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1、1概率论与数理统计习题及答案习题一1 .见教材习题参考答案.2 .设A, B, C为三个事件，试用A, B, C(1) 4发生，B, C都不发生；(2) A与B发生，C(3) 4, B, C都发生；(4) A, B, C(5) A, B, C都不发生；(6) A, B, C(7) 4, B, C至多有2个发生：(8) A, B, C至少有2个发生.【解】(1) ABC (2) ABC (3) ABC(4) AUBUC=ABCU ABC UABC U ABCtJAB CUABC L)ABC=ABC(5) ABC = A B C (6) ABC(7) ABCUABCUABC U ABCUABC U
2、 ABC U ABC = ABC = A U B U C(8)ABDBCDCAABC UAflCU ABCUABC4 .设 A, B 为随机事件，且 P (A) =0.7,P(A-B)=0.3,求 P ( AB ).【解】P ( AB) =-P CAB) =1 -尸(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.65 .设 A, 5 是两事件,且尸(A) =0.6,P(B)=0.7,(1)在什么条件下P(AB(2)在什么条件下P (AB【解】(1)当AB=A时，P (A8)取到最大值为0.6.(2)当AUB=。时，P (4B)取到最小值为0.3.6 .设 A, B, C 为三事件，且 P (A)
3、 =P (B) =1/4, P (C) =1/3 且尸(A8) =P (BC) =0, P (AC) =1/12,求4, B, C至少有一事件发生的概率.【解】 P (AUBUC) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AO+P(ABC)11113. 一 XX 4 4 3 12 47 .52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】片C：3c建：3c8 .(1)求五个人的生日都在星期日的概率；(2)求五个人的生日都不在星期日的概率;(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)设4=(五个人的生日都在星期日),基本事件总
4、数为75,有利事件仅1个，故P (Aj)=1=(-)5 (亦可用独立性求解，下同)757(2)设4=五个人生日都不在星期日,有利事件数为65,故(3)设4=五个人的生日不都在星期日P(A3)=l-P(Ai)=l-(-)579.见教材习题参考答案.10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件(30. 如图阴影部分所示.302 122.(1)(2)【解】0, 1）中随机地取两个数，求:两个数之和小于g的概率；5两个数之积小于L的概率.4设两数为x,y,则0x,yl.6(1) x+y.j44Pi = 1- 2 5 5. =12_-o.681 125(2)xy=0.9即为(0.8) 则3 _
5、尸(4)=i-p(A4A)=i-p(A)p(4)p(A)34. n.4n507,若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2：若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6：若三人 都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设4=飞机被击落, 5=恰有i人击中飞机, i=0,1,2,3由全概率公式，得3P(A) = Zp(A|B,)P(B,)i=Q=(0.4 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.7)0.2+(0.4 X 0.5 X 0.3+0.4 X 0.5 X 0.7+0.6 X 0.5 X 0.7)0.6+0.4 X 0.5 X 0.7
6、 =0.45835. 为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： (1)虽然新药有效，且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率.(2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.【解】(1)P1 =ZC：o(0.35(0.65)g =0.5138 k=O10(2) p2 = ZC：o(O.25)O.75)iY = 0.2241 k=436. 乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:(1)A= 某指定的一层有两位乘客离开”；(2) B= 没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”：(3) C= 恰有两位乘
7、客在同一层离开”；(4) g ”至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为种.C294(1) P(A) = ，也可由6重贝努里模型：。y制(2) 6个人在十层中任意六层离开，故(3)由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C；。种可能结果，再从 六人中选二人在该层离开，有C：种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情 况，因此可包含以下三种离开方式：4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余 8层中任一层离开，共有C；C：C；种可能结果：4人同时离开，有C；种可能结果； 4个人都不在同一层离开，有P；种可能结果，故p(c)=e
8、g(cc； + c；+/)/1。6(4) D=瓦故p6P(D) = 1-P(B) = 1一一%10637.个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：(1)甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；(2)甲、乙、丙三人坐在一起的概率；(3)如果个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】(1)p,= n-13!(n-3)!(n-D!,n3c ，(H-l)! 1， 3!(-2)!38.(3) Pi =-一 = 一;2 =,N3 nnn01 a【解】设这三段长分别为则基本事件集为由0xa,0ya,0a-x-ya-x-yx + (a x-y)yy + (a-x-y)x构成的图形，即C a0 x
9、 2a x+ y PA(B C) = P(AB AC)=尸(AB) + 尸(AC) - P(ABC)P（AB） + P（AC）-P（BC）42 .3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1, 2, 3的概率.【解】设A产杯中球的最大个数为讣/=1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有4种，杯中球的最大个数为1时, 每个杯中最多放一球，故C331口4）=崇=而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中，故C1 1p（A）= W = J-43 16319因此p（a,）= i-p（a）-p（A）= i-8 lo lo43 .2次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】
10、掷2次硬币，可能出现：A=正面次数多于反面次数), 8=正面次数少于反面次数, C=正面次数等于反面次数, A, B, C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P(A)=尸(B) .所以P(A) = 一由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为p(O =44 .次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设4=出现正面次数多于反面次数), 8=出现反面次数多于正面次数),由对称性知 P (A) =P (B)(1)当为奇数时，正、反面次数不会相等.由P (A) +P (B) =1得P (A) =P (B) =0.5(2)当为偶数时，由上题知1巴1P(A) = -l-C(-)n45
11、 .+1次，乙掷次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】令甲产甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙片乙掷出的正面次数，乙片乙掷出的反面次数.显然有(甲正 乙正)=(甲jeW乙正)=(+1-甲反乙反)=(甲反21+乙反)=(甲反乙反)由对称性知P (甲正乙正)=P (甲反乙反)因此P(甲正乙正)二1246 .Sure-thing)；若 P (A|C) P(BC),P(A C C ),则 P (4)2 P(B).【证】由P (A|C)2P(B|。,得P(AC) P(BC)P(C) - P(C)即有P(AC)NP(BC)同理由P(AC)P(BC),得P(AC)P(BC),故P(A
12、) = P(AC) + P(AC) P(BC) + P(BC) = P(B)47 .一列火车共有n节车厢，有如12)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少 有一个旅客的概率.【解】设A产(第i节车厢是空的,(仁1,)，则p(A)= r- = (i-/nnn 4、/1 一 1 女其中八,h,岛是1，2,，n中的任-1个.显然节车厢全空的概率是零，于是$=邙(4)= (1-3=c；(i-3 nn22= z p(aa；x(ir i余ns“t= Z 尸（44/1；12 如S=。p（a）=si-s2+s3- +（-l）n+,S 1=1=c：(i)y(”2)*+ +(-irc：-(i-)* nn
13、n故所求概率为_p( 4) = 1 -C：(1_2)+C(1 -2y_ +(-irc；：-,(i-)*0.试证明：不论e0如何小，只要不断地独 立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1.【证】在前次试验中，A至少出现一次的概率为1-(1- ) f 1( f 8)49 .袋中装有小只正品硬币，只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只， 将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设4=(投掷硬币r次都得到国徽8=这只硬币为正品irt - h由题知P(fi) =,P(8) =m-n m + nP(A|B)=P(A|B)=1则由贝叶斯公式知P(B A)=a
14、殁=辿四包P(A) P(B)P(A B) + P(B)P( A B)tn 1_2_ mm . m + 2rnm+ni m+n50 .巴拿赫(Banach)火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用 火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有r根的概率又【解】以所、历记火柴取自不同两盒的事件，则有尸(耳)=(耳)=，.(1)发现一盒已空，另一盒恰剩r根，说明已取了 2-r次，设次取自Bi盒(己空)，次取自治盒， 第2-丹1次拿起S，发现已空。把取2-/次火柴视作2-/重贝努里试验，则
15、所求 概率为式中2反映向与星盒的对称性(即也可以是&盒先取空).(2)前次取火柴，有-1次取自Bi盒，次取自历盒，第2-r次取自以 盒，故概率为P2= 2cL_总产(；)|51.重贝努里试验中A出现奇数次的概率.【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由(q+ 4 = C% +C：pqi +* 尸 +c：pq。= 1(-p)=CV +CnPqn- +CV-2 - +(-l)nCV以上两式相减得所求概率为Pl=CnPqn+Clp3qn-3 += gl-(4-，)= l-(l-2p)n若要求在重贝努里试验中4出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得p2=1l + (l-2p)n.52 .设A,
16、8是任意两个随机事件，求2 ( A+B) (A+B) (X +与)(A+耳)的值.【解】因为(AUB) n ( A U B ) =AB U AB(A UB) n (AU B ) =ABU AB所求(A + B)(A + B)(A + fl)( A + B)= (AB AB) (A8 +诟)=0故所求值为0.53 .设两两相互独立的三事件，A, 8和CABC=(t,尸(A)=P(B)=P(O 1/2,且 P (AUBUC) =9/16,求尸(A).【解】由 P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C)-P(AB)-P(AC)- P(BC) + P(ABC),9= 3P(?1)-3P
17、(4)2=-161-311故P(A) =或:，按题设尸(A) 0,P（4由）=1,试比较P（AUB）与尸（A）的大小.（2006研考）解：因为P(A B) = P(A) + P(B)-P(AB)P(AB) = P(B)P(AB) = P(3)所以P( A 与=R伞R& R西 A习题二1 .一袋中有5只乒乓球，编号为1, 2, 3, 4, 5,在其中同时取3只，以X表示取出的3只 球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】X =3,4,5P（X=3） =，= 0.1尸（X=4） = = 0.3故所求分布律为X345p0.10.30.62 .设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每
18、次任取1只，作不放回抽样, 以X表示取出的次品个数，求：(1) X的分布律；(2) X的分布函数并作图；(3)133尸X W-,P1X W-,尸1WX W-,尸1X2.222【解】X =0,1,2.C 22 p(X = 0) = -. = .C：5 35CC?, 12 s卡=亚c1 1P(X = 2) = - = .。35故X的分布律为X012p22121353535(2) 当 x0 时，F (x) =P (Xx) =022当 0xl 时，F (x) =P (XWx) =P(X=0)= 3534当 lWx2 时，F (x) =P (XWx) =P(X=0)+P(X=l)= 当 x22 时，F
19、(x) =P (X2(3)3312P(1X-) = P(X=1) + P(1X j) = 34 1 P(1 X 2) = F(2) - F(l) - P(X = 2) = 1 - - - - = 0.3 .射手向目标独立地进行了 3次射击，每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的 分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.则X=0, 1, 2, 3.P(X=0) = (0.2)3 =0.008 P(X = 1) = Cj0.8(0.2)2 = 0.096 P(X =2) = C； (0.8)2(12 = 0.384 P(X= 3) = (0.8)
20、3 =0.512故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数0,x00.008, 0xl0.104,1 x 20.488,2x3P(X2) = P(X =2)4- P(X = 3) = 0.8964 . (1)设随机变量X的分布律为乃PX=k=a,k!其中仁0, 1, 2,，d0为常数，试确定常数a.(2)设随机变量X的分布律为PX=k=a/N,k=1, 2,，N,试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质知008 &1 = Z?(X =幻=。一 = ae*=o*=o k!(2)由分布律的性质知NN1 = p(X=A)=X。*=1*=iN即a=l.5 .甲、乙两人投
21、篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：(1)两人投中次数相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、丫表示甲、乙投中次数，则X6 (3, 0.6)，丫出3,0.7)(1) p(x = y)= p(x=o,y=o)+p(x = i,y = i)+p(x = 2,y = 2)+p(X=3,Y = 3)=(04)3(0.3)3 +C；0.6(0.4)2C；0.7(0.3)2 +C；(O.6)2O.4C；(O.7)2O.3 + (O.6)3(O.7)3= 0.32076(2)尸(xy)= p(x = i,y=o)+p(x = 2,y=o)+p(x = 3,y=o)+p(x
22、= 2,y = i)+p(x=3,y = i)+p(x=3,y=2)=C；0.6(0.4)2(0.3)3 +C； (0.6)20.4(0.3)3 +(0.6)3(03)3 +C；(0.6)2().4C；0.7(0.3)2 +(0.6)3(2；0.7(0.3)2 + (0.6)3(0.7)20.3=0.2436 .设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各 飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降 落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则Xb(20
23、0,0.02),设机场需配备N条跑道， 则有P(XN)0.01200即Z Cjoo (0.02)* (O.98)2X 0.01k=N+利用泊松近似2 = ?/? = 200 x 0.02 = 4.JSL e-4 4AP(XNN) 2) = l-P(X=0)-P(X=l)= l-efll-0.1xe)18 .已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足尸X=1=PX=2,求概率尸X=4.【解】设在每次试验中成功的概率为p,则C；p(l-p)4=C2(l-p)3故p = 31 710所以p(X=4) = Ct(-)4- = .5 3 3 2439 .设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少
24、于3次时，指示灯发出信号， (1)进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； (2)进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】(1)设X表示5次独立试验中A发生的次数，则*6(5, 0.3)5P( X N 3) = Z C； (0.3) (0.7广 = 0 63084=3(2)令y表示7次独立试验中A发生的次数，则y6 (7, 0.3)7P(Y 3) = ZC(03)* (0.7尸=0.35293=310 .某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)/的泊松分 布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计).(1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；(2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.3_5【解】(1)尸(X =0) = e(2) P(X 1) = 1-P(X = 0) = l-e-2llPX=k=CpR(l-p)2-*, 40,1,2P y=M=C；p(l - p)f, w=0,l,2,3,4分别为随机变量x, y的概率分布，如果已知试求54【解】因为P(XN1) = -,故P(X1)