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1、2023届四川省内江市高中零模考试文科数学试题【解析版】一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.楠圆2/+)/=8 的长轴长是A.2 B.272 C.4 D.4a2.在复平面内，设 z=l+i(i 是虚数单位)，则复数2+z2对应的点位于ZA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.法国数学家费马观察到2”+1=5,22+1=17,22+1=257 2?+1=65537都是质数,于是他提出猜想：任何形如22+l(eN)的数都是质数，这就是著名的费马猜想.半个世纪之后，善于发现的欧拉发现第5 个费马数 2-+1=
2、4294967297=641 x 6700417 不是质数，从而推翻了费马猜想，这一案例说明A.归纳推理，结果一定不正确B.归纳推理，结果不一定正确C.类比推理，结果一定不正确D.类比推理，结果不一定正确4.函数/(x)=g x 2-n x 的单调递减区间为()A.(-1,1)B.(0,1)C.D.(0,2)5.“加 0”是“如 2+江=为 双 曲 线，的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.下面是两个变量的一组数据：Xi2345678yi491625364964则这两个变量之间的线性回归方程是()A.y=16+9x B.y=31 x C.y=30
3、 x D.y=15+9x7 .函数/（x）=x 2 1 n x 的最小值为8 .“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品.2 0 2 1年前三个季度的收入情况如图所示，已知直播间每个季度的总收入都比上一季度的总收入翻一番，则下列说法正确的是（）|化妆品收入|服装收入A.该直播间第三季度服装收入低于前两个季度的服装收入之和.B .该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的!.C.该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的;.D.该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3 倍.9 .已知P是椭圆工+丫 =1 上的点，6、K分别是椭圆的左、
4、右焦点,2 5 9面 积 为（）A.3百 B.9 百 C.G D.1 0 .已知函数/*）=/-x+1 ,对于以下3 个命题：函数/（X）有 2个极值点函数/（x）有 3 个零点点（0,1）是函数f（x）的对称中心其中正确命题的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.历 丽 若网同“，则耳”的9311.已知A,B为双曲线E的左，右顶点，点 M 在 E上，AABM 为等腰三角形，且顶角为120。，则 E的离心率为A.石 B.2 C.73 D.V 21 2.已知函数x)=e -g*0)与 g(x)=l n(x+a)的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数。的取值范围是()A.(-8,-y=)B.(0,
5、五)二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.随机抽取某产品”件，测得其长度分别为4，%,，%,则下图所示的程序框图输出的S 表示这组数 据 的 特 征 数 是.|始 I/输An,4/14.抛物线V=2 x与过焦点的直线交于4,8 两点，。为原点，则 方.丽=.15.若函数“幻=-有 两 个 零 点，则k的 取 值 范 围 为.16.若双曲线=1上存在两个点关于直线/：y=1 x +f 对称，则实数/的取值范围为_ _ _ _3 2三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求
6、作答17.2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2 月4 日至2 月2 0 日在北京和张家口举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各200人，对冰壶运27动有兴趣的人数占总数的二，女生中有8 0人对冰壶运动没有兴趣.(1)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中，抽取9 人作为冰壶运动的宣传员，求男生、女生各选多少人？(2)完成下面2x 2列联表，并判断是否有9 9%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？有兴趣没有兴趣合计男女8 0合计(a+Z?)(c +d)(a+c)(b+d)n(ad-be)2附：K2=5 =a +/?
7、+c +d)尸(K、k“)0.1000.0500.0250.0100.001k 2.7063.8 415.0246.63510.8 2818 .在 AABC 中，A(-2,0),8(2,0),AC 与 B C 斜 率 的 积 是.4求点C的轨迹方程；P(4,0),求PC的中点M的轨迹方程.1 9.已知函数/(x)=x 3-3 1 n x +ll.(I)若 x)在(a,。+1)上是单调函数，求a的取值范围；(2)证明：当x0时，f(x)-x3+3x2+(3-x)ex.2 0.已知函数/(无)=e c o s x-x.(I )求曲线y =/。)在点(。(0)处的切线方程；T T(I I )求函数,
8、X)在区间 0,3上的最大值和最小值.2 1 .已知过抛物线V=2px(p0)的焦点，斜率为2&的直线交抛物线于A(x x),8(，幻(百马)两点,且|明=9.(1)求该抛物线的方程；(2)。为坐标原点，求ACMB的面积.2 2 .已知函数f(x)=x+a lia,ize R讨论 x)的单调性；(2)若不等式“X)Wd+x对任意x G(l,x o)恒成立，求a的最大值.参考答案:1.D【解 析】【分 析】现将椭圆的方程化为标准方程，由此求得。的值，进而求得长轴长2 a.【详 解】椭圆方程变形为+$=1，/=8,，a =2五，长轴长为2 a =4夜.故选D.4 8【点 睛】本小题主要考查椭圆的标
9、准方程，考查椭圆的几何性质.要注意长轴是2 a而 不 是。.属于基础题.2.A【解 析】【详 解】试题分析：根据复数的四则运算进行化简，结合复数的几何意义即可得到结论.解：,.,z=l+i,9 9 2(1-i)4 2 2=曰(1+i)2=+2i=l-i+2 i=l+i,Z 1+1 (1+1)(1-1)对 应 的 点 为(1,I),位于第一象限，故 选A.点评：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算进行化简是解决本题的关键.3.B【解 析】【分 析】根据归纳推理的概念去理解和判断.【详 解】由于费马猜想是由几个数值，根据儿个数值的特点得到的结论，是由特殊到一般的推理过程，所以属于归纳推理
10、.由于得出结论的过程没有给出推理证明，所以归纳推理的结果不一定正确,故 选：B.【点 睛】本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系.4.B【解析】【分析】求导，解不等式/（x）0可得.【详解】/（X）的定义域为（0,+8）解不等式;（X）=X 可得0 x l,X X故函数/（X）=3 -n X的递减区间为（0,1）.故选：B.5.C【解析】【分析】先求方程/n r?+ny2=表示双曲线的条件，再根据两者相等关系确定充要关系.【详解】因为方程皿2 +）=1表示双曲线，所以又当n w?0时，方程/r a r2+盯2 =1表示双曲线，因此“m n 0”是“方程m e +ny
11、2=1表示双曲线”的充要条件.故选：C6.D【解析】【详解】试题分析：由表格数据可知线性正相关，因此x系数为正，v x =-=4.5,=-=2 5.5 ,代入回归方程可知y=-1 5+9x成立8 87.C【解析】【分析】函数的定义域为（0，”），再根据函数单调求得最小值.【详解】由题得 x(0,+2 点处的函数值为最小值，代入函数 解 得 2)=-或，故选C.【点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值.8.C【解析】【分析】利用条形统计图求解判断.【详解】设第一季度的总收入为。，则第二季度的总收入为2*第三季度的总收
12、入为4 4.对于选项A,第一、二季度服装收入和为(4-0.+(2 a-o.4 a)=2.5 a,第三季度服装收入为4 _ 1.2 a =2.8”，故 A错误；对于选项B,第一季度化妆品收入为a x l 0%=0.1 a,第三季度化妆品收入为4 a x 3 0%=1.2 a ,第一季度化妆品收入是第三季度化妆 品 收 入 的 等=,故 B错误；1.2 a 1 2对于选项C,第二季度的化妆品收入为加x 2 0%=0.4“，第三季度的化妆品收入为4 a x 3 0%=1.2 a,第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的喀=?，故 C正确；1.2 3对于选项D,第三季度总收入是第一季度总收入 的 加=
13、4 倍，故 D错误.a故选：C.9.A【解析】【分析】由已知可得N 4P g ,然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】cosZFtPF2=,%所以西.西 西卜阿c o s/耳 尸 亮 _因为RW西Xc=la2-b2=4记|尸 耳|=肛归周=刃m2+n2-m n=4 c2=6 4 一机+=2 a =1 02-整理得：，=1 2,所以=m n s in =x 1 2 x =3 /3庆吗 2 3 2 2故选：A【解析】【分析】利用导数研究f(x)的单调性确定极值情况，结合零点存在性定理判断零点个数，根据/。)+/(-幻=2判断对称中心.【详解】令尸(x)=3 f i=o,可得=且，3所以(
14、口,_#)、(，+o o)上(x)0,/*)递增；(一乎，)上(x)0,/(x)递减；所以x =正 是A x)的极值点，3又/(一2)=-5 0,娉)=1 (),所以/(x)在(-2,-)上存在一个零点，3所以/(x)有2个极值点，1个零点，正确，错误；f(x)+f(-x)=xi-x+l-xi+x+l =2,故(0,1)是函数/(x)的对称中心，正确.故选：C1 1.D【解析】【详解】2 2设双曲线方程为-2=1(“0/0),如图所示，|明=忸|,NJ BM=120,过点用作MN_ Lx 轴,垂足为N,在心ABMN中，忸N|=a,MN=yj3a,故点M 的坐标为M(2 a,、&),代入双曲线方
15、程得a2=b2=a2_c2)即。2=2/,所以 e =&,故选 D.【解析】【详解】函数/(X)与g(x)的图象上存在关于y 轴对称的点，即/(-x)=g(x)有解，即函数y =/(-X)与函数y =g(x)的图象有交点，在同一坐标系内画出函数y =/(-x)=e-，-g与函数y =g(x)=l n(x+a)的图象.由图象，得点睛：函数图象的对称问题主要涉及以下情形：函数y =/(x)与 y =/(-x)的图象关于y 轴对称；函数y =/(x)与 y =-/(%)的图象关于X 轴对称；函数y =f M与 y =-/(-x)的图象关于(0,0)对称;函数y =/(X)与 尸 尸(X)的图象关于直
16、线y =X 对称.1 3.平均数【解析】【分析】根据流程图可知，该程序的作用是计算依次输入个数卬%，的算术平均数.【详解】由题意知，当，=1。时，s=（l T）；0+jq,当，2 4 时，s=（2-D x s +g=山,2 22 0 4 +%+当 i =3 K 时，_（3 -1）、5 +。3 _ 2 3_ +。2+。3，s 3 3 3以此类推，,+什 一 十%,表示样本的平均数.n故答案为：平均数1 4.-4【解析】【详解】当直线A B，X 轴时，在 y 2=2 x中，令x=；,有 y =l,则1 1 ,1 1 343）,尔万,一1）,得。4 0 3 =（,1）（东 7）=一.（2）当直线A
17、B 与x 轴不互相垂直时，设 A B 的方程为:y =%（x-；）由-5）,消去）,，整理 得 Y-（公+2）x+：公=o,显然片o2 c 4y=2x设4（4 凹）,3（,%）,则斗+马 二k三2+75 马二1匕得 k2 4O A-O B =（%，%）2，%）二%依 一 J）=（1 +&2）内+/）+；4 2 =；（+）-，攵产+；X=_-3综（1 ）,（2）所述，有 O A O B =.1 5.(e,+o o)【解析】【分析】分离常数，将问题转化为尸;与尸方的图象有两个交点，令 g(x)=j(xR),利用导数求出g(x)的最值，再给合g(x)的正负分析即可得答案.【详解】解：因为/(x)=-
18、e 有两个零点，1 X即日-=0 有两个零点=7=-7 有两个解，k ei x即 与 的 图 象 有 两 个 交 点，k e令g(x)=(7 (x R),则/(x)=，e所以当X-O O,1)时,g(x)0,g(x)单调递增；当xw(l,+o o)时,g(x)0,g(x)单调递减；所以 g(x)a=g6 W，又因当x 0 时，g(x)=0,e当x=0 时，g(x)=?=0,1要 使 尸;与 尸 三x的图象有两个交点，所以即故女的取值范围为故答案为：(自的).1 6.(Y,4)【解析】【分析】设对称的两点为A(/x),3 仁,力)，直线AB的方程为y =-2 x+b 与双曲线联立可得利用根与系数
19、的关系以及中点坐标公式可求4 5 的中点M（x0,%）,利用判别式 0 以及%）在直线y=+f 上即可求解.【详解】设双曲线好一?=1存在关于直线y=；x+f 对称的两点为A（%，x）,3（%，），根据对称性可知线段AB被直线y=；x+垂直平分，且 A 8的中点Mix。,%）在直线y=g x +/上，且原B=-2,故可设直线AB的方程为y=-2x+b,y=-2x+b联 立 方 程,2 y2，整理可得/一4笈+3=0,x-=13；%1 +x2=4Z?,y+y2=2/7 2（玉 +）=-6/?,由 A=16 从 4 伍 2+3）0,可得 一 161,.,xo =x）+x2 x+y2 2-=2b，%
20、=3b,；A 8的中点M（2A,-3A）在直线y=；x+f 上，：.-3b=b+t,可得t=-4 /=g x +r 垂直可得直线A 8的斜率为-2,可设直线A3的方程为y=-2 x+6,代入双曲线可得关于x 的一元二次方程，利用判别式A 0,可以求出匕的范围，利用韦达定理可得A 8的中点M（%,%）再代入y=；x+f 即可t 与6 的关系，即可求解.17.（1）男生选5 人，女生选4 人.（2）有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关.【解析】【分析】对于小问1,由题意计算对冰壶感兴趣的男女生人数，根据其比例，再分别计算抽取的9 人中男女生人数;对于小问2,完成列联表，代 入 片=7
21、（叱（=a+c+d）,计算其近似值，与6.635比较大小，进行判断.2 7对冰壶运动感兴趣的人数为4 0 0，旃=2 7。人，女生中有8。人对冰壶运动没有兴趣,所以女生中有2 0 0-8 0 =1 2 0 人对冰壶运动有兴趣，所以男生中有2 7 0-1 2 0 =1 5（）人对冰壶运动有兴趣,按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中，抽取9 人作为冰壶运动的宣传员,其中抽取的男生为燃x 9 =5 人，女生为1 x 9 =4人，即男生选5 人，女生选4人.（2）由题意，完成下面2 x 2 列联表如下有兴趣没有兴趣合计男1 5 05 02 0 0女1 2 08 02 0 0合计2 7 01
22、 3 04 0 0K2n(ad-bc)2(a +)(6.6 3 5所以有9 9%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关.1 8.(1)+y2=1(%*2)4 121+)/=i(k 0)4【解析】【分析】（1）设点C坐标，根据题意直接列方程可得;（2）由相关点法可得.设点C坐 标 为 由 题 知 勺=信乂言,整理得点C的轨迹方程为+/=l（x*2）4设 点/坐 标 为（x,y）,点 C坐标为（毛,兄）由中点坐标公式得1=42,即21A=0 xQ=8-x2将=8-”代入工+y2 =(y*0)得点M的轨迹方程为：殳二义+/=1(H 0)%=一)4 419.(1)ae0U L+)；(2)证明见解析.
23、【解析】求导:(%)=3 1-3 =3(-1),彳以。什)，判断其导函数取得正负的区间，从 而 得 出 函 数 的X X单调性，继而建立关于。的不等式组，可得答案.(2)由 知/*)*=/=1 2.设()=-丁+3/+(3-神 十 0),求导，分析得出函数的刈力的单调性，求得其最大值，从而有/*)而(幻2,可得证.【详解】(1)解：1 0)=3)=3(，7),xe(0,-K),x x当x l时，/(x)0；当O v x v l时，/(x)v O./(力在(0,1)上递减,在(1,g o)上递增./-a 0又/(x)在(。，。+1)上是单调函数，+或。21，即。=0或aw 0U l,+o).(2
24、)证明：由 知/而n=/(l)=12.设h(x)=-x3+3x2+(3-x)ex(x 0),贝 ij”(x)=-3x2+6x+(2 -x)ex=(2 -x)卜*+3x),令”(x)0得0 x 2；令(x)2.二%()m a x =(2)=6?+4 C 2.8,/v g,/+4，(X)max，:.f(x)x3+3x2+(3x)cx.【点睛】方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题,应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变
25、主元构造函数再利用导数证明不等式.r r2 0.(I )y =l；(II)最大值1；最小值一5.【解析】【详解】试题分析：(I )根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式y-八0)=/o)(x-0)中即可；(H)设/7(X)=/(X),求3,根据 (x)0确定函数/?(x)的单调性，根据单调性求函数的最大值为力(0)=0,从而可以知道(x)=r(x)0恒成立，所以函数“X)是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：(I)因为一X,所以/(x)=e*(8&-sinr)-l j (o)=o.又因为0)=1,所以曲线y =f(x)在点(O J(O)处的切线方程为y =L(II)设/?(力
26、=6*(8&-5加)一1,则/(x)=e*(c o&x-sinx-sinr-8 sx)=-2 e*sinx.当时，/Z(x)0,r r所以秋X)在 区 间0,-上单调递减.所 以 对 任 意 有 人(耳 力(0)=0,即_ f(x)0(/(x)0)恒成立，这样就能知道函数网引的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断y=/(x)的单调性，最后求得结果.2 1.(1)y2=8x；(2)6应.【解析】【分析】(1)由题意设直线4 8的方程为y =2及 卜-5)，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y,利用根与系数的关系结合抛物线的定义，由|钻|=9列方程可求出的值，从而可求出抛物线的方程，(2
27、)结 合(1)解方程求出A B 两点的坐标，从而可求出三角形的面积【详解】解：(1)抛物线V=2 p x的焦点为(,0),所以直线AB的方程为V=2夜 卜-光)，由，=2&(”一己)消去y 得 4 f-5 p x+p 2=0,j2=2px,所以演+%=?，由抛物线定义得|45|=%+毛+=9,即2+p=9,所以p=4.4所以抛物线的方程为V=8x.(2)由。=4 知，方程4 d 5px+p2=0,可化为d-5 x+4 =0,解得 X 1 =1,x?=4,故 x=-2-/2,y2 4历.所以 A(l,-2 0),8(4,4啦).贝 I AOAB面积S=x2x6/2=65/2222.(1)单调性见
28、解析；(2)2e【解析】【分析】(1)求出导函数，通过。l)恒成立.构造函数求出导数，判In x断函数的单调性，求解函数的最值，然后转化求解即可.(1)解：/(x)=l+-=-(x0),X X当aNO时，/(x)0恒成立，f(x)在(0,+00)上单调递增；当“0得x-。，令/(x)0得0 x-a,f(x)在 田)上 单 调 递 增，在(0,-。)上单调递减；综上所述：当a 20时，F（x）在（0,y）上单调递增；当a l）恒成立.Inx人、x2,/、2 xn x-x x（2 1nx-l）_ _ _ _令 g（）=；T（l），则&（*）=-0 n =-0n-，则当 时，g（x）。，当 1工 五时,g（x）0,又g（人）=0,g（x）在（1,五）上单调递减，在（五,+8）上单调递增，g（x）min=g（五）=2 e,a 2 e,即。的最大值为2 e.【点睛】思路点睛：函数中恒成立或有解问题，可分离变量，转化为a W g G L或a Z g（x）3来求.