B C的长，进一步可求得四边形巩0 C周长的最小值；(3)分N M Q B=90。和/Q M 8=9 0 两种情况，设出M点坐标或CM的长，再根据C Q W为等腰三角形，结合三角形相似可得到方程，可求得M点坐标.【解答】解：(1)抛物线y=o?+fcv+3经过点A (1,0)、8 (4,0),.a+b+3=01 16a+4b+3=0，_3_a=4解得 二，lb,1=5该抛物线的解析式：丫=3乂2互/3；4 4(2)存在，:抛 物 线 丫=/+公+3经过点A (1,0),B(4,0),；.A、B关于对称轴对称，如 图1,连接8 C,图
24、1.二B C与对称轴的交点即为所求的点P,此时PA+PCBC,：.四边形P A O C的周长最小值为：0 C+0 A+8 C,V A (1,0),B (4,0),C (0,3),-OA=,OC=3,B C=7OC2OB2=V32+42=5,O C+A B+B C=1+3+5=9,.在抛物线的对称轴上存在点P,使四边形以OC的周长最小，四边形布OC周长的最小值为9；(3)存在，设直线B C解析式为y=kx+n,把 B、C 两点坐标代入可得丁解得k1n=3直线B C的解析式为y=-|x+3,当NBQM=90时，如图2,图2在线段8 c 上.设 M 3”，,4；NCMQ90,只能 CM=MQ=-m+
25、3,4 MQ y轴，：4 M Q B s/C O B,3 3.B M M Q 叩 5-（3）3BC 0C 5 3解得：m 2.M（/3,15 x）；2 8当NQ M 8=90时，如图3,图3：NCMQ=90,只能 C M=M Q,设 C M=M Q=m,：.BM=5-m,：Z B M Q=Z C O B=9 0 ,N M B Q=N O B C,:.BM QsX BOC,.M Q pp m _ 5-m*0C OB 5 4 解得机=生，即 CM=工7 7作 MN OB,15.M N C M m M N OB BC 4 57,：B C的解析式为y=-1x+3,当x=_ ll时，y=超，7 7：.M
26、（卫，丝）.7 7综上，在线段BC上存在这样的点M,使 为 等 腰 三 角 形 且 BQM为直角三角形，点 M 的坐标为（丝，2 2）或（旦，叵）.7 7 2 89.如图，二次函数）=f+b x+c的图象与x 轴交于A,B 两点，B 点坐标为（4,0）,与），轴交于点C（0,4）.点。为抛物线上一点.（1）求抛物线的解析式及A 点坐标；（2）若BCO是以8 c 为直角边的直角三角形时，求点。的坐标；(3)若8 8 是锐角三角形，请直接写出点D 的横坐标的 取 值 范 围 3+JC?V6或 3-E?=90时，如下图所示，连接8 C,过 B 点作B D,8 c 与抛物线交于点。，过 B 作 FG
27、Lx轴，再过C 作 CFL尸 G于 F,过。作。G_LFG于 GN C O B=N O B F=NBFC=9Q ,四边形OBFC为矩形，XV OC=OB,四边形O B F C 为正方形,N C B F=45 ZCBD=90,：.ZCBF+ZDBG=90：.Z D B G=45,.QBG为等腰直角三角形，：.DG=BG.点横坐标为a,则D (a,a2-5 a+4)：.D G=4-a而 8 G=-(J-5 a+4)-(/-5 a+4)4-a解得 ai=2,“2=4当。=4时，。点坐标为(4,0),与B重含，不符合题意，舍去当。=2时，力点坐标为(2,-2)上所述，。点坐标为(6,1 0)或(2,-
28、2)；(3)当8 C为斜边构成R t Z B C。时，如下图所示，以B C中点。为圆心，以B C为直径画圆，与抛物线交于Q和。8 C为。0 的直径N B D C=/B D C=9 0 B C=VOB2-K)C2=4近：.D到(7的距离为0 的半径r=2 B C=2&.2。点横坐标为机，纵坐标为苏-5加+4,。,坐标为(2,2),D (m-2)2+(m2-5 m+4-2)2,由图象易得，w=0或4为方程的解，则方程方边必有因式？(z/z-4).采用因式分解法进行降次解方程：m(w-4)(w2-6/n+6)=0.m=0 或m-4=0 或 m2 -6 7+6=0,解得m1=0,加2=4,3=3+弧,
29、m4=3-.当机=0时，。点坐标为(0,4),与。点重合，舍去；当2=4时，。点坐标为(4,0),与8点重合，舍去；当机=3+料 时，。点横坐标3+.当机=3-J 时，。点横坐标为3-结 合（2）中 B C Q形成直角三角形的情况，可得 B C D为锐角三角形时，D点横坐标m的取值范围为3+V3W 6或3 -2.故答案是：3+愿 巾 N D=-2比2 4在KO N 中，t a n N KO N 中，1 2 1 1/长。2=翅=马=包D N 至 1 54(3)如图2,延长”尸交x轴 于T,图2:/HFD=2/FDO,ZHFD=ZFDO+ZFTO,:./FDO=NFTO,AtanZFDO=tanZ
30、FTO,在RtAJ/篁 中，tanNFTO=旦旦，E T m 2m ，E T 1 52A CT=5,令/尸OO=Z 尸 7O=2a,：.ZHQC=90a+yZFDO=90+CI，A z rg c=180-Z/eC=90-a,/TCQ=180-NHTC-NTQC=90-a,:.NTCQ=/TQC,：.TQ=CT=5,.点。在 直 线 =-乌 吐 丝 上，9 9可 设。的坐标为(r，-r+丝)，9 9过 Q 作 QSLx 轴于 S,则 QS=-,TS=2+t,9 9在 RtZTQS 中，TS2+QS2=TQ1,：.(2+r)2+(2=52,解 得 力=里，Z2=l;2 9 当 片 里 时，$=里9
31、,T S=-,2 9 2 9 2 910029 on在 R t Z Q7 H 中，t a n N Q-JL05 2129A2m 2Ut w=015 21 7.n-36 X 50+q3-1-2-9-55 7 77当 r=l 时，2 s=4,7 5=3,在 R t Z QT H 中，t a n/Q 7 =,TS 3.2 1n,415 3 2=1 0,=-T1-X 10+3=b b 1 11 1.己知：在平面直角坐标系中，二次函数y=y+bx+c的图象与x轴交于点4、8,与 y轴交于点C,点 A 的坐标为(-3,0),点 8 的坐标为(1,0).(1)如 图 1,分 别 求 氏 c 的值；(2)如
32、图 2,点。为第一象限的抛物线上一点，连 接。并延长交抛物线于点E,O D 3 O E,求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，点 P为第一象限的抛物线上一点，过点P作轴于点H,连接E P、E H,点。为第二象限的抛物线上一点，且点。与点P关于抛物线的对称轴对称，连接P Q，设N A H E+N E P H=2 a,PH=PQX a na,点 M为线段PQ 上一点，点 N为第三象限的抛物线上一点，分别连接MH、NH,满足/M HN=60 ,MH=NH,过点N(2)OD=3-OE,贝 I J O L=3 O K,DL=3 K E,设点E的横坐标为：f,则点。的横坐标为:-36则点尸、E的坐标分别为
33、：工户+3)、(-3 3 -l?+3 r+l),即可求解;2 2 2 2(3)P H=m2+m -,TE=PH+Y E=nr+m -+2=A (机+i )2,ta nZ AHE=2 2 2 2 2 Y Ht a n ZPET=m+1-而N A H E+N EPH=2a,故N A H E=N P E Tm+1 T E l(m+1)2 m+1=N EPH=a,PH=PQta na,即上机2+加一鼻=(2/+2)X-A-,解得：?=2百-1,故1 7 7=相+1 =2 2 m+12囱，。=4a，点 P、Q 的坐标分别为：(2 7 3 -1-4),(-2代-1,4),t anZYH E=-=-,ta
34、nZ PQH=；证明尸W N H (A 4 S),则YH 2 V 3 3 P Q 3P H=W H,而Q H=2 P H,故Q W=HW,即W是Q”的中点，则W (-1,2),即可求解.【解答】解：(1)将点4、8的坐标代入抛物线表达式并解得：抛物线的表达式为：y=2/+x-3；-2 2（2）过点E、。分别作x轴的垂线交于点K、L,：0 D=30 E,贝I 0L=3 0K,DL=3KE,设点E的横坐标为：f,则点。的横坐标为：-3 3则点。、E的坐标分别为：51 P+/-3）、（-3t,-内+之），2 2 2 2D L=3 KE,则，-9 p+3 f+g=-3 （工?+3）,解得：r=l （舍
35、去）或-1,2 2 2 2故点E（-1,-2）；（3）点E（-1,-2）在函数对称轴上，函数对称轴交PQ、x轴分别于点T、Y,直线”。交N尸于点W,PE交.Q H 干点、R,设点 p （机，工根2+,”一旦），则 P T=y H=?+i,p Q=2m+2,Y E=2,2 2P H=m2+m-TE=PH+yE=工序+？-3+2=工(m+D 2,2 2 2 2 2tan Z PET=m+1-=T E/(m+1)2 m+1而ZAH E+ZEPH=2a,故NAHE=ZPET=ZEPH=a,PH=PQ-tana,即工川+？-2=(25+2)X _ _,解得：机=2料-1,2 2 m+1故 阳=?+1=2
36、代，。=4料，点尸、。的坐标分别为：(2 -1,4)、(-2 7 3-1,4),tanNY”E=I=近，tan/PQ=近，YH 2 7 3 3 P Q 3故NAHE=/P E T=NEPH=NPQH=3G,则NP”Q=90-N PQ”=6 0,QH=2PH,NQHP=6 0,NEPH=30,:./PRH=9Q,：.QHPE,而 NF PE,：.ZNWH=90,V ZPHQ=60=NQHM+NMHP,ZQHE=60=NMHQ+NNHW,：.ZNHW=Z M H P,而 MN为等边三角形，：.MH=NH,:./XPMHW/XWNH(AAS),：.PH=WH,而 Q H=2PH,故 Q W=H W,
37、即 卬 是。”的中点，则 W(-1,2),将点P、E 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线PE的表达式中的值为：料,故直线N尸表达式中的火值为设该直线的表达式为：y=M x+b,将点卬的坐标代入上式并解得：直线F N的解析式为：丫=盯 +2+小 .1 2.如图，已知抛物线=0?+法+3 (aW O)经过点A (1,0)和 点5(3,0),与y轴交于点C.(1)求此抛物线的解析式；(2)若点P是直线B C下方的抛物线上一动点(不点B,C重 合)，过点尸作y轴的平行线交直线B C于点D,设点P的横坐标为m.用含m的代数式表示线段P D的长.连接P 8,P C,求P B C的面积最大时点P的坐标.(
38、3)设抛物线的对称轴与B C交于点E,点M是抛物线的对称轴上一点，N为)，轴上一点，是否存在这样的点M和点M使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由.【分析】(1)根据已知抛物线(W 0)经过点A (1,0)和点8 (3,0)代入即可求解；(2)先确定直线B C解析式，根据过点P作y轴的平行线交直线B C于点。，即可用含m的带上书表示出P和。的坐标进而求解；用含机的代数式表示出 P B C的面积，可得S是关于，”的二次函数，即可求解；(3)根 据(1)中所得二次函数图象和对称轴先得点E的坐标即可写出点三个位置的点M的坐标.【解答】解：(
39、1):抛物线(a#0)经过点A (1,0)和 点B(3,0),与y轴交于点C,.*+b+3=0,解 得 卜=1,I9a+3b+3=0 lb=-4.抛物线解析式为y=7 -4 x+3：(2)如图：c设 P (m,n?-4/?/+3 ),将点5(3,0)、C(0,3)代入直线3。解析式y=f cr+。，得=-1,b=3,所以直线B C解析式为y BC=x+3.过点P作 y 轴的平行线交直线B C于点D,:.D(%？,-加+3),:P D=(-m+3)-(机2-4 m+3)=-加 2+3 小.答：用含机的代数式表示线段尸。的长为-m 2+3”.SPBC=S&CPD+S八 BPD=L)BPD=一 旦加
40、2+9 机2 2 2=-3 (z n.3)2+272 2 8二当时,s 有最大值.2当?=3时，m2-4 i+3=-.2 4：.P(旦，-旦).2 4答：P 8 C 的面积最大时点户的坐标为(3,-3).2 4(3)存在这样的点M 和点N,使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形.根据题意，点 E(2,1),：.EF=C F=2,；.E C=2&,根据菱形的四条边相等，；.M E=E C=2 如,：.M(2,1 -272)或(2,1+2&)当 E M=E F=2 时，M(2,3)答：点用的坐标为M i (2,3)或例2 (2,1-2 7 2)或 加3 (2,1+2&).1 3.如图，已知抛物
41、线y=-/x 2+b x+c的图象经过点A (-1,0)和点C (0,2),点。与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(?，0),过点P作x轴的垂线/交抛物线于点。，交直线8。于点例.(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)已知点R0,微)，当点P在x轴正半轴上运动时，试求力为何值时，四边形。M Q F是平行四边形？(3)点P在线段A 8运动过程中，是否存在点。，使得以点8、Q、历为顶点的三角形与8。相似？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)利用待定系数法确定函数解析式;(2)先利用待定系数法求出直线2。解析式为y=x-2,则-l+lm+2)
42、.2 2 2M(m,-2),由Q M。尸且四边形 M。尸是平行四边形知Q M=O F,据此列出关于，”的方程，解之可得；(3)易知N O D B=N Q M B,故分N Q O B=N M B Q=9 0,利用QOBSMBQ 得DO =M B =1；再证得以1=坦，即工=吃-,解之即可得O B B Q 2 B Q P Q 2 1 2 3 5此时机的值；/B QM=9 0,此时点。与点A重合，ABODSBQ M,易得点Q坐标.1 _【解答】(1)将点A(-1,0)和 点C(0,2)代入y=x 2+b x+c中，得，3 f+c=0.2c=2解得 0),Q C m,-m2+m+2)、M(z n,m-
43、2),2 2 2则 Q M=-m+m+2-(m -2)-m+m+4,2 2 2 2,：F(0,S),D(0,-2),27：.DF=,2：QM/DF,.当-家+皂 时，四边形。例 尸是平行四边形,解得：，*=1-&(舍去)或2=1+五，即当，=1+&时，四边形Q M Q F是平行四边形；(3)存在，理由如下:如图所示：,:QM DF,：./O D B=/Q M B,分以下两种情况：当/D O B=/M 3Q=90 时，/X D O B s 丛M BQ,则 坨=胆=2=上，、O B B Q 4 2NM3Q=90,/M8P+NP8Q=90,；N M PB=N BPQ=90 ,A Z M BP+Z B
44、M P=90 ,:/B M P=/P B Q,：.X M BQsf BPQ,.B M _ B P 即工=4-m.而 一 丽，万一玲m+2解得：7721=3、7 H 2 =4,当机=4 时，点 P、Q、M 均与点B 重合，不能构成三角形，舍去，二机=3,点。的坐标为（3,2）；当NBQM=90时，此时点Q 与点A 重合，A B O D s 丛B Q M,此时m-1,点 Q的坐标为（-1,0）；综上，点。的坐标为（3,2）或（-1,0）时，以点8、Q、M 为顶点的三角形与8 0。相似.1 4.如图，直线y=3x+c,与x 轴交于点8（4,0）,与 y 轴交于点C,抛物线y=/+6 x+c4 4经过
45、点B,C,与 x 轴的另一个交点为点A.（1）求抛物线的解析式；（2）点尸是直线8C下方的抛物线上一动点，求四边形ACP8的面积最大时点P的坐标;(3)若点M是抛物线上一点，请直接写出使N M B C=L/A B C的点M的坐标.2X2+X-3,将点3坐标代入上式，即可求解;故抛物线的表达式为：y=3-4S四边形AC=SzsABC+SC3，.SAABC是常数，故四边形面积最大，只需要SMCB最大即可，S CB=LXO B X P H,即可求解;2(3)求出点K(4,-逆)，点K是点GH的中点，则点H(2,-丝)，即可求解.5 15 5 15【解答】解：(1)将点8坐标代入y=-x+c并解得：c
46、=-3,故抛物线的表达式为：y=3/+6 x-3,将点B坐标代入上式并解得：b=-9,4故抛物线的表达式为：丫=2/-l x-3 ;4 4(2)过点尸作P”了轴交B C于点”，S 四边形 4CPB=SzABC+S尸CB,A 8C是常数，故四边形面积最大，只需要S#C 8最大即可,SA/CB=X OB X PH=-X 4（旦X-3-旦/+当+3）=-3/+6 x,2 2 4 4 4 2.一旦0,SAPCB有最大值，此时，点 尸（2,-9）；2 2（3）过点B 作/ABC的角平分线交y 轴于点G,交 抛 物 线 于,设N M BC=/NA8C=2a,过点8 在 BC之下作角度数为a 的角，交抛物线
47、于点M,过点G 作 GKJ _BC交 BC于点K,延长GK交 8M 于点H,则 GB=BH,8 c 是 GH的中垂线，OB=4,O C=3,则 BC=5,设：O G=G K=m,则 C K=C B -H B=5-4=1,由勾股定理得：（3-，）2 in2+1,解得：匹，3贝 I OG=GK=匹，G”=2 O G=,点 G（0,-）,3 3 3在 RtZGCK 中，GK=OG=匡，GC=OC-OG=3-名=立，3 3 3则 cos Z C G K=丝=名，sinZ C G K=旦，GC 5 5则点K（9，-工2）,点 K 是点GH的中点，则点“（&,-至2）,5 5 5 15则直线8”的表达式为
48、：）,=a ix-丝，9 9同理直线BG的表达式为：A-3 3联立并整理得：277-135x+100=0,解得：x=至 或 4（舍去4）,27则点M（空,27翳;联立并解得：X=-9故点M (旦，-里)；9 27故点M(空，或(-5,-里).27 243 9 271 5.如 图1,抛物线与x轴交于点A (-b 0),B(3,0),与y轴交于点C(0,-3),抛物线顶点为。，连 接A C,BC,CD,B D,点P是x轴下方抛物线上的一个动点，作PMA-X轴于点M,设点M的横坐标为tn.(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;(2)试探究是否存在这样的点P,使得以P,M,B为顶点的三角形与B C。相似
49、？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由;(3)如图2,交线段B C于点Q,过点P作P E A C交x轴于点E,交线段8 c于点【分析】(1)函数的表达式为：y=a(x+1)(x-3)=a (？-2x-3),即可求解;(2)分A P M B s A B C D、两种情况分别求解即可；(3)设。尸为y,计算P Q=而 P Q m-3 -(/M2-2m-3)=-/W2+3?I,即可求解.【解答】解：(1)函数的表达式为：y=a(x+1)(x-3)=a(？-2x-3),即-3=-3,解得：a=9故函数的表达式为：y=？-2x-3,点D的坐标为(1,-4)；(2)由(1)知，点 8、。、。的坐
50、标分别为(3,0)、(0,-3)、(1,-4),则 B C=3五,C D=近,3。=技，则B C 是直角三角形，Z B C D=90 ,当时，则即：t a nZ.M PB=t a n ZD B C=,设点 M（?，0）,则点 P （?，m2-2 m-3）,t a n Z M P B=A,M P -m +2m+3 3解得：，=2或3 （舍去3）,故点 P（2,-3）；当 B M P sBC。时，同理可得：点P （-2,-1 1）；3 9故点尸的坐标为：（2,-3）或（-2,-）；3 9E M图2(3)设Q P为y,作尸于点H,OB=OC,.O C B=/O B C=4 5 则 FH=Q=昔 _）