中学数学二次函数压轴题.pdf

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1、二次函数压轴题专项练习一、解答题1.如图，抛物线y=a/+bx+3与x轴相交于点4(一 1,0)、6(3,0),与y轴相交于点C,点P为 线 段O B上的动点(不与。、B重合)，过 点P垂 直 于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F,点。在y轴正半轴上，OD=2,连 接DE、OF.(1)求抛物线的解析式；(2)当四边形O DE F是平行四边形时，求 点P的坐标；(3)过 点A的直线将(2)中的平行四边形O DE F分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式.(不必说明平分平行四边形面积的理由)2.如图，二次函数y=-x2+b x +c的图象与x轴交于点1(-1,0),8(3,0).(1)

2、求b,c的值.(2)如 图1设 点Q的横坐标为m.记&B CQ的面积为S,求S关 于m的函数表达式.(3)如 图2,动 点P在 线 段OB上，过 点P作x轴的垂线，分 别 与B C交 于 点G,与抛物线交于点H.试问抛物线上是否存在点F,使 得AAPG的面积与A P HF的面积相等，且 线 段HF的长度最小？如果存在，求出点F的坐标，如果不存在，说明理由.过点B,P,C的外接圆恰好经过点H,则P点坐标为(直接写出答案).3.已知抛物线 y=x2+(2m+l)x +m(m -3)(m 为常 数，一 A(-m -l,y,),B g,y2)是该抛物线上不同的两点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点。逆时针

3、旋转90。得到直线a,过抛物线顶点P作尸H工a于H.(1)当m=l时，求出这条抛物线的顶点坐标；(2)若 无 论m取何值，抛物线与直线y=x-k m(k为常数)有且仅有一个公共点，求k的值；(3)当1 0)的图象与x轴 交 于4,8两 点(点4在 点8的左侧)，与y轴交于点C,且。8=OC=3,顶 点 为M.(1)求二次函数的解析式；点P为线段B M上的一个动点，过 点P作x轴的垂线P Q,垂 足 为Q,若 OQ=m，四边 形A C P Q的面积为S,求S关 于m的函数解析式，并写出m的取值范围；(3)探索：线 段B M上是否存在点N,使4 NMC为等腰三角形？如果存在，求 出 点N的坐标;如

4、果不存在，请说明理由.6.如图，在平面直角坐标系中，抛 物 线y=ax2+b x-3(a*0)与x轴交于点 做一2,0),8(4,0)两点，与y轴交于点c.(1)求抛物线的解析式.(2)点P从4点出发，在 线 段A B上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在 线 段B C上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动，当 P B Q存在时，求运动多少秒使A P e Q的面积最大，最大面积是多少？(3)当4 P B Q的面积最大时，在B C下方的抛物线上存在点K,使 SGC BK：S“BQ=5：2,求K点坐标.7.已知，经过点4(一4,4)的抛

5、物线y=a/+b x与x轴相交于点B(-3,0).(1)求抛物线的解析式.(2)如 图1,过 点A作/1 H J.X轴，垂 足 为H,平行于y轴的直线交线段A O于 点Q,交抛物线于点P,当四边形A HP Q为平行四边形时，求Z A O P的度数.Hx图1(3)如 图2,试探究：在抛物线上是否存在点C,使Z C AO=Z B A O?若存在，请求出直线AC解析式；若不存在，请说明理由.8.点P为抛物线y=/-2 m x +m 2(巾 为常数，m 0)上任意一点，将抛物线绕顶点G逆时针 旋 转90。后得到的图象与y轴交于4B两 点(点4在 点B的上方)，点 Q 为 点 P旋转后的对应点.(1)抛

6、 物 线y=x2-2m x 4-m2的对 称 轴 是 直 线;当m=2,点P的横坐标为4时，点Q的坐标为.(2)设 点Q(a,b),请你用含b的代数式表示a,则a=.(3)如图，点Q在第一象限，点。在x轴的正半轴上，点C为。D的中点，Q。平分ZAQC,AQ=2 Q C,当Q。时，求血 的值.9.如图，在平面直角坐标系中，点4,B分 别 是y轴正半轴，x轴正半轴上两动点，OA=2k,OB=2k+3,以AO,B O为邻边构造矩形A O B C,抛 物 线y=-1x2+3 x +k交y轴 于 点D,4P为顶点，P M Lx轴于点M.(1)求。，P M的长(结果均用含k的代数式表示).(2)当P M

7、=BM时，求该抛物线的表达式.在 点A在整个运动过程中.若存在 A D P是等腰三角形，请求出所有满足条件的k的值.当 点A关于直线DP的对称点A,恰好落在抛物线y=-x2+3 x +k的图象上时,请直接写出k的值.(1)求抛物线的解析式；将 直 线0B向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点。，求 小 的值及点D的坐标；(3)如 图2,若 点N在抛物线上，且/N B O =NA B O,则 在(2)的条件下，求出所有满足P O D s NO B的 点 P 坐 标(点 P,。，D 分别与点N,0,B对应).11.如图，二次函数y=x2+bx-3的图象与x 轴分别相交于4,B两点

8、，点B的坐标为(3,0),与 y 轴的交点为C,动 点 T 在 射 线A B上运动，在抛物线的对称轴I上有一定点D,其纵坐标 为 2 6，/与 x 轴的交点为E,经 过 A,T,D三 点 作O M.(1)求二次函数的表达式.(2)在 点T的运动过程中./DMT的度数是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.若M T =A D,求 点M的坐标.(3)当 动 点T在 射 线E B上运动时，过 点M作M H l x轴 于 点 H,设“7=a,当。VX 4 0 7 时，求 y 的最大值与最小值(用含a 的式子表示).12.如图，已知二次函数y=ax2+b x +c(a*0)的对称轴为直线x=

9、-1,图象经过8(-3,0),C(0,3)两点，且 与 x 轴交于点A.(1)求二次函数y=a/+bx+c(a H 0)的表达式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使A A CM周长最短，求出点M 的坐标；(3)若 点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使&B P C为直角三角形时点P的坐标.13.一次函数y=-2 x-2分别与x 轴、y 轴交于点A,B,顶 点 为(1,4)的抛物线经过点4X(1)求抛物线的解析式.(2)点C为第一象限抛物线上一动点，设 点C的横坐标为m,ABC面积的为S,当 也 为何值时，S的值最大，并 求S的最大值.(3)在(2)的结论下，若 点M在y轴上，M C M为

10、直角三角形，请直接写出点M的坐标.14.边长为2的正方形04BC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是 边。4的中点，连接C D,点 E在第一象限，且D E J.D C,D E=DC.以直线A B为对称轴的抛物线过C,E两点.(1)求抛物线的解析式；(2)点P从 点C出发，沿 射 线CB每 秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒.过 点P作PF LCD于 点F,当t为何值时，以 点P,F,D为顶点的三角形与4 C0 D相似？(3)点M为直线A B上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M,N,使得以点M,N,D,E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在

11、，请说明理由.15.如图，直 线y=x +a与x轴交于点4(4,0),与y轴交于点B,抛物线y=x2+b x +c经过 点4,B.点为x轴上一动点，过 点M且垂直于x轴的直线分别交直线A B及抛物线于点P,N.(2)当 点M在 线 段。4 上运动时(不与点0,A重合)，当m为何值时，线 段P N最大值，并求出P N的最大值；求出使&B P N为直角三角形时m的值；若抛物线上有且只有三个点N 到直线A B的距离是h,请直接写出此时由点。，B,N,P构成的四边形的面积.16.抛物线y=a/+bx+c(a H 0)与x轴 交 于A,B两 点(点A在 点B的左侧)，与y轴交于 点 C(0,-4).已知

12、4(-2,0),抛物线的对称轴I交 x 轴 于 点)(1.0).(1)求 出a,b,c的值；如 图 1,连 接 B C,点 P 是 线 段B C下方抛物线上的动点，连 接 PB,P C.点 M,N分别在 V 轴，对 称 轴 I 上，且 M N ly 轴.连 接AM,P N.当 PB C 的面积最大时，请求出点P的坐标及此时A M +M N +NP的最小值；(3)如 图 2,连 接A C,把XA O C按照直线y=x 对折，对折后的三角形记为 O C ,把 4 O C 沿 着 直 线B C的方向平行移动，移动后三角形的记为(-4,n)在抛物线上.图1图2图3(1)求 直 线CD的解析式；(2)E

13、为 直 线CD下方抛物线上的一点，连 接EC,E D,当 E C D的面积最大时，在 直 线I上取一点M,过M作y轴的垂线，垂足为点N,连 接EM,B N,若 E M =B N时，求E M +M N +BN 的值.(3)将抛物线y=+2 x-3沿式轴正方向平移得到新抛物线y ,y经 过 原 点0,y与x轴的另一个交点为F,设P是抛物线y,上任意一点，点Q在 直 线I上，A PFQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由.18.如图，在平面直角坐标系中，抛 物 线y=-/+4x+5与y轴交于点4,与x轴的正半轴交于 点C.(1)求直线A C解析式；(

14、2)过 点A作A D平 行 于%轴，交抛物线于点D,点F为抛物线上的一点(点尸在4 D上方)，作E F平 行 于y轴 交A C于 点E,当四边形A F DE的面积最大时？求 点F的坐标,并求出最大面积；(3)若 动 点P先 从(2)中的点F出发沿适当的路径运动到抛物线对称轴上点M处，再沿垂直于7轴的方向运动到y轴上的点N处，然后沿适当的路径运动到点C停止，当 动 点P的运动路径最短时，求 点N的坐标，并求最短路径长.答案一、解答题1.【答案】(1)点 4(-1,0)、5(3,0)在抛物线 y-ax2+b x +3 ,(3 k+b =0,U =3,解得 k=-1,b =2.抛物线的解析式为y=-

15、X2+2x+3.(2)在抛物线解析式y=-%2+2x +3中，令x=。，得y=3,C(0,3).设直线B C的解析式为y=kx +b,将B(3,0),C(0,3)坐标代入得C-k.+b =0,fc+h=2,解得 k=-1,6=3,y=-x +3.设 E 点坐标为(x,-x2+2x+3),则 P(x,0),F(x,-x +3),:，EF=yE-yF=-x2+2x +3 -(-x +3)=-x2+3 x.四边形O DE F是平行四边形，EF=OD =2,-x2+3 x =2,即%2-3x+2=0,解 得x=1或x=2,P点坐标为(1,0)或(2,0).(3)平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两

16、条对角线的交点(或对角线的中点)，过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A与平行四边形O D E F对称中心的直线平分平行四边形O D E F的面积.当P(l,0)时，点 尸 坐 标 为(1,2),又(0,2),设对角线DF的中点为G,则G g,2).设直线A G的解析式为y=kx +b,将4(一1,0),G g,2)坐标代入得：f k+b=0,g k +b =2,解 得k=b =,所求直线的解析式为y=；x+j；当P(2,0)时，点F坐 标 为(2,1),又0(0,2),设对角线DF的中点为G,则G(l,|).设直线A G的解析式为y=k+b,将4(1,0),G(l,|)坐标代入得(

17、k+b =0,h=l.解 得k=b =,4.所求直线的解析式为y=；x +；.综上所述，所求直线的解析式为y=【知识点】平行四边形的判定、y=a x八2+b x+c的图象、一次函数的解析式、二次函数的解析式3-43-X+4y=或4-34-X+32.【答案】(1)二次函数y=-x2+b x +c的图象与x轴交于4(一1,0),8(3,0).-li+c =0,1 9+3b +c =0,解 得 :二;故 b =2,c=3.(2)如图所示，过 点Q作Q。1轴，交B C于 点。，又Q点横坐标为m.SBCQ=W。8-维)+卬。(%8-XQ)QDQB xc)又B C的解析式为y =-x +3,QD=(m2

18、4-2 m+3)(m+3)=m2+3m.3 3 c 9 SA BC Q=S =-QD =-m2+-m.此 时Q在B C上方，0 Sm W 3.若Q点在直线B C下方，此 时m 3.S =-(-|m2+|m)=|n t2-l m./3 o 9 m2+-m,0 m 3.S =2 2!7 n2-1 m,m3(3)如图所示，设P点横坐标n,设F点横坐标为t.存在点F,使 得AAP G的面积戌4 P HF面积相等，且 线 段HF的长度最小,SAPG=gPG A P,AP=n +1,PG=n+3,S PG=1(n +l)(3-n),又 PHF=|P H|(n-t)|,PH =-n2+2n +3 =-(n

19、+l)(n-3),SM H F=+1)(3-n)In -t,又 SM PG=S“HF .|n-t|=1 即 P 与尸两点横坐标相差的绝对值等于1.要 使HF长度最小，则“，尸两点关于对称轴 =1 对称.t=trt/t=2队 2,当 t=1 时，y=_ R l +3=M当 t=|时，y=-；+3+3=.故 F 点坐标为(;，T)或竽)，(0,0)或(1,0)【解析】(3)过点B,P,C的外接圆过点H,B,P,C,H外接圆的圆心在P H与B C垂直平分线的交点,B C中点坐标为(|,|),B C的解析式为y=-x +3.BC的垂直平分线为y=x,PH =-n2+2n +3.PH的垂直平分线的解析式

20、为了 =土詈坦.外 接 圆 圆 心 为(土 等，也产).又B,P是外接圆上两点，712+271+3 c 7 1 2 +211+3 区 力/口 八一 p u y-n =3-,解得：n=0 或 n=L故P点坐标为(0,0)或(1,0).【知识点】y=ax-2+bx+c的图象、二次函数的解析式3.【答案】(1)v m=1,y7 +3%-2=(%+|)顶点坐标W).、由,(y=x2 4-.(2m 4-l)x+m(m 3),消、业去+y 得Z H 72 +.2mx+(z m2 4-f,cm-一3m、)=0八.(y=x km,抛物线与直线y=x-k m 有且仅有一个公共点，J=0,即(k 3)m=0.无

21、论 m 取何值，方程总是成立，k-3=0.k=3.z.b 2m+l 4 a c-b2 4m(m-3)-(2m+l)2 167n+l v-=-F-=-；-=一 -抛物线y=X2+(,2m+l)x+m(m-3)的顶点为(一勺卢,一北户口),PH=16m+l4)1 二 I124m-lV 1PH 0 时，有 1 V12m-l4 6,又 一1 W m 4 4,5/,2 5*,m 三一；12 12当12m-l4 0 时，1 -g z l 6,又-1 m 4,1 T H -41/7 1 T 5/一 25/.-1 m 或 m .4 人 12 12 A(-m -l,y j 在抛物线上，yi=(-m I)2+(2

22、m+1)(m 1)+m(m+3)=-4m.v 6(-7 7 1,7 3)在抛物线上，:.y3=(m)2+(2m+1)(m)4-m(m 3)=-4m.yT=y3.令 y -m -1,则有 m -|,结合 一 1 4 nz -；，-1 m yi=丫3,即当 一 1 w M yi=y3；令与=-血-1,则 4 与 8 重合，此情形不合题意，舍弃;小人 1 口 m,2m+l n.令-m-1,且-.-时,7 1 1有 一5 租工一,结 合 一 1 式加 丫2,即当 一5 丫2；令 一W y -m,有 一1 W m 0,结 合-1 W m -%1,1-3m此时，在对称轴的右侧y随 式 的 增大而增大，如

23、图 3,乃 -m,有 m 0,结合 m 2|,5,25 石%=为，即当 时，有 y2 y3=7 1-综上所述，T 4 血 丫1=丫3；-3m-；时，有 为 J AN2-A D2=V 13-4=3,OD=2 收ON =2y/3-3 或 O N =2百 +3,当O N =2百+3时，则M N OD CM,与M N=CM矛盾，不合题意,N 点坐标为（0,27 3-3）;当M点 在y轴上时，则M与。重合，过N作NP J.X轴于点P,如 图2,在 R t A M D 中，AD =2,OD=27 3,t an Z D A M=黑=总 /D A M=60 ,V AD I I x 轴，Z A M C =Z D

24、 AO=6 0 ,又由折叠可知Z N M A =Z A M C =6 0 ,:./N M P=6 0,且 M N =C M =3,M P =-M N N P=M N ,2 2 2 2 此 时N点坐标为（I，竽）；综上可知N点坐标为（0,275-3）或（|,竽）；（3）豹 或 E（T ）,尸（4,阴.【解析】（1）抛物线y2A/3 2 473，一，,工33+2业其梦想直线的解析式为y =-竽x +等,联立梦想直线与抛物线解析式可得273,2y3y=x+y=一竽/一竽 X +2V 3,解得x =-2,y=2V 3 或X =1,y=o,4(-2,273),8(1,0).(3)当A C为平行四边形的边

25、时,如 图 3,过 F 作 对 称 轴 的 垂 线 过 A 作 4K J.X 轴于点K,则有 AC /EF 且 4C=EF,Z A C K =ZEFH,在 AACK和4 E F H中，(Z A C K =/EFH,j Z A K C =/EH F,Gt?=EF,.AC K EFH(AAS),FH =C K =1,H E=AK =2j3,抛物线对称轴为%=-1,F点的横坐标为。或-2,点F在直线A B上，当F点横坐标为0 时，则 尸(0,苧)，此 时 点E在直线A B下方，-E至 ij x 轴的距离为E H-O F =2聒-誓=当、即 E 点纵坐标为一竽，,E(T 竽)；当F点的横坐标为-2 时

26、，则 F 与 4 重合，不合题意，舍去；当A C为平行四边形的对角线时，C(-3,0),且 71(-2,273),线 段A C的中点坐标为(一2.5,，设 E(-l,t),F(x,y),则 x-l =2 x(-2.5),y+t=26，x =-4,y=2-/3 t,代入直线A B解析式可得2遮一 t=一 等 x(-4)+9 解 得 t=一竽，E(T-竽),唉 4,竽).综上可知，存在满足条件的点F,此 时 E(1,等)，F(0,等)或 E(1,一筝)，F(4,V【知识点】二次函数的解析式、y=axM+bx+c的图象、角角边5.【答案】(1)OB=0C =3,B(3,0),C(0,3).m=-9+

27、3 b +c,解 得(b =2,二次函数的解析式为y=-X2+2x +3.(2)y=-x2+2x +3 =-(x -l)2+4,设直线M B 的解析式为y=kx +n,则有仁霹得忆/直 线MB的解析式为y=-2x+6.1 PQ 1 x 轴，0Q=m,点P的坐标为(科一2血+6).S 四边形 4CPQ=S&AOC+S 梯形 PQOC(3)线 段B M上存在点/v g.y),(2,2),(1+半，4 一 咿)，使4 NMC为等腰三角形.CM=V2,C N =Vxz+(-2x+3)2,M N =V(x-l)2+(-2x+2)2.当 C M =N C 时，”+(-2 彳 +3)2=V2,解得 X1=l

28、，x2=l(舍去),此时 A/g,y)；当 C M =M N 时，J(x +(-2x+2/=V2,解 得x1=1+詈，x2=l-噂(舍去),此 时N (1+誓,4 当 C N =M N 时-，yjx2+(-2x+3)2=J(X-1)2+(-2X+2)2,解 得x =2,此 时 N(2,2).【知识点】坐标平面内图形的面积、二次函数的解析式、二次函数与三角形综合、等腰三角形的判定、等腰三角形的概念、一次函数的解析式6.【答案】把点 4(一 2,0),B(4,0)分别代入 y=ax2+b x-3(a H O),得(4a-2b-3 =0,I1 6 a +4 b-3 =0,_ 3解 得 一%b =I

29、4所以该抛物线的解析式为：y =1 x2-Jx-3.方 法 一：设运动时间为t秒，则AP=3t,BQ=t.：.PB=6-3t.由题意得，点C的坐标为(0,-3).在 R t A BO C 中，BC=V 32+42=5.如 图 1,过 点 Q 作 Q H 1 A B于 点H.QH H C O,&B H Q s x B O C,.丝 一 丝 明 生=OC BCy 3 5 3 .H Q=1 t.SAPBQ=,HQ =*6 -3t).|t =-5产 +白=一总。一 I)2+2当 APB Q存在时，0 c t 过 点 Q 作 QH L A B 于 点 H,3：tan/H 8 Q=-,43 sin ZH

30、BQ=|,v BQ=t,3HQ=/1 SPBQ=ipfi-HQ=i(6 -3t)x|t =-t2+|t,当t=l时，S*BQ最大=三(3)方法二：过 点K作K E 1久 轴 交 B C 于 点 E,V SACBK：SPBQ=5:2,S&PBQ=,.、c X C BK _=19，设 E(7n，t/n -3),K 7n,|m2 3,SCBK=_ K y)(Bx -C x)=-x 4 x (-m 3-m2+-m+3)2 2 8 4 7=一,m 2+3%/-4 m2+43K=-,*,T Y l-y=1,T T l2=3,K1(1，一 京，.(3,*)【知识点】二次函数的解析式、y=a x t+bx+c

31、的图象7.【答案】将 点A,B的坐标代入抛物线的解析式：慰t y u o u U,解得：a =1,b =3.二抛物线的解析式为y =x2+3x.设直线04的解析式为y=kx,将 4(4,4)代入得：-4k=4,解得 f c =-l,直 线。力 的解析式为y =-x.设 点P的坐 标 为(a,a 2+3a),则 点 Q 的坐 标 为(a,-a).四边形A HP Q为平行四边形，AH =QP,一 a -(a。+3a)4,解得：a 2.P(-2,-2),(?(-2,2).依据两点间的距离公式可知0 Q =2或，OP=2y2,QP=4,：.PQ2=O Q2+OP2.O Q P为直角三角形.Z A O

32、P=9 0 .(3)如 图 2 所示：在 y轴上取点。，使。=O B,则 D(0,3),延 长A D交抛物线与点C.当 点C 在直线A B上时，ZC 4。=ZBAO.设 AC 的解析式y =k x +b,将 点 4 和 点 B 的坐标代入得:匕晨仁？解 得 卜=-4,b=-1 2.直 线A C 的解析式为y =-4 x-1 2.点A的坐标为(-4,4),ZAOB=4 5 ,ZAOB=Z A O D.在b A B O和A。中，08=0DfZAOB=ZAOD,AO=AO,:.A A B O 0 AAOD./B A O =ZCAO.设A C的解析式为y=kx+b,将 点4和 点D的坐标代入得：鼠3=

33、4,解得：T所以直线A C的解析式为y =-；x +3.综上所述：直 线A C的解析式为y =-4 x 12或y =(x +3.【知识点】二次函数的解析式、二次函数的图象与性质8.【答案】(1)x =4;(-2,2)(2)m-b2(3)如图，延 长Q C到 点E,使CE=C Q,连 接0 E,-C为0 D的中点，0C 0 D,/E C O =/Q C D,ECO斗 QCD,：0E=DQ=m,:AQ=2QC,：AQ=QE,Q 0 平 分/AQC,Z1=Z 2,:A A Q 0 9EQO,.AO=EO=m,A(0,m),A(O,m)在新图象上,0=m-m2,nil=1,m2=0(舍去)，m=1.【

34、解析】(1)当 m=2 时，y=(x-2)2,则 G(2,0),点 P 的横坐标为4 时，且 P 在抛物线上，将 x=4 代入抛物线解析式得：y=(4-2尸=4,P(4,4),如图，连 接 QG,P G,过 点 Q 作 Q FLx轴 于 F,过 点 P 作 P E lx 轴 于 E,由题意得：GQF9 4PGE,则 FQ=EG=2,FG=EP=4,FO=2,2(-2,2).(2)已知 Q(a,b),则 GE=QF=b,FG=m a,由(1)可知：PE=FG=m-a,GE=QF=b,即 P(jn+b,m-d),代入原抛物线的解析式得：m-a =+2m(jn+b)+m2,m a m2+b2+2mb

35、-2m2 2mb+m2,a=m b2.故用含b的代数式表示a为：a=m-b2.【知识点】角边角、二次函数与方程、二次函数的解析式、二次函数的对称轴、全等三角形的性质(D)、边角边9.【答案】(1)把 x=0,代入 y=:/+3%+配 得 y=k.所以OD=k.因 为4ac-b24a4X(*3Z4 XH)=k+3,所以 PM=k+3.(2)因 为 2a=-7-3=2,2X(-)所以 OM=2,BM=OB-OM =2k+3-2 =2k+l.又 PM=k+3,PM=BM,所以 k+3=2/c+1,解得 k=2.所以该抛物线的表达式为y=-：/+3x+2.(3)(I)当点P在矩形AOBC外部时，如图，

36、过P作PK 1。4于点K.当AD=A P时，因 为 AD=AO-DO=2 k-k=k,所以 AD=AP=k,KA=KO-AO=PM-AO=k+3-2k=3-k,KP=OM=2,在 RtA K AP 中，KA2+KP2=AP2,所以(3-k)2+22=fc2,解得 k=.on)当点P在矩形AOBC内 部时，当PD=A P时，如图，过 P 作 PH 1于，4。=k,HD=,HO=DO+HD=胃又因为 HO=PM=k+3,所以费=k+3,解得fc=6.当DP=D A时，如图，过。作PQ 1 P M于Q,PQ=PM-QM=PM-OD=k+3-k=3,DQ=OM=2,DP=DA=k,在 R t DQP

37、中，OP=JDQ2+QP2=V22+32=V13.所以 k=D P=V13.【解析】(3)(D vP(2,fc+3),D(O,k),直 线P D解析式为y=|x +fc.4(0,2k),直 线A A 的解析式为y=-|x +2fc.直 线P D和直线A A 的交点为g f c.g f c).4 (仁亭)A 在抛物线 y=+3%+k 上，一 江(秘 y+3 x*+k 睦 k=黑 或 k=0(舍).【知识点】y=axb+bx+c的图象、二次函数的解析式、勾股定理1 0.【答案】(1);抛物线 y=ax2+b x a 丰 0)经过 4(3,0),8(4,4),二 将 4 与 B 两点坐标代入得落：，

38、解得%二抛物线的解析式是丫 =3-3 札(2)设直线O B的解析式为y=k1 X,由 点 8(4,4),得 4=4七，解 得 自=1,直 线O B的解析式为y=x,直 线O B向下平移m个单位长度后的解析式为y=x-m,1点D在抛物线y=/-3 x 上，可设 D(x,x2-3 x),点D在直线y=x-m上，X2 3 x =x m,即 x2 4x +m=0,抛物线与直线只有一个公共点，4=16-4m=0,解得 m=4,此时 xr=x2=2,y=x2-3x=-2,D点的坐标为(2,-2).(3)；直 线 O B 的解析式为y=x，且 4(3,0),点A关 于 直 线0 B的 对 称 点A 的 坐

39、标 是(0,3),根据轴对称性质和三线合一性质得出ZA BO=ZABO.设直线A B的解析式为、=七+3,过点(4,4),4的+3=4,解得 k2=直线B的解析式是y=；x+3,V NNBO=/A BO,Z A BO=/ABO,B A,和B N重合，即点N在直线A B上，设点N(n,n+3),又点N在抛物线y=x2-3 x上，n+3=n2-3 n,解得%=n2=4(不合题意，舍去)，N点的坐标为(-装).方法一：如图，将4 N 0 B沿x轴翻折，得到MOB，则M W),%(4,-4),0,D,B 都在直线 y=-x .PODs NOB,N0B9 N1OB1,PODs N1OB1,.OPj_ _

40、 OD_ _ 1 0N1 081 一 2点P l的坐标为将A O P iD沿直线y=-x翻折，可得另一个满足条件的点综上所述，点p的坐标是或(S B方法二：如图，将4 N O B绕原点顺时针旋转90。，得到N2OB2,则 的 偿,，%(4,-4),-0,D,B 都在直线 y=-x .,PiODs NOB,NOB N2OB2,.PODs N2OB2,._ 丝 _ i“ON2-OB2-2点P i的坐标为(n，|).将4 O P,D沿直线y=-x 翻折，可得另一个满足条件的点综上所述，点P的坐 标 是(一|，一穹 或 偿，|).【知识点】二次函数的解析式、y=axM+bx+c的图象、性质与判定综合(

41、D)、二次函数的图象变换1 1.【答案】(1)把点 5(3,0)代入 y=/+加；-3,得 32+3b-3=0,解 得b =-2,则该二次函数的解析式为：y=x2-2x-3.(2)Z DMT的度数是定值.理由如下：如 图 1,连 接AD.:抛物线 y=x2-2%-3=(x-I)2-4,:抛物线的对称轴是直线x=l.又,点D的纵坐标为2百，Z)(1,2V3).由 y=x2-2x-3 得到：y=(x-3)(x+1),4(一 1,0),F(3,0).在 Rt A AED 中，tan/OAE=6./D A E=60./D M T =2 Z D A E=120.在 点T的运动过程中，/DMT的度数是定值

42、.如 图 2,M T =A D,又 M T =M D,A DT的外接圆圆心M 在 A D 的中垂线上，点M是线段A D的中点时，此 时 A D 为 的 直 径 时，M D=A D.”(T O),)(1,2V3),点M的坐 标 是(0.V3).(3)如 图 3,作 MH l x 于 点”，则 AH =H T =AT,又 H T =a,W(a-1,0),T(2 a-1,0).O H x O T,又动点T在 射 线E B上运动，/.0 a l x 1,/.2a 1 1.当仁.即4时，当 x=a-l 时，y最大值=(a-l)2-2(a-1)-3=a2-4 a;当 x=i时，y最小值=-4.p a-1

43、1,(ii)当卜即 aW 2 时，(.1-(a-1)l,即 a 2 时，当 x =2 a-l 时，y最大值=(2a-I)2-2(2a-1)-3=4a2-8a;当 x=a-1 时，y 最小值=(a-l)2-2(a-1)-3=a2-4 a.【知识点】二次函数的图象与性质、二次函数的解析式1 2.【答案】(1)二次函数y=ax2+b x +c(a*0)的对称轴为直线x=-1,点B的坐标为(-3,0),点 4 的坐 标 为(1,0).将 4(1,0),8(-3,0),C(0,3)代入 y=ax2+b x +c,(a+b+c=0,(a 1,得：j9a-3 b +c=0,解得：b=-2,(c=3,(c=3

44、,二次函数的表达式为y=x2 2x +3.连 接B C,交直线X=-1 于 点M,如 图 1 所示.点A,B关于直线%=-1 对称，A M =BM.点 B,C,M 三点共线，此 时A M +CM取最小值，最小值为BC.设直线B C的函数表达式为y=kx+d(k H 0),将 B(3,0),C(0,3)代入 y=kc+d,得：片r=,解得:k=l,d=3,直 线B C的函数表达式为y=x+3.当 x=-1 时，y=x+3=2,当 点M的坐标为(-1,2)时，ZkACM周长最短.(3)(-1,-2),或(-1,4).【解析】(3)设 点P的坐标为(-l.m),点B的坐标为(一 3,0),点C的坐标

45、为(0,3),PB2=-3-(-1)2+(0-m)2=m2+4,PC2=0-(-1)2+(3-m)2=m2-6 m +10,BC2=0-(-3)2+(3-0)2=18.分三种情况考虑(如图2):当/BC P=90 时，BC2+PC2=PB2,18+m2 6m+10=m2+4,解得：m=4,点P的坐 标 为(-1 4);当 Z C BP=90 时，BC2+PB2=PC2,18+zn2+4=m2 6m+1 0,解得：m=-2,点P的坐 标 为(一 1,一 2);当 Z B P C=90 时，PB?+PC 2=BC 2,:.m2+4+m2 6m+10=1 8,整理得：m2 3 m -2=0,解得：租

46、1=三加2=过/，点P的坐 标 为(一1，上/)或(一1，士/)综上所述：使4 B P C为直角三角形时点P的 坐 标 为(-1,-2),(一1，手)，(T，手)或【知识点】勾股定理、一次函数的解析式、二次函数与一次函数综合、二次函数的解析式1 3.【答案】(1)一次函数y=-2 久一2 与 x 轴交于点A,则 A 的坐标为(-1,0),抛物线的顶点为(1,4),设抛物线解析式为y=a(x-+4,抛物线经过点.0=a(-1-1)2+4,a=-1,抛物线解析式为y=-(X-1)2+4=-x2+2%+3.方法一：连 接 OC,点 C 为第一象限抛物线上一动点，点 C 的横坐标为m,A C(jn,m

47、2+2m+3),一次函数y=-2x-2 与 y 轴交于点B,则 OB=2,-A 的坐标为(-1,0),:.OA=1,*e S bAOB 2 OB=-x l x 2 =lfSoc=x O A x(-m2+2m+3)=-m2+m +|,SBOC=x m =m,*,S 力 B C=S&AOB+SAOC+SBOC=1-7n2+m 4-+7n=im2+2m+-2 2 2 2=2)2+当 租=2 时，S 的值最大，最大值为(3)点 M 的坐标为(0,-1),(0,5),(0,手)或(。，手【解析】方 法 二：作 C E IIy 轴，交 A B 于 点E,A的坐 标 为(-1,0),.OA=1,点 c为第一

48、象限抛物线上一动点，点 C 的横坐 标 为 m,:.C(m,m2+2m+3),E(m,2m 2),CE=-m2+2m+3 (-2m 2)=-m2+4m+5,SABC=S4ACE-S&BEC=1CE-Oy4=1 x l x (m2+4m+5)=-1(m-2)2+p当m=2时，S的值最大，最大值为方法三：作 CD II x 轴，交 A B 于 点 D,一 次 函 数y=2*-2与y轴交 于 点 B,则 OB=2,点、C 为第一象限抛物线上一动点，点 C 的横坐标为m,m2+2m 4-3),把 y=-m2+2m+3 代入 y=-2 x-2,解得 x=im2-m-|,5 fl 2 5、1 2 I n

49、I 5CD=m-m =+2m+2 27 2 2:S“BC-SRBCD S&ADC=-CD OB=-x 2 x (-m2+2m+，2 2 2 2/=_/租 _ 2)2+g,当 血=2时，S的值最大，最大值为方法四：构 造 矩 形 CC1c2c3(或构造梯形BCC3 c 2),一次 函 数y=-2x-2与y轴交 于 点 B,则 OB=2,A 的坐 标 为(-1,0),CM=1,点C为第一象限抛物线上一动点，点 C 的横坐标为m,设 点C的纵坐标为n,：n=m2+2m+3,CCr=n 4-2,C C3=m 4-1,C3A=m,AC2=2,C2B=1,B G=?n,SM B C=(m+1)(九 +2)

50、-m(r i+2)n(m 4-1)-x 2 x l=4-m 4-1=-m2+2m+-2 2 2=-1(m-2)2+p当 m=2 时，S 的值最大，最大值为方法五：设 过 点C平行直线A B的直线I的解析式为y=-2x+6,由直线I与抛物线解析式组成方程组，消 掉 y,%M =-1,设直线A M的解析式为y=-x +b,将 4(一 1,0)代 入 0=1+匕，解 得b =-l,直 线A M的解析式为y=-x-l,将 X=0 代 入 y=-1,Mj(0,-1).当Z A C M =9 0 时，%c=1,kcM =-1,设直线CM的解析式为y=-x +b,将 C(2,3)代入 3=-2 +b,解得