《2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第十章统计与统计案例第三节变量的相关性与一元线性回归模型列联表与独立性检验.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第十章统计与统计案例第三节变量的相关性与一元线性回归模型列联表与独立性检验.pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第三节 变量的相关性与一元线性回归模型列联表与独立性检验【考试要求】1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.3.了解独立性检验(只要求2X 2列联表)的基本思想、方法及其简单应用.4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.【高考考情】考点考法：高考命题常以选择、填空题的形式考查求线性回归系数以及利用线性回归方程进行预测，在解答题中单独考查或与概率及其分布结合探究线性回归方程以及独立性检验.核心素养：数学建模、数学运算、数据分析O 知谓梳理=r O【归纳知识必备】1.变量的相关关系(1
2、)相关关系：两个变量有差系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系.(2)相关关系的分类：正相关和负相关.正相关：当一个变量增加时，另一个变量的相应值也呈增加趋势,称这两个变量正相关；负相关：当一个变量增加时，另一个变量的相应值也呈减少趋势,称这两个变量正相关.(3)线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近,称这两个变量线性相关.,注 解 1 相关关系与函数关系不同，函数关系中的两个变量间是一种定性关系，相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是随机变量与随机变量之间的关系.2.样本相关系数样本相关系数:当 r 0时，成对样本数
3、据正相关;当 Z0 时，成对样本数据负相关.当周越接近1 时，成对样本数据的线性相关程度越强；当心越接近0 时，成对样本数据的线性相关程度越弱.3.一元线性回归模型（I）我们将y =bx+#称为r 关于X的经验回归方程，其中R _ _X（X L x）（y-y）%=-，10.8 2 8 =m,，所以 吸烟与患肺癌有关系”，并且这个结论犯错误的概率不超过0.0 0 1B.由于随机变量/10.8 2 8,所以“吸烟与患肺癌有关系”，并且这个结论犯错误的概率不低于0.0 0 1C.由于随机变量炉10.8 2 8,所以“吸烟与患肺癌没有关系”，并且这个结论犯错误的概率不超过0.0 0 1D.由 于 随
4、机 变 量 10.8 2 8,所以“吸烟与患肺癌没有关系”，并且这个结论犯错误的概率不低于0.0 0 1【解析】选 A.由题意知，通过对列联表的数据进行处理，计算得到随机变量/-5 6.63 2 10.8 2 8=A b,o o i,所以在犯错误的概率不超过0.0 0 1的前提下，认 为“吸烟与患肺癌有关系”.慧 考四基自测3.基础知识4.基本方法5.基本应用6.基本能力3.（两个分类变量相关性的组定）为了判定两个分类变量乃和y 是否有关系，应用力独立性检验法算得力的观测值为5,又已知。（/2 3.8 4 1）=0.0 5,尸（炉2 6.63 5）=0.0 1,则下列说法正确的是（）A.在犯错
5、误的概率不超过0.0 1的前提下认为“1 和 V 有关系”B.在犯错误的概率不超过0.0 1的前提下认为“才和卜没有关系”C.在犯错误的概率不超过0.0 5 的前提下认为“乃和Y 有关系”D.在犯错误的概率不超过0.0 5 的前提下认为“X 和 V 没有关系”【解析】选 C.因为犬=5,根据临界值表知P（犬2 3.8 4 1）=0.0 5,尸（-2 6.6 3 5）=0.0 1,故有9 5%以上的把握认为“才和N 有关系”.4.（回归方程的性质）（多选题）在统计中，由一组样本数据（苟，弘），（如 ，（黑，典）利用最小二乘法得到两个变量的经验回归方程为=+3 ,那么下列说法正确的是（）A.样本相
6、关系数r 不可能等于1B.经验回归直线y=b *+a,必经过点（x ,y）c.经验回归直线y=bx+2,表示最接近y 与 x 之间真实关系的一条直线D.样本相关系数为r,且旧越接近1,成对样本数据的线性相关程度越强；）越接近0,成对样本数据的线性相关程度越弱【解析】选 B C D.样本相关系数的取值范围是|r|W l,故 A错；经验回归直线y=bx+必过样本点中心即点（7,J）,故 B正确；经验回归直线y=bx+;，是采用最小二乘法求解出的直线方程，接近真实关系，故 C正确；样本相关系数r的绝对值越接近1,表示成对样本数据的线性相关程度越强，越接近0,成对样本数据的线性相关程度越弱，故D正确.
7、5.（回归直线过中心点）已知x,y 的取值如表，结合散点图可以看出y 与 x具有线性相关关答案：2.66.（回归直线的预测）某公司一种型号的产品近期销售情况如表月份X23456销售额y（万元）1 5.1 1 6.3 1 7.0 1 7.21 8.4根据上表可得到回归直线方程y=0.7 5 x+a,据此估计，该公司7 月份这种型号产品的销售额为（）A.1 9.5 万元B.1 9.2 5 万元C.1 9.1 5 万元 D.1 9.0 5 万元【解析】选 D.由题意可得：7=2+3+*+6 1 5.1 +1 6.3+1 7.0+1 7.2+1 8.4y-=1 6.8,回归方程过样本中心点，则 1 6
8、.8 =0.7 5 X 4+a,所以 a =1 3.8.回归方程为：y=0.7 5+1 3.8,估计该公司7 月份这种型号产品的销售额为:y=0.7 5 X 7+1 3.8 =1 9.0 5 （万元）.o _、h E探究.悟法培优,_ R7考点一成对数据的相关性自主练透1.（2 0 2 1 大同模拟）观察下列各图形,其中两个变量x，y 具有相关关系的图是（）A.B.C.D.【解析】选 C.由散点图知中的点都分布在一条直线附近.中的点都分布在一条曲线附近,所以中的两个变量具有相关关系.2.恩格尔系数（E nge l s C oe f f ic ie nt）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.
9、居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入.如图为我国201 3 年至201 9 年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图.恩格尔系数31.50%31.00%30.50%30.00%29.50%29.00%28.50%28.00%寸 料 我 耕 c*台及秤30 00025 00020 00015 00010 0005 000居民人均可支配收入给出三个结论：恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系;一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小.其中正确的是()A.B.C.D.【解析】
10、选 C.由折线图可知，恩格尔系数在逐年下降，居民人均可支配收入在逐年增加，故两者之间存在负相关关系，结论正确；恩格尔系数越小，居民人均可支配收入越多，经济越富裕，结论正确；家庭收入越少，人们为解决温饱问题，收入的大部分用来购买食品，结论错误.3.变量乃与 Y 相对应的一组数据为(1 0,1),(1 1.3,2),(1 1.8,3),(1 2.5,4),(1 3,5)；变量与，相对应的一组数据为(1 0,5),(1 1.3,4),(1 1.8,3),(1 2.5,2),(1 3,l).r,表示变量F 与乃之间的线性相关系数，4表示变量/与之间的线性相关系数，则()A.不 0 B.0 2 C.?2
11、 0 0；对于变量/与而言，随的增大而减小，故，与负相关，即r 2V o.4.甲、乙、丙、丁四位同学各自对4 6两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和勿如表：甲乙丙Tr0.8 20.7 8 0.6 9 0.8 5m1 061 1 51 241 03则哪位同学的试验结果体现A,8 两变量有更强的线性相关性()A.甲 B.乙 C.丙 D.T【解析】选 D.在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近于1,相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大；残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现了 4 8 两变量有更强
12、的线性相关性.,规律方法1.判定两个变量正、负相关性的方法(1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关；（2）相关系数：r 0 时，正相关；rVO时，负相关;（3）线性回归方程中：b 0 时，正相关；b v o 时，负相关.2.判断相关关系的方法（1）散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.（2）决定系数法：利用相关系数判定，当舟越接近于1,拟合效果相关性越强.提醒：相关系数r 为判定两个变量是否线性相关的指标，且绝对值越大，线性相关性越
13、强，不是 越大相关性越强.教师专用（2021 沈阳模拟）已知相关变量x 和 y 的散点图如图所示，y7-6 5-4-3-2-I O 1 2 3 4 5 6 7 8 x若用y=bx I n（4/）与/=4 才+庆拟合时的相关系数分别为八,八则比较八,八的大小结果为（）A.ri/2 B.r=r2C.r|r2|；又因为此关系为负相关，所以一力 一选，打选.J 考点二一元线性回归模型|讲练互动 典例1（1）（2021大庆模拟）已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间具有线性相关关系，利用下表中的五组数据求得回归直线方程为丫=6 乂+5，根据该回归方程，预测当x=8 时，y=
14、8 4.8,则b=（）X23y2537456505664A.9.4 B.9.5C.9.6 D.9.8【解析】选C.由表格数据可得:2+3+4+5+6x =-二-=4-2 5 +3 7+5 0 +5 6+6 4y=54 6.4,46.4=4b+a则 人84.8=8b+a解得b =8 4.8 4 6.44=9.6.(2)已知变量y关于x的回归方程为y=#-。*,其一组数据如表所示：若 x =5,则预测y 值可能为()HA.e B.e2 C.e 1D.15X1234yee3 e4 e6【解析】选由y =e 2 5 得：In y=b x-0.5,所以In e,+/z?e，1+2+3+4-0.5,解得b
15、 =L6,所以回归方程为y =3 64一 0 5,若 x =5,则丫=6 5=6 2 .(3)已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y=2 e2 x+1的图象附近，设 z =/y,将其变换后得到线性方程z=m x+n,则m n =.【解析】两边取对数得 y=2/*+,设 z =y,则 z =2 +/z?2+2x+l,则 z=2 x+/2 +1,故 m=2,x=In 2 +1,所以 m n =2/2+2.答案：2 In 2 +2(4)当前“停车难”已成为城市通病，因停车问题引发的纠纷屡见不鲜.无论在北京、上海等超大型城市，还是其他城市，甚至人口只有几万、十几万的县城和乡镇
16、，“停车难”都给群众生活和政府管理带来了深深的烦恼.由于“停车难”是事关百姓生活质量和切身利益的问题,也是建设和谐社会不容忽视的问题之一，某小区物业公司决定动手解决小区“停车难”问题,并统计了近六年小区私家车的数量，以编号1 对应2 01 5 年，编号2 对应2 01 6 年，编号3 对应 2 01 7 年，以此类推，得到相应数据如表：年份编号X123456数量y (辆)4 19 61 1 61 9 02 1 82 7 5若该小区私家车的数量y 与年份编号x 的关系可用线性回归模型来拟合，试用相关指数R2分析其拟合效果(R?精确到0.01)；由于车辆增加，原有停车位已经不能满足有车业主的需求，
17、因此物业公司欲在小区内对原有停车位进行改造，重新规划停车位.若要求在2021年小区停车位数量仍可满足需要，求至少需要规划多少个停车位.6 6 6 6 _参考数据：=936,=4 081,=91,(Y j-y)2=37 586.i=l i=l i=l i=l 1 1【解析】由题意得 x=-(l+2+3+4+5+6)=3.5,y=-X(41+96+116+190+2186 6XxiYi 6 x yi=1+275)=156,b=-6 _Xx-6 x 21=14 0816X3.5X15691-6X3.52=46,且a=y b x=156 46X3.5=-5,所以y 关于x 的线性回归方程为y=46x-
18、5,又 x=l 时，y=41,x=2 时，yz=87,x=3 时，丫 3=133,x=4 时，y.i=179,x=5 时，y5=225,x=6 时，y6=271,662(y 行 5 5 6故 (%一丫=556,R?=l一 片-=1 一 三:森-0.99,一&c 37 586i=,Za-y f由相关指数R?近似为0.9 9,接近1,说明拟合效果较好.在中求得的线性回归方程中，取 x=7,可得y=46X7 5=317,故若要求在2021年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划317个停车位.一 题多变将本例(1)中回归直线方程改为y=9.6x+9,对应表格改为如表：x I 2 I 3 I 4
19、I 5 I 6y25375056m求m的值.【解析】x2+3+4+5+65=4,y25+37+50+56+m=5168-I _ m ,.,t、168-I-m ,5，代入回归S万程得一g =9.6 X 4+9,解 之 侍m=69.，规律方法回归分析问题的类型及解题方法自主完善，老师指导(1)求回归方程根据散点图判断两变量是否线性相关,如不是，应通过换元构造线性相关.利用公式，求出回归系数b.待定系数法：利用回归直线过样本点的中心,求系数占.(2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作二逖函数，求函数值.(3)利用回归直线判断正、负相关，决定正相关还是负相关的是系数(4)回归方程的拟合效果，可以
20、利用相关系数判 断,当 凤 越 趋 近 于1时，两变量的线性相关性越强.提醒：若题干中的x,y很大时，应优先选择公式Z(X i x)(yt y)Z(X i-x)i=1n _ExiYi-n X yi=1若X,y比较小可选择b=-进行计算求解.n _2 2n x，对点训练i=l根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩的使用量x（千克）之间的对应数据的散点图如图所示.W百 千 克76543 2 4 5 6 8 x/千 克（1）从散点图可以看出，可用线性回归方程拟合y 与x的关系，请计算样本相关系数r 并判断它们的相关程度（若g 0.7 5,则线性相关程度很强）；（2）求
21、 y 关于x的线性回归方程，并预测液体肥料每亩的使用量为1 2 千克时西红柿亩产量的增加量._-/L td-2+4+5 +6+8 3+4+5+6 +7【解析】因 为 X =-=5,y =-5-=5Z(X L X )(y y )=(3)X (2)+(1)X (1)+0 X 0+1 X 1+3 X 2=1 4,i =lX(x i-X j 2=(-3)2+(-1)2+02+l2+32=2 0,i =1Z(y-7)2=(-2)2+(-l)2+02+l2+22=1 0,所以 r =i =l5 _ _(X j-x X y j-y)i=l51 4；-V2OXV1O坐 0.7 5.所以y 与x正线性相关，且相
22、关5程度很强.5 _ _X(x x)(y i-y)h _(2)因为b=-=0.7,a=y b x =5 0.7 X 5=1.5,所以 y 关a2(x-x)-0 N Ui=l于 x的线性回归方程为y =1.5 +0.7 x.当x =1 2 时，y=l.5 +0.7 X 1 2 =9.9.所以预测液体肥料每亩的使用量为1 2 千克时西红柿亩产量的增加量为9.9百千克.教师专用【加练备选】(2 0 2 1 雅安模拟)某5 G科技公司对某款5 G产品在2 0 2 1 年 1 月至4 月的月销售量及月销售单价进行了调查，月销售单价x 和月销售量y 之间的一组数据如表所示：月份1234月销售单价 x(百元
23、)98.8 8.6 8.4月销售量y(万件)7 37 98 38 5(1)结合散点图可知变量y 与 x 具有线性相关关系，根据1 月至4 月的数据，求出y 关于x 的回归直线方程5=2 x +a；(2)预计在今后的销售中，月销售量与月销售单价仍然服从(1)中的关系，若该种产品的成本是 3 5 0 元/件，则该产品的月销售单价应定为多少元才能获得最大月利润？(注：利润=销售收入一成本).1 1【解析】(1)x =-(9+8.8+8.6+8.4)=8.7,y =-(7 3+7 9+8 3+8 5)=8 0,4 _ _V (x.-x)(y.-y)M 0.3X(7)+0.1 X (1)+(0.1)X
24、3+(0.3)X5b=Z=0.32+0,12+(-0.1)2+(-0.3)2-2(X7i=l=2 0,a=y b x =8 0 (2 0)X 8.7=2 5 4.所以y 关于x的线性回归直线方程为y =-2 0 x+2 5 4.(2)设利润为 z,则：z=(x-3.5)(-2 0 x 4-2 5 4)=-2 0X2+3 2 4X-8 8 9,所以当 x=8.1 时，即月销售单价定为8 1 0 元时，才能获得最大月利润.7考 点 三 独立性检验由 I嬴高考考情：独立性检验是高考的热点，主要考查x 2 的计算，以及根据x 2 准确地下结论，常与概率统计结合考查.角度1 两类变量相关性的判断 典例2
25、 为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在2 0：0 0 2 2：0 0 时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区8 0 人，得到下面的数据表：性别休闲方式介汁看电询看书歹506()1020合计206(n80根据以上数据，能否根据小概率值a=0.0 1的独立性检验，认 为“在20：00 22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？【解析】零假设为在20：00 22：00时间段居民的休闲方式与性别无关，根据列联表中的数据，经计算得,80X(10X10-10X50)2x=60X20X20X60 8-8896.635=xo.ou根据小概率值a=0.0 1的独立性检验，推断假设H。不
26、成立，即 认 为“在20：0022：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”.此推断错误的概率不大于0.01.角 度2独立性检验与概率统计的综合考查 典 例3（2020 全国卷HI改编）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2,3,4的概率；锻炼人次空气质量等0,200(200,400(400,6001（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）;（3）若某天的空气质量等级
27、为1或2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2X 2列联表，并根据列联表,判断一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量是否有关？并解释所得结论的实际含义.空气质量人次人次W 4 0 0人次 4 0 0好不好【解析】(1)由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1 的概率为2+；0H%=0.4 3,等级为2 的概率为5 +；：0H2=0.27,等级为3的概率为6 m 8 =0 2 1 等级为4的概率、，7+2+0为 1 0 0 =0-09(2)由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为1 0 0 X 20 +3
28、 0 0 X 3 5 +5 0 0 X 4 51 0 0=3 5 0.(3)零假设：H。一天中到公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关.2 X 2 列联表如表:空气质量人次人次W 4 0 0人次 4 0 0好3 33 7不好228根据列联表中的数据，计算得到1 0 0 X(3 3 X 8-3 7 X 22)2x =7 0 X 3 0 X 5 5 X 4 5 =5.8 20 3.8 4 1 =x .o 5。根据小概率值a =0.0 5 0 的独立性检验，推断H。不成立，即认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关，根据频率稳定于概率的原理，可以认为空气质量好，一天中到该公园的人数就多.
29、教师专用(【规律方法】1 .两变量关系强弱的判定在 2 X2 列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足a d b c O.|a d b c|越小，说明两个变量之间关系越弱；l a d-b e|越大，说明两个变量之间关系越强.2.独立性检验的一般步骤根据样本数据列出2 X 2 列联表.根据公式计算x 2,比较X?与临界值x 的大小，做统计判断.多维训练1.(20 21 全国甲卷改编)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 2 00件产品，产品的质量情况统计如表：机床产品等级合计1 级品二级品甲1 5 05 02 00乙1 2
30、08 02 00合计2 7 01 3 04 00(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)根据小概率值a =0.01 的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否比乙机床的产品质量好？1 5 0【解析】(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为加X 1 00%=7 5%,乙机床生产的产品中1 2 0的一级品的频率为诉X 1 00%=6 0%.乙UU零假设为：H o：产品质量与甲乙哪个机床生产无关，根据列联表中的数据，经 计 算 得 至=4 00X (1 5 0X 8 0-1 2 0X 5 0)2 7 0X 1 3 0X 2 00X 2 004 00=1 06.6 3 5=X o.o
31、”O 17根据小概率值a =0.01 的独立性检验，推断H。不成立，即认为甲机床的产品质量比乙机床的产品质量好.2.(2 02 1 江苏模拟)2 02 1 年 1 至 4月，教育部先后印发五个专门通知，对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理作出规定.“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康、解决群众急难愁盼问题的重要举措.为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业.因此该校对初三年级的4 00名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如表:完成作业所用时间性别合计男生女生90分钟以上80X18090分钟以下yZ220合计160240400
32、(1)求 x,y,z 的值，并根据题中的列联表，依据小概率值a=0.0 5 的独立性检验，分析完成作业所需时间在90分钟以上是否与性别有关？(2)学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层随机抽样的方法抽取9 人了解情况，甲老师再从这9 人中选取3 人进行访谈，求甲老师选取的3 人中男生人数大于女生人数的概率.【解析】由题中表格数据可得，x=180-80=100,y=160-80=80,z=240-100=140,故 2X 2列联表如下:完成作业所用时间性别合计力生女牛90分钟以上8010018090分钟以下80140220合计160240400零假设为H。：完成作业所需时间在90分钟
33、/2 ,400X(80X140-100X80)2得 至 ij,x=-180X220X160X240以上是否与性别没有关联，根据列联表数据,2.6940,k0)；y=cx2+dx+e三个函数中选择一个作为年广告费用x 和年利润额y 的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；(2)根据(1)中选择的回归类型，求出y 与 x 的回归方程；(3)预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？(结果保留到万元)参考数据：弓 七3.6788,3.6788：,心49.787.参考公式：回归方程y=+bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为方=-,a=y -b t.Za-b2i=l【解析】(1)
34、由散点图知，年广告费用X和年利润额y 的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，且 y 与 x 呈正相关.所以选择回归类型y=m xk(m0,k0)更好；(2)对 y=m xYm。，k0)两边取自然对数，得 In y=In m+k In x,因为 7=In y,i=In x,则 y=In m+k u,由表中数据得10 _UiVj 10 u v,i=l 30.5-10X 1.5X 1.5 110 _ 46.5-10X1.5X1.5 3 Sui-10 u 二i=l 1所以 ln m=v k u=1.55 X 1.5=1,o所以m=e,所以年广告费用x 和年利润额y 的回归方程为y=e x3；1i 10 i由知 y=e x 3,令 y=e x 3 1 0,得 x3 得 x3 3.678 8.所以 x3.6788：心49.7 8 7,所以x49.8（十万元）.故下一年应至少投入498万元广告费用.