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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟（北京卷）试题数学【解析版】第一部分（选择 题 共 40分）一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合4=卜|一1。1,B=x|x（x-3）0 ,则 A u 3=（）A.1x|-lx0 B.x 0 x l C.|x|-l x3 D.x|-l x B.2+4&C.4+4 6 E5.已知双曲线C:-4 =l/0）满足2 =无，且与椭圆反+Va2 b2 a 2 12 3为（）A.-=1 B.-=1 C.-=1 E4 5 8 10 5 46.已知等差数列q,S“是数列%的前 项和，对任意的W
2、N,是（）A.2 B.3 C.4 E7.已知函数/（x）=cos2x+sinx,x e ,-J,则（）A.最大值为2,最小值为1B.最大值为，最小值为1C.最大值为_1+立，最小值为14 2）5.4+8石 =1有公共焦点，则双曲线C 的方程4 3均有S*S“成立，则也的值不可能）.5D.最 大 值 为%最 小 值 为 T8.如图，在三棱锥P-A8C中，B 4 _L 平面4 B C,A B Y A C,PA =，A B =A C =2,则点A到平面P 8 C的距离为()A.1 B.走 C.正 D.；2 2 29.已知直线=丘+1 与圆丁-4 工+/=0相交于例，N两点，且|M N|.2 j L
3、那么实数上的取值范围是()1 4 4 4A.4 强 么 B.O i j t C.k.O 或 鼠 二 D.张 左 03 3 3 32 21 0 .已知椭圆三+二=1 上有 个不同的点片，舄，P、,，p.设椭圆的右焦点为F,数列 I E,F|是公4 3差大于焉的等差数列，则的最大值为()1UU JA.2 0 0 7 B.2 0 0 6 C.1 0 0 4 D.1 0 0 3第二部分(非选择题共1 1 0 分)二、填空题共5小题，每小题5分，共 2 5 分。1 1 .在二项式(X2-J)5 的展开式中，含/的 项 的 系 数 是.X1 2 .设抛物线V=状的焦点为尸(1,0),则机=；若点A在抛物线
4、上，且|4 尸=3,则点A坐标为1 3 .已知平面向量,石的夹角为1 2 0。，且同=2,恸=4,则力的值为,|-q(r e R)的最小值为.1 4.已知函数/(x)=0,是偶函数，则。的一个取值为sinx,x 01 5.已知函数/)=，|2x-l|,x 1三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.(本小题13分)在AABC中，6 sin A+cos A=6*=2 6.再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求:(1)tan2A 的值；(2)c和面积S的值.条件：=2,b2 a+c2；条件:Wa=2c,c3.17.(本小题13分)如图，在四棱锥8 A C
5、0E中，AB=A C =/5,A E/C D,2AE=C D =B C =2,AE_L平面 A8C.(1)试在线段8。上取一点N使 硒 平 面A B C,请给出点N的位置，并证明;(2)若点F满 足 丽=4而，求二面角F-E C-B的平面角的余弦值.18.(本小题14分)“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2”模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时.某学校的课后服务有学业辅导体育锻炼、实践能力创新培养三大类别,为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了 100人作为样本.发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加
6、某一类课后服务的学生分布情况如下：(1)从全校学生中随机抽取1人.估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率;每周参加活动天数课后服务活动1天2 4天5天仅参加学业辅导10人11人4人仅参加体育锻炼5人12人1人仅参加实践能力创新培养3人12人1人(2)从全校学生中随机抽取3人.以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数.求X的分布列和数学期望；(3)老样本中上个月未参加任何课后服务的学生有“(0 0).2 2x 若a=l,求曲线y=x)在点(1 J。)处的切线方程；(2)若对任意x e l,+e),都有x)Z ln x,求实数。的取值范围.20.(本小题15分)已知椭圆
7、C：W+工=1(a 6 0)上一点尸到两个焦点的距离之和为4,离心率为1.a b 2(1)求椭圆C的方程:(2)设椭圆C 的左右顶点分别为A、B,当户不与A、3 重合时，直线AP,8P分别交直线x=4于点M、N ,证明：以M N为直径的圆过右焦点F.21.(本小题15分)对于有限数列 ,n 3,N e N*,定义：对于任意的&4 N,&wN，有：(i)S*(%)=+同+周+同；(ii)对于CGR,记 L(左)=何-4+包-c|+%-d 1-4-c j.对于 wN”,若存在非零常数。，使得L(k)=Sk),则称常数c 为数列 叫的左阶。系数.设数列 4 的通项公式为4 =(-2),计算6(4),
8、并判断2 是否为数列的4 阶。系数；(2)设数列%的通项公式为4=3 n-3 9,且数列 4 的，”阶。系数为3,求，”的值；(3)设数列 叫为等差数列，满足-1,2 均为数列 4 的m 阶。系数，且(,”)=507,求机的最大值.答案第一部分(选择题 共 40分)一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合 A=x|-l x41,B=x|x(x-3)0 ,则 A u 3=()A.1x|-1 x 0 B.1x|Oxl C.x|-l x 3 j D.-1 x 0【解析】B=x|x(x-3)40=x|0 4 x 4 3,故A uB
9、=x|-l0,公差d0,分 3 种情况讨论:。4=。，此时S 3=S 4,S 3、S 是等差数列 “的前项和中的最大值,此时。4=4+3 1 =0,则有q=-3d,则 乎=心=3,=。，此时$4 =$5，S 4、S 5 是等差数列 七 的前项和中的最大值,止匕时%=4+4 d =0,则有4=-4 d,=T=c%ci I j a c 0,%0,o；=q+4 d 0,则一 3 d v q _4 d ,变形可得：-4 -3 ,d =右亮小上而T-,则 有 可 d d综合可得：3 效 佻 5.故选：A.a67 .已知函数f(x)=c o s 2 x +s i n x,则()6 3A.最大值为2,最小值
10、为1B .最大值为：，最小值为1C.最大值为,+立，最小值为14 2D.最 大 值 为 最 小 值 为-14【解析】fx)=cos2x+sinx=i-sin2x+siii r L=-1 i a r-g)+-1,工 看,等 时，s i n r G y ,1 ,当s i i u;=g 时，段)最大值为：；当 s i n x=l 时，段)最小值为1.故选：B.8.如图，在三棱锥P-A 8 C 中，PA_L平面ABC,A B Y A C,PA=，AB=AC=2,则点A 到平面P8C的距离为()A.1 B.C.D.J222【解析】因为PA_L平面A B C,所以尸 A-LAC,因为尸4=0,AB=AC=
11、2,所以 PB=PC=干 忑=娓,又 ABJ_AC,AB=AC=2,所以 BC=,2?+2?=2 H,所以S咏=(B C -竽=?2&*2 =2&,设点4 到平面。8。的距离为/7,则%一曲=匕一，即1 尸 A S-=g S y.,.夜*5*2”2 故选：人33 2 09.已知直线丫=依+1与圆/-4 x+y 2=0 相交于M,N 两点，且|M N|.2 6,那么实数人的取值范围是()A.-4效 k B.农 C.&.0或工，-*D.领 k 033 3 3【解析】圆化简为标准方程为(x-2)2+V=4,圆心(2,0)到 直 线 丘+1的距离d=lk+1|AW|=24-)2y/3,解 得:-g/4
12、 0.故 选:D2 21 0.已知椭圆土+X =1上有 个不同的点,P”P、，,P,.设椭圆的右焦点为尸，数列|己用 是公4 3差大于焉的等差数列，则的最大值为()1U U JA.2007 B.2006 C.1004 D.1003【解析】由椭圆+f=1 可知：。=2,0=6，c=l,右焦点为尸(L 0),离心率e=1,4 3 2ip 1 7 I 1设月区，片),P 到右准线x=4 的距离为力，根据圆锥曲线的统一定义，得 七 尸=e=/,|/：F|=1 =1(4-X)=2-1X,数列 IE,臼 是 公 差 大 于 焉 的等差数列，杷 小 例 急，可得If，儒，化简得X 得，结合椭圆上点的横坐标的
13、范围，得占-工 2a=4,*?4,得“2(X 0,得”的最大值为2 0 0 6,故选：B.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5 小题，每小题5 分，共 25分。11.在二项式(x 2-)5的展开式中，含/的 项 的 系 数 是.X【解析】.*=G(x2)5T()，=a(T)m ,X所以令10 3r=4 得 r=2,即含x4的项的系数是。；(-1尸=10.12.设抛物线y2=?x的焦点为尸(1,0),则加=；若点A 在抛物线上，且|4 尸|=3,则点4 坐标为【解析】由题意号=1,机=4,即抛物线方程为V=4 x,朋=乙+1 =3,4=2,所以次=4x2=8,以=2 0.故答案为：4；(
14、2,2&).13.己知平面向量,石的夹角为120。，且同=2,忖=4,则/的值为,心 词(/e R)的最小值为.【解析】因为平面向量Z，B的夹角为120。，且同=2,忖=4,所以“.=cos 120。=2 x 4 x-g)=-4,|-历卜-2ta-b+t2b2=J16/+8r+4=J161+；)+3 2 6,所以当f=时，|-M(fe R)的最小值为G，故答案为：-4,7314.已知函数+是偶函数，则。的一个取值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.sinx,x 0 时，有 cos(x+。)=sin(-x)=cos(x+，)=-sin x=cos(+x),T T T T 7 T于是
15、有：x+6=2Z4+,+x(A G Z)或犬+。=2Z)一(,+x)(&G Z),解得：0=2k;r+(k G Z),当 x 0 时，有 sin x=cos(一 龙+。)n cos(-1-x)=cos(-x+0),7 F 7 F T T于是有一x+6=+5 一G Z)-x +0=2k7r-(-x)(k G Z),解得 0=2k7r+(k G Z),所以。=2版+|(A e Z),显然。的 一 个 取 值 可 以 是 故 答 案 为：y1 5.2X-I,x 1.若函数g(x)=/(x)-z有两个不同的零点,则实数人的取值范围是【解析】画出“X)的图象如下图所示，g(x)=F(x)d=O J(x)
16、=M即y=/(x)与y=Z的图象有两个交点，由图可知，%的取值范围是 0,1).故答案为：0,1)三、解答题共6小题，共8 5分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。1 6.(本小题1 3分)在AABC中，6si n A +c o sA =6 8=2 6.再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求:(1)t a n 2A 的值；(2)c和面积S的值.条件：a=1,b2 a2+c2；条件：6 a =2c,c 3.【解析】若选：在AA5C中,5/3 s in A +cos A =/3,即s in(A +)=,而人+工(工,丁),故A+W=或 T，则从=丁或彳，6 2 6 6 6 633 6
17、 2因为=2 3得：。=.*=2 6=万 且，故A为最大角，71故 A =,，所以 t a n 2A =t a n =0 ；a _ b_ _ _ _ _ 2 _ 27 3 R(2)若选：由正弦定理得：s in A -s in B.勿一 s in 8，则s in B =，sm工 2O由知：cosB =a 0 ,B 3,由正弦定理得：sin A sinC -冗sin C ，sm 2故sinC=3，而0 C/平面AE7VM,平面AENMn平面B C D =N M ,CDu 平面 3QX 所以 C D/M N ,又因为 AE/CD,所以 AE/MN,所以四边形AEM0是平行四边形，所以MN=AE=g
18、c。，所以N是8。中点.(2)取BC的中点，连接A0,因为4B=AC=逐，所以AO_ L 8C,如图建立空间直角坐标系，所以3(0,1,0),(2,0,1),C(0,-l,0),7)(0-1,2),因 为 丽=4 而，所以F(0,-；，|)，所 以 屈=(2,1,1),CB=(0,2,0),#=(o，H，设平面ECB的法向量为5=(x,y,z),所 以 之=?+/2 =,令 1 ,则y=0,z=-2,I 2 2/yCB-n-2y=0所以=(1,0,-2),平面EC F的法向量为加=(a,b,c),所以，CE-m=2a+b+c=0_ 1 3，令 c=1,则人=-3,a=1 ,C Fm=-b+-c
19、=02 2所以正=(1,-3,1),设二面角尸EC8为。，由图可知二面角尸ECB的平面角为锐二面角，则m-n 1 、斤 乐8 5 0=-/=,所以二面角厂 一 E C-8的平面角的余弦值今:疝V 5 x V ll 55 5518.(本小题14分)“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2”模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时.某学校的课后服务有学业辅导体育锻炼、实践能力创新培养三大类别,为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了 100人作为样本.发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情
20、况如下：(1)从全校学生中随机抽取1人.估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率;每周参加活动天数课后服务活动1天2 4天5天仅参加学业辅导10人11人4人仅参加体育锻炼5人12人1人仅参加实践能力创新培养3人12人1人(2)从全校学生中随机抽取3人.以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数.求X的分布列和数学期望;(3)老样本中上个月未参加任何课后服务的学生有(0W 14)人在本月选择仅参加学业辅导.样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化.从全校学生中随机抽取3人.以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以丫表示这3人中本月仅参加学业辅导
21、的人数.试判断方差。(X)、的大小关系(结论不要求证明).【解析】(1)由题意得，样本中仅参加某一类课后服务的学生共有10+5+3+11+12+12+4+1+1=59(人)，又样本中未参加任何课后服务的有14人,故样本中上个月至少参加了两类课后服务活动的学生共有100-59-14=27(人)则从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的频率为2老7由此，可估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率尸=志=0.27(2)样本中，上个月仅参加学业辅导的有10+11+4=25(人)，对应频率为0.25以频率估计概率，从全校学生中随机抽取1人，上个月仅参加学业辅导的概率为0
22、.25,X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C吟&*，p(x =1)=c审(9=奈 P(X=2)=吟(扣=1,3 1 1P(X=3)=C；(V (/=石，X的分布列为X0123P2764276496416427 27 9 1 3X的数学期望”)=。项+1地+2X互+3 X&Z1 3 9(3)由题意可知随机变量X服从二项分布，故D(X)=叩(1 -p)=3x 7 x丁 =J.4 4 16又知：上个月未参加任何课后服务的学生有(0 414)人在本月选择仅参加学业辅导(样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化.)，则本月从全校学生中随机抽取1人仅参加学业辅导的概率估计 为 尸，且;P
23、4=.4 100以y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数，由题意可知随机变量丫 服从二项分布，1 39故 D(y)=3p(l-p),(;D(X)4 10019.(本小题15分)1 /-?已知函数/(x)=G以+F(。).2 2x 若a=l,求曲线y=/(x)在点。，/)处的切线方程；若对任意x e l,+e),都有/(x)2 1 n x,求实数。的取值范围.【解析】当a=l时，函数=定义域为卜卜片0,又i)=o,r(x)=；+J,所以/=1,所以曲线y =x)在 点 处 的 切 线 方 程 为y-0 =x-l,即x-y-l =0；若 x)N l n x在口,口)上恒成立，即;a r +曝-I
24、n x N O在 1,舟)上恒成立,可令 g(x)=；o +-I n x,X G1,-KX?),则如)=ax2-2 x-(-2)(x l)|a r-(2-6 f)Ja 0,X G1,-HX),2x22x2令g (x)0,可解得x三，当 三4 1时，即a 2 1时，g (x)0在x e l,+8)上恒成立,a a所以g(x)在x e l,+1,即。时，g(x)在x e 1,与，上单调递减，在(字,+8)上单调递增，此 时,g(x)in j n g(l),又g(l)=a-l0,即g(x)1 1 1 1 n b 0)上一点尸到两个焦点的距离之和为4,离心率为;.a b2求椭圆C的方程；设椭圆C的左右
25、顶点分别为A、B,当尸不与A、B重合时，直线A P,B P分别交直线x =4于点用、N,证明：以MN为直径的圆过右焦点尸.r 1Y 2 V 2【解析】由题干可得。=2,=匕 所以=4 2,2=3,即椭圆C的方程 +=1；a 2 4 3(2)解法一：设尸(如),M(4,X),N(4,%),因 为 直 线 交 直 线 I 于 点M,所以砰唱则他黑同理群号,则他鹃由于M、N异于x轴两侧，因此、必异号.所 以 赤 标=(3,(3,%)=9+*%=9+1 2城(xo +2)(%2)又因为3年+4为2=1 2,所 以 标 标=9+为 巨=0V-4即M F IN F 以MN为直径的圆过右焦点F.解法二：设直
26、线叱方程y =k(x +2)(ZHO),P(/,%),M(4，X),N(4,%)3x2+4/=1 2y =k(x+2)(3+4公卜2+1 6%、+1 6公-1 2=0得-2x0=1 6/-1 23+4公即x 6-8公 12k3+4*3+4公因为直线A P交直线x =4于点M,即M(4,6&).因为直线B P交直线x =4于点N,则由三点共线，得 力=这=一 言，即所 以 标 标=(3,凹(3,%)=9+乂%=0，即M F 1 N F，以 为 直 径 的 圆 过 右 焦 点F.21.(本小题1 5分)对于有限数列%,n 3,NeN*,定义：对于任意的K N,X eN,有:(i )S (%)=同+
27、|勾+同 !-卜,小(i i )对于ceR,记i(Z)=|q-4+|。2-。|+|%-d 1-4 d对于 e N*,若存在非零常数。，使得L(k)=Sk),则称常数c为数歹IJ q 的后阶。系数.(1)设数列%的通项公式为a=(-2),计算S*(4),并判断2是否为数列的4阶。系数；(2)设数列 为 的通项公式为4=3 -3 9,且数列 为 的，阶。系数为3,求?的值；(3)设数列 g 为等差数列，满足-1,2均为数列 q 的机阶。系数，且S*(=5 0 7,求加的最大值.【解析】因数列%通项公式为q =(-2)，所以数列|。“|为等比数列,且|“,|=2,得 S=|q 1+3 1+1%1+1
28、/1=30.数列“通项公式为%=(-2),所以当C =2时，L(4)=)q 2|+4-2+|%2|+|包2|=(q-2)+Q 2)(6 2)+(a4 2)=1 q I+2+1%I-2+1%|+2十|%|一2=|4|+1%|+1%|+1 4|=S (4),所以2是数列 “的4阶系数.(2)因为数列 的?阶系数为3,所以当c =3时，存 在 小,使L(M =S (M成立.设等差数列 “的前项和为S ,则3=-39 +3 (+1)2令a.O,则九.13,所以，()=，3(+1)39-132“3(+1)“c-39 M-卜 468,n.14设等差数列 a-3 的前项和为T.,-3=3-42,则 T=-4
29、2”+器，令a-3.O,则.14,所以,鹿)=，3(+1)42-,，13,35 +1)一一 42+-+546,n.J4.2当科,13 时，L(ni)*S*(m),当机.14 时，L(m)=Sy(tn),3m(m+1)3m(m+1)则一 39m+-+468=-42m+-+546,2 2解得m=2 6.(3)设数列 q 为等差数列，满足-1,2 均为数列 的机阶。系数，S*(加)=507,则存在 fceN*使存 1 +1 /1 +1。3 1T-H 4”1=1 q +11 +1+11 +1 “3 +11 +14”+11=|q-2|+&-2|+&-2|+&,-21=507 成立.设数列 4 的公差为d,构造函数/(x)=|x-|+|x-2tzi+|x-3d|+|x-皿 1-507.由已知得 f(am+d)=am +am-d+am-2d|+|am-(m-)d|-507=1%,I +I 4,1 I +1 a,n-21+1(1-507=0,所以，函数“X)至少有三个零点%+d+l,a,“+d-2,c l 领 6+d 2 dm+d a i+d+1 (+)d由函数/(X)可知机为偶数，且满 足 2 2,“中)=0d.3得 苏 d，所以3沅,4 x 5 0 7,解得办,2 6,构造等差数列 “为：一 37,-34,-3 3,，38,=507I 4可知当机=26时命题成立，即机的最大值为26.