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1、2021-2022学年江西省抚州市崇仁二中九年级（上）第一次月考数学试卷1.在 口 ABCQ中，对角线AC,BQ相交于点O,只需添加一个条件，即可证明。ABC。是矩形，这个条件可以是（）A.AB=BC B.AC=BD C.AC 1 BD2.面积为8 的正方形的对角线的长是（）A.V2 B.2 C.2V23.一元二次方程2 7-3 x 1=0的一次项系数是（）A.2 B.3 C.14.下列一元二次方程没有实数根的是（）A.x2+x+3=0 B.x2+2x+1=0 C.x2 2=0D./LAOB=60D.4D.3D.x2 2x 3=05.如 图，菱形ABC。的对角线AC、8。相交于点。，过点。作D
2、H 于 点 连 接。从若04=3,OH=2,则菱形ABCQ的面积为（）A.12 B.18 C.6D.246.己知一元二次方程2/一 3工 一 6=0有两个实数根a,b,直线经过点4（a+4 0）和点B（0,ab）,则直线/的函数表达式为（）A.y=2x-3 B.y=2x+3 C.y=2x+3 D.y=-2 x -37.如图，在“ABC。中，请添加一个条件：,使得口ABCD成为矩形.8.关于a 的一元二次方程a?=3a的解为.9.如图，在边长为10的菱形ABC。中，对角线BO=1 6,点O 是线段2。上的动点，。6 1 4 8 于 t,0 F 1 4 D 于尸,则。E+OF=.10.为解决群众看
3、病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元.设平均每次降价的百分率为x,则 可 列 方 程 为.11.如图，在四边形 ABCD 中，4 4DC=乙ABC=90,AD=CD,DP 148于P.若四边形ABC。的面积是1 8,则 DP的长是.12.已知一元二次方程a/+以+c=0(a芋0)和它的两个实数 根 为 x2,下列说法：若a,c异号，则方程a/+匕 +c=0(a。0)定有实数根；若炉 5 a c,则方程a/+取+c=0(a*0)一定有两异实根；若b=a+c,则方程a/+bx+c=0(a丰0)一定有两实数根；若a=l,b=2,c=-3,由根与
4、系数的关系可得Xi+刀 2=-2,xrx2-3其中正确的结论是：(填序号).13.(1)如图，Rt 4DAB,/.DAB=90,40=36。，。为 DB 中 点,求NBA。的度数.(2)对于实数a,b 定 义 运 算 如 下：b=ab2-a b,例如3仝2=3 x 22-3 x 2=6,解 方 程 x=2.14.解方程：(l)x2-4%+3=0；(2)(%-2)2-6(x-2)+8=0.15.如图，在正方形ABCZ)中，对角线AC,8。相交于点O,点E,F 是对角线AC上的两点,且力E=CF.连接OE,DF,BE,BF.若AB=4 a,AE=2,求四边形BED尸的周长.D16.商场某种商品平均
5、每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2 件.(1)设每件商品降价x 元，则商场日销售量增加 件，每件商品，盈利 元(用含x的代数式表示)；(2)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？17.已知：矩形A8C,点 M 是 AD的中点，点 E 在 AM上，请用无刻度尺画图：(1)在图甲中，在边BC上找一点Ei，使C E i=A E；(2)在图乙中：在边8 c 上找一点E2，使BE2=4E.18.已知关于x 的方程/-mx+(zn-2)=0.(1)求证：不论，”为何值，该方
6、程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有一个根是2,求力的值以及方程的另一个根.19.如图，在等腰力BC中，力 B=BC,B。1 AC于点。，点。是 B。上一点，延长8。至点E,使OE=。，点 C 到 AE的距离为d.(1)求证：四边形AOCE是菱形；(2)若四边形AOCE的周长为2 0,两条对角线的和等于1 4,求 d 的值.2 0.如图，正方形ABC。的对角线交于点。，点E、尸分别在A&B C上(力E 的边长为6,OE =EM,求M N的长.2 1.中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、8两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天
7、300元，今年2月，该酒店登记入住了 120间，总营业收入28000元.(1)求今年2月该酒店4种房间入住了多少间？(2)该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将2种房间房价下调a%,由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了|a%,总营业收入在2月的基础上增加了a%,求a的值.2 2.如图，在Rt 4BC中，44c8=90。，过点C的直线。为A 8边上一点，过点。作。E 1 B C,交直线M N与E,垂足为尸，连接CD,BE.(1)求证：CE =A D；(2)当。在A B中点时，四边形CO 8E是什么特
8、殊四边形？说明理由；(3)在满足(2)的条件下，当 ABC满足什么条件时，四边形CQBE是正方形？请说明你的理由.23.定义:我们把关于x 的一元二次方程a/+bx+c=0与c/+bx+a=O(ac K 0,a。c)称为一对“友好方程”.如 2/-7x+3=0的“友好方程”是3-7%4-2=0.(1)写出一元二次方程/+3x-10=0的“友好方程”.(2)己知一元二次方程/+3 x-10=。的两根为%=2,x2=-5,它 的“友好方程”的两根%3=%=.根据以上结论，猜想a/+bx+c=0的两根X、必与 其“友好方程”cx2+bx+a=0的两根与、心之 间 存 在 的 一 种 特 殊 关 系
9、为，证明你的结论.(3)已知关于x 的方程2021M+块 一 1=0的两根是/=-1,孙=击 请 利 用 Q)中的结论，求出关于x 的方程(x-l)2-b x +b=2021的两根.答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、四边形ABC。是平行四边形，A B=BC,。4 8 c o 是菱形，故选项A 不符合题意；8、,四边形ABCZ)是平行四边形，A C=BD,二。ABC。是矩形，故选项8 符合题意；C、r 四边形ABC。是平行四边形，A C 1 BD,.。ABC。是菱形，故选项C 不符合题意；D、由四边形ABCC是平行四边形，/-0 A B=6 0 ,不能判定。A3CC是矩形，故选项。不符合题
10、意；故选：B.由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可.本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质等知识；熟 记“对角线相等的平行四边形为矩形”是解题的关键.2.【答案】D【解析】解：.正方形的面积为8,.正方形的边长为2鱼，则正方形的对角线=J(2V 2)2+(2V2)2=4.故 选:D.根据正方形的面积为8,可得出正方形的边长为2 v L 继而利用勾股定理可得出正方形的对角线长度.此题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键有两点，求出正方形的边长，利用勾股定理求对角线的长度，难度一般.3.【答案】D【解析】解：该方程的一次项系数为-3,故选：D.根据一元二次方程的一般式即
11、可求出答案.本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的一般式，本题属于基础题型.4.【答案】4【解析】解：4方程/+%+3 =0 中4 =1 2-4 1*3 =-110,此方程有两个不相等的实数根；。.方程/-2X-3=0 中4 =(一2)2 -4x 1 x(-3)=1 6 0,此方程有两个不相等的实数根；故选：A.分别计算出每个方程中的判别式的值，从而得出答案.本题主要考查根的判别式，一元二次方程a M +法+c =0(a 芋0)的根与4 =b2-4 a c 有如下关系:当/0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当/=。时，方程有两个相等的两个实数根；当/0时，方程无实数根.5
12、 .【答案】A【解析】解：四边形A B C。是菱形，OA =O C,OB=O D,A C B D,DH 1 A B9A Z-BHD=9 0 ,:.BD=2OH,OH =2,BD=4,OA=3,，A C=6,菱形 A B C。的面积=；x 6x 4=1 2.故选：A.由B H D 中，点。是 的 中 点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，。=2,则，BD=4,由菱形对角线的性质可得A C =6,应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案.本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是是解决本题的关键.6 .【答案】A【解析】解：a
13、,6 是一元二次方程2/一 3x-6 =0 的两个实数根，3 a+b=ab 3.二点A的坐标为(|,0),点 B的坐标为(0,-3).设直线/的函数表达式为y=mx+n(m H 0),将4 6,0),8(0,-3)代入丫=机刀+7；,得：(1m+,=,*I n =-3解得：二I?,直线/的函数表达式为y=2x-3.故选：A.利用根与系数的关系可得出a +b=l，ab=-3,进而可得出点A,B的坐标，由点A,8的坐标，利用待定系数法即可求出直线/的函数表达式，此题得解.本题考查了根与系数的关系以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键.7.【答案】
14、乙4 =9 0。【解析】解：一个角是9 0。的平行四边形是矩形，添加乙4 =9 0。.故答案为：LA=9 0 .根据矩形的判定定理即可得出结论.本题考查了对矩形的判定定理的应用，注意：矩形的判定定理有：有一个角是直角的平行四边形是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形.8.【答案】的=0,a2=3【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.先移项，然后通过提取公因式法对等
15、式的左边进行因式分解并解方程.【解答】解：由原方程，得a(a 3)=0,则a =0或a-3 =0,解得%=0，&=3.故答案是：臼=0,a2=3.9.【答案】9.6【解析】解：如图，连接AC交 BO于点G,连接A。，四边形A B C。是菱形，A C 1 BD,A B=A D =1 0,BG=BD=8,根据勾股定理得：A G=7 A B 2-BG2=V 1 02-82=6,A BD=S&A OB+SA OD，B|J|BD-A G=A B-OE +A D-OF,1 6 x 6 =1 0 0 E +1 0 0 F,OE +OF =9 6故答案为：9.6.连接AC交B D于点G,连接A O,根据菱形的
16、性质可求出AG的长，再根据面积法即可求出。E +OF的值.本题考查了菱形的性质、勾股定理、三角形面积等知识，解决本题的关键是熟练掌握菱形的性质和三角形面积公式.1 0 .【答案】28 9(1 -x)2=25 6【解析】【分析】此题主要考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为“，变化后的量为从 平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(l x)2=b.设平均每次的降价率为x,则经过两次降价后的价格是28 9(1 -)2,根据关键语句“连续两次降价后为25 6 元，”可得方程28 9(1 -乃 2=25 6.【解答】解：设平均每次降价的百分率为x,则第一降价售价为28 9(1 -乃，则第二次
17、降价为28 9(1 -乃 2,由题意得：28 9(1 -x)2=25 6.故答案为28 9(1-乃 2=25 6.1 1 .【答案】3 V 2【解析】解：如图，过点。作DE1DP交 8c 的延长线于E,31yl 二.-QEv /.A DC=/.A BC=9 0 ,/1 C.四边形。P 8 E 是矩形，/“O E +“O P =9 0。，Z.A DC=9 0 ,/A DP+乙 CDP=9 0。，A p B:.Z.A DP=乙C D E,DP 1 4 B,Z,A PD=9 0 ,Z.APD=NE=90,在CDE 中，/.ADP=/.CDEZ.APD=乙 E,AD=CD:.ADPQA CDEAAS,
18、DE=D P,四边形ABC。的面积=四边形。P8E的面积=18,矩形ZJP8E是正方形，DP=V18=3V2.故答案为：3夜.过点。作D E 1D P交 BC的延长线于E,先判断出四边形。PBE是矩形，再根据等角的余角相等求出DP=ZC D E,再利用“角角边”证明AADP和CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=D P,然后判断出四边形QP8E是正方形，再根据正方形的面积公式解答即可.本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和正方形是解题的关键.12【答案】【解析】解：a、c 异号，a 于0,ac 0,方程一定有两个实数根，所以正确；v
19、 b2 5ac,.4=庐一4ac 0,方程一定有两个实数根，所以正确；/?=Q+C,.A=b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a c)2 0,，方程一定有两个实数根，所以正确；若a=l,b=2,c=-3,根据根与系数的关系可得+&=一，=-2,xrx2=3,所以正确.故答案为：.利用根的判别式的意义对进行判断；根据根与系数的关系对进行判断.本题考查了根与系数的关系：若Xi，&是一元二次方程a-+bx+c=0(a 工0)的两根，4-x2=T，=*也考查了根的判别式13.【答案】解：(1)v Z-DA B=90,乙 D=3 6 ,/.z =90-3 6 =5 4 ,v /.BA D=90,。为。
20、8 中点，A O=O B,(BA O=Z B =5 4 ；(2)v 1 x=2,%2 -X 2,%2%-2 =0,(%2)(%+1)=0,x-2=0 或x +1=0,x=2 或%=1.【解析】(1)首先利用三角形内角和定理得N B 的度数，再利用直角三角形斜中定理可得答案；(2)根据定义得/%=2,再解方程即可.本题主要考查了直角三角形的性质，实数的运算，解方程等知识，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键.14 .【答案】解：(1)X2-4X+3=0,(%-3)(%-1)=0,解得：%i=3,x2=1;(2)(%2 产 6(%2)+8 =0(%2 2)(%2 4)=0,(%-4)(%
21、-6)=0,解得：刈=4,不=6.【解析】(1)将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；(2)将 -2 看作整体，利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于无的一元一次方程，分别求解即可得出答案.本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.15 .【答案】解：四边形A 3。是正方形，/.OA =OC,OD=OB,E F 工 BD,v A E =CF,OE =O A-A E,OF =OC-CF,:.OE OF,，四边形8 E O尸是菱形
22、,V AB=4 V2,AE=2,OB=0A=4,OE=OA-AE=4-2 =2,BE=yJOE2+OB2=V42+22=2而，四边形8 E QF的周长=4BE=4 X 2遥=8花，【解析】容易证明四边形B E C F是菱形，利用所给的条件，求出B E的值，即可求出四边形B E QF的周长.本题考查了正方形性质及菱形性质的综合应用，综合性比较强，难度适中.16.【答案】2 x(5 0-x)【解析】解：(1)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2%件，每件商品，盈利(5 0-x)元，故答案为：2x,(5 0 -x).(2)由题意得:(5 0-x)(3 0 +2 x)=2 0 0 0,化简得：X2
23、-3 5%+2 5 0 =0,解得：%i=10.x2=2 5,该商场为了尽快减少库存，则x =10不合题意，舍去，*,x 2 5,答：每件商品降价2 5元，商场日盈利可达2 0 0 0元；(1)分别表示出增加的件数和盈利的金额即可；(2)日盈利=每件商品盈利的钱数X(原来每天销售的商品件数3 0 +2 x降价的钱数)，把相关数值代入求解即可.此题主要考查了一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2 10 0的等量关系是解决本题的关键.17.【答案】解：(1)如图甲，点%为所作；(2)如图乙，点E 2为所作.【解析】(1)连接AC、B D,它们相交于。点，连接E。并延
24、长交B C于用点；(2)延长M 0交B C于N点，再连接O N、C M,它们相交于尸点，接着延长E】P交 于 尸 点，然后延长F。交B C于E?点.本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了矩形的性质.1 8.【答案】(1)证明：a =1,b=-m,c=m-2,b2 4ac (m)2 4 X 1 X 8(m -2)=m2 4 m +8 =(m -2)2+4,(m -2)2 0,(m -2)2+4 0,即。0,不论，为何值，该方程都有两个不相等的实数根；(2)解：设方程的另一个为根据题意得，2 +t =m,2t=m 2,：.2+t-2t=2,解得t =0,m =2,
25、m的值为2,另一个根为0.【解析】(1)先计算判别式的值得到4=(m -2)2+4,然后根据判别式的意义得到结论；(2)设方程的另一个为f,利用根与系数的关系得到2 +t =m,2 t =皿-2,然后解方程组即可.本题考查了根与系数的关系：若匕，外是一元二次方程。/+以+=0(。r 0)的两根时，/+必=-5/右=(.也考查了判别式的意义1 9.【答案】证明：(1)；AB=BC,BO LA C,A O=CO,A D=CD,又 OE =OD,四边形AO CE是平行四边形，v A D=CD,平行四边形AOCE是菱形；(2).菱形A DCE的周长为2 0,A E =A D=CD=CE =5,AC与O
26、 E的和等于1 4,A 0 +0 E =7,v A O2+OE2=A E2,(7 -OE)2+0 E2=2 5,OE=4,或OE =3,OE=8或 6,AC=6或 8,菱形 ADCE 的面积=g x 6 x 8=5d,2 4:.a=.【解析】(1)由线段垂直平分线的性质可得4。=CO,AD=C D,由菱形的判定可得结论;(2)利用勾股定理先求AC,OE的值，由面积法可求d的值.本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的面积的两种求法是解题的关键.2 0.【答案】解：(1)、四边形A8CC是正方形，OA=OB,DAO=45,4084=45,40AM=乙 OBN=135,v Z.E0F=9
27、0,乙408=90,Z.AOM=乙 BON,OAMW OBN(ASA),OM=ON；(2)如图，过点。作OH 1 4D于点H,正方形的边长为6,OH=HA=3,E为0M的中点，HM=6,则。M=V32+62=3V5,MN=V20M=3V10.【解析】(1)证CMMgAOBN即可得；(2)作。H 1.4。，由正方形的边长为6且E为。用的中点知10=凡4=3、HM=6,再根据勾股定理得OM=3遥，由直角三角形性质知MN=近0时.本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质.2 1.【答案】解：(1)设今年2月该酒店A种房间入
28、住了 x间，则B种房间入住了(1 2 0 -x)间，依题意得：2 0 0%+30 0(1 2 0 -%)=2 8 0 0 0,解得：x =8 0.答：今年2月该酒店4种房间入住了 8 0间.(2)依题意得：(2 0 0 -2 a)x 8 0(1 +|a%)+30 0(1 -a%)X (1 2 0 -8 0)(1 +|a%)=2 8 0 0 0(1 +a%),整理得：7 a 2-1 4 0 a =0,解得：=2 0,。2 =。(不合题意，舍去).答：a的值为2 0.【解析】(1)设今年2月该酒店A种房间入住了 x间，则8种房间入住了(1 2 0-吗间，根据总营业额=每个房间的单价x入住数量，即可
29、得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；(2)根据总营业额=每个房间的单价x入住数量，结合3月总营业收入在2月的基础上增加了a%,即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程.2 2.【答案】证明：OE 1 BC,4 DF B=9 0,/.A CB=9 0 ,Z.A CB=乙DF B,：.A C/DE,MN/A B,即CE A。，四边形AOE C是平行四边形，CE =A D；(2)四边形BE CQ是菱形，理由如下：.D为A B中点，
30、A D=BD,v CE =A D,BD=CE,-BD/CE,四边形BE C。是平行四边形，4A CB=9 0 ,D 为 A8 中点，CD=A B=BD,四边形8 E CQ是菱形；(3)当 ABC是等腰直角三角形时，四边形BE CQ是正方形；理由如下：A A CB=9 0 ,当AABC是等腰直角三角形，。为A B的中点，CD 1 A B,：.乙CDB=9 0 ,四边形2 E CD是正方形.【解析】【试题解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键.(1)证出4 C D E,得出四边形
31、AOE C是平行四边形，即可得出结论；(2)先证出BO=C E,得出四边形BE C。是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=：A B=B D,即可得出四边形BE CQ是菱形；(3)当ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CO 1 4 B,即可得出四边形BE CO是正方形.2 3.【答案】-1 0 x2+3x +1 =0 -1互为倒数【解析】解：(1)一元二次方程/+3x 1 0 =0的“友好方程”为：一 1 0 x 2 +3x +1 =0,故答案为：-1 0%2 +3x +1 =0；(2)-1 0/+3%+1 =0,(2 x -1)(5%+1)=0,解得，%3=X4=-根
32、据以上结论，猜想。/+汝+。=0的两根与、2与 其“友好方程”42+以+。=0的两根%3、%之间存在的一种特殊关系为互为倒数，证明如下：一元二次方程a x 2+bx+c=0的两根为勺=-4,x2=,9一眈，“友好方程”cx2+bx+a=0的两根为冷=_b+J；：4ac,办=f _ y _ 4 a c b+Jb2-4ac b Jb2-4ac-b-Jb2-4ac b+Jb2-4ac.X l 4=-Z=1 与=-G-五=即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数；故答案为-右互为倒数；1(3).方程2021/+b x-l =0的两根是的=-1,x2=矗.二该方程的 友好方程 一产+bx+2020=0
33、,即/bx 2020=0的两根为/=-1,x2=2020,则(x-l)2-b x +b=2 0 2 0,即(x-I)2-b(x-1)-2020=0 中 -1=-1 或 x-1=2020,该方程的解为久1 =0,x2=2021.利用(2)中的结论，写出关于x 的方程(x-bx+b=2020的两根为/=0，x2=2021.(1)根 据“友好方程”的定义写出对应的友好方程即可；(2)因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“友好方程”的根得出规律，再用求根公式去验证即可；(3)先根据“友好方程”的根的特点得出/+bx+2020=0,即产-bx-2020=0的两根为%!=-1,%2=2 0 2 0,将待求方程变形为(x-b(x-1)-2020=0,把 看 作 整 体 即 可求解.本题主要考查新定义下一元二次方程根与系数的关系及求根公式的运用，掌握并灵活运用新定义是解题的关键.