《2022-2023学年上海高二上学期数学同步练第03讲异面直线所成的角(核心考点讲与练)(含详解).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年上海高二上学期数学同步练第03讲异面直线所成的角(核心考点讲与练)(含详解).pdf（48页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 03讲异面直线所成的角（核心考点讲与练）Q方法技巧直线所成的角的三步曲求异面;即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角：即证明服出的角是异面直线所应的角.：异面直线所成角的概念及辨析一、单选题1.（2 0 2 1.上海师范大学第二附属中学高二期中）已 知 异 面 直 线 人 所 成 角 为8 0。，P为空间一定 点，则过尸 点 且 与6所成角都是50。的 直 线 有 且 仅 有（）条.A.2 B.3C.4D.62.（2 0 2 1上海市延安中学高二期 中）已知正方体A 8 C O-4 B C Q ,P为C G中点，对于下列两个命题：（1）过 点P有 且 只有一条 直线与直线A 8,4。都相
2、交；（2）过 点P有且只有一条直线与直线A B,AR都 成45。角.则 以 下 判 断 正 确 的 是（）（1）为真命题；（2）为 真 命 题B.（1）为真命题；（2）为假命题C.（1）为假命题；（2）为真命题D.（1）为假命题；（2）为假命题二、填空题3.（2 0 2 1上海位育中学高二阶段练习）空间中三条直线“、氏c两两垂直，若 直 线d与直线。、b、c所成角都 为。，则8 S”4.（2 0 2 1.上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）已知直线”.如 果 直 线6同时满足条件：。与b异面；。与6成定角；。与b的 距 离 为 定 值.那 么 这 样 的 直 线b有.条.5.（2 0 2 1.
3、上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）若两异面直线。、6所成的角为60、过空间内一点P作与直线。、b 所成角均是6 0 的直线/,则 所 作 直 线/的 条 数 为.证明异面直线垂直一、单选题1.（2017上海交大附中高二期中）如图，点 E 为正方形ABCD边 CD 上异于点C,D 的动点，将AADE沿AE翻折成A SA E,使得平面SAEL平面A B C E,则下列说法中正确的有（）D _ c 7/存在点E 使得直线SA_L平面1fB.4 BSBC；平面SBC内存在直线与SA平行平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；存在点E 使得SE1BA.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个二、
4、填空题2.（2022上海长宁高二期末）如图是一个边长为2 的正方体的平面展开图,中正确的序号是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.直 线 与 直 线 C7V垂直；F直线BM与直线CN相交；直线ME与直线CN平行；直线A 3与直线CN异面；a向 尾，求异面直线所成的角在这个正方体中，则下列说法1.（2022上海复旦附中高二期中）如图所示，在三棱锥O-A B C 中，A C =B D =2,E、/分别为AD与 3C的中点，E F =0，则异面直线AC与 8。所成角的大小是2.（2 0 2 1 上海市徐汇中学高二期中）如图,?是平行四边形A B C D 所在平面外一点，分别是A 及P C 的
5、中点，若 M N=B C =2,PA =2 6 则异面直线P 4 与MN所成角的大小为（2 0 2 1上海市进才中学高二阶段练习）在正方体上，a,人是两条异面直线的面对角线，则它们所成的角大小可能为4.（2 0 2 1 上海市南洋模范中学高二阶段练习）正方体的面对角线中，与AQ所成角为60。的有 条5.（2 0 2 1上海华东师范大学松江实验高级中学高二阶段练习）在正方体A B C。-ABCR 中，与 AR 成&）角的面对角线的条数是6.（2 0 2 1上海师范大学第二附属中学高二期末）空间内有三条直线，其中任意两条都不相交但相互垂直,若直线/与这三条直线所成的角的大小都是6,则t a n 8
6、 =7.（2 0 2 1 上海市建平中学高二期中）已知圆锥的轴截面P 4 B 是等边三角形，C为底面弧A3的中点，D为母线总 的 中点，则异面直线R 4 和 CO所成角的大小为三、解答题8.（2 0 2 1.上海浦东新高二期中）在三棱锥P-A fi C 中，M ,N分别是2 4,8c 的中点，已知A C=P B =2,M N=6,求异面直线A C,PB 所成角的大小.p考 向%由异面直线所成的角求其他量一、填空题i r1.（2021上海市控江中学高二期中）异面直线、b所 成 角 为 直 线c与 、6垂直且分别交于A、B,点C、。分别在直线 a、b 上，若 AC=1,AB=2,8 0 =3,则8
7、=.2.（2021.上海市洋泾中学高二期中）已知异面直线。力所成角为?，过空间一点P有且仅有2条直线与所成角都是0,则。的取值范围是.3.（2021上海市建平中学高二阶段练习）在空间四边形ABC。中，AB=C D=8,M、N分别是对角线AC、3。的中点，若异面直线A 3、8 所成角的大小为30,则的长为.；AA/4.（2021上海市行知中学高二阶段练习）已知四面体A3CO中，AB=C D =4,E、FT T分别为5 C、A D的中点，且异面直线AB与CD所 成 的 角 为 则 防=.5.（2019上海市嘉定区第二中学高二期中）空间四边形AB=CD=S,区M P分别为BD、AC、8 c的中点，若
8、异面直线AB和CQ所成的角为60。，则线段的长为.6.（2021上海华师大二附中高二开学考试）如图，空间四边形A3C。的对角线AC=8=8,M、N分别为AB、CC的中点，且则MN等于7.（2021上海市徐汇中学高二期中）空间四边形两对角线的长分别为6和8,所成的角为60。，连 接 各 边 中 点 所 得 四 边 形 的 面 积 是.8.（2021.上海市宝山中学高二阶段练习）若两条异面直线所成的角为6（）,则称这对异面直线为“黄金异面直线对“，在连接正方体各顶点的所有直线中，”黄金异面直线对 共有 时.二、解答题9.（2021上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）已知四棱锥P-ABCZ）,底
9、面ABC。为正方形，边长为 3,POJ_平面 A2CD 若P C=5,求四棱锥P-ABC。的体积;（2）若直线4。与BP的夹角为60。，求P。的长.10.（2020上海交大附中高二期中）如图，圆锥的顶点是S,底面中心为。，OC是与底面直径A 8垂直的一条半径，O是母线SC的中点.（1）求证：8 c与&4不可能垂直;（2）设圆锥的高为4,异面直线AD与8 c所成角的余弦值为也，求圆锥的体积.6巩固提升一、单选题1.（2021上海市延安中学高二期中）如图，已知正方体4 B C O-A 4 G R中，尸为线段8 G的中点，E为线段A G上的动点，则下列四个结论正确的是（）A.存在点E,使E尸B.存在
10、点E,使EFJ_平面A 4G。C.EF与AO,所成的角不可能等于60D.三棱锥4-A C E 的体积随动点E 变化而变化2.（2021.高二阶段练习）如图，在正方体ABC。-4 4 G。中，过点4 作平面A3。的垂线，垂足为点H，给出以下命题：是AABD的垂心；4 7 垂直于平面C B Q；AH的延长线过点G；直线A”和 叫所成角的大小为45。，其中正确的命题个数为（）C.3D.48 1 y-&3.（2021上海市松江二中高二期中）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120。得到的，G 是。厂的中点，设 P 是CE上的一点，且则4 G 与BP所
11、成角的大小为（）A.45B.15C.30 D.04.（2021.上海市市西中学高二期中）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，8M 与 EO平行；CN与 BE是异面直线；C N 与 BM 成 60。；0M 与 BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（）C AfA.B.C.D.E A二、填空题5.（2021上海交大附中闵行分校高二阶段练习）如图甲，将三棱锥P-A 8 C 沿三条侧棱剪开后，展开成如图乙所示的形状，其中点P/,4%共线，点 B,B,尸 2共线，点 P2,C,P3共线，且 P/PkP2P3,则在如图甲所示的三棱锥P-ABC中，%与 8 c 所成角的大小为.pPlAB6.（20
12、21.上海外国语大学闵行外国语中学P2乙高二期中）如图已知4 是 5 8 所在平面外一点，A D =B C,反尸分别是A3、C D 的中点，若异面直线AD1T与 B C所成角的大小为?，则A O 与 所 所 成 角 的 大 小 为.7.（2021上海交大附中高二期中）在长方体A B C C-4 C Q 中,AA=A D =1,他=2,则直线A C 与A。所成的角的余弦值等于8.（2021上海师范大学第二附属中学高二期中）在四面体ABC。中，AB=8,CD=6,M、N 分别是B C、A。的中点，且MN=5,则A B与C）所 成 角 的 大 小 是.9.（2022上海复旦附中高二期中）在长方体A
13、B C O-A B C 2 中，AB=1,A=2,M =4,E、F 分别为线段BC、C G 上的点，且 CE=1,CF=.（1）求证：E F 平面A。/；（2）求异面直线E F 与所成角的余弦值.10.（20 21.上海市洋泾中学高二阶段练习）已知边长为1的正方形A 8 C Z）绕 8 c 边旋转一周得到圆柱体.（1）求该圆柱体的表面积;7 T（2）正方形A 8 C D 绕 B C 边逆时针旋转,至A8CR,求证：A.D L A C .11.（20 21.上海市南洋模范中学高二期中）在长方体ABCD-ASGR中，AB=B C =2,过 A、G、8 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的
14、几何体ABCO-AGQ,且这个几何体的体积为10.（2）若 AC的中点为0 1,求 异 面 直 线 与 AR所成角的余弦值.12.（20 21上海大学附属南翔高级中学高二期中）如图，在正方体中，E,尸分别为AA和CG的中点.（1）画出由A,E,F确定的平面夕截正方体所得的截面，（保留作图痕迹，使用铅笔作图）；（2）求异面直线）和AC所成角的大小.13.（20 21上海浦东新.高二期中）在长方体A B C。-ABC2 中（如图），AB=2,A O =M=1,点E是棱AB的中点.(1)求异面直线AR与 E C 所成角的大小:(2)九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖腌，试问四面体。CO
15、E是否为鳖膈？并说明理由.1 4.(2 0 2 1 上海市行知中学高二阶段练习)如图，三棱柱4 8 C-A 旦G中，A-8 C 端是底面边长为2的正三棱锥.(1)求证：A C J.C G；求三棱锥8-4CG的体积.1 5.(2 0 2 1上海市奉贤区奉城高级中学高二期中)如图所示，在长方体A 8 CO-A BGR中，AB =,B C =2,C C,=5,M 为棱CG上一点.3(1)若G=；,求异面直线A M和 所 成 角 的 正 切 值;(2)若GM=1.试证 明：平面4 声加.1 6.(2 0 2 1 上海市进才中学高二期中)如图，在三棱柱A BC-A 8 G中，侧面A C G 4 _ L
16、底面AB C,B C 1 A C.A(1 )求证:O G 平面 A B C；(2)求证：平面A B C，平面A C G A .(3)若A8 =2 8 C,求异面直线A B与8 c所成角的大小.第 03讲异面直线所成的角（核心考点讲与练）Q方法技巧求异面直线所成的角的三步曲Q B）。!即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角；即 证 明 疝 值 的 篇 是 异 面 直 线 所 以 的 篇 ：一、单选题1.（2021上海师范大学第二附属中学高二期中）已知异面直线“、b所成角为80。，P为空间一定点，则过P点且与。、。所成角都是50。的直线有且 仅 有（）条.A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B
17、【分析】在空间取 点P,经过点P分别作a 力 ，分析直线P M满 足 它 的 射 影 在 为 所成角的平分线上时的情况可得出答案.【详解】在空间取一点P,经过点P分别作a/a,b/b,设直线a,。确定平面a,当直线P M满足它的射影PQ在a M所成角的平分线上时，尸”与。所成的角等于“与匕,所成的角,因为直线a、b所成角为80。，得 所 成 锐 角 为80。，所以当直线P M的射影PQ在乩加所成锐角的平分线上时，P M与 所 成 角 的 范 围 是 40。,90。）,这种情况下，过P点有2条直线与a、b所成角都是50。；当 直 线 的 射 影P。在”,所成钝角的平分线上时，尸河与必所成角的范围
18、是 5（）。,90。），这种情况下，过P点有且仅有1条 直 线（即P M u a时）与a、b所成角都是50。；综上所述，过P点且与。、所成角都是50。的直线有3条.2.（2 0 2 1上海市延安中学高二期中）已知正方体A B C O-A/C。，尸为C G中点，对于下列两个命题：过点P有且只有一条直线与直线A8,4。都相交；（2）过点P有且只有一条直线与直线AB,4。都成4 5。角.则以下判断正确的是（）（1）为真命题；（2）为 真 命 题B.（1）为真命题；（2）为假命题C.（1）为假命题；（2）为真命题D.（1）为假命题；（2）为假命题【答案】B【分析】作出过户与两直线相交的直线 所 判 断
19、；通过平移直线AB,A 2,结合异面直线所成角的概念判断.【详解】解：直.线 与A A是两条互相垂直的异面直线，点尸不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示:取 的 中 点。，则P Q/A R,且P Q =A Q，设A。与A 3交于E,则点A、？、Q、E、P共面,直 线 即 必与A A相交于某点尸，则过户点有且只有一条直线E尸与A B、A乌 都相交，故为真命题;分别平移A8,A R，使 A 8 与A P均经过P，则有两条互相垂直的直线尸M，PN 与 A8,A R，都成4 5。角,故为假命题.为真命题，为假命题.二、填空题3.（2 0 2 1 上海位育中学高二阶段练习）空间中三条直线a、b、c
20、两两垂直，若直线d与直线a、b、c 所成角都为 e,贝！j c o s e=【答案】23【分析】因三直线两两垂直，可以认为三直线就是正方体ABC。-A 耳6。中同一顶点。的三条棱94,DC,D Dt,由此能够求出c o s。.【详解】因三直线两两垂直，可以认为三直线就是正方体A B C D-A B|G A 中同一顶点。的三条棱D 4,DC,D D、,如图：直线d与这三条直线所成的角都为凡:.0=NADB=4B、DD=ZCDB,从而c o s e=*=半.故答案为：立.DB、3 3DC4.（2021上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）已 知 直 线 如 果 直 线 6 同时满足条件：。与b 异面
21、；。与6 成定角；。与b 的距离为定值.那么这样的直线b 有 条.【答案】无数【分析】作出两个平行平面，两条异面直线分别在两个平面上判断.【详解】如图所示：a!/3,a c a,b c p,异面,则平面夕内任意一条与平行的宜线都满足要求，故答案为：无数5.（2021上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）若两异面直线。、匕所成的角为60,过空间内一点P 作与直线。、6 所成角均是6 0 的直线/,则 所 作 直 线/的 条 数 为.【答案】3【分析】利用异面宜线所成的角的概念，平移两宜线“、b,可知当/为120的角平分线符合题意，把6 0 的角平分线旋转可得符合题意的两条直线，即可求解.如图，将立
22、线。平移与直线6 相交于点P,因为直线。、b 所成的角为60。,则其补角为120,当宜线/过点P 且为其补角120二 的角平分线时，宜线/与“、b 所成角均是60,设60。的角平分线为J 把。绕点P 旋转，且在旋转的过程中保持与。、b 所成角均是。，上下旋转各能得到一个位置，使得与。、b 所成角均是601所以共有3条直线符合题意，故答案为：3.康可言 证明异面直线垂直一、单选题1.（2017上海交大附中高二期中）如图，点 E 为正方形ABCD边 CD 上异于点C,D 的动点，将AADE沿A E翻折成A SA E,使得平面S A E,平面A B C E,则下列说法中正确的有（）存在点E 使得直线
23、SA L平面SBC；平面SBC内存在直线与SA平行平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；存在点E 使得SE1BA.A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】A【分析】本题考查空间中的折叠问题，涉及线面垂直，面面垂直，线面平行，线线平行垂直的判定与性质,属综合性题目，难度中上.【详解】对于命题,若直线SAL平面SBC,则 SA1BC,又平 面 SA E X 平 面 ABCE,故在平面ABCE中作BH 1A E与 H,则 BHJ_平面SAE,ABHISA,又.,BHCIBC=H,BH、BCu平面 ABCE.，SA_L 平面 ABCE,，SAJ_AE,即NSAE 是直角，但是/S A E
24、 即折叠之前的NDAE,在折叠前后保持不变，始终是锐角，所以命题不正确；若 SELBC,同样由于BHJL平面SAE,可得BH1SE,进而同上得到SE_L平而ABCE,得到NSEA为宜角，ZSE A 即为折叠之前的NDEA,在折叠过程中保持不变，始终是锐角,命题错误；对于命题，因为平面S B C I直线S4=S,故平面SBC内的直线与弘 相交或异面，所以命题不正确；对于命题,在平面ABCE中作CFAE,交 A B于 F,S如图所示：C由线面平行的判定定理可得CF平面SAE,所以命题正确，综上，正确的命题个数为I 个，故选A.考点：1、线面垂直的判定定理；2、线面平行的判定；考点：平面与平面垂直的
25、性质二、填空题2.（2022上海长宁高二期末）如图是一个边长为2 的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是.直线BM与直线CN相交；直线ME与直线CN平行；直线A3与直线CN异面；【答案】【分析】画出正方体，CN/BE,A F B E,故A F L C N,正确，根据相交推出矛盾得到错误，根据 CN/BE,8E与ME相交得到错误，排除共面的情况得到正确，得到答案.【详解】如图所示的正方体中，CN/BE,A F Y B E,故A尸，C N,正确；若 宜 线 与 百 线CN相交，则四点大面，即3在平面CMN内，不成立，错误；CN/BE,BE与ME相交，故直线ME与直线CN不平
26、行，错 误；AB/MN,M N 与C N 不平行,故A3与CN不平行，若A3与CN相交，则4 8,C,N四点共面，N在平面43c内，不成立，故直线A 8勺直线CN异面，正 确；故答案为：.1.（2022上海复旦附中高二期中）如图所示，在三棱锥O ABC中，A C=B D =2,E、尸分别为AO与BC的中点，EF=6,则异面直线4 c与80所 成 角 的 大 小 是.DB【分析】取A 8的中点，分别连接ME,ME ,把异面直线A C与8。所成的角即为直线M E与尸 所成的角,在AM E F中，根据屈炉+加尸;后产，即可求解.【详解】如图所示，取A 8的中点M,分别连接ME,“下，因为E、尸分别为
27、AO与BC的中点，可得M E/82 M fV/A C,且ME =JBO =1,M F =；AC=1,所以异面直线A C与8。所成的角即为宜线M E与 所 成 的 角，在 户中，因为 ME =1,MF=1,E F=&,所以 ME?+ML =E尸,J T所以尸，即 直 线 与 所 成 的 角 为 万，I T T T所以异面直线A C与8。所成的角1.故答案为：y.2.（2021上海市徐汇中学高二期中）如图，P是平行四边形ABC。所在平面外一点，用,可分别是4民尸（7的中点，若初7 =8。=2,24=2 6，则异面直线2 4与削所成角的大小为【分析】连接A C,取AC的中点G,连接MG,N G,根据
28、例,N分别是AB,PC的中点，得到A/GBC,NG幺,则NMNG是异面直线P A与M N所成的角，然后利用余弦定理求解.【详解】如图所示：N连接AC,取 AC的中点G,连接M G,N G,又 因 为 分 别 是 A 8.P C 的中点，所以 MG/B C,N G!I PA,所以4WG是异面直线R4与MN所成的角，因为 M N=B C =2,PA =2 6,所以 M G =l,N G=6 ,则 c osN M N GMN2+NG2-M G22-MN-NG2 2+2-2.V 3 -2因为 N A W G e（0,所以 N MN G=：,6故答案为：7o3.（2 02 1 上海市进才中学高二阶段练习
29、）在正方体上，“，是两条异面直线的面对角线，则它们所成的角大小可能为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答案】9 0 或6 0【分析】通过求异面宜线4A与B、C和异面直线A D,与AG所成角即可.【详解】解：正方体的面对角线成异面直线的，分平行的面和相交的面两类如图找两对代表进行计算：1 .异面直线AR与36,其所成的角即为直线A。与 A。所成的角，9 0;2 .异面直线4R与AG，其所成的角即为直线A0 与4c所成的角，6 0.故答案为:9 0 或6 0.面对角线中，与A R所成角为60。的有 条.【答案】8【分析】根据AA C，AAD国,VA B C,是等边三角形判断.A【详解】如
30、图所示：BA因为AACC，AA。片是等边三角形，所以A C,R C,D 岛ABJJ A D,所成角为60。，又V A B G，A）B G是等边三角形，所以AG,A民G,08 LJ BC1所成角为60,因为 A D、H B C、,所以AG，A及。G，与A R所成角为60,所 以 与 所 成 角 为60。的面对交线有8条，故答案为：85.（2021.上海.华东师范大学松江实验高级中学高二阶段练习）在正方体A 8 C 0-A B C R中，与A R成60角的面对角线的条数是【答案】4【分析】分 别 连 接 结 合 正 方 体 的 结 构 特 征 和 异 面 直 线 所 成 角 的 定 义，即可求解.
31、【详解】如图所示，连接D 向,可得D,为等边三角形,所以Z D 4 B 1=N A 4=6 0,所以人稣已与与 所 成 的 角 为&T ,连接3DCQ,可得B D B R C D A B i，则3DCQ与 所 成 的 角 为 6 0,综上可得，与A。成6 0 角的面对角线的条数为4条.故答案为:6.（2 02 1上海师范大学第二附属中学高二期末）空间内有三条直线，其中任意两条都不相交但相互垂直，若直线/与这三条直线所成的角的大小都是6,贝 lj t an 6=.【答案】夜【分析】在空间任取一点。，分别作三条直线的平行线。4，OB,O C,构造一个正方体，则直线/即直线。与。4、O B、OC所成
32、的角相等均为6,由此即可求出ta n.【详解】解：在空间任取一点。，分别作三条直线的平行线0 4，OB,OC,构造一个正方体如右图所示，则直线/即直线0。与。4、O B、OC所成的角相等均为，即0=Z C O D,设正方体的棱长为1,则C D =g，则 ta ne =ta nN C O D =0=夜.OC故答案为：应.为底面弧A 8的中点,7.（2021上海市建平中学高二期中）已知圆锥的轴截面R W 是等边三角形，CD 为母线尸 B的中点，则异面直线P A和 C）所成角的大小为【答案I:【分析】如下图所示，连接OP,O C,过 点 力 作 底 面 于 H,连接C H,根据中位线定理得OZJ/R
33、4,所以N8C（或其补角）就是异面宜线R 4和CO所成的角，设 R4=PB=Z1B=2,解三角形可求得答案.【详解】如下图所示，连接OP，O C,过点Q作。_ L底面于H,连接CH,因为O 为 母 线 的 中 点，所以。%，所以NODC（或其补角）就是异面直线 必 和 8 所成的角,设%=P 3 =AB=2,则 PO=道,。=走,0 =，,所以 C H =d 0 C、0lP=旦，2 2 2所以DC=加 斤+5=&,又 O D =O C =l,所以满足 0。2+0。2 ,TT1T所以N8 c =1所以异面直线 必 和 8 所成角为8.（2021上海浦东新高二期中）在三棱锥P-A 3 C 中，M,
34、N 分别是B4,BC的中点，已知A C=P3=2,M N =&求异面直线A C,P B 所成角的大小.【答案】6 0【分析】取 中 点 Q ,连接Q ,Q N,可得QM H B P ,Q N/A C,从而可得NMQV 就是异面直线AC,心 所成的角或其补角，从而可的答案.【详解】解：取 A8 中点Q,连接。“，QN,。是 A 8 中点，N 是 8 C中点，=QN/AC,Q N =；A C =1,同理，=QM/BP,Q M =g p B =l,所以在 M Q N 中，Q M =Q N =1,M N =6 ,i2+12 _ /o 2 Ico s/M Q N =。；）=-=/M Q N=1 2 0
35、,异面直线AC,总 所成的角的大小为60。.。（铐向 里J由异面直线所成的角求其他量Q B一、填空题1.（2 0 2 1 上海市控江中学高二期中）异面直线。、人 所 成 角 为 直 线 c 与 八 6 垂直且分别交于A、B,点C、。分别在直线a、b 上，若 A C =1,A B =2,3 0 =3,则CD=.【答案】J T T 或 后【分析】过 8 作 8E/A C 且过。作 O E _ L 8E 于 E,连接B E、C E,要注意E、C在 A8 的同侧或异侧两种情况,T T结 合 已 知 有=再过C作于凡 求出。瓜EC的长度，在&OEC中应用勾股定理求CD.【详解】由题意，过B作8 E/AC
36、且过。作/）EJ_8 E于E,连接8 E、C E,如下示意图，.由题设知：面ABEC为直角梯形且Z D B E =-,3o/o 3过 C作 CF_LBE于 F,plij CF=AB=2,B D =3,可得 DE=王，BE=一,22如图 I,易得 EF=；，则 EC=J,在 R/AOEC 中，CD=yjDE2+E C2=VH-如图2,易得E F=,则E C=，在 RtuDEC 中，CD=yjDE2+E C2=JF7 -故答案为：拒或 拒2.（2021 上海市洋泾中学高二期中）已知异面直线凡。所成角为（，过空间一点P有且仅有2条宜线与。力所成角都是0,则6的取值范围是.【答案】【分析】将直线。力平
37、移交于点P，并作N a W及其外角的角平分线：根据过空间一点P有且仅有2条直线与 力所成角都是。，可知4方向上有两条，4方向上不存在，由此可得范围.【详解】将 直 线 平移交于点尸，设平移后的直线为。力 ,过点P 作 NaPb及 其 外 角 的 角 平 分 线 则 NaPb在4方向，要使过空间一点P 的直线，且 与 所 成 角 都 是。的直线有两条，则e ：6在4 方向，要使过空间一点P 的直线，且 与 匕 所成角都是。的直线不存在，则。.MP AB，NP=-C D =4,MP=-A B =4,2 2所以，异面直线A3,CD所成的角即为NMPN或其补角，因为异面直线A 3、CO所成角的大小为3
38、0,所以NMPN=30。或 150。，当/用PN=30。时，在MPN中，由余弦定理可得MN=lNP-+MP-2NP-MP COS 30=42-2 x 4 x 4 x -=,3 2-16 6力 ZMPN=150。时,在 MPN中，由余弦定理可得M N=yj N P2+M P2-2N P-M P c o s 1 50 =42+42+2 x 4 x 4 x-=532 +1 6/5 综上，M N 的长为 432+1 63，故答案为：）32 土1 6&【答案】2 或2 石（2 0 2 1上海市行知中学高二阶段练习）已知四面体A B C。中，A B =C D =4,且异面直线A8 与CO所成的角为（，则
39、E F =【分析】取 AC中点例，先通过平行关系分析异面直线A8 与CD所成的角为NMF或其补角，然后通过分类讨论结合角度以及长度、余弦定理求解出EF的长度.【详解】取 AC中点/，连接因为E,F 分 别 为 的 中 点，所以M E A 8,M E =1 A 8 =2,M F/C D,MF=-C D =2,2 2所以异面直线A8 与CD所成的角即为NEA2或其补角，T T当异面直线A B与8所成的角为N M 尸时，Z E M F =且M E=M F =2,所以AM防 为 等边三角形，所以 E F =2；当异面直线4 3 勺CO所成的角为NEMF的补角时，Z E M F =-y ,&.M E=M
40、 F =2,所以 E F?=+加尸2 一2 例尸M co s N A/F ,m i U F =22+22-2 x 2 x 2 x c o s =2 x/3,综上可知，所 长 为 2 或26，故答案为：2 或2 G.0 5.（2 0 1 9上海市嘉定区第二中学高二期中）空间四边形A B C。，A B=C L =8,M、N、P分别为B。、AC、BC的中点，若异面直线AB和CD所成的角为60。，则线段M N的长为.【答案】4 或4 g【分析】先根据异面直线A 8和C 成60。的角，则NMPN=60。或 120。，然后利用余弦定理求出MN的长即可.【详解】解：45=8=8,M、N、P 分别为3。、AC
41、、BC的中点，连接MN,M P,N P：.N P=MP=4,N P/A B,MP!/C D,所以NMPN为异面直线AB和CO所成的角或补角，因为异面直线A 8和CD成60的角，.Z M P N=60或 120当 NMPN=60。时，M N=4当 ZMPN=120 时，M N =PN2+P M2-2PN -PM COSZMPN =443故答案为：4 或4 G6.（2021.上海华师大二附中高二开学考试）如图，空间四边形ABC。的对角线4c=BD=8,M、N 分别为A B.CD的中点，且 AC_LBE,则 MN等于【答案】4拒【分析】取 BC中点凡 连接MP,NP,由中位线的性质及ACJ_BD,利
42、用直角二角形求解.【详解】取 8 c 中点P,连接M尸，N P,又因为AC=8,8。=8,M,N 分别为48,CD的中点,所以 PA7 AC,P M =-A C =4,2PN/BD,P N=LBD=4.2又因为异面直线AC与 8。所成的角为90。，所以 NMPN=90。，所以 MN?=P M、P N2=42+42=32,所以MV=4后.故答案为：4近7.（2021上海市徐汇中学高二期中）空间四边形两对角线的长分别为6 和 8,所成的角为60。，连接各边中点所得四边形的面积是.【答案】6石【分析】空间四边形A-B C D 中，分别取AB、B C、C D、D 4 的中点E、F、G、H,连接E尸、F
43、 G、GH、，则连接各边中点所得四边形的面积是$则彩 皿=23，由此能求出结果.【详解】如图，空间四边形A-3C D 中，两对角线的长A C、BO的长分别为6 和 8,所成的角为60。，分别取 AB、B C、C D、D4 的中点 E、F、G、H ,连接 E F、F G、GH、HE,则 EF/G H/AC.且 EF=GH=；AC=3,E H/G F/B D,且 E”=GF=；8=4,N H E F=60 或 Z H E F=120,连接各边中点所得四边形的面积是:S四边形 EFC=2 S c FEH=2x；x3x4xsin N H E F=65/3.故答案为：6/3.（2021上海市宝山中学高二
44、阶段练习）若两条异面直线所成的角为6 0 则称这对异面直线为“黄金异面直线对“，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对 共有 对.【答案】24【分析】由异面直线的定义和正方体的对称性，以A C为例，与之构成黄金异面直线的直线有4条，从而计算得到答案.【详解】正方体如图所示，若要出现所成角为60,的异面直线，则直线需为面对角线，以A C为例，与之构成黄金异面直线对的直线有A B,BC ,A D,BC 这4条,而正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共 有 等=2 4对（每-对被计算两次，所以要除以2）,故答案为：24.【点睛】本题主要考查异面直线及其所成的角，考查学生分析转
45、化问题的能力，属于基础题.二、解答题9.（2021上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）已知四棱锥尸-A B C D,底面ABC。为正方形，边长为 3,P_L平面 ABCD 若P C=5,求四棱锥尸-A 3C D的体积;（2）若 直 线 与B P的夹角为60。，求 的 长.【答案】（1）12（2）3亚【分析】（1）由锥体体积求四棱锥P-ABCD的体积；（2）由直线A。与8 P的夹角为60。可得N P8C =60,由此可求尸8,再解三角形求PZ）的长.（1）；平面 A8CO,8 u 平面 A 8 8,.点 尸到平面48C Q的距离为PD,P D LC D,：PC=5,CD=3、二 PD=4,底
46、面ABCO为正方形，边长为3,二 底面A8CO的面积为9,，四棱锥尸-4 8 C O的体积V=；x 9 x 4 =1 2,(2)V AD/BC,二 直 线A C与8 P的夹角的平面角为N P 8 C,：直线A。与B P的夹角为6 0。，二 N P B C =60；设 P O=x,则 P C =的+f，PB=+1 8，在 中，P C =/9 7 7 PB=7X2+18-BC =3,由余弦定理可得c o s N P B C =尸+伙-/,(2 B P B C1 8 _ 1 66+180 x=3 应 1 0.(2 0 2 0上海交大附中高二期中)如图，圆锥的顶点是S,底面中心为。，O C是与底面直径
47、A B垂直的一条半径，O是母线S C的中点.(1)求证:B C与&4不可能垂直;(2)设圆锥的高为4,异面直线4)与5 c所成角的余弦值为受，求圆锥的体积.6【答案】证 明 见 解 析；(2).【解析】(1)假设5 C L S A,得到4 5 L 8 C,不成立，得到证明.(2)如图所示：延长C O与圆交于点后，连接A E,。在底面的投影为O C中点F,易知B C V E A,故N Z U E为异面直线A D与B C所成角，根据余弦定理解得/=2,计算得到体积.【详解】(1)假设B C L S 4,易知S O,平面A B C,8 C u平面A B C,故S OL 3 C,故8cL平面S Q 4
48、,A B I平面S O 4,故A 3 _ L 8 C,不成立，故假设不成立.B C h i M不可能垂直.(2)如图所示：延长C O与圆交于点E,连接AE,。在底面的投影为O C中点尸，易知B C M E A,故N D 4 E为异面直线A 与B C所成角，设底面半径为，在 A/WE 中：AE =y/2r，D E=4+-r2,DA=yjO F2+OA2+F O2=4+-r2.根据余弦定理：DE?=DA2+A E2-IDA-A E cos Z D A E,计算得到 r =2.故体积V=g 乃/=等.【点睛】本题考查了线线位置关系，异面直线夹角，体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.巩固
49、提升一、单选题1.（2021上海市延安中学高二期中）如图，已知正方体4 B 8-A 4 G R 中，尸为线段B G 的中点，E 为线段 A G 上的动点，则下列四个结论正确的是（）A.存在点E,使 EF B DB.存在点E,使 EF_L平面A4G。C.E F 与A R所成的角不可能等于60D.三棱锥4-4C E的体积随动点E 变化而变化【答案】B【分析】根据题意，结合线面平行的判定、线面垂直的判定、异面直线夹角的求法以及锥体的体积公式,一一判断即可.【详解】根据题意，如图所示，连接4 8.对于选项A,平面ABG，3。0平面ABG，:.若E F BD、一定有BDH T面4 B C 1，又；BD与
50、平面A g相交，不存在点E，使 尸 8 0，故A错；对于选项B,当E为中点时，易知E F/4B,：在正方体A B C O-A B G A中，B LA B,A D V,且A nAg=A,4 8,平面 A 8CQ,即 防 _ L 平面 A B C。，故 B i E确：对于选项C,肖E为中点时，易知E F 48,A D J IB C,:在正方体 A B C D-A B D 中，4=B G =A G，二A.B与所成的角为6 0,即EF与A Dt所成的角为6 0,故C错；对于选项D,设正方体边长为2,因为AC A,A A H B B、,所以三棱锥4-A C E的体积VB l-A C E =VE-AC B