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1、第 21章一元二次方程章末测试卷（拔尖卷）一.选 择 题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.（3分）（2 0 2 1 黑龙江）关于x的一元二次方程（-3）+机2 x=9 x+5化为一般形式后不含一次项，则m的 值 为（）A.0 B.3 C.3 D.-3【解题思路】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可.【解答过程】解：（，-3）x+nrx=9 x+5,（H 7-3）x2+（/n2-9）x-5=0,由题意得：-3#0,*-9=0,解得：加=-3,故选：2.（3分）（2 0 2 1竞秀区一模）己知一元二次方程3 7+2 x 。=0的常数项被墨水污染，当此方程有
2、实数根时，被污染的常数项可以是（）A.3 B.2 C.1 D.0 解题思路】根据根的判别式即可求出答案.【解答过程】解：设常数项为c,由题意可知：=4-4 X3 c=4 -1 2 c 2 0,.11,c-3,故选：D.3.（3分）（2 0 2 1 莱芜区三模）若关于x的一元二次方程（k-1）W+x+l=0有实数根，则左的取值范围是（）A.B.k 4且C.且 k Wl D.k，qq4【解题思路】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k-1 0且A=1 2-4 （k-1）2 0,然后求出两不等式的公共部分即可.【解答过程】解：根据题意得h 1 W0且A=1 2-4 （%-1）2 0,解得k+
3、c=0,所以方程的根分别为1或-2.故选：A.5.(3分)(2 0 2 1春安庆期末)据统计1 1月1 1日我省单日快递量比平时增加4 0%,到1 1月1 3日到达高峰，单日快递量为平时的3倍，设I I日到1 3日单日快递量平均增长率为x,则可列方程为()A.0.4 (l+2 x)=3B.0.4 X2 (1+x)=3C.1.4 (1+x)2=3D.0.4+0.4 (1+x)+0.4 (1+x)2=3【解题思路】根据题意可得：1 1月1 1日量X(1+增长率)2=u月1 3日快递量，根据等量关系列出方程即可.【解答】设1 1日到1 3 口单I I快递量平均增长率为x,由题意得：1.4 (1+x)
4、2=3.故选：C.6.(3分)(2 0 2 1秋泗阳县期中)关于x的方程a (x+?)2+匕=0的根是x i=5,X2=-6,(a,8,?均为常数，a W O),则关于x的方程a (x-/w+2)2+b=0的 根 是()A.xi=7,X2=-4 B.x i=3,X2=-8 C.x i=-7,%2=8 D.x i=-7,X2=4【解题思路】将 方 程a(x-?+2)2+。=0变形为a(-x-2+z)2+f e=O,对照已知方程及其根得出-x-2=5或-x -2=-6,解之可得答案.【解答过程】解：:关于x的方程a (x+7)2+方=0的根是x i=5,X2=-6,二.关于 x 的方程 a(x -
5、/n+2)2+Z?=0,即 a-(x-m+2)+b=0,a(-x-2+加)2+/?=0 满足-x-2=5 或-x -2=-6,解 得 加=-7,田=4,故选：D.7.（3分）（2 0 2 1 春西山区校级月考）香蕉是河口县的主要农副产品之一，香蕉的种植备受当地各农户的青睐.香蕉种植中，要注意病毒预防，香蕉有一种病叫“香蕉黄叶病”（又 称“香蕉巴拿马病”），是一种通过土壤传播的香蕉传染病，染病香蕉逐步枯萎死亡，且因为土壤遗留，发病地区3 0 年以上不能种植香蕉，是香蕉的“不治之症”.如果某农户家的一块香蕉地中有一棵香蕉感染了“巴拿马病毒”，经过两轮传染后有8 1 棵香蕉被传染.请你用学过的知识分
6、析，每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为（）A.8 棵 B.9 棵 C.1 0 棵 D.1 1 棵【解题思路】设每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为x棵，由一棵香蕉感染了“巴拿马病毒”经过两轮传染后有81 棵香蕉被传染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.【解答过程】解：设每轮传染中平均每棵香蕉传染的棵数为x棵，依题意得：（1+x）2 =81,解得：X1 =8,X2=1 0 （不合题意，舍去）.故选：A.y8.（3分）（2 0 2 1 春浦江县期末）已知孙之1,且 3 7+2 0 2 宜+6=0,6 f+2 0 2 1 尹3=0,则二=（）x1A.-B.2 C.3 D.9211
7、 1【解题思路】将方程3 7+2 0 2 卜+6=0的两边同时+/可得出6 （-）2+2 0 2 1 -4-3=0,由孙W 1,可得出一,X X XV 为一元二次方程6 7r+2 0 2 1 x+3=0 的两个不相等的解，再利用根与系数的关系即可求出口V的值.X【解答过程】解：当x=0 时，方程左边=6 W 0,将方程3，+2 0 2 1 x+6=0 的两边同时令/得 6 （-）2+2 0 2,+3=0.X X1,即y为一元二次方程6A-2+2021X+3=0的两个不相等的解，x.y 3 1%6 2故选：A.9.（3分）（2 0 2 1 济宁三模）欧几里得在 几何原本中，记载了用图解法解方程/
8、+以=/的 方 法，类似地我们可以用折纸的方法求方程/+X-1=0 的一个正根.如图，一张边长为1 的正方形的纸片ABCQ,先折出A。、B C 的中点G、H,再折出线段A N,然后通过沿线段AN折叠使A。落在线段AH上，得到点。的新位置P,并连接NP、N H,此时，在下列四个选项中，有 一 条 线 段 的 长 度 恰 好 是 方 程 1=0 的一个正根，则这条线段是（）A.线段B4 B.线段N C.线段CN D.线段N”【解题思路】首先根据方程/+X-1=0 解出正根为 ，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近.线2段 8=0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系.利用正方形的面积等
9、于图中各个三角形的面积和，列等量关系.设D N=m,则 N C=l-?，从而可以用/表示等式.【解答过程】解：设拉N=加，则 N C=l-m.由题意可知：是8 c 的中点，:DN=NP=m,CH=0.5.VS 正 方 形=S1MB+SA4D/V+SZ XC AH SAN，i 11 1 1 i fF1X 1=-XX 1X-4-,X 1X?+X,x X(1 -m)+5 X X/77,._ 7 5-1.m 2,1=0 的解为：-1 y-.取正值为犬=与上.这条线段是线段DN.故选：B.10.（3 分）（2021 春江北区期末）有两一元二次方程：M：ax1+bx+c=0；N：cx1+bx+a=0,其中
10、 a-c 0,以下列四个结论中，错误的是（）A.如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根B.如果方程”和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是x=l1C.如果7 是方程M 的一个根，那么/是方程N 的一个根D.如果方程M 有两根符号相同，那么是方程N 的两根符号也相同【解题思路】根据例、N 两方程根的判别式相同，即可得出A 正确；用 方 程 方 程 M 可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x 的值，从而得出B 错 误.将 x=7 代入方程M 中，方程两边同时除1c a以4 9 即可得出一是方程N 的一个根，C 正确；根 据“一和一符号相”，即可得出。正确；综上
11、即可得出结7 a c论.【解答过程】解：A、在 方 程/+云+=0 中 A=庐-4 c,在方程（?/+云+。=0 中=-4 s,如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根，正确；B、M-N 得：（a-c）/+c-a=0,即（a-c）-c,.Z-c0,工/=1,解得：x=1,错误.C、,7 是方程M 的一个根，49a+7b+c=0,*,。+0,1 ,是方程N 的一个根，正确；和色符号相同,a c 如果方程例有两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同，正确;故选：B.填 空 题（共 6 小题，满 分 18分，每小题3 分）11.（3分）（2021春当涂县期末）如 果（，
12、+-1）（加+-2）=2,那么，的值为 0或3.【解题思路】设+=“，则原方程化为（a-1）（-2）=2,求出”的值，再得出?+的值即叽【解答过程】解：设，+=a,则原方程化为（a-1）（a-2）=2,整理，得a2-3a=0,H P a（a-3）=0,a=0 或-3=0,解得：4=0或3,即 m+n=0 或 3,故答案为：。或3.12.（3分）（2021秋渭滨区期末）如果方程/+4x+=0可以配方成（x+m）2=3,那 么（-M 2020=1 .【解题思路】先根据配方法求出加、的值，再代入计算可得.【解答过程】解：/+=-，.7+4无+4=4-，即（x+2）2=4-，又（x+M 2=3,7 7
13、?=2,/?1 ,则（-M 2020=（1 2）2。2。=1,故答案为：I.13.（3分）（2021春沙坪坝区校级期末）若数a使关于x的一元二次方程W-Z x-G+a n O有两个不相等的实数解，且使关于y的分式方程 一+3=2的解为非负整数，则满足条件的的值为.y-1 1-y【解题思路】先根据一元二次方程7-2x-6+a=0有两个不相等的实数解可得a的取值范围，再解分式方程，一+=2得到）=亨 且y W 1,最后结合非负整数可得答案.y-1 1-y z【解答过程】解：一元二次方程7-2r-6+a=0有两个不相等的实数解，：.22-4（-6+a）0,即 a 0,且y=-*4/1 且 4 H 3
14、,.a=1 或 5,-T T L T l14.（3分）（2021南通）若机，是一元二次方程/+3x-1=0的两个实数根，则-的值为 3.3 m-l-【解题思路】先根据一元二次方程的解的定义得到，/+3”L 1=0,再根据根与系数的关系得到?+“=-3,再将其代入所求式子即可求解.【解答过程】解：加，是一元二次方程/+3x-1=0的两个实数根，/.?2+3/J-1=0,/3 7 -1 =-7 7?,V A =13 0,./n+n=3,.m3+m2n m2（m+n）-3m2.3m-l=3m-l-o=3,-m2故答案为3.15.（3分）（2021 永州模拟）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平
15、方小3,如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小27,则原来的两位数是一 6 3.【解题思路】设这个数的个位数字为x,则十位数字为（x+3）,根据十位上的数字比个位上的数字的平方小3,即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合x为非负整数即可确定x的值，再将其代入 10（x+%）+力中即可求出结论.【解答过程】解：设这个数的个位数字为X,则十位数字为（尤+令）=（x+3）,依题意得：x2-（x+,）=3,整理得：/-x-6=0,解得：X 1=3,X2=-2,又 ”为非负整数，A x=3,27*10+x=63.故答案为：63.16.(3 分)(2021春嘉
16、兴期末)已知两个关于x 的一元二次方程/+“x+h=O,/+cx+d=O 有一个公共解2,且 a#c,b于d,b于0,=一,b-d 2故正确;设一元二次方程/+o x+b=0的另一个根为例，/+M+=0 的另一个根为小，6+2=-a,2m=b,+2=-c,2n=df：.a2-4 b=-(?+2)2-4X 2W=(L2)20,d-4 d=-(n+2)2-4X 2=(Z?-2)2 0,/-4&+c2-4心 0,.cP+c2 24b+4力a2+c2:.-Z?+d,故错误；4Vm+2=-a,2ni=b,+2=-c,2n=d,，一元二次方程(H d)x2+(+c)尤+2=0 可变形为：(2 m+2)/+
17、(-m-2-2)x+2=0,当 时，左边=(2/n+2n)X(-)2+(-w-2-0-2)X 1+2=0=右边，2是一元二次方程(b+d)/+(4+c)x+2=0的一个解，故正确，故答案为：.三.解 答 题(共 7 小题，满分52分)17.(6 分)(2021 秋巴州区校级期中)(1)解方程：(/-3 x)2-2 (7-3K)-8=0；(2)解关于尤的方程：/+2?x+勿?2-1 =o；【解题思路】(1)设f-3x=则原方程可化为寸-2)，-8=0,解得y的值，即可得到原方程的根；(2)利用因式分解法解方程.【解答过程】解：(1)设/-3 x=y,则 原 方 程 可 化 为8=0解得：y=-2
18、,2=4当 y=-2 时，x2-3 x=-2,解得 xi=2,X2=l当 y=4 时，/-3 1=4,解得 Xi =4,X2=-1 原方程的根是加=2,X2=l，X3 =4,X4=-I;(2)7+2 3+?2 -1 =o(x+w+1)(x+？-1)=0.则 x+?+l =0 或 x+/n -1=0解得 X2=-m+l.1 8.(6分)(2 0 2 1 海淀区校级三模)已知一元二次方程-/+(2 a-2)x-4 2+2 a=o.(1)求证：方程有两个不等的实数根；(2)若方程只有一个实数根小于1,求a的取值范围.【解题思路】(1)先计算判别式的意义得到=(2 a-2)2-4 X(-1)(-a2+
19、2a)0,然后根据判别式的意义得到结论；(2)先利用求根公式解方程得用=，X2=“-2,再 根 据 题 意 得 到 从 而 得 到?的 范 围.【解答过程】解：(1)V a=-1,b=2a-2,c=-/+2“，?.=(2 a-2)2-4 X(-1)(-a2+2 a)=4 0,二方程有两个不等的实数根；(2)；a=-l,b=2a-2,c-a2+2 a,.*.=(2 a-2)2-4 X(-1)(-/+2 a)=4 0,.r.-(2 a-2)2*2，=C l f X2=C l 2,；方程只有一个实数根小于1,a-2a,：.a-2,且 心 1,；.l W a V 3.1 9.（8分）（2 0 2 1春
20、下城区期中）已知关于x的一元二次方程：/-+1）x+4 （%-分=0.（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰 A B C的一边长。=4,另两边长氏c,恰好是这个方程的两个实数根，求 A B C的周长.（3）若方程的两个实数根之差等于3,求k的值.【解题思路】（1）先计算，化简得到=（2%-3）2,易证（），再根据意义即可得到结论；（2）利用求根公式计算出方程的两根，然后分类讨论，依据三角形三边关系，最后计算周长；（3）方程的两个实数根之差等于3,所以|=3,解方程即可得值.【解答过程】解：（1）=（2 R+1）2-4 X1 X4 （&-今=4必-1 2 k+9=-3）2,:无论及取何
21、值，（2人-3）20,故这个方程总有两个实数根；（2）由求根公式得m 24+1号2 3）,.x=2k-1,X2=2.;另两边长6、c,恰好是这个方程的两个实数根，设 6=2，c=2,当a,b为腰时，则a=4,即2&-1 =4,计算得出k=1,此时三角形周长为4+4+2=1 0；当匕，c为腰时，b=c=2,止 匕 时b+c=m构不成三角形，故此种情况不存在.综上所述，4 8C周长为1 0.（3）方程的两个实数根之差等于3,I 1=3,解得：=0或3.2 0.（8分）（2 0 2 0秋历下区期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例 如7=4和（x
22、-2）（x+3）=0有且只有一个相同的实数根x=2,所以这两个方程为“同伴方程”.（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有 ；（只填写序号即可）(J C -1)2=9；/+4 x+4=0；(3)(x+4)(x-2)=0.(2)关于x的一元二次方程7-2 x=0与7+3 x+m-1=0为“同伴方程”，求皿的值；(3)若关于x的一元二次方程a+b x+c uO (aW O)同时满足+6+c=0和a-b+c=O,且 与(x+2)(x-)=0互 为“同伴方程”，求 的值.【解题思路】(1)利用题中的新定义判断即可；(2)根据题中的新定义列出有关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；(3)求得
23、两个方程的根，根 据“同伴方程”的定义即可得出的值.【解答过程】解：(1)(x-1)2=9解得：X I =4,X2 -2,)+4 x+4=0,解得：x=X2=-2,(x+4)(x-2)=0,解得 x i=-4,X2=2所以，属 于“同伴方程”的有故答案是：；(2)一元二次方程7-2 x=0的解为x i=O,X 2=2,当相同的根是x=0时，则解得/n=l；当相同的根是x=2时，贝J 4+6+L 1 =0,解得,=-9；综上，m的值为1或-9：(3)关于x的一元二次方程+放+。=0 (。/。)同时满足a+b+c=O和a-8+/3-t,_ 1当 B PQ的面积等于6 cm2时，-x B P X Q
24、 H=6,1 x (8A/3-t)X r=6,2整理得：P-8百f+1 2=0,解得：/i=4 V 3 +6,/2=4 V 3 -6.答：经 过(4 V 3+6)秒 或(4 V 3-6)秒，A B P。的面积等于6 c病.2 3.(8 分)(2 0 2 1 宜昌)随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广.喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的3 0%和 2 0%.去年，新丰收公司用各1 0 0 亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水1 5 0 0 0 吨.(1)请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？(2)今年该公司加大
25、对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，,漫灌试验田的面积减少了 2 m%.同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了9m%.经测算，今年的灌溉用水量比去年减少丁?,求，的值.(3)节水不仅为了环保，也与经济收益有关系.今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投 入 3 0 元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩1 0 0 元，在(2)的情况下，若每吨水费为2.5 元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？【解题思路】(1)设漫灌方式每亩用水x吨，则 1 0 0 x+1 0 0 X 3 0%x
26、+1 0 0 X 2 0%x=1 5 0 0 0,解得x=1 0 0,可得结论；9(2)由“今年的灌溉用水量比去年减少g m%”可列出等式，进而求出机的值；(3)分别计算去年因用水量减少所节省的水费和今年的两项投入之和，再进行比较即可.【解答过程】解：(1)设漫灌方式每亩用水x吨，则1 0 0 x+1 0 0 X 3 0%x+1 0 0 X 2 0%x =1 5 0 0 0,解得x=1 0 0,漫灌用水：1 0 0 X 1 0 0=1 0 0 0 0 吨，喷灌用水：3 0%X 1 0 0 0 0=3 0 0 0 吨，滴灌用水：2 0%X 1 0 0 0 0 =2 0 0 0 吨，；漫灌方式每亩用水1 0 0 吨，漫灌试验田用水1 0 0 0 0 吨，喷灌试验田用水3 0 0 0 吨，滴灌试验田用水2 0 0 0吨.(2)山题意可得，1 0 0 X (1 -2?)X 1 0 0 X (1-/n%)+I O O X (|+m%)X 3 0 X (1 -w%)+1 0 0 X(1+/%)9X 2 0 X (1 -A W%)=1 5 OOOX(1-H%),解得m=0 (舍)，或2=2 0,*/w2 0.Q(3)节省水费：1 5 0 0 0 x(m%90 0 0+4 0 0 0,节省水费大于两项投入之和.