《2022-2023学年上海高二上学期数学同步练第09讲 空间几何体的结构与直观图(核心考点讲与练)(含详解).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年上海高二上学期数学同步练第09讲 空间几何体的结构与直观图(核心考点讲与练)(含详解).pdf（66页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第09讲空间几何体的结构与直观图(核心考点讲与练)1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形DA BAA BD，SA B底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点,但不一定相等；延 长 线 交 于 口侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形囱1Aa母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于二X轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形侧面展开图矩形扇形扇环2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图1_，_/j A 刎/；2 jrr_侧面积公式S 矶柱侧=2只r lS版锥侧=n r l
2、S 囚信侧=n(ri+z?)13.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体、表面积体积柱 体（棱柱和圆柱）S表面积=S（w+2S底V=S h锥 体（棱锥和圆锥）S表面枳=S（w+S底V=S h台 体（棱台和圆台）S表面枳=5恻+5上+5下，=；（S 上+SF+V）力o球5=44。3U能力拓展题型一：柱体一、单选题1.（2021上海位育中学高二期中）给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，除了可以得到四面体、四棱柱等类型的多面体以外，还能得到的多面体的类型可以含有（）A.五棱柱、七面体 B.五棱柱、六棱锥C.六棱锥、七面体 D.以上答案都不正确2.（2021上海市进才中学高二期中）下列命题是假命题的
3、是（）A.棱柱的所有侧面都是平行四边形B.将矩形ABC。绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆柱；C.正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心；D.将直角三角形AO3绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆锥.3.（2021.上海市建平中学高二期中）以下关于多面体的命题种，真命题为（）A.所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥B.所有侧面均为正方形的四棱柱是正四棱柱C.所有侧面均为正三角形的多面体是正四面体D.所有侧面均为正方形的多面体是正方体4.（2021.上海市进才中学高二期中）下列四种说法中：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；相等的线段在直观图中仍然相等；一个直角三角形
4、绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥.正确的个数是（）A.0B.1C.2D.35.（2021上海市实验学校高二期中）如图，A3C-ABC。为正方体，任作平面a 与对角线AC垂直，使得a 与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S,周长为/,则（）B.S不为定值，/为定值C.S与/均为定值D.S与/均不为定值6.（2021.上海市第三女子中学高二期末）九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设 AA是正四棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为顶点，以AA为底面矩形的一边,C.12D.167.（2021上海曹杨二中高二期末）在如图所示的棱长为20
5、的正方体中，点M 为CO的中点，点 P 在侧面ADAA上，且到A R 的距离为6,至 HA%的距离为5,则过点尸且与4 垂直的正方体截面A.三角形B.四边形C.五边形 D.六边形8.（2021上海青浦高二期末）如图，正方体ABC。-A B C Q 中，E、F 分别是A 3、8 c 的中点，过点R、E、厂的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为力 匕化 匕），则乂：匕=（）B-iD.27464二、填空题9.（2021上海闵行中学高二期中）直四棱柱一定是长方体；正方体一定是正四棱柱；底面是正多边形的棱柱是正棱柱；有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；直棱柱的侧棱长与高相等；以 上 说
6、法 中 正 确 的 命 题 有（写出正确的命题序号）10.（2021上海市西南位育中学高二期中）在直三棱柱A B C-A B C中,NACB=9O,AC=12,BC=C G=2 0，点尸是直线8 c l上一动点，则A 2+P C的最小值是.11.（2021上海市延安中学高二期中）如图，长方体A B S-A B C Q中，A8=4,B C=0,然=3,P为A出上的一个动点，则AP+PC的最小值为12.（2021 上海市控江中学高二期中）在棱长为6的正方体ABCD-4瓦6，中，E是棱AB的中点，过 反UC,作正方体的截面，则 该 截 面 的 面 积 是.13.（2021.上海.复旦附中高二期中）向
7、体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x（O x A D A B BC D.A C A D A B=B C二、填空题4.（2 0 2 1 上海格致中学高二期中）棱长为6的正方体内有一个棱长为x的正四面体，正四面体的中心（正四面体的中心就是该四面体外接球的球心）与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则x的 最 大 值 为.5.（2 0 2 1 上海市松江二中高二期中）已知正四棱柱中A G、8 的交点为0-A C、BO的交点为。2,连接QR，点。为0Q的中点.过点。且与直线A B 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1 和 痴，则正四棱柱的体积为.6.（2 0
8、2 1.上海.华东师范大学第三附属中学高二期中）一平面截一球得到面积为1 2 万的圆面，球心到这个圆面的距离是球半径的一半，则 该 球 的 体 积 是.7.（2 0 2 1上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）在三棱锥P-A B C 中，己知P A=B C =2区PB =A C =而,P C =AB =5 ,则 该 三 棱 锥 的 体 积 为.8.（2 0 2 1上海华东师大附属枫泾中学高二期中）若平面a截球。所得圆的半径为2 c m,球的半径为J d c m,则球心O到平面a的距离为 c m.9.（2 0 2 1.上海市宝山中学高二期中）一个圆柱的轴截面是一个面积为1 6 的正方形，则该圆柱
9、的体积是1 0.（2 0 2 1 上海市宝山中学高二期中）如图，圆锥的母线长为4,点M 为母线A 8的中点，从点”处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为2 石，则此圆锥的表面积为AH.（2021.上海市西南位育中学高二期中）在北纬60。圈上有AJ3两地，4 8之间的球面距离为飞-（R为地球半径），则4 8两 地 在 此 纬 度 圈 上 的 弧 长 等 于.12.（2021上海市西南位育中学高二期中）已知正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为4,则其侧面积为13.（2021上海市建平中学高二期中）从四棱锥尸-4 3 c o的5个顶点中任选4个不同的点，则这四点能够构 成 不
10、同 三 棱 锥 的 个 数 是 （结果用数字作答）14.（2021上海市建平中学高二期中）A、8是半径为R的球面上两点，设。是球心，且 AOB是等腰直角三角形，则A、B的球面距离为15.（2021上海位育中学高二期中）若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则 它 的 表 面 积 是.16.（2021.上海市进才中学高二期中）有一个圆锥侧面展开图是半径为2圆心角为270。的扇形，则该圆锥的高是.17.（2021上海市七宝中学高二期中）北纬3 0线贯穿四大文明古国：是一条神秘而又奇特的纬线.在这条纬线附近有神秘的百慕大三角、著名的埃及金字塔、世界最高峰珠穆朗玛峰、长江等，沿地球北纬30。线前行，会
11、发现许多奇妙且神秘的自然是观，在地球北纬3 0圈上有A 8两地，它们的经度相差180,4 8两地沿纬线圈的弧长与A B两地的球面距离之比为18.（2021上海市杨浦高级中学高二期末）圆锥底面半径为1cm,母线长为2 c m,则其侧面展开图扇形的圆心角，二.19.（2022.上海市嘉定区第二中学高二期末）已知球。的半径为4,圆与圆N为该球的两个小圆，A B 为圆A/与圆N的公共弦，AB =4,若 O M =O N =3 ,则两圆圆心的距离MN=.20.（2020上海市七宝中学高二期末）有一多边形ABCD水平放置的斜二测直观图A H C D 是直角梯形（如图所示），其中A 5C =45。，B d
12、D ,A7）=DC=1,则原四边形ABC。的面积为分9）2 1.（2 0 2 0.上海市金山中学高二期末）如图，O A 夕是水平放置的AOAB的斜二测直观图，若OA=3,OB=4,则 AOAB 的面积为.A/y2 2.（2 0 2 1 上海市七宝中学高二期中）如图，三角形A B C 为水平放置的三角形/。，4 B X，4 8 c 的直观图，其中=A E =1,三角形ABC的面积为也.则原平面图形三角形A 8 C 的周长为.2 3.（2 0 2 1 上海市延安中学高二期中）如图，若一个水平放置的/O C x平面图形的斜二测直观图是一个底角为4 5 ,且腰和上底均为1 的等腰梯形，则原平面图形的面
13、积是三、解答题2 4.（2 0 2 1.上海市实验学校高二期中）空间中有四个球，它们的半径分别是2、2、3、3,每个球都与其余三个球外切，另有一个小球与这四个球都外切，求这个小球的半径.第09讲空间几何体的结构与直观图(核心考点讲与练)Q考点考向1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形DA BAA BDSA B底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点,但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形囿1Sa卷母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点X轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全
14、等的等腰梯形侧面展开图矩形扇形扇环X2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图E，四一缁/IA/2宣&侧面积公式S圆柱=2货rlS附律恻=冗rlS 加台蒯=n（力+目）13.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱 体（棱柱和圆柱）S表面积=Si则+2S底V=S 底 h锥 体（棱锥和圆锥）S表面枳=Sffj+S底3台 体（棱台和圆台）S表面积=S（P J+S上+S下，=；（S上+5下+后南方O球S=4 勺和川3Q能力拓展题型一：柱体一、单选题1.（2021上海位育中学高二期中）给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，除了可以得到四面体、四棱柱等类型的多面体以外，
15、还能得到的多面体的类型可以含有（）A.五棱柱、七面体 B.五棱柱、六棱锥C.六棱锥、七面体 D.以上答案都不正确【答案】A【分析】根据正方体的几何结构特征，分别取综 A A 的中点 F,昂,即可得到一个直五棱柱,即可求解.【详解】如图所示,分别取的中点E,F,昂瓦,分别连接可得几何体BCDFE-BCQ匹&为 一 个直五棱柱，且为七面体.故选：A.（2021上海市进才中学高二期中）下列命题是假命题的是（）A.棱柱的所有侧面都是平行四边形B.将矩形A8CD绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆柱：C.正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心；D.将直角三角形A08绕其一边旋转一周所形成的的几何体
16、叫做圆锥.【答案】D【分析】由棱柱、圆柱、正棱锥、圆锥的定义逐一判断可得选项.【详解】解：对于A：由棱柱的定义得棱柱的所有侧面都是平行四边形，故A正确；对于B：由圆柱的定义得将矩形ABCD绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆柱，故B正确;对于C：由正棱锥的定义得正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心，故C正确；对于D：将直角三角形AOB绕其斜边旋转一周所形成的几何体不是圆锥，故D不正确，所以假命题的是D选项，故选：D.3.（2021.上海市建平中学高二期中）以下关于多面体的命题种，真命题为（）A.所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥B.所有侧面均为正方形的四棱柱是正四棱柱C.所有侧面均
17、为正三角形的多面体是正四面体D.所有侧面均为正方形的多面体是正方体【答案】A【分析】直接利用正棱柱和正棱锥体的定义判定A、B、C、D即可得出答案.【详解】解：对于A：所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥，故A正确；对于B：所有侧面均为正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，底面不一定为正方形，故B错误；对于C：所有侧面均为正三角形的多面体是正四面体，也可能为正四棱锥，故C错误；对 于D：所有侧面均为正方形的多面体是直棱柱，故D错误.故选：A.4.（2021.上海市进才中学高二期中）下列四种说法中：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；相等的线段在直观图中仍然相等；一个直角三角形绕其一边
18、旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥.正确的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【分析】直接根据棱柱的定义，平面图形和直观图的应用，圆锥的定义即可判断出正误.【详解】对于，有两个面平行，其余各面都是四边形，且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱；如图，该几何体满足中条件，却不是棱柱；故错误；对于，相等的线段在直观图中不一定相等，例如正方形在直观图中是邻边不等的平行四边形，故错误;对于，一个直角三角形绕其一直角边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥，故错误.5.（2021.上海市实验学校高二期中）如图，为正方体，任作平面a 与对角线AC垂直，使得a 与正方体的每个面都有公
19、共点，记这样得到的截面多边形的面积为S,周长为/,则（）A.S为定值，/不为定值B.S不为定值，/为定值C.S与/均为定值D.S与/均不为定值【答案】B【分析】将正方体切去两个正三棱锥A-A 即 与 C-O Z C 后，得 到 一 个 以 平 行 平 面 与。EC为上、下底面的几何体丫，丫的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形w 的每一条边分别与v 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱A B 剪开，展开在一个平面上，得到一个平行四边形A B E A，考查E.的位置,确定s,i【详解】解：将正方体切去两个正三棱锥A-A B。与C-D B C 后，得到一个以平行平面ABO与O E C 为上、卜
20、底面的几何体V,V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形卬的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱A月剪开，展开在一个平面上，得到一个平行四边形A 2 A，如图所示而多边形W 的周界展开后便成为一条与A 4 平行的线 段（如图中E g）,显然，EE,=A 4,所以/为定值，当E 位于A百中点时，多边形W 为正六边形，而当E,称到A 时，W 为正三角形，则当周长这定值/的正六边形与正三角形面积分别 为 且 广且 产，所以s 不是定值，24 36故选：B6.（2021上海市第三女子中学高二期末）九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设 AA是正四棱柱的一
21、条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为顶点，以4 4 为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是（）【答案】BC.12D.16【分析】先找出包含AA的底面矩形，再根据图形特征，逐个计数即可.【详解】如图,面若包含AA的 底 面 矩 形 为 则 顶 点 可 以 从 B,用，G，C 中选取，故有四个不同的阳马;若包含AA的底面矩形为44田田，则顶点可以从C-C,R,。中选取，故有四个不同的阳马;若包含AA的底面矩形为M G C,则从B,BI,D,。中任取一个作为顶点，都不符合阳马，故舍去.综上可知，以AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是8个.故选：B.7.（2021.上海.曹杨二中高二期末）在
22、如图所示的棱长为20的正方体ABC。-A4G。中，点M为C力的中点，点 户 在 侧 面 上，且到A A的距离为6,到AA的距离为5,则过点尸且与4 垂直的正方体截面A.三角形【答案】BB.四边形C.五边形 D.六边形【分析】根据线面垂直的判定与性质，以及正方体的截面的性质、平面的基本性质，即可求解.【详解】如图所示，过点尸作E尸 AR分别交AA，。于点E,尸，因为可得EFLAQ,在正方体中，8 1平面AOA，所 以 即又CQ n A 3=。，所以E尸_L平面,A。u平面加 小.所以A。，EF过户作PK J.4。交于A Q点K,则PK=6,设KF=x则A E W，所 以 骨=枭，即 定=亲 则
23、6所以小 +=5+6=11在正方形A四G A中，取CQ 的 中 点 连 接MM，AM则 VAMR 与VRGN,则 N2AM|=ND所以 NNDM+NRM A=NNDM+=90。,即 4 M 1 DtN取BC的中点N,过F作FH/D|N交B 于点、H,连接N，则J.切又加叫_1平面4蜴6 ,所 以 仞 ，/,山 知 6 4%=必所 以 切_L平面,所以FHJ.AM又EFcFH=F,所以平面EF”连接 B G，过“作 H G/3 G，由 8 C /A R,则 B C J/F E,所以 HG/FE（且 HGw FE）连 接E G,则 四 边 形EFHG为梯形，所 以A M,平 面EFHG所以截面的形
24、状为四边形边形EFHG.二 期 末)如 图，正 方 体A 8C O-A 4G。中，E、尸分 别 是A 3、8 c的中点，过 点2、E、尸的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为匕 化%),则匕：匕=()A.【答 案】CB.47D.27462335C,”【分 析】如图所示，过 点R,E,尸的截面卜.方几何体转化为一个大的三棱锥，减去两个小的三棱锥，上方部分，用总的正方体的体积减去下方的部分体积即可.【详 解】如图所示:设正方体的棱长为2a,则过点 R,E,F 的截面下方体积为：X=-3 a-3 a-2 a-a-a-2=-a3 f，另一部分体积为匕=-5/=学”3 ,25V:匕=.1
25、-47故选：C.【点睛】本题主要考查了几何的割补问题，还考查了空间想象的能力，属于中档题.二、填空题9.（2021 上海闵行中学高二期中）直四棱柱一定是长方体；正方体一定是正四棱柱；底面是正多边形的棱柱是正棱柱：有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；直棱柱的侧棱长与高相等；以 上 说 法 中 正 确 的 命 题 有 （写出正确的命题序号）【答案】【分析】根据直棱柱、正四棱柱、平行六面体的概念和结构特征依次判断，即可得正确答案.【详解】侧棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，底面是长方形的直四棱柱才是长方体.底面如果不是长方形或正方形，则该直四棱柱不是长方体，故错误；上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于
26、底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方体是正四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，底面是正多边形且侧棱与底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故错误；有两个相邻的侧面是矩形，说明侧棱与底面两条相交直线垂宜，则侧棱与底面垂直，所以有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱，故正确；直棱柱的侧棱垂直于底面，因此侧棱长与高相等，故正确.故答案为：.10.（2021上海市西南位育中学高二期中）在直三棱柱A 8 C-A 8 C中，NACB=9O,AC=12,3C=C G=2 0,点P是直线8 G上一动点，则A 2+P C的最小值是.【答案】1072【分析】连接A 3,沿8 G将 C B G展
27、开与V A B G在同一个平面内，在B G上取一点与A C构成三角形，由三角形两边之和大于第三边，可知A P+P C的最小值是A C的连线，再利用余弦定理可得解.【详解】连接4 8,沿BG将C 8G展开与V A 8G在同一个平面内，在8 G上取一点与A C构成三角形,由三角形两边之和大于第三边，可知P+P C的最小值是A C的连线，因为直三棱柱 A B C-4 8G 中，ZACB=90.AC=12,BC=CC、=2亚,所以矩形8 C C 是边长为2近 的正方形，则BC，=4,又在矩形4 8 4 A中，=AB=2底,BB、=2五,则4 8 =4加，又 AC；+BC；=A笈，所以 NAGB=9 0
28、 ,则4 4 =135,在 V4GC=135 中，利用余弦定理可得：AC,=VAC,2+CtC2-2A.Q-C.Ccos 135=，口2+（2 旬-2 xl2*2 0 co sl3 5 =10 夜 故 答 案为：10【点睛】关键点点睛：本题主要考查了棱柱的结构特征及两点之间的距离公式，其中将C 8G沿B G展开，将一个空间问题转化为平面内求两点之间的距离公式的问题是解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.11.（2021上海市延安中学高二期中）如图，长方体A B C D-A B C Q中，AB=4,BC=10,A4,=3,P为A、B上的一个动点，则AP+PC的最
29、小值为【答案】2西【分析】将半平面4网 沿A/翻折到EA4,且平面 B A与平面ABCR位于同一平面，连接EC与力出交于点P,此时EC即为AP+PC的最小值，再利用余弦定理求出EC即可;【详解】解：如图5G为将半平面ABA,沿A 8翻折到EBA且平面EBA与平面ABAB。位于同一平面，截面图如下所示：连接EC与4 8交于点尸，此时EC即为AP+PC的最小值,因 为 他=4,BC=10,M =3,所以 E3=4,A.B=J AA.2+AB2=5,sin NAE=第=?,所以1Vl AD J/3cos NEBC=cos(NA BE+90)=-sin NA BE=-；所以小2跖/3办1“。2-2 5
30、 1。名卜64所 以 卬2 故答案为：2“T12.（2021上海市控江中学高二期中）在棱长为6的正方体A B C O-A S G R中，E是棱4 B的中点，过E,D，G作正方体的截面，则该截面的面积是O I【答案】y【分析】先确定截面为等腰梯形。EG，画出平面图形OEF G，计算即得解.【详解】如图，在正方体A B C O-A A G R中，E是棱A 8的中点，过E,，G作正方体的截面为等腰梯形D E F G .画出平面图形。EF G，过点E作E L O G,垂足为”.因为G 3 =6近，EF=3 五,D E =J F =3B 所以后，=券,所以截面DEFC、的面积为工（6立+3应）x述=肛.
31、2 2 2Q I故答案为：1 3.（20 21.上海.复旦附中高二期中）向体积为1 的正方体密闭容器内注入体积为x（O x DB=+1=后,当DN*共线时等号成立,故周长最小值为（心%“=2 0N+区向”=2&.故答案为：2道.【点睛】本题考查了正方体的截面问题，意在考查学生的空间想象力和计算能力，属于中档题.1 4.（20 21 上海位育中学高二期中）己知长方体的表面积为24 c m 2,过同一顶点的三条棱长之和为6 c m ,则它的对角线的长为 c m.【答案】【分析】设出长宽高，表示出表面积和棱长之和，得到关系式即可求解.【详解】设长方体的长、宽、高分别为刃b,c,则由图可得 2（?+爪
32、，=24,可得片+层+?=1 2所以长方体的体对角线为，/+从+。2=2日故答案为：2 G.15.（2021.上海徐汇.高二期末）如图，在正四棱柱中，AB=,A 4,=G，点E为A 8上的动点，则D.E+C E的最小值为.【答案】M【解析】将平面A B G R与平面ABC。延展至同一平面，由C、E、A三点共线可求得Q E +C E的最小值.【详解】如下图所示，将平面A 8 G R与平面A3CD延展至同一平面，:8 =1,由勾股定理可得CR=,+32=9.由图形可知，当C、E、4三点共线时，R E +CE取得最小值后.故答案为：【点睛】本题考查立体几何中折线长度的最值问题的求解，一般要求将两个平
33、面延展至同一平面，利用三点共线来处理，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.三、解答题1 6.(2 0 2 1上海宝山高二期末)如图，在正四棱柱A B C。-中，A B =2,CC,=4,为 棱 叫 的 中(I)求三棱锥M-AAQ的体积;(2)求直线RM与平面AAGR所成角的正弦值.【答案】(1),：(2)且.3 3【分析】在正四棱柱ABCD-A B C Q中求出点M到平面A O R A的距离即可作答;(2)连 片。，证得是直线AM与 平 面 所 成 角，再经计算即得.【详解】(1)在正四棱柱A B C。-A4GA中，连AM，如图,AB_L 平面 AORA，BBJ1平面A O R A ,则棱
34、BB的中点M到平面 鼻 的距离就是所以丫 旬4 y 4 2.2 4(2)在正四棱柱A B C D-A S G R中，平面A B|G R,连8a，则BQ是DtM在平面45cA内射影，4是直线DtM与 平 面 所 成 的 角，而/W =2,C =4,则耳=2夜，因此，在R M M。自 中，=。冏+B M?=4 2应j+2?=2石,于是得s i n N M D 6 =韶=义=坐，所 以 直 线 与 平 面ABC Q所成角的正弦值为且.D,M 2 V 3 3 3题型二：棱锥一、单选题1.（2 0 2 1上海华师大二附中高二期中）几何体r的表面上有三条线段移、C D、E F ,有 A B、C D、EF所
35、在直线两两异面，则在棱柱；棱锥；圆柱；圆锥；球中，有可 能 是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】根据异面直线的定义以及几何体的结构特征即可求解.【详解】由图可知，有可能是棱柱，所以不可能存在三条两两异面的直线，故不可能为圆锥；球的表面不存在直线，故故r不可能为球.故选：A 2.（2 0 2 1上海市延安中学高二期末）下列结论正确的是（）A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.所有几何体的表面都能展开成平面图形C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱锥D.一个直角三角形绕一边所在直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形叫做圆锥【答案】C【分析】对于A、B、D 举出反例即可判断
36、，C 选项假设正六棱锥，推出矛盾即可.【详解】A：如图，各个面均是三角形，但不是三棱锥，故 A 错误；B：球不能展开为平面图形，故 B 错误；C：若六棱锥的所有棱长都相等，则底面是正六边形，由过中心和顶点的截面可知，若以正六边形为底面,侧棱长必然大于底面的边长，所以该棱锥不可能是正六棱锥，故 C 正确；D：直角三角形绕其斜边旋转一周形成的几何体是一个由两个圆锥构成的组合体，故 D 错误，3.（2021上海闵行中学高二期中）在 棱 长 均 为 的 正 四 面 体 中，M 为AC中点，E 为A 8 中点，P是 上 的 动 点，。是平面E 8 上的动点，则AP+PQ的最小值是（）石+而2B.石+正C
37、.y/3 D.2-34【答案】A【解析】在正四面体A 8co中，由平面C3E,找出Z W 在平面CD E上的射影。G,再沿Z W 展开平面A D M，使之与平面GOW重合,此时,AP+PQ的最小值即为点A 到D G的距离，最后，结合数据解三角形即可.【详解】由题知，在正四面体A B C D中,E 为4 8 中点,/.A B V D E,A B Y C E,平面 CDE.设CE中点为G,连 MG,.M为AC 中点，MG/AE ,S.MG =-A E =,2 2平面 C O E,/.DG即为DM在平面CDE卜一的射影，沿DM展开平面A DM.使之与平面GDM重合，此时,A P+PQ的最小值即为点A
38、到0G的距离，故过点A作A Q LOG于点。，又 DM =yjAD2-A M2=3，s i n N M D G -c o sZ.MD G =,M D 6 6.Z A D A/=3 0./sc,/,G /3 x/3 3 1 3 +5 3.s i n Z.AD Q=s i n(N 4 O M +N M D G)=x +-x =-,6 2 6 2 1 2A Q =AD-s i n Z A D Q =2G-3+=,故选:A.D【点睛】本题考查空间几何体中的距离最值问题,需要学生有较强的空间想象和思维能力，综合性较强.在解决此类最值问题时，一般采用侧面展开的形式，将立体问题转化为平面问题解决.二、填空题
39、4.（2 0 2 1上海市复兴高级中学高二期中）将一段长1 2 c m的铁丝折成两两互相垂直的三段，使三段长分别为3 c m、4 c m、5 c m ,则原铁丝的两个端点之间的距离为 c m.【答案】5&【分析】将所折铁丝用空间几何体表示，可得各侧面均为直角三角形的三棱锥，进而求原铁丝的两个端点之间的距离.【详解】由题意，三段分别为A 8 =3 c m,B C =4 c m,C Z）=5 c m,如下图示，/.AB 1 BC,BC CD,AB L C D,又 BC1 AB=8,CD ABC,又 ACu 面 4 8 C,故 C)_LAC,*-AD=yAB2+BC2+CD2=5&cm.故答案为：5
40、&5.（2021上海格致中学高二期中）已知在正四棱锥P-A B S中，底面是边长为1的正方形，棱锥的高为也,2则 该 四 棱 锥 的 侧 面 积 等 于.【答案】拒【分析】由正四棱锥的性质结合己知条件求出正四棱锥的侧棱长，可知其侧面为等边三角形，从而求得侧面积.【详解】如图，由正四棱锥的性质知，POJ平面ABC。在直角POC 中，PO=,CO=-y/2+2=,贝 IPC=J 也+f=12 2 2 V l2J I2 J所以该正四棱锥的侧面为边长为1的等边三角形,所以侧面积S=4 x x 1 x 1 x sin 60=2x=百6.（2021.上海市宝山中学高二期中）在正四棱锥P-A8C力中，底 面
41、ABC。的边长为4,侧 棱8 P与底面所成角的大小为60。，则 该 四 棱 锥 的 高 等 于.【答案】2痴【分析】根据正四棱锥的性质，将求高转化到一个直角三角形内求.【详解】P设点在P 在底面A B C D的投影为0.根据正四棱锥的性质，。为力（7和 8。的交点，APQB为直角三角形，N P O B =90由题意可知，Z P B O =60,BO=-B D =-x4y/2=2y/2.2 2所以正四棱锥 P-ABCD 的高，P0 =tan NPBO OB=6x2&=2 .故答案为：2册.7.（2021上海市进才中学高二期中）如图所示，在侧棱长为2石的正三棱锥丫-ABC中,AAVB=Z.BVC=
42、ZCVA=40,过 A作截面AE尸，尸周长的最小值为【答案】6【解析】将：棱锥沿 着 抬 剪开，将侧血V46、V B C，心 延 展 至同一平面，计算出AA的长，即为AAEF周长的最小值.【详解】如图，将三棱锥 A 8 C 沿侧棱V4剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，则线段AA的长即为所求 心 的周长的最小值.V取 A A 的中点。，连接 V D，则 Z A V D=6 0 .B在向A V。中，A D =E 4-s i n 6 0s=2 x =3.则 A A=2 A =6,2即AAEF周长的最小值为6.故答案为：6.【点睛】研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰肖的母线或棱展开，转化
43、为平面上两点间的最短距离问题.三、解答题（1）在图中作出截面屏G/江，并写出作图过程；（2）求该截面面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）9.【解析】（I）根据题意，作辅助线，过。作a B O,Q G/P A且过点E作 所%，交尸B于点F,过点L 作 HL/PA交 P D 于点H ,连接FG,GH,FH,即可得出截面EFGHL；（2）山题意可知，P A”截面EFGHL,B D 截面E F G H L,根据P O L平面A 3 C D,利用线面垂直的性质和判定，可证出8 _ L平面P A C,则3 O J _ R 4,进 而 得 出 所 以 截 面 是 由 两 个 全 等 的 直 角梯形组成
44、，设E Q =x,则 以=x,截面F G H L面积为S,根据S =（E尸+Q G）E。，代入计算，最后利用二次函数求得最大值.【详解】解：（1）由题可知，Q是A C上的一点，过。且与抬、3。都平行的截面为五边形过。作包 30,交A B 7 点E,交AD于点L,过。作Q G/PA,交A;于点G,再过点E作 砂/P A,交收于点尸，过点L作HL/PA交PD于点H,连接FG,G,F，：.EF/PA,HL/PA,GQ/PA,:.EF/HL/GQ,所以2 E G,4,L共面，Qw平面EFG”L,.EL/BD,E Lu平面 EFGHL,.BZ)平面 EFGHL,同理 R4 平面 EFGHL.所以过Q且与
45、R4、8 0都平行的截面瓦如下图:(2)由题意可知，B4截面EFGHL,8。/截面EFGHL,:.PA/EF,PA/HL,PA 11GQ,BD/EL,BD/FH,而。是在底面上的射影，PO=6,:.POriQABCD,BDLAC,：.P O 1 B D,且 ACn%=O,所以BD_L平面P A C,则BO_LB4,:.EFL EL,又,：FHHBD,P-4 9 c o为正四棱锥，PH=P F,故XPFGsAPHG,于是GF=GH,因此截面EFGHL是由两个全等的直角梯形组成，因E L/B D,则AEL为等腰直角三角形，设EQ=x,则 以=x,所以 EF BE O Q x所以7r 诙一 市 一
46、飞 NF:.EF=（l-x p A,同理得，QG=（1-坐 PA,I 3）I 6 J又因为尸4=JPO+OAZ=2 后,2设截面E F G H L面积为S,所以 S=（EF+QG）EQ=2-x）殍 x,即：S=-1X2+9V2X=-|（X-A/2）2+9,当且仅当 x=V5 时，S 有最大值为 9.所以截面E F G H L的面积最大值为9.【点睛】本题考查根据线面平面的性质进行作图和截面的面积最大值的求法，还涉及线面平行和垂直的性质和判定定理，考查空间想象能力和计算能力.题型三：棱台一、单选题1.（2021上海闵行中学高二期中）两个体积分别为匕，匕的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于
47、这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为、，邑，则“乂 =匕”是“S产邑”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由祖晒原理，再结合充分条件，必要条件的定义即可求解.【详解】解：根据祖胞原理,由工=昆，得到乂=必要性成立,由匕，则5，色不一定相等，例如两个完全相同的棱锥，分别正置和倒置，.充 分性不成、九匕=匕是E =邑的必要不充分条件，故选：B.二、填空题2.（2 0 2 1 上海市控江中学高二期中）若正四棱台的上底边长为2,下底边长为8,高为4,则它的侧面积为【答案】1 0 0【分析】根据正四棱台的结构特征，借助其高、
48、斜高、两底面对应边心距构成的直角梯形求出斜高即可计算得解.【详解】因正四棱台的上底边长为2,下底边长为8,高为4,则该正四棱台上底、下底面边心距分别 为 1,4,而正四棱台的高、斜高、两底面对应边心距构成直角梯形，于是得斜高/z =5 4+（4-1）?=5,因此，侧面积5 =4 x q 2 x 5 =1 0 0,所以所求的侧面积为1 0 0.故答案为：1 0 0三、解答题3.（2 0 2 1.上海曹杨二中高二阶段练习）如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为3 2 c m,两底面对角线EG、EQ的长分别为1 4 c m、6 2 c m,水深为1 2 c m.（1）求正四棱台的体积;（2）将一根4
49、 0 c m 长的玻璃棒/放在容器中，/的一端置于点E处，另一端置于侧棱GQ上，求/没入水中部分的长度.（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）【答案】（l）2 6 1 7 6（c m3）（2）2 0 c m【分析】（1）根据题意，结合台体的体积公式，即可求出结果.（2）设 玻 璃 棒 在 上 的 点 为 何，玻璃棒与水面的交点为N,过点N作 N P J _ E G,交 EG于点尸，过点E作 Q，G G，交 后 于点Q,推导出E 4G G 为等腰梯形，求出E=24cm,g E =4 0 c m,由正弦定理求3出sin/G E M=，山此能求出玻璃棒/没入水中部分的长度.14解：由题意可知，下底面正方
50、形的边长为jcm上底面正方形的边长为62；=cm所以下底面面积为&=2=98(cm2),上底面的面枳S：2=1922(cm2)又台体的高为32cm,所以正四棱台的体积 V=g/SI+S2+JS S2)=gx32x(98+1922+/981922)=26176(cm3)(2)解：设玻璃棒在G Q 上的点为“，则 E M=40cm,玻璃棒与水面的交点为N,在平面耳EGQ中，过点N作 N P 1 E G,交E G T点P,过点E 作EQ，E g,交 耳。丁点Q,EE,=GG,EG/E g,EG*E ,为止四棱台,二E E G 为等腰梯形，画出平面EEQ Q 的平面图,*.*EG=62cm,EG=14