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1、中考专题训练二 次 函 数 压 轴 题1.在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线丫=0?+-3交x轴负半轴于点4,交x轴正半轴于点B,交y轴于点C,O B=O C=O A.2(1)如 图1,求抛物线的解析式；(2)如图2,点。在抛物线上，且点。在第二象限，连接B O交y轴于点E,若t a n NE B A=,求点。的坐标；2(3)如图3,在(2)的条件下，点尸在抛物线上，且点P在第三象限，点尸在P B上，F C=F B,过点尸作x轴的垂线，点G为垂足，连接OG并延长交B F于点H,若N D H P=N C E B,求B P的长.2.如图，已知抛物线y u a f+S x+Z经 过8 (2,
2、0)、C(6,0)二点，与直线=2万+2交3于4、。两点，且点A为直线)，=争+2和抛物线与y轴的交点，点G为直线y=Zx+2与x轴的交点.3(1)求抛物线的解析式及点。的坐标；(2)点M是抛物线上位于直线A。下方上的一个动点，当点M运动到什么位置时M D 4的面积最大？最大值是多少？(3)在x轴上是否存在点P,使以A、P、。为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.备用图3 .已知：抛物线y=-，+法+“上有一点尸到直线CD的距离等于线段P。的长，求点尸的坐标；(H D设直线C。交x轴于点 过点B作x轴的垂线，交直线C D于 点F,将抛物线沿其对称轴
3、平移，使平移后的抛物线与线段E F 总有公共点.试 探 究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？6 .如图，已知抛物线y=o?+法+c的图象与x轴交于点A,8(点A在点B的右侧)，且与y轴交于点C,若OA=OC,一元二次方程一+反+仁二。的两根为1和3,点尸是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点尸作尸)y轴，交4 C于点D.(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当 尸是直角三角形时，求点尸的坐标；(3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点尸在抛物线上，问是否存在以A、P、E、尸为顶点的平行四边形？若存在，求点尸的坐标；若不存在，请说
4、明理由.7 .如图，抛物线y=-7+(a+l)x-a与x轴交于4,8两 点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C.已知 ABC的面积是6.(1)求。的值；(2)在a A B C内是否存在一点M,使得点M到点A、点B和点C的距离相等，若存在,请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图，P是抛物线上一点，Q为射线C A上一点，且P、Q两点均在第三象限内,Q、A是位于直线B P同侧的不同两点，若点尸到x轴的距离为d,QP B的面积为2 d,且N B 4 Q=N A Q 8,求点。的坐标.8 .如图，抛物线y=a+2x+c(a .(1)若抛物线的解析式为y=-2?+2 x+4,设其顶点为M,其
5、对称轴交A B于点N.求点M和点N的坐标；在抛物线的对称轴上找一点Q，使-BQI的值最大，请直接写出点Q的坐标；是否存在点P,使四边形M N P D为菱形？并说明理由；(2)当点P的横坐标为I时，是否存在这样的抛物线，使得以8、P、。为顶点的三角形与 AO B相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.1 0.抛物线=0?-4以+3。交x轴于点B、C两点，交y轴于点4,点。为抛物线的顶点，连接48、A C,已知 ABC的面积为3.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴右侧一点，点P的横坐标为i n,过 点P作P Q/AC交y轴于点Q,A Q的长度为d,求d与机的
6、函数关系式；(3)在(2)的条件下，当 d=4 时，作。轴于点N,点 G 为抛物线上一点，A G 交线 段 于 点 M,连接MN,若 4 M N 是以MN为底的等腰三角形，求点G 的坐标.1 1 .如图，在平面直角坐标系x O y 中，抛物线旷=27+生2与 x 轴交于4、8两点(点A3 3(2)如 图 1,连接A C,点。为线段A C下方抛物线上一动点，过点。作。E y 轴交线段 4 c于 E点，连接E0,记 AO C 的面积为S i,ZVI E。的面积为S 2,求 S i -S 2 的最大值及此时点D的坐标；(3)如 图 2,将抛物线沿射线C B方向平移湘个单位长度得到新抛物线，动 点 N
7、在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y 轴的交点，当 AM N 为以A M为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标.1 2 .如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线了=/+灰+。的顶点是A(2,3),将。4绕 点。顺时针旋转9 0 后得到O B,点 8 恰好在抛物线上，08 与抛物线的对称轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，P是线段AC上一动点，且不与点A,C重合，过点P作平行于x 轴的直线，与 OA B 的边分别交于M,N两点，将 4 W N 以 直 线 为 对 称 轴 翻 折，得到MN,设点尸的纵坐标为葭当M N在 0 A 8的内部时，求?的取值范围；(3)在(2)
8、的条件下，是否存在点尸，使SAA，M/V=2 3SAO4 B,若存在，求出满足条151 3 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+x+c与x轴交于8,C两点(C在8的左侧)，与)，轴交于点A,已知A (0,-4),OA=2。&(1)求抛物线的表达式；(2)若点Q是线段A C下方抛物线上一点，过点Q作Q Q垂直A C交A C于点 ,求。Q的最大值及此时点Q的坐标；(3)点、E是线段A B上一点，且 SAOESMOC；将抛物线y=j?+bx+c沿射线AB4 2的方向平移，当抛物线恰好经过点E时，停止运动，己知点M是平移后抛物线对称轴上的动点，N是平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以点4,
9、B,M,N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来.1 4 .如图，抛物线y=a?+b x过点A (4,0)、8(1,3)两点，点C、8关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线轴，交x轴于点4.(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出点C的坐标，并求出 A B C的面积；(3)点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当 A B P的面积为6时，求出点P的坐标；(4)已知点M在直线8 H上运动，点N在x轴上运动，若 C MN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时 C MN的面积.1 5 .如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-返 /-2叵与x轴交于A、8两点3
10、 3与y轴交于点C.(1)求A、C两点的坐标;(2)连接A C,点尸为直线A C上方抛物线上(不与A、C重合)的一动点，过点尸作P O L A C交A C于点Q,P E Lx轴交A C于点E,求P D+D E的最大值及此时点P的坐标;(3)如图2,将原抛物线沿射线C B方向平移3 f个单位得到新抛物线九点M为新抛物线y对称轴上一点，在新抛物线y上是否存在一点N,使以点C、A、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由.1 6 .已知抛物线y=-3，+6 x+c与x轴交于A、8两点，与 轴交于C点，且点A的坐标4为(-1
11、,0),点C的坐标为(0,3).(1)求该抛物线的函数表达式，及顶点坐标；(2)如 图1,有两动点力、E在 C 0 8的边上运动，速度均为每秒I个单位长度，它们分别从点C和 点B同时出发，点D沿折线C O B按C O-B方向向终点B运动，点E沿线段B C按8-C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动时间为f秒，请解答下列问题：当，=时，B Q E的面积等于患；在点。、E运动过程中，该抛物线上存在点F,使得依次连接A。、D F、FE、得到的四边形4 OFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点尸的坐标.1 7 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+6 x
12、+3(a#0)与x轴交于点A(-百，0),点8(3禽，0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)点P为直线B C上方抛物线上的一点，过点P作P Oy轴，交B C于点。，点E在直线2 c上，且四边形P E D尸为矩形，求矩形P E D F周长的最大值以及此时点尸的坐标；(3)在(2)问的条件下，将抛物线沿射线E P方向平移2 a个单位长度得到新抛物线，。为平面内一点，将 A OC绕 点。顺时针方向旋转9 0 后得到 4 O C,若4 0,。的两个顶点恰好落在新抛物线上时，直接写出此时点。的坐标，并把求其中一个点。的坐1 8.如图，已知抛物线y=7-2 x-8与x轴相交于点A,8(点8
13、在点A的右侧)，与y轴相交于点C,其顶点为点。，连接A C,BC.(1)求点A,B,。的坐标；(2)设抛物线的对称轴O E交线段8 c于 点E,P为第四象限内抛物线上一点，过 点P作x轴的垂线，交线段B C于点F.若四边形Q E FP为平行四边形，求点P的坐标；(3)设点M是 线 段 上 的 一 个 动 点，过点”作跖7 4 8,交A C于点M点。从点3出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段8 A向点A运动，运动时间为秒，直接写出当f为何值时，。仞V为等腰直角三角形.19.如图，在平面直角坐标系中，NACB=90,OC=2O8,A C=2B C,点8的坐标为(1,0),抛物线y=-f+fec+c
14、经过A,8两点.(1)求抛物线的函数解析式.(2)尸是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作轴于点。，交线段AB于点E,使PE最大.求点P的坐标和PE的最大值.在 直 线 上 是 否 存 在 点M,使点M在以A8为直径的圆上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.20.如图，二次函数)，=0?+法-2的图象与x轴交于点4(-4,0)和点8(1,0),与y轴交于点C,点P(m,n)在第三象限内的二次函数图象上运动.(1)求二次函数的解析式；(2)如 图1,设四边形BAPC的面积为5,试求S的最大值并求出此时点P坐标；(3)如图2,点Q在二次函数图象上，且位于直线AC的下方，过 点。作Q M
15、 LA C,垂足为点M,连接C。，若CM。与AOC相似，求 点。的坐标.参考答案与试题解析1.在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线y=o?+b x-3交x轴负半轴于点4,交x轴正半轴于点B,交y轴于点C,OB=OC=OA.2(1)如 图1,求抛物线的解析式；(2)如图2,点。在抛物线上，且点。在第二象限，连接B O交y轴于点E,若t a n NE B A=,求点。的坐标；2(3)如图3,在(2)的条件下，点尸在抛物线上，且点P在第三象限，点尸在P B上，F C=F B,过点尸作x轴的垂线，点G为垂足，连接OG并延长交B F于点H,若N D H P=N C E B,求B P的长.【分析】(
16、1)利用二次函数图象上点的坐标可求出点C的坐标，进而可得出0C的长，结合。8=。=3。4,可求出O B,0 A的长，进而可得出点A,B的坐标，再利用待定2系数法即可求出二次函数解析式；(2)过点。作x轴的垂线，点M为垂足，设点。的横坐标为构建方程求解即可.(3)连接O F,过点尸作y轴的垂线，点7为垂足，取。例 的中点M连接D N,过点G作。N的垂线交。N的延长线于点K,依次证明O F B丝O F C (SSS)、四边形0 7F G为正方形、/0 E B m 4 M N D (S AS)：设 O G=GF=z,B G=3 -m,N G=3+m,由 ta n2N N D G=t a n N G
17、B F,得关于根的等式，解得加的值；设点P的横坐标为，则点尸的纵坐标为Lr/-上 门-3,在R tZ P W B中，由ta n/P B W=F上=，得关于”的方程，解2 2 BW 2得的值；最后在R tZX P W B中，根据8尸2=尸 卬2+8卬2,求得BP的长即可.【解答】解：(1)二次函数-3,.当 x=0 时，y=3,C(0,-3),，O C=3,：O B=O C=3OA,O B=3,O A=2,2：.B(3,0),A (-2,0),.(9a+3b-3=0I4a_2b_3=0(_1_a 7解得,1 2 i抛 物 线 的 解 析 式 为 尸?-yX-3-（2）过 点。作x轴的垂线，点M为
18、垂足，设 点D的横坐标为t,则 点D的纵坐标为T1 2 1 39，.点 在第二象限，._ 1 2 1：0M=-3 0B=3,:MB=-r+3,在 R tZ M B 中，tanZDBA=,M B：tan/EBA=，21 2 1:2DM=MB,2(t-3)=-f+3,解得九=3 (舍 去)，12=-3,，点力的纵坐标为(-3)2-y X(-3)-3=3,图2(3)连 接OR：OB=OC,FB=FC,OF=OFf:OFB义LOFC CSSS),：,/COF=ZBOF；过点尸作y轴的垂线，点7为垂足，VFG1OB,:FT=FG,V ZBOT=ZOTF=ZFGO=90,四边形。次6为矩形；,:FT=FG
19、,，四边形O7FG为正方形；取OM的中点N,连 接QM 过 点G作。N的垂线交ON的延长线于点R,在Rt。口 中，tanN E30=毁=，0 B 20 E=3；2：OM=3,:.MN=3,2 MN=OE；,：DM=OB=3；DM N=/EOB=9U,：/OEB咨AMND(SA S),:/DNM=/OEB,.：/DHP=/CEB,：.4DNM=/DHP,；NDNM=NDGN+NNDG,NDHP=NHGB+/GBF,NDGN=/HGB,：.ZNDG=ZGBF；在 RtZXOEB 中，OE=与，BO=3,BE1=OB2+OE1,在 RtZWM 中，tanNWM=辿=2,/DNM=4GNR,M N在
20、R tZX GN R 中，ta nZG/?=2,NR：.RG=2RN；在 R tA G M?中，NR2+R G2=NG2,:.NR=&NG,5 四边形O 7 F G 为正方形,二设 O G=G F=m,BG=3-m,NG+m,2N R=(2+z),R G=(+/n),5 25 2:/NDG=/GBF,ta n Z NDG=ta n Z GBF,在 R t A O G R 中 t a n/R D G=,DR在 R tZX GB F 中 ta n/GB F=里,B G275Vm抽)3-m 解得m=-3（舍去）,机 2=1；A ta n2过点P作 x 轴的垂线,点 W为垂足,设点P的横坐标为n,1
21、2 1则点尸的纵坐标为会 口-3,点尸在第三象限,.P W=-1 2 1n+n+3,在 R tZ P W 8 中，t an/P3W=n=2BW 2：.2PW=BWfV 0W=-n.：.BW=-+3,.1 2 1:2(-n+5口+3)=-n+3,解得m=3（舍去），2=-1：.BW=4,PW=2.在 中，BP1=PW1+BW1,:.BP=2 娓.图32.如图，已知抛物线丫=/+以+2经 过B (2,0)、C(6,0)二点，与直线y=x+2交于A、两点，且点A为直线y=Zx+2和抛物线 =以2+公+2与 轴的交点，点G为直3线yx+2与x轴的交点.3(1)求抛物线的解析式及点。的坐标；(2)点M是
22、抛物线上位于直线A Q下方上的一个动点，当点M运动到什么位置时M D4的面积最大？最大值是多少？(3)在x轴上是否存在点P,使以A、P、。为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.备用图【分析】(1)由待定系数法可求出抛物线解析，联立直线和抛物线解析式可得出点。的坐标；(2)如 图1,过点M作y轴的平行线交线段4。于点M 设点N坐标为N(x,马+2),3设M坐标为可求出%)的面积，由二次函数的性质可得出答6 3案;(3)分三种情况：当点P为直角顶点时，当点A为直角顶点时，当点。为直角顶点时，由直角三角形的性质及相似三角形的性质可得出答案.【解答】解：(
23、1):抛物线经过B (2,0)、C(6,0)两点，J4 a+2b+2=0 ,l 3 6 a+6 b+2=of 1a下解相，.抛物线的解析式=7-&x+2,6 3.抛物线 产2 7 -AX+2与直线y=2c+2交于A、D 两点,6 3 3 2中+2y 71-x2 f4x+c26 3用 牛1寸4 ，丫1=2 y2=10：.D(12,10)；(2)如 图1,过点M作y轴的平行线交线段A。于点M设点N坐标为N(x,x+2),设M坐标为M (x,x2-.r+2),3 6 3.yNM=x+2-(x2-x+2),3 6 3=-/+2x=-(x-6)2+6,6 6.S=X12X(-A (x-6)2+6)-2
24、6-l.（1）如 图1,求抛物线的解析式；（2）如图2,点P是第一象限内抛物线上一点，连接A P交y轴于点F,设点尸的横坐标为f,DF长为d,求4与f的函数关系式（不要求写出自变量f的取值范围）；（3）如图3,在（2）的条件下，连接B C,点G为 延 长 线 上 一点，连 接O G,过点O作0K1.0G交BC于点、K,连 接P K交x轴于点“，连 接E ，若O G=2O K,NPHB=/E H 4时，求d的值.图1图 2图 3【分析】(1)根据已知，可确定点E 和点8 的坐标，然后将两点坐标代入抛物线的解析式即可确定出尻c 的值，得出结论；(2)先确定点A 的坐标，设出点P 的坐标.过点P 作
25、 轴 于 点 然 后 根 据 相 似三角形的判定与性质列出方程，求解即可得到问题的答案；(3)过点K 作 K R LO B,过点B 作 BNL8E交。K 延长线于点N,然后根据相似三角形的判定与性质得到OG=ON=2OK,设 出 K 点坐标，最后由三角函数关系求得答案.【解答】解：(1)过点8 的直线y=-x+6交抛物线于点E,点 E 的横坐标为1,，y=-1+6=5,：.E(1,5)，B(6,0),.点8,E 均在抛物线y=-x2+bx+c上,1 25二 方 x r+b+c1 20=-X 6+6b+c(2)由题意知，且 A 在抛物线上，且在x 轴上,A(-1,0),在抛物线上且横坐标为f,设
26、 P(f,-上 d+5 什3),过点2 作 加 工、轴于点M,2 2tan/B4M=里1A Mt+3 1-二(7-6),t+1 2 MNOFs XPM,.P M OF A M 0AA 0F=-A/+3,2，0 D=6,由题意知，DF=d,DF+FO=OD,：.d=6-(-工+3),d=L+3.2 2OGOK,:.ND0B=4G0N,ZDOB+ZDON=ZDON+ZBON,即 NOOG=/BON,?OB=OD,；.NBDO=NOBD=45,.NGOO=NOBN=1 35,:.GDOSXOBN,：OG=WK,OG=ON,：.0G=0N=20K,:B(6,0),C(0,3),；.BC解析式为：y=-
27、工x+3,-2设点K(3-X+3)过点N作NSL c轴于S,2lKOR 与N OS 相似，KR/NS,.K R O R 1-=-,S N O S 2*OS=2m,BS=2m-6,NS=2KR=6-m,N08N=135,A ZNBS=45,：.B S=N S,即 2m-6=6-/7 7 =4,：.K(4,1),延长EH交 PM延长线于点T,过点E 作 EQLPM于点Q,：.Z P H B=Z E H A,HMA.PT,：.HP=HT,：.P M=M T=-JL+S/+3,2 2EQ=xp-XE,EQ=t-1,Q T=y Q+M T=-#+_1f+8,过点 K 作 KLA.PM,KL=t-4,P
28、L=-上产+皂什2,2 2tan Z T P H=tan N 7=萼=:-QT PL 1 2 5 门 1 2 5 门方t至t+8 at友t+2：.?-f-20=0,=5,眨=4(舍 去)，4.已知抛物线 y=(?+1)7+(Az n-2)x-3.2(1)无 论 用 取何值，抛物线必过第三象限一个定点，则该定点的坐标为(-工，-2工)；(不影响后两问解答)4-(2)当机=0 时，不与坐标轴平行的直线/I与抛物线有且只有一个交点P(2,a),求直线/1的解析式；(3)在(2)的条件下，直线丫=日+匕交抛物线于例，N 两 点(M 在 N 的右侧)，PQ/y 轴交MN于点Q,若M Q=N Q,求 的值
29、.图1图2【分析】(1)提取公因数m可得出y=/w (J?+x)+x2-2x-3,进而可得出当x+x2 20,即x=0或 =-工 时，y值与机无关，代入x=0,x=可求出定点的坐标，取其2 2第三象限的点的坐标即可得出结论；(2)利用点的坐标特征可得出点P的坐标，设直线/1的解析式为y=m r+(加会0),利用一次函数图象上点的坐标特征可得出=-2?-3,即直线/I的解析式为y=n z x-2m-3,将y=m-2机-3代入)，=/-2%-3整理后可得出关于的一元二次方程，由直线A与抛物线有且只有一个交点可得出=(),解之可得出”的值，再将其代入y=，n x-2%-3中即可得出结论；(3)过点。
30、作直线/x轴，过点M作M E,直线/于点E,过点N作 直 线/于 点F,则 M E Q g z N F。(A 4S),利用全等三角形的性质可得出QE=QF,进而可得出XM+XN=2XP=4,将)=自+6代入代入y=7 -2%-3整理后可得出关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系可得出X“+XN=&+2,进而可得出 2=4,解之即可得出结论.【解答】解：(1)*.*y=(m+1)x2+(/n -2)x-3=m(+x)+X2-2x-3,2 2.,.当/+工尢=0,即x=0或 犬=-工 时，y值与机无关.2 2当x=0时，y-3；当x=-2时，y=-工，2 4,该定点的坐标为(-工，-)；2 4(
31、2)当，*=0 时，yJ t2-2x-3.点P(2,a)为抛物线y=-2 x-3上的点，:.a=*-2X 2-3=-3,二点P的坐标为(2,-3).设 直 线/1的 解 析 式 为y=/nx+，7 (加#0),点 尸(2,-3)为 直 线/I上 的 点，2m+n=-3,=-2m-3,直 线1 的 解 析 式 为y=m x-2 m-3.将 y=)wc-2 m-3 代 入 y=7 -2x-3,得：x2-2x-3=m x-2m-3,整 理，得：x2-(2+?)x+2m=0.直 线/1与 抛 物 线 有 且 只 有 一 个 交 点，=-(2+m)产-4X1 X2?=。，解 得：加1=旭2=2,，直 线
32、/1的 解 析 式 为y=2x-7.(3)在 图2中，过 点。作 直 线/x轴，过 点M作MEJ_直 线/于 点E,过点N作N F L直 线/于 点R在a ME。和 Nf Q中，NMEQ=NNFQ=900）,当 x=-8 时，y-1 2+m,当 x=4 时，ym,-7 2+加W O 或，W 12,.0 V,*W 7 2；当抛物线向下平移，设平移后解析式为y=-/+2r+8-优（机 0）,联立方程组可得：，kx+2x+8-m,y=x+8A.r2-x+m=0,=1 -4/心0,44.抛物线向上最多可平移7 2个单位长度，向下最多可平移上个单位长度.46.如图，已知抛物线），=以2+或+0的图象与x
33、轴交于点A,8（点4在点B的右侧），且与y轴交于点C,若0 4 =0 C,一元二次方程a +bx+c=Q的两根为1和3,点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与4不重合），过点P作PO），轴，交A C于点D.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当 A OP是直角三角形时，求点尸的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点尸在抛物线上，问是否存在以A、P、E、尸为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(I)先求出点C坐标，代入解析式可求解；(2)分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解；(3)分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解.【
34、解答】解：(1)；一元二次方程以2+bx+c=0的两根为1和3,：.0A=0C=3,OB=,.点 C(0,3),设二次函数的表达式y=a(x-1)(x-3),：.a(0-1)(0-3)=3,(x -1)(x -3),抛物线解析式为：y=/-4 x+3；(2)分两种情况:如图1,当点Pi为直角顶点时，点Pi与点B重合，则Pi(1,0),图1如图2,当点A为A PZ)2的直角顶点,：.Z OAD2=45a,当 N D 2A p 2=9 0 时，N OA P2=4 5 ,；.A。平分/M P2.又：尸 2。2轴，：.P 2D2-LAO,.点P2,0 2关于X轴对称，设直线AC的函数关系式为y=kx+
35、b.由题意得：倍+b=0,lb=3.fk=-l lb=3 二直线A C的解析式为：尸-H 3,.)2 在 y=-x+3 上，P2 在 y=7-4 x+3 上，设 2(%,-x+3),P i(x,x2-4 x+3),(-x+3)+(/-4JV+3)=0,.*.x2-5 x+6=0,A x i=2,X2=3(舍)，当 x=2 时，y=7 -4 x+3=22-4 X 2+3=-1,尸 2的坐标为尸2(2,-1),综上所得尸点坐标为Pi(1,0),P i(2,-1)；(3)分两种情况考虑：以AP 为边构造平行四边形，平移直线AP 交 x轴 于 点 交 抛 物 线 于 点 区y.X图3 ,点P 的坐标为
36、（2,-1）,二设点尸的坐标为（x,1）,.X2,-4 x+3=l,解得：x=2-A/2-X2=2+A/2点尸的坐标为（2-&,1）和（2+&,1）；以A P为对角线进行构造平行四边形，;点 A,E的纵坐标为0,.点尸的纵坐标为-1,此时点P,F重合，不存在这种情况，舍去.综上所述，符合条件的尸点有两个，即（2-&，1）和（2+&，1）.7.如图，抛物线y=-，+（a+l）x-q 与 x轴交于4,B两 点（点 A位于点B的左侧），与 y 轴交于点C.已知 A B C 的面积是6.（2）在 A B C 内是否存在一点M,使得点M到点A、点B和点C的距离相等，若存在,请求出点M 的坐标；若不存在，
37、请说明理由；（3）如图，P 是抛物线上一点，Q 为射线C A 上一点，且 P、Q 两点均在第三象限内,。、A是位于直线BP 同侧的不同两点，若点尸到x 轴的距离为d,QPB 的面积为2d,且N%Q=/AQ 8,求点。的坐标.【分析】(1)由 y=/+(a+1 x-a,令 y=0,即-/+(a+1)x-a=0,可求出 A、B坐标结合三角形的面积，解出a=-3；(2)三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，求出两边垂直平分线，解交点可求出；(3)作 P M L x 轴，则 S BAP=A B-P M=X 4 d,由 SMQB=S 以 B 可得 A、Q 到 P B2 2的距离相等，得至IJA0 P
38、B,求出直线P B的解析式，以抛物线解析式联立得出点尸坐标,由于P BQ空 A 8 P,可得PQ=A 8=4,利用两点间距离公式，解出加值.【解答】解：(1)：y=-，+(a+1)x-q令 y=0,即-7+(+1)x-。=0解得X 2=l由图象知：a=-X,解得：y=l.ABC外接圆圆心的坐标(-1,1),当点M(-1,1)时，点 M到点A、点 3 和点C 的距离相等，(3)如图，作 M_ L x轴交x 轴于M,则 S zsB4P=1 A8P M=1-X 4d2 2:S&PQB=S4PAB A、。到尸8 的距离相等，J.AQ/P B设直线P8解析式为：y=x+b.直线经过点B (1,0)所以：
39、直线尸8的解析式为y=x-1，2联 立 y=-x -2 X+3.y=x-l解得：卜=Y.l y=-5.点尸坐标为(-4,-5)又；N Q=N A Q B,：.ZBPA=ZPBQ,：.AP=QB,在 P BQ 与4 8 以 中，Q B=APM=-/+2 x+3 -(-x+3)=2,即可求解；3(3)分点尸在x轴上方、点尸在x轴下方两种情况，分别求解即可.【解答】解：(1)c=3,点B(3,0),将点B的坐标代入抛物线表达式：y a x2+2x+3并解得：。=-1,故抛物线的表达式为：y=-f+2 x+3；(2)如 图1,过点。作。轴于点H,交C 8于点SACO F：5ACDF=3：2,则 OF：
40、F D=3：2,：D H/C O,故 CO：D M=3：2,则 Q M=2c O=2,3由 8、C 的坐标得：直线BC的表达式为：y=-x+3,设点。(x,-7+2x+3),则点 M(x,-x+3),D M=-/+2x+3-(-x+3)=2,解得：x=l或 2,故点。(L 4)或(2,3)；（3）当点尸在x 轴上方时，取 OG=OE,连接8 G,过点B 作直线P B交抛物线于点P,交y 轴 于 点 使 NGBM=Z GBO,则 NO8P=2NO8E,过点 G 作 G H L B M,设 M”=x,则 MG=则OBM 中，OB2+OM2=MB2,即(J 2 号+/)2+9(x+3)2,解 得:x
41、2,故 则点 M(0,4),将点B、M的坐标代入一次函数表达式并解得:直线B M的表达式为：y=-&x+4,3联立并解得：x=3（舍去）或工，3故点P （工，）；3 9当点P在 X 轴下方时，同理可得：点 尸（-工，-9）；3 9综上，点P的 坐 标（上，丝）或（-工，-M）.3 9 3 99.如图，已知直线y=-2 x+4分别交X轴、y轴于点A、B,抛物线过4,8两点，点P是线段A B上一动点，过点P作 尸 轴 于 点C,交抛物线于点.（1）若抛物线的解析式为y=-2?+2 r+4,设其顶点为M,其对称轴交A B于点M求点M和点N的坐标；在抛物线的对称轴上找一点Q，使I AQ-BQ I的值最
42、大，请直接写出点。的坐标；是否存在点尸，使四边形MN P。为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、。为顶点的三角形与 AO B相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.【分析】（1）函数的对称轴为：x=-旦=工，故点”（1,9）,即可求解；2a 2 2 2设抛物线与x轴左侧的交点为R （-1,0）,则点A与R关于抛物线的对称轴对称,连接R 8并延长交抛物线的对称轴于点。，则点。为所求，即可求解；四边形MN P力为菱形，首先PD=MN,即（-2 7+2 x+4）-（-2 x+4）=W，解得:2或3 （舍去工），故点尸（S,1）,
43、而PN=7 1+4=代不代,即可求解；2 2 2 2（2）分N O B P为直角、N B D P为直角两种情况，分别求解即可.【解答】解：（1）函数的对称轴为：x=-旦=工，故点M（1,9）,2a 2 2 2当=时，y-2x+4=3,故点N （工，3）；2 2设抛物线与x轴左侧的交点为R （-1,0）,则点A与R关于抛物线的对称轴对称,连接R B并延长交抛物线的对称轴于点Q,则点Q为所求，Q将 艮B的坐标代入一次函数表达式：），=履+8并解得:直线R 8的表达式为：y=4 x+4,当彳=时，y=6,2故点Q（3，6）；不存在，理由：设点 P （x,-2 x+4）,则点。（x,-2?+2 r+4
44、）,即（-2/+2 x+4）-（-2 x+4）=,解得：x=工或3（舍去_ 1）,2 2 2 2故点（弓，1）,而 P N=K =d W M N,故不存在点P,使四边形MN P力为菱形；（2）当点P的横坐标为1时，则其坐标为：（1,2）,此时点A、3的坐标分别为：（2,0)、(0,4),则N B A O=N B ）P=a,t a n N 2 AO=2=t a n a,则 s i n a=0 A 5P A=PB=AB-PA=2疾-近=疾,则 P ）=_BP_ _ =,故 点。（i,2）；s i n C l 2 2 当 尸 为 直 角 时，以 从 尸、。为顶点的三角形与 AO B相似，则B/）x轴
45、，则点B、。关于抛物线的对称轴对称，故点。（1,4）,综上，点。的坐标为：（1,4）或（1,9）,2将点A、B、。的坐标代入抛物线表达式：y=a i 2+b x+c并解得：尸+4或 产-罗+3 X+4.1 0.抛物线），=苏-4处+3 a交x轴于点8、C两点，交y轴于点4,点力为抛物线的顶点，连接AB、A C,已知 ABC的面积为3.（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴右侧一点，点P的横坐标为?，过 点P作P Q AC交y轴于点Q,4Q的长度为d,求d与，”的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当4=4时，作O N J_），轴于点M点G为抛物线上一点，A G交线段P。于点M,连接M
46、 N,若 AMN是以M N为底的等腰三角形，求点G的坐标.【分析】(1)=/-4办+3。交x轴于点B、C两点，交y轴于点A,则点8、C的坐标分别为：(1,0)、(3,0),点 A(0,3 a),ABC 的面积=ABX 0 4=J-x 2 X 3。2 2=3,即可求解；(2)P 0平行线于A C直线，其表达式设为：y=-x+6,设点P(办/n2-4/n+3)(/n 2),将点P的坐标代入上式，即可求解；(3)d=4时，点P (4,3),设点G (小M2-4/?+3),直线P Q的函数表达式为：y=2 x-5，直线A G的函数表达式为：y=(-4)x+3，联立并解得：户上6-n故点 M 垄-5),
47、A N=A M,即 1 6=(“)2+(二 且-8)2,即可求解.6-n 6-n 6-n 6-n【解答】解：(1)-4 a x+3”交x轴于点8、C两点，交y轴于点A,则点8、C的坐标分别为：(1,0)、(3,0),点A(0,3 a),A8 C 的面积=工4 3*。4=工 X 2 X 3 a=3,解得：a ,2 2故抛物线的表达式为：y=，-4 x+3；(2)点 A(0,3),点 C (3,0),D(2,-1),则P Q平行线于A C直线，其表达式设为：y-x+b,设点 P Cm,w2-4m+3)(/n 2),将 点P的坐标代入上式并解得：b=m1-3m+3,贝(4=4。=加2 -3创(n z
48、 2)；(3)当 3=4 时,|m2-3 m|=4,解得：w=4或-1(舍 去-1),故点P(4,3),设点 G (，2-4+3),点O (2,-1),则点 N(0,-1)同理可得：直线尸。的函数表达式为：y=2r-5，直线4G的函数表达式为：y=(-4)x+3，联立并解得：x=旦，故点M(旦，旦-5),6n 6-n 6-n点 A(0,3)、点 N (0,-1),A N=A M,即 1 6=(-)2+-8)2,6-n 6-n解得：=或4,3故点 G (,-)或(4,3).3 91 1.如图，在平面直角坐标系X。)，中，抛物线y=2/+&-2与X轴交于A、B两点(点A3 3(2)如 图1,连接A
49、 C,点 )为线段4 c下方抛物线上一动点，过点力作。E 轴交线段4 c于E点，连接E。，记 AO C的面积为S i,AE。的面积为S 2,求S -S 2的最大值及此时点。的坐标；(3)如 图2,将抛物线沿射线C B方向平移!注 个单位长度得到新抛物线，动 点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当 A M N为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标.【分析】(1)令y=0,即可求A点坐标；(2)延 长DE交x轴 于 点K,求 出 直 线A C的 函 数 表 达 式 为y=9 x-2，设D(t,t2-t t-2)-其中则 E(t,上 t-2)，K Q t,0)，即可求 S
50、i-3 3 3S2=-P-3LL3=-P-4-3=-(r+2)2+l,当 z=-2 时，Si-S2取得最大值，最大值为1,此时点。的坐标为(-2,-2)；(3)由题意可求抛物线向右平移旦个单位长度，向上平移3个单位长度，则平移后的抛2物线解析式为y=2 (x-1)2+1,可求M(0,工)，设N (-1,)，分两种情况3 2 3 2当 A M=A N 时，9+4+n2,得到 N(-l,或 N(-l,-；当 A M=4 2 2M N 时，9+工=1+(工-)2,得到 N (-1,J 3 3 _)或 N (-1,.4 2 2 2【解答】解：(1)；抛物线仔x-2,与x轴交于A、B两点，令y=0,得2