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1、-中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 1如图，抛物线经过点A1，0、B3，0、C0，3三点 1求抛物线的解析式 2点M是线段BC上的点不与B，C重合，过M作MNy轴交抛物线于N，假设点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长 3在2的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使BNC的面积最大？假设存在，求m的值；假设不存在，说明理由 解答：解：1设抛物线的解析式为：y=a*+1*3，则：a0+1 03=3，a=1；抛物线的解析式：y=*+1*3=*2+2*+3 2设直线BC的解析式为：y=k*+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=*+3 点M的横坐标为m，MNy，则Mm，m+3、
2、Nm，m2+2m+3；故MN=m2+2m+3m+3=m2+3m0m3 3如图；SBNC=SMNC+SMNB=MNOD+DB=MNOB，SBNC=m2+3m3=m2+0m3；当m=时，BNC的面积最大，最大值为 2如图，抛物线的图象与*轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B点坐标为4，0 1求抛物线的解析式；2试探究ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；-3假设点M是线段BC下方的抛物线上一点，求MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标 解答：解：1将B4，0代入抛物线的解析式中，得：0=16a42，即：a=；抛物线的解析式为：y=*2*2 2由1的函数解析式可求得：A1，0、C0，2；OA
3、=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OAOB，又：OCAB，OACOCB，得：OCA=OBC；ACB=OCA+OCB=OBC+OCB=90，ABC为直角三角形，AB为ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：，0 3已求得：B4，0、C0，2，可得直线BC的解析式为：y=*2；设直线lBC，则该直线的解析式可表示为：y=*+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：*+b=*2*2，即：*22*2b=0，且=0；442b=0，即b=4；直线l：y=*4 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即 M2，3 过M点作MN*轴于N，SBMC=S梯形OCMN+SMN
4、BSOCB=22+3+2324=4 平行四边形类 3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=*2+m*+n经过点A3，0、B0，3，点P是直线AB上的动点，过点P作*轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t 1分别求出直线AB和这条抛物线的解析式-2假设点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求ABM的面积 3是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？假设存在，请直接写出点P的横坐标；假设不存在，请说明理由 1分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A3，0B0，3分别代入y=*2+m*+n与y=k*+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；2设点P的坐
5、标是t，t3，则Mt，t22t3，用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=t3t22t3=t2+3t，然后根据二次函数的最值得到 当t=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用SABM=SBPM+SAPM计算即可；3由PMOB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，t22t3t3=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t23t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值 解答：解：1把A3，0B0，3代入y=*2+m*+n，得 解得
6、，所以抛物线的解析式是y=*22*3 设直线AB的解析式是y=k*+b，把A3，0B0，3代入y=k*+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=*3；2设点P的坐标是t，t3，则Mt，t22t3，因为p在第四象限，所以PM=t3t22t3=t2+3t，当t=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，则SABM=SBPM+SAPM=3存在，理由如下：PMOB，当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，-当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3 当P在第一象限：PM=OB=3，t22t3 t3=3，解得t1=，t2=舍去，所以P点的横坐标是；当P在第三象
7、限：PM=OB=3，t23t=3，解得t1=舍去，t2=，所以P点的横坐标是所以P点的横坐标是或 4如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A0，1，B2，0，O0，0，将此三角板绕原点O逆时针旋转 90，得到ABO 1一抛物线经过点A、B、B，求该抛物线的解析式；2设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PBAB的面积是ABO面积 4 倍？假设存在，请求出P的坐标；假设不存在，请说明理由 3 在 2 的条件下，试指出四边形PBAB是哪种形状的四边形？并写出四边形PBAB的两条性质 解：1ABO是由ABO绕原点O逆时针旋转 90得到的，又A0，1，B2，0，O0，
8、0，A1，0，B0，2 方法一：设抛物线的解析式为：y=a*2+b*+ca0，抛物线经过点A、B、B，解得：，满足条件的抛物线的解析式为y=*2+*+2 方法二：A1，0，B0，2，B2，0，设抛物线的解析式为：y=a*+1*2 将B0，2代入得出：2=a0+1 02，解得：a=1，故满足条件的抛物线的解析式为y=*+1*2=*2+*+2；2P为第一象限内抛物线上的一动点，设P*，y，则*0，y0，P点坐标满足y=*2+*+2-连接PB，PO，PB，S四边形PBAB=SBOA+SPBO+SPOB，=12+2*+2y，=*+*2+*+2+1，=*2+2*+3 AO=1，BO=2，ABO面积为：1
9、2=1，假设四边形PBAB的面积是ABO面积的 4 倍，则 4=*2+2*+3，即*22*+1=0，解得：*1=*2=1，此时y=12+1+2=2，即P1，2 存在点P1，2，使四边形PBAB的面积是ABO面积的 4 倍 3四边形PBAB为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意 2 个均可 等腰梯形同一底上的两个内角相等；等腰梯形对角线相等；等腰梯形上底与下底平行；等腰梯形两腰相等10 分 或用符号表示：BAB=PBA或ABP=BPB；PA=BB；BPAB；BA=PB 5如图，抛物线y=*22*+c的顶点A在直线l：y=*5 上 1求抛物线顶点A的坐标；2设抛物线与y轴交于点B，与*轴交于点C
10、、D C点在D点的左侧，试判断ABD的形状；3在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D 为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，求点P的坐标；假设不存在，请说明理由 解：1顶点A的横坐标为*=1，且顶点A在y=*5 上，当*=1 时，y=15=4，A1，4 2ABD是直角三角形 将A1，4代入y=*22*+c，可得，12+c=4，-c=3，y=*22*3，B0，3 当y=0 时，*22*3=0，*1=1，*2=3 C1，0，D3，0，BD2=OB2+OD2=18，AB2=432+12=2，AD2=312+42=20，BD2+AB2=AD2，ABD=90，即ABD是直角三角形 3存在 由题意
11、知：直线y=*5 交y轴于点E0，5，交*轴于点F5，0 OE=OF=5，又OB=OD=3 OEF与OBD都是等腰直角三角形 BDl，即PABD 则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作*轴的垂线交过P且平行于*轴的直线于点G 设P*1，*15，则G1，*15 则PG=|1*1|，AG=|5*14|=|1*1|PA=BD=3 由勾股定理得：1*12+1*12=18，*122*18=0，*1=2 或 4 P2，7或P4，1，存在点P2，7或P4，1使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形 周长类 6如图，RtABO的两直角边OA、OB分别在*轴的负半轴和
12、y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为3，0、0，4，抛物线y=*2+b*+c经过点B，且顶点在直线*=上 1求抛物线对应的函数关系式；2假设把ABO沿*轴向右平移得到DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；-3在2的条件下，连接BD，对称轴上存在一点P使得PBD的周长最小，求出P点的坐标；4在2、3的条件下，假设点M是线段OB上的一个动点点M与点O、B不重合，过点M作BD交*轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？假
13、设存在，求出最大值和此时M点的坐标；假设不存在，说明理由 解：1抛物线y=经过点B0，4c=4，顶点在直线*=上，=，b=；所求函数关系式为；2在RtABO中，OA=3，OB=4，AB=，四边形ABCD是菱形，BC=CD=DA=AB=5，C、D两点的坐标分别是5，4、2，0，当*=5 时，y=，当*=2 时，y=，点C和点D都在所求抛物线上；3设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y=k*+b，则，解得：，当*=时，y=，P，4MNBD，OMNOBD，即得ON=，设对称轴交*于点F，则PF+OMOF=+t，SPNF=NFPF=t=，-S=，=0t4，a=0抛物线开
14、口向下，S存在最大值 由SPMN=t2+t=t2+，当t=时，S取最大值是，此时，点M的坐标为0，等腰三角形类 7如图，点A在*轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转 120至OB的位置 1求点B的坐标；2求经过点A、O、B的抛物线的解析式；3在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求点P的坐标；假设不存在，说明理由 解：1如图，过B点作BC*轴，垂足为C，则BCO=90，AOB=120，BOC=60，又OA=OB=4，OC=OB=4=2，BC=OBsin60=4=2，点B的坐标为2，2；2抛物线过原点O和点A、B，可设抛物线解析式为y=
15、a*2+b*，将A4，0，B22代入，得，解得，此抛物线的解析式为y=*2+*3存在，如图，抛物线的对称轴是直线*=2，直线*=2 与*轴的交点为D，设点P的坐标为2，y，假设OB=OP，则 22+|y|2=42，解得y=2，当y=2时，在RtPOD中，PDO=90，sinPOD=，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=180，即P、O、B三点在同一直线上，y=2不符合题意，舍去，-点P的坐标为2，2 假设OB=PB，则 42+|y+2|2=42，解得y=2，故点P的坐标为2，2，假设OP=BP，则 22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=2，故点P的坐标为2，2，综上所述，
16、符合条件的点P只有一个，其坐标为2，2，8 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A0，2，点C1，0，如下图：抛物线y=a*2+a*2 经过点B 1求点B的坐标；2求抛物线的解析式；3在抛物线上是否还存在点P点B除外，使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？假设存在，求所有点P的坐标；假设不存在，请说明理由 解：1过点B作BD*轴，垂足为D，BCD+ACO=90，ACO+CAO=90，BCD=CAO，1 分 又BDC=COA=90，CB=AC，BCDCAO，2 分 BD=OC=1，CD=OA=2，3 分 点B的坐标为3，1；4 分 2抛物线
17、y=a*2+a*2 经过点B3，1，则得到 1=9a3a2，5 分 解得a=，所以抛物线的解析式为y=*2+*2；7 分 3假设存在点P，使得ACP仍然是以 AC为直角边的等腰直角三角形：假设以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，8 分 过点P1作P1M*轴，-CP1=BC，MCP1=BCD，P1MC=BDC=90，MP1CDBC 10 分 CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P11，1；11 分 假设以点A为直角顶点；则过点A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，12 分 过点P2作P2Ny轴，同理可证AP2NCAO
18、，13 分 NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P22，1，14 分 经检验，点P11，1与点P22，1都在抛物线y=*2+*2 上 16 分 9在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A0，2，点C1，0，如下图，抛物线y=a*2a*2 经过点B 1求点B的坐标；2求抛物线的解析式；3在抛物线上是否还存在点P点B除外，使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？假设存在，求所有点P的坐标；假设不存在，请说明理由 解：1过点B作BD*轴，垂足为D，BCD+ACO=90，AC0+OAC=90，BCD=CAO，又BDC=COA=90，CB=AC，BDC
19、COA，BD=OC=1，CD=OA=2，点B的坐标为3，1；2抛物线y=a*2a*2 过点B3，1，1=9a3a2，解得：a=，抛物线的解析式为y=*2*2；3假设存在点P，使得ACP是等腰直角三角形，假设以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M*轴，如图1，CP1=BC，MCP1=BCD，P1MC=BDC=90，-MP1CDBC，CM=CD=2，P1M=BD=1，P11，1，经检验点P1在抛物线y=*2*2 上；假设以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2Ny轴，如图2，同理可证AP2NCAO，NP2=OA=2，AN=OC=1，P22，1，经检验P22，1也在抛物线y=*2*2 上；假设以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3Hy轴，如图3，同理可证AP3HCAO，HP3=OA=2，AH=OC=1，P32，3，经检验P32，3不在抛物线y=*2*2 上；故符合条件的点有P11，1，P22，1两点