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1、第 21章一元二次方程章末测试卷（培优卷）一.选 择 题（共 10小题，满分30分，每小题3 分）1.（3分）（20 21春九龙坡区期末）下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（）A.（。7）/-%=0 B.占卜-C.7-4=2y D.-2?+3=0【解题思路】根 据 一 元二次方程的定义逐个判断即可.【解答过程】解：4当。=1时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B.是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C.是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D.是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D.2.（3分）（20 21春亳州期末）把方程/+2（x-
2、1）=3x化成一般形式，正确的是（）A.x2-x-2=0 B.X2+5X-2=0 C.x2-x-1 =0 D.x2-2x-1 =0【解题思路】根据一元二次方程的一般形式是：ajr+hx+c（a,b,。是常数且a W O）,可得出答案.【解答过程】解：将一元二次方程/+2（x-1）=3x化成一般形式有：/-x-2=0,故选：A.3.（3分）（20 21春丽水期末）用配方法将方程-6x=l转 化 为（x+a）2=/,的形式，则 小b的值分别为（）A.（7=3,b=B.a=-3,b=C.。=3,b=10 D.a=-3,b=10【解题思路】己知方程利用完全平方公式配方后，确定出。与人的值即可.【解答过
3、程】解：方程/-6x=l,配方得：7-6x+9=10,即（x-3）2=10,则。，6的值分别为-3,10.故选：D.4.（3分）（20 21春岳西县期末）已知关于x的方程7-3+帆=0的一个根是2.则此方程的另一个根为（）A.0 B.I C.2 D.3【解题思路】设方程另一个根为用，根据根与系数的关系得到2+xi=3,从而得到方程的另一个根.【解答过程】解：设方程另一个根为X I,根据题意得2+xi=3,解得X I =1,即此方程的另一个根为I.故 选:B.5.（3 分）（20 21春潜山市期末）若关于x 的 方 程&2+（奸2）x+A=o 有实数根，则实数4 的取值范围是（）A.-1 B.k
4、 2-1 且上W O C.-1 且&*0 D.kW -Ik【解题思路】讨论：当&=0时，方程化为2x=0,方程有一个实数解；当&W 0 时，=（-2）2-4如一 0,4然后求出两种情况下的k的公共部分即可.【解答过程】解：当上=0时，方程化为2 x=0,解得x=0；k当 kWO 时，=（k+2）2-4k-0,解得 2 2-1,4所以实数&的取值范围是2 2-1.故选：A.6.（3 分）（20 21春怀宁县期末）关于x 的 一 元 二 次 方 程（2切-1）2=0实数根的情况最确切 的 是（）A.有实数根 B.无实根C.有两个相等实根 D.有两个不相等的实根【解题思路】根据=-”-l）2-4X
5、lX （-m-2）=4 p-4 m+1+4m+8=4加 2+90 可得答案.【解答过程】解：V A =-（2m-1）2-4 X l X （-m -2）=4 P -40?+1+4?+8=4 m2+90.方程有两个不相等的实根，故选：D.7.（3 分）（20 21春靖江市期末）某厂一月份生产某大型机器2 0 台，计划二、三月份共生产9 0 台，设二、三月份每月的平均增长率为x,根据题意列出的方程是（）A.20 （1+x）2=90B.20 (1-x)2=90C.20 (1+x)+20 (1+x)2=90D.20+20 (1+x)+20 (1+x)2=90【解题思路】设二、三月份每月的平均增长率为x,
6、则二月份生产某大型机器20 (1+x)台，三月份生产某大型机器20 (1+x)2台，根据二、三月份共生产90台，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.【解答过程】解：设二、三月份每月的平均增长率为x,则二月份生产某大型机器2(1+x)台，三月份生产某大型机器2(1+x)2台，依题意，得：20 (1+x)+20 (l+x)2=90.故选：C.8.(3分)(20 21毕节市)某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为()A.5 B.6 C.7 D.8【解题思路】设八年级有x个班，根据“各班均组队参赛，赛制为单循环形式
7、，且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.【解答过程】解：设八年级有x个班，依题意得：-x(x-1 )=15,2整理得：x2-x-30=0,解得：xi =6,X1 -5 (不合题意，舍去).故选：B.9.(3分)(2 0 2 1 遵义)在解一元二次方程/+p x+q=0时，小红看错了常数项q,得到方程的两个根是-3,1.小 明看错了一次项系数p,得到方程的两个根是5,-4,则原来的方程是()A./+2 x-3=0 B.?+2 x-2 0=0 C.x2-2 x-2 0=0 D./-2 x-3=0【解题思路】先设这个方程的两根是a、p,根据两个根是-3,1和
8、两个根是5,-4,得出a+0=-p=-2,砰=g=-2 0,从而得出符合题意的方程.【解答过程】解：设此方程的两个根是a、P，根据题意得：a+0=-p=-2,a 0=q=-2 O,则以a、0为根的一元二次方程是?+2A-2 0=0.故 选:B.10.(3分)(2 0 2 1春太湖县期末)定义：如果一元二次方程/+法+。=0 (a#0)“满足a+6+c=0”，那我们称这个方程为“蜻蜓”方程，已知关于x的方程a?+法+c=0 (a#0)是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，下列结论正确的是()A.a=c乎b B.abc C.b=c#a D.a-bc【解题思路】根据已知得出方程/+版+。,=0 （W
9、 0）有 工=-1,再判断即可.【解答过程】解：把=1代入方程/+历:+仁=0得出+b+c=O,:b=-a -c,方程有两个相等的实数根，.=廿-4ac=（-a -c）2-4ac=（a-c）2=0,a=c,=c WO,故选：A.二.填 空 题（共6小题，满 分18分，每小题3分）11.（3分）（2 0 2 1春龙口市期中）若关于x的一元二次方程（山+2）川+2-1=0是一元二次方程，则7 7 2 2【解题思路】一元二次方程的一般形式是：r a2+/z r+c=O （a,b,c是常数且a/0）特别要注意a#0的条件.【解答过程】解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（?+2
10、）/川 一 定是此二次项.所 以 得 到 忙 解 得 力=2.12.（3分）（2 0 2 1春岳西县期末）己知某个一元二次方程的两根分别是1和-2,则这个方程可以是（填一般形式）/+x-2=0 （答案不唯一）.【解题思路】根据元二次方程的根与系数的关系，观察各式即可得出结论.【解答过程】解：一元二次方程的两根分别是1和-2,X+X2=1XX2=-2.这个方程为：Ax-2-0 （答案不唯一）.故答案为：?+x-2=0 （答案不唯一）.13.（3分）（2 0 2 1春高邮市期末）若a是方程/+x-1=0的根，则代数式2 0 2 2 -3次-3a的值是 2 0 19 .【解题思路】把x=a代入已知方
11、程，并求得J+=i,然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可.【解答过程】解:把尤=a代入/+x 7=0,得 +4 -1=0,解得（r+a=1,所以 2022-3（？-3a=2022-3（2+a）=2022-3=2019.故答案是：2019.14.（3分）（2021南岗区模拟）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程/-5 x+6=0的两根，则该等腰三角形的周长为 7或8.【解题思路】先利用因式分解法解方程得到用=2,%2=3,利用等腰三角形的性质讨论：等腰三角形的腰为2,底边为3：等腰三角形的腰为3,底边为2,然后分别计算对应的三角形的周长.【解答过程】解：；/-5 x+6=0,二（x-2）
12、（x-3）=0,即 x-2=0 或 x-3=0,xi=2,X2=3,当等腰三角形的腰为2,底边为3时，2+2 3,该等腰三角形的周长为2+2+3=7：当等腰三角形的腰为3,底边为2时，3+2 3,该等腰三角形的周长为2+3+3=8；综上所述，该等腰三角形的周长为7或8.故答案为7或8.15.（3分）（2021春蚌埠月考）关于x的一元二次方程Q+l）f-2x+3=0有实数根，则整数。的最大值 是-2.【解题思路】根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0,求 出”的范围，确定出所求即可.【解答过程】解：关于x的一元二次方程（+1）f-2 r+3=0有实数根，.=4-12（a+1）与0,且
13、 a+IWO,7解得：a 可且a#-1,则整数。的最大值为-2.故答案为：-2.16.（3分）（2020秋万荣县期末）如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长 方 形（阴影部分即为剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）.若长方形纸板边长分别为40cm和30c7”，且折成的长方体盒子表面积是888cm2,则剪掉的小正方形 的 边 长 为6 cm.30cm【解题思路】设剪掉的小正方形的边长为打小，则剪掉的小长方形的长为万=2 0 c v m宽为x c m,根据折成的长方体盒子表面积是8 8 8 毋，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正
14、值即可得出结论.40【解答过程】解：设剪掉的小正方形的边长为口则剪掉的小长方形的长为三=2 0 c/n,宽为xcm,依题意得：4 0 X 3 0-2?-2 X 2 0 x=8 8 8,整理得：?+2 0A-1 5 6=0,解得：m=6,也=-2 6（不合题意，舍去）.故答案为：6.三.解 答 题（共 7 小题，满分5 2 分）1 7.（6 分）（2 0 2 1 秋灌南县期中）用指定方法解下列方程（1）2/+5 x-2=0 （用配方法）；（2）9?-（x-1）2=0 （用因式分解法）.【解题思路】根据一元二次方程的解法即可求出答案.【解答过程】解：2?+5 x=22 (?+|.v)=27+2冬2
15、 162 51 6(x+)2-1 1-1 6-5 V 4 1x-4(2)(3 x+x-1)(3X-J C+1)=01 1xi=-2 x2=41 8.（6 分）（2 0 2 1 春金安区校级期末）关于x 的一元二次方程/-加 什 2 根-4=0.（1）求证：方程总有两个实数根：（2）若方程有一个根为1,求机的值.【解题思路】(1)求出=(L3)2 2 0,再根据根的判别式得出答案即可；(2)把 x=l代入方程得出1 -?+2L4=0,再求出方程的解即可.【解答过程】(1)证明：x2-mx+2m-4=0,=(-?)2-4X 1 X(2m-4)=m2-8/n+16=Cm-4)2,不论，为何值，(/n
16、-4)220,A 20,.方程总有两个实数根；(2)把 x=1代入关于x 的一元二次方程/-优+2?-4=0,得 1 -,+2，-4=0.解得m-3 1.19.(8 分)(2021春高邮市期末)已知关于x 的一元二次方程/-(2 a-1)x+/+i=0 两根为xi,X 2.(1)已知x i-x 2=0,求 a 的值;(2)化简：J(a-1尸 一|2-a|.【解题思路】(1)根据根与系数的关系，列出关于“的方程，解方程即可求解；(2)根据判别式可求a 的取值范围，再化简即可求解.【解答过程】解：=(2a 1)-4(cr+1)=-4a-420,解得aW-1,(1).,关于x 的一元二次方程#-(2
17、a-1)尤+/+1=0两根为xi,X2,xi+x2=2a-1,xx2=a+1,V xi-X 2=0,(X 1+A2)2 -4.口X 2 =0,即(2-1)2-4(a2+l)=-4a-4=0,解得a=-1；(2)7(-l)2-2-a=-a-(2-a)=-1,20.(8 分)(2020秋洪洞县期中)阅读材料：为解方程(/-1)2-3(/-1)=0,我们可以将/-1视为一个整体，然后设W-l=y,将原方程化为y2-3y=0,解得川=0,”=3.当 y=0 时，x2-1=0,x2=l,.x=1当 y=3 时，x2-1=3,/=4,/.x=2，原方程的解为 xi=1,X2=-1,X3=2,X4=-2解答
18、问题：(1)在由原方程得到方程的过程中，利用 换元 法达到了降次的目的,体现了 化归 的数学思想:(2)利用上述材料中的方法解方程：(/+x)2 -(/+*)-2=0.【解题思路】(1)根据换元法及其体现的数学思想解答即可.(2)设/+x=m,用桁代替方程中的/+x,然后解关于，”的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程.【解答过程】解：(1)在由原方程得到方程的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想；故答案为：换元，化归；(2)令/+x=，则 m2-m-2=0,(/-2)(/M+1)=0,/.m-2=0 或 w+1 =0,解得m 2或m-1,当 m=2 时，/+x=2
19、,即/+x-2=0,二(x+2)(x-1)=0,则 x+2=0 或 x-1=0,解得xi=-2,X 2=l；当 m-1 时，/+x=-1,即/+x+l=0,.=1 2-4 X 1 X 1=-3 0,此方程无解；综上，原方程的解为xi=-2,X2=.2 1.(8分)(2 0 2 0秋金台区校级月考)设A A B C的三边长为m b,c,其中a,6是方程(c+2)x+2(c+1)=0的两个实数根.(1)判断a A B C是否为直角三角形？是说明理由.(2)若 A8 C是等腰三角形，求a,b,c的值.【解题思路】(1)根据根与系数的关系得到a+%=c+2,ab=2(c+1)=2 c+2,把第一个等式
20、两边平方,整理可得到W=e2,根据勾股定理的逆定理得到 AB C是以c为斜边的直角三角形；(2)由于 A8C是等腰直角三角形，则且利用a+匕=c+2可计算出a,于是可得到尻c的值.【解答过程】解：(1)4 8C 是直角三角形.理由如下：根据题意得 a+b=c+2,ab2(c+1)2 c+2,Ca+b)2=(c+2)2,B P a2+2 ah+b2=c1+4c+4,a2+4c+4+b2=C2+4C+4,.*.a2+/?2=c2,.AB C 是以c 为斜边的直角三角形；(2).AB C 是等腰三角形，：.a=b,且 c=y/2 a,a+a=V2 a+2,a=2+V ,：.h=2+y2,c=2+2&
21、.2 2.(8分)(2 02 0玉田县二模)在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2 01 9 年 1月份的日历.我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9 X1 1-3 X 1 7=4 8,1 3 X 1 5 -7 X 2 1=4 8.不难发现，结果都是4 8.2019年1月星期曰星期一星期二星期三星期四星期五星期六1456.一81012-131415：:-167一*18192 0-一 21.一一,22232425262728293031(I)请证明发现的规律;(2)若用一个如图所示菱形框，再框出5 个数字
22、，其中最小数与最大数的积为4 3 5,求出这5 个数的最大数；(3)小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是1 2 0,直接判断他的说法是否正确(不必叙述理由).【解题思路】(1)设中间的数为。，则另外4个数分别为(“-7),(a-1),(a+1),(。+7),利用(a -1)(a+1 )-(-7)(a+7)=4 8 可证出结论；(2)设这5个数中最大数为x,则最小数为(%-1 4),根据两数之积为4 3 5,可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(3)设这5个数中最大数为y,则最小数为(y-1 4),根据两数之积为1 2 0,可得出关于y的一元二
23、次方程，解之取其正值，由该值在第一列可得出小明的说法不正确.【解答过程】(1)证明：设中间的数为4,则另外4个数分别为(0-7),(a-1),(a+1),(4+7),.(a -1)(a+1)-(a-7)(a+7),=a2-1 -(a2-4 9),=4 8.(2)解：设这5个数中最大数为x,则最小数为(%-1 4),依题意，得：x(x -1 4)=4 3 5,解得：Xi =2 9,X2=-1 5 (不合题意，舍去).答：设这5个数中最大数为2 9.(3)解：设这5个数中最大数为y,则最小数为(y-1 4),依 题 意,得:y Cy-1 4)=1 2 0,解得：y i=2 0,)2=-6(不合题意
24、，舍 去).：2 0在第一列，不符合题意，二小明的说法不正确.2 3.(8分)(2 02 1 春南涪区期末)科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径.当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏，某工厂及时引进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器.开工第一天生产2 0 0 万个，第三天生产2 8 8 万个.试回答下列问题：(1)求前三天生产量的日平均增长率；(2)经调查发现，1 条生产线最大产能是60 0 万个/天，若每增加1 条生产线，每条生产线的最大产能将减少2 0 万个/天.现该厂要保证每天生产一次性注射2 60 0 万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下(生产线越多，投
25、入越大)，应该增加几条生产线？是否能增加生产线，使得每天生产一次性注射器50 0 0 万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由.【解题思路】(1)设前三天生产量的日平均增长率为x,利用第三天的产量=第一天的产量X (1+增长率)2,即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)设应该增加，条生产线，则每条生产线的最大产能为(60 0-2 0,”)万个/天，利用总产量=每条生产线的产量X生产线的数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出?的值，再结合在增加产能同时又要节省投入，即可确定m的值；设增加。条生产线，则每条生产线的最大产能为(60 0-2 0)万个/天，利
26、用总产量=每条生产线的产量义生产线的数量，即可得出关于。的一元二次方程，由根的判别式=-3 9 0,可得出该方程无实数根，进而可得出能增加生产线，使得每天生产一次性注射器50 0 0 万个.【解答过程】解：(1)设前三天生产量的H平均增长率为X,依题意得：2 0 0 (1+x)2=2 8 8,解得：x i=0.2=2 0%,X2=-2.2 (不合题意，舍去).答：前三天日平均增长率为2 0%.(2)设应该增加，条生产线，则每条生产线的最大产能为(60 0-2 0/n)万个/天，依题意得：(l+/n)(60 0-2 0/n)=2 60 0,整理得：m2-2 9 m+1 0 0=0,解得：m4,m2 2 5,又.在增加产能同时又要节省投入，:m=4.答：应该增加4条生产线.不能，理由如下：设增加。条生产线，则每条生产线的最大产能为(60 0 -2 0 a)万个/天，依题意得：(1+a)(60 0-2 0。)=50 0 0,整理得：2 9。+2 2 0=0.:序-4 。=(-2 9)2 -4 X 1 X 2 2 0=-3 9 0,该方程无实数根.,不能增加生产线，使得每天生产一次性注射器50 0 0 万个.