《五年(2018-2022)全国各省份高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题25圆锥曲线解答题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《五年(2018-2022)全国各省份高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题25圆锥曲线解答题(解析版).pdf（55页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编专题2 5 圆锥曲线解答题圆锥曲线解答题一、解答题2 21.（2022高考北京卷第19题）已知椭圆：E:二+马=1（。”0）的 一 个 顶 点 为 焦 距 为2道.a b（1）求椭圆E的方程；过点尸（-2,1）作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点8,C,直线A8,AC分别与x轴交于点M,N,当|例N=2时，求k的值.【答案】解析:依题意可得b=l,2c=2 g，又。2=储一4，所以a=2,所以椭圆方程为二+丁=1；4-（2）解：依题意过点P（2,1）的直线为y-l=M x+2）,设8（不 必）、C H 4）,不妨令-2 4%2,y-l=k（
2、x+2）由”,消去y整理得（1+4公）炉+0 6女2+8左）x+16女2+16左=0,+v2=11 +4攵 24-所以 =（16公+8k4（1 +止）（16%2+16左）0,解得攵0,所以玉+X,=16k2+8k1 +4公V46k2+16k直线A 8的方程为y 1=二苫，令y=0,解得/=4&1 _必直线A C的方程为y 1 =2二1X,令y=o,解 得 心=41-必所以2|=|“5 M 一六+网六）可-田（力2）可工2 _|(9 +2)x-/(1 I+2)=2,一引 后(1,+2)&(玉+2)|人(工2+2)(玉+2)网(+2)(工1+2)所 以 归 一 百=可（工2+2）（玉+2）,即 J
3、(X +x2)2-4X,X2=网工2 玉 +2(X2+X )+4即(16k2+Sky A 16k2+16k.-；-4 x.-共 1 +4女2 J i+4k2=W1 6 左 2+1 6 女 (16k2+Sk-+2.-1+4左 2 1 1+4公即 j-|p-,(2：2+媒 _(+必 2)(1 2+后)=_M_ 1 6%2 +1 6 攵2 (1 6/+8%)+4(1 +4/)整理得8 口=4 网，解得=-4【题目栏目】圆锥曲线 椭圆 直线与椭圆的综合问题【题目来源】2 0 2 2 高考北京卷第1 9 题2.（2 0 2 2 年高考全国甲卷数学（理）第 2 0 题）设抛物线C：V=2 p x（p 0）
4、焦点为F,点。（P，O）,过 F的直线交C于 M,N两点.当直线M。垂直于x 轴时，|M 目=3.（1）求 C的方程；（2）设直线MAN。与 C 另一个交点分别为A,B,记直线MAS的倾斜角分别为当a一 4 取得最大值时，求直线A 8的方程.【答案】/=4 ；（2）AB:x=y/2y+4.【解析】（1）抛物线的准线为x =-,当MD与 x轴垂直时，点 M 的横坐标为p,此时阿同招+5=3,所以P=2,所以抛物线C的方程为J=4 x；/2 /2 /2 /,2(2)设A/,N、,必,A .，为，8x =z n y +1，直线 M N:x =%y +l,由(可得/_4 阳-4=0,y=4x O，XM
5、=4，k-2 _ 4 k=.一.,4由斜率公式可得，”广 货 _ 因 一%+%，4 4 4 4直线MD-.x=士 2 y +2 ,代入抛物线方程可得y2-也 1 二3 1.y-8 =0 ,O，M%=-8,所以为=2%，同理可得%=2%,所以 3 一=六必+M 2（y+必）2又因为直线MM 4 8 的倾斜角分别为a,所以=若要使a-/最大，则夕t a n (a -=t a n a-t a n 尸=k设 kM N=2 心=2 4 0,则 1 +t a n(2 t a n /?1 +2 k2当且仅当工=2 即 =也 时，等号成立，k2所以当a-/最大时，kAB=,设直线43:x =&y+，代入抛物线
6、方程可得 y?-4夜 y-4=0 ,A 0,y3y4=-4 n=4 yty2=-1 6,所以”=4,所以直线A 8:x =&y+4.【题目栏目】圆锥曲线 抛物线、直线与抛物线的综合问题【题目来源】2 0 2 2 年高考全国甲卷数学(理)第2 0 题23.(2 0 2 2 年浙江省高考数学试题第2 1 题)如 图，已知椭圆三+V=1.设 4B是椭圆上异于尸(0,1)的1 2 求 IC。的最小值.【答案】解析:设Q Q 也c o s 0,s i n 0)是椭圆上任意一点,(0,1)，则(1 Y 1 44 1 44|P C|2=1 2 c o s26 +(l-s i n(9)2=1 3-l l s
7、i n2-2 s i n =-l l s i n 6 +I 当且仅当s i n 6 =工时取等号，故|P Q|的 最 大 值 是 凶 1 .1 1 1 11丫 2设直线4?:y =k x+5直 线 A3方程与椭圆也 +：/1 联 立,可 得 卜+人 一3,设4玉+x24（5方）,8（%2，%），所以，kk2+-12y 1 12 ,因为直线PA：y=2X+1 与直线=一上+3交M2于 C,则左二，同理可得,-4X2%+2%2 （2 k+1）X|1x?+2 y2-2 （2&+l）x2 1则1。0=J!昆-4%4X22 （2 左+1）%一1（2 左+1）%12 7 5（2 4 +1）玉-1（2 +1
8、）-1=26内一今Q k+1）X 一（2 A +1）（玉 +X,）+13 旧 4 16/（2+1 662|3 左 +1|5伙+1 A i534 攵 x +1 x 1_ 4_|3 攵 +1|236亚.当且仅当人=7 时取-165等号，故|c q 的 最 小 值 为 等.【题目栏目】圆锥曲线 椭圆 直线与椭圆的综合问题【题目来源】2 0 2 2 年浙江省高考数学试题第2 1题4.（2 0 2 2 新高考全国H 卷 第 2 1题）已知双曲线C:*-方=1（。0,6 0）的右焦点为尸（2,0）,渐近线方程为y=V 3 x .（1）求，的方程;（2）过尸的直线与。的两条渐近线分别交于4 8两点，点 P（
9、g,*）,Q（W，%）在。上，且.玉0,必0.过户且斜率为一百的直线与过。且斜率为G 的直线交于点乂从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立:材在 A 3 上；P Q A B；|M 4|=|M 8|.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.2【答案】彳2一2 _ =13（2）见解析解 析：右 焦 点 为 尸（2,0）,.c =2 ,：渐 近 线 方 程 为y =6 x ,2=百，：.b =6 a，a2c2=a2+b2=4 tz2=4 .=攵（工一2）,则条件M在AB上，等价于%=左（入0-2）=佻=合 伍-2）；两渐近线 方程合并为3/一9=0,联立消去了并化简整理得：（女2一3卜
10、2-4公+4公=（）设4（%为），3（%以），线段中点（乐,%）,则/=玉分=泻,以=4/一2）=冷，设“（X。,%）,则 条 件 卜忸M|等价于小 刍）2+（%-%）2=5xj+Go”）2，移项并利用平方差公式整理得：（毛-王）2%-（玉+项）+（%-”）2%-（+”。,12 3 -（七+%）+%”2%-（+”）=。，即天-xN=0,X3 X4即M+机8k2k2-3由题意知直线P M的斜率为-百，直线Q M的斜率为6,.,.由 y -%=7 （不一入0）,%=6（%2一%0），y -=-6 1%+x2 2 升），所以直线P Q的斜率m=Xf =_ 6（、-2%）不一王一马直线 P M :y
11、=-/3（x-x0）+y0,即 丁 =%+6与 一G x,代入双曲线的方程3/一；/一3 =0,即（6%+。（后一耳=3中,=3,得:（为+氐0）2氐 一（%+瓜0）彳 一 工0,3%/.m =%.条件P Q H AB等价于m =ko k%=3 x0,综上所述:条件M在A 3上，等价于砥=/-2）；条件P Q/A B等 价 于=3%；O r.2条件|=忸 闸 等价于/+k y0=；k 3选推：2 k1 8女2由解得：xQ=-.x0+k y0=4 x0=-，成立;K D K D选推：由解得：x2左2 6k 2Q=,k yQ=-,吩-3 V-3,5=3%,.成立；选推：2 k2 6k 2 6由解得
12、：/=f-，6 0=半-,./-2 =7；，公一3 k2-3 k2-3.份0=%2（毛-2）,.成立.【题目栏目】圆锥曲线双曲线直线与双曲线的综合问题【题目来源】2022新高考全国I I卷 第21题5.（2022新高考全国I卷第21题）已知点42,1）在双曲线C：与 1 =1（。1）上，直 线，交C于P,ci ci 1Q两 点,直线AP,AQ的斜率之和为0.求/斜 率；（2）若ian/PAQ=20，求PAQ的面积.【答案】（1）-1 ；皿9解析：（1）因为点42,1）在双曲线A?2 一_V J?=13 1）上，所以4r-1=1,解 得 =2,即双曲a2 a2-l a2 a2-I2线 C:-一/
13、=12 易知直线/的斜率存在，设/：y=Ax+m,P（,y1），2（,y2）,y-k x +m联立 不6可得，(1-2K)x?4mkx 2nl 2 0./=1 )所以,4mk 2nr+2242 _ r _ 2/_,A=16*公 +4(2裙 +2)(2公 _ 1)0 0疗 _ 1 +2攵2 o.必-1 V i 1 所以由原P+%BP=。可得，；+7=0，x2-2%-2即(2)(Ax2+m 1)+(%2 2)(Ax,+m 1)=0,即 2马+(m-l-22)(%+X2)-4(m-l)=0,所以2后*22m/2_+2 +(/?_/5=0，解得 tana=J5 （负值舍去），于是，直线PA:y=0（x
14、-2）+l,直线 PB:y=-0（x 2）+l,联立y=V2（x-2）+l-y2=1 2可得,士龙2+2（1 2 夜 卜+10-4 G =0,因为方程有一个根为2,所以J,因=4当二5,同理可得一中夕考二所以P Q:x+y _|=0,归。卜 号,点A到直线尸。的 距 离,2+1 272,故P4Q的面积为 _*蛆 乂 遗=电 也d=-7 T =r 2 3 3 9【题目栏目】圆锥曲线双曲线,双曲线的几何性质【题目来源】2022新高考全国I卷 第21题6.（2022年高考全国乙卷数学（理）第20题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（O,-2）,3仁,-1）两点.（1）求E的方程
15、;（2）设过点P（l,-2）的直线交E于M,N两点，过M且平行于X轴的直线与线段A B交于点7，点H满足必了=而证 明：直线H N过定点【答案】匕”2 +r2=14 3（0,-2）解析：设椭圆E的方程为如2+y 2=i,过A（0,-2）,8（|,-1 J,4 =12 2则,9 ，解得?=4,所以椭圆E的方程为：2-+土 =.m+n-l 3 4 4 31 4【小问2详解】3 24（0,-2）,B（-,-1）,所以 A B:y +2 =-x,2 32 2若过点P（l，-2）的直线斜率不存在，直线x =l .代 入 土+乙=1,3 4可得”（1,一 个），N（l,牛），代入A B方程y =g x 2
16、,可得T(-V 6 +3,-,由必才=方/得 到H（-2遍+5,-.求得H N方程:丁 =（2 +半）一2,过点（。,一2）.若过点p（1,-2）的直线斜率存在，设 履 y -伙+2）=0,M（改,x）,N&，必）联立kx-y-(k-2)=0f 丫2 ，得(3+4)X2-6 以2 +x +3Z(女+4)=0,+=13 46k(2+k)-3 r+43-4+:)咐=布7可得 8(2+%)乂+%=卡 口4(4+4%2/)3 +4 2 4攵且玉（*）3K I 4联立y=y六 一 2 可得“号+)“(3 y+6f,可求得此时H N:y-y2=-一 七(x-x2),3y l +6 -x,-x2将(0,-2
17、),代入整理得 2(%+)-6(y +必)+玉 +9M -3y%-1 2 =0,将(*)代入，得 2 4 攵 +1 2 左 2 +9 6 +4 8k-2 4 k-4 8-4 8k +2 4 k2-3 6k2-4 8 =0,显然成立，综上，可得直线”N 过定点(0,-2).【题目栏目】圆锥曲线 楠圆 直线与椭圆的综合问题【题目来源】2 02 2 年高考全国乙卷数学(理)第 2 0题7.(2 02 1 年高考浙江卷第2 1 题)如 图，已知尸是抛物线丁=2 p x(p 0)的焦点，是抛物线的准线与x轴的交点，S.MF=2,(1)求抛物线的方程;(2)设过点6的 直 线 交 抛 物 线 与 两 点，
18、斜率为2的直线/与直线,x 轴依次交于点P,Q,R,N,且=|P N|.|Q N|,求直线/在 x 轴上截距的范围.【答案】(1)产=4 x；(F-7-4 何U-7 +4&)U(1,E).解析：因 为 尸|=2,故 p =2,故抛物线的方程为：/=4 x.设 A B:x =(y +l,4(占,必),8(，%)，N(”,0),所以直线/：x =)+，由题设可得H l 且由-H2+14H+104 即 彳,n w 1解得 4-7-4 6 或-7+475 或”L故直线/在X轴上的截距的范围为 4-7 4君 或 一 7+4 6 4 1.【题目栏目】圆锥曲线 抛物线、直线与抛物线的综合问题【题目来源】20
19、21年高考浙江卷第21题8.（2021年新高考全国H卷 第 20题）已知椭圆C的方程为7+F=l(a/?0),右焦点为F(0,0),且离心率为业.3 求 椭 圆，的方程;设 机 2 是椭圆，上的两点，直线MN与曲线 2+/2=从（0）相切.证明：材，N,尸三点共线的充要条件是|M N|=G .【答案】解析：（1）由题意，椭圆半焦距c=夜 且 e=亚，所以 =6,又 从=/一。2=1,所以椭圆方a 3程 为 之+y 2=i；3-(2)由(1)得，曲线为*2+尸=1。0),当直线M N 的斜率不存在时，直线 N：X=1,不合题意;当直线M N 的斜率存在时，设 M(X 2 J,N(X2，%)，必要
20、性:若 M,N,厂三点共线，可设直线M N:y=M x-0)即日y-3%=0,由直线M N与曲线V+9 =l(x 0)相切可得_ L=1,解 得/=i,联立，VF7Ty=(x-&)X 2 1+V =113,可得 4丁 6y/2 x+3=0 所以 +x2=3 f-x2=(,所以|A7N|=VT+T-A/(XI+X2)2-4X,-X2=G,所以必要性成立;充分性：设直线A/N:y=&-+,(妨0)即k x-y+b =0,由直线M V 与曲线V+丁=l(x 0)相切可得 b-T=所 以 从=抬+1，联 立 f-Jk2+ly=k x+b一+y,32 _ 可得(1+3公)/+6的+3从-3=0,3从-3
21、所以 +%2=6k b1 +3 r *七-1+3公MN=Jl+炉J(西+)2 -4%|工 2,所以2一 43 b2-3化简得3(公 一 1)2=0,所以左=1,所以或,b=-曰 b=近,所以直线“必 =工-血或丁=-工+血,所1 +3公以直线MN过点F(V2,0),M,N,b 三点共线，充分性成立；所以M,从尸三点共线的充要条件是|MN|=G .【题目栏目】圆锥曲线 椭圆 直线与椭圆的综合问题【题目来源】2021年新高考全国II卷 第 20题9.(2021年新高考I 卷第21题)在平面直角坐标系x y 中，己知点耳 卜 后,0)、马(如,0)附间-|g|=2,点M 的轨迹为C.(1)求C 的方
22、程；(2)设点T 在直线x=g 上，过 7 两条直线分别交C 于 A、3 两点和P,Q 两 点,且|mHTM=rP“T2|，求直线AB的斜率与直线P Q的斜率之和.【答案】解析：因 为 用-眼 用=2忻 用=2 j万，所以，轨迹C是以点片、死为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹 C 的方程为-=1（6!0,/?0）,则 2a=2,可得 a=l,6=J7-a?=4,所以，轨迹C的方程为X2-=1（X1）；16（2）设点若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，不妨直线钻 的 方程为y _ f=4（x _；即y=+_：仁，V k x t-k （1 、2联立1 1 2 1,消去y并整理可
23、得（好一16卜2+匕（2-幻+16=0,16x2-y2=16 I 2）设点A（a y J、B（x2,y2）,1-2且1-2由韦达定理可得士+=与?,|/-2可+16,一 =k、16所以，|771卜|78|=（1 +A；）丹 一：卜 一g=（1 +女：）（占-*；*+；）=-J I）设直线P Q的斜率为k2,同理可得|7P|.|70|=+：苫）因为|汹|用=|7P卜TQ,即（+?）（）=（，+甲。+6）,整理可得收=后,/C i 10 K,L O即（4 _&）（41+&）=0,显然4 _七二0,故U+&三0.因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为0.【题目栏目】圆锥曲线 双曲线 双曲线的几何性质【
24、题目来源】2021年新高考I卷 第21题10.（2021年高考全国乙卷理科第21题）已知抛物线。：*=2胡（0）的焦点为尸，且尸与圆M :胃+（+4）2=1上点的距离的最小值为4.求 ；（2）若点P在“上，P A P 8是C的两条切线，A,8是切点，求PAB面积的最大值.【答案】，=2：20G解析：（1）抛物线。的焦点为怛/卜5 +4,所以，尸与圆A/:/+（y+4）2 =|上点的距离的最小值为+4 1 =4,解得p =2；2/V-（2）抛物线C的方程为d=4 y,即y =,对该函数求导得炉=5,设点A&,y）、8（毛，为）、P（X o，%），直线Q 4的方程为y 必=?（*_ 王），即）=芳
25、 _/1，即 x _ 2 y _2 y =0 ,同理可知，直线P 3的方程为电龙一2 y 2 2 y =（）,由于点。为这两条直线的公共点，则玉x（）_ 2 y -2 y o=Ox2xo-2y2-2yQ=O所以，点A、8的坐标满足方程/%-2丁-2%=0,所以，直线A3的方程为七%-2，-2%=0,入0*一2丁-2%=0联立，x2，可得x?-2入0*+4%=0 ,由韦达定理可得玉+Z=2 A o，xxi=4%，所以，=-7（XI+%2）2-4X,X2,也片 T 6y o =+4）（x：-4%）点P到直线AB的距离为d忖-4%|J*+4所以,SPAB=g +4）（x；=；（*4%产,：片 一 4
26、%=1 -（%+4 4%=-N；-1 2%1 5 =（%+6）2 +2 1 ,1 士 f-由已知可得一54%4-3,所以，当%=-5时，P4B的面积取最大值上x 2 0 2 =2 0 6.2【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.【题 目栏目】圆锥曲线 抛物线 直线与抛物线的综合问题【题目来源】2 0 2 1年高考全国乙卷理科第2 1题1 1.(2 0 2 1 年高考全国甲卷理科第 2
27、 0 题)抛 物 线 C的顶点为坐标原点。.焦点在x 轴上，直线/：x =l 交C于 P,Q两点，且OPL OQ.已知点M(2,0),且 OM与/相切.求 C,的方程；(2)设是 C上的三个点，直线44,44均 与 相 切.判 断 直 线 4 4 与 0”的位置关系，并说明理由.【答案】抛物线C:y 2=x,0”方程为(X2 尸+丁 2=1；(2)相切，理由见解析解析：依题意设抛物线C：产=2 p x(p O),P(l,y o),O(l，7o)，：OP A.OQ,:.OPOQ=-y 1=-2 p =Q,:.2p=,所以抛物线。的方程为V=x,M(0,2),O M 与x =l 相切，所以半径为1
28、，所 以 的 方 程 为(x -2)2 +V =1 ；设 A(%弘)，4(%2，%)，4(兀 3，%)若 A4斜率不存在，则A4方程为X=1 或 X=3,若 A4方程为x=i,根据对称性不妨设A(1,1),则过A与圆”相切的另一条直线方程为y =i,此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在&,不合题意；若 A4 方程为=3,根据对称性不妨设4(3,G),A(3,-7 3),则过A 1 与圆M 相切的直线A A 3 为 y6 =(x 3)，又 力=-=-j=-=3=0，百一Wy +%6+/3刍=0,4(，0)，此时直线44,44关于X 轴对称，所以直线4 4 与圆M 相切；若直线44，4 4 3
29、,4 4 3 斜率均存在,1 ,贝共叱=、,+,k.4 41 ,1-7 ，须如-7-%一%所以直线44方程为y-y修一立整理得x-（y +%力+乂%=0，同理直线A A 的方程为x -（%+y3）y+）%=0，直线4 4 的方程为工一（必+为）y+y 2 y 3 =。，.2+yy21 _A A 与圆 相切，/o =4 1 +（必+%厂整理得（J,2-1）+2 y l y 2 +3-3=0 ,AA与圆M相切，同理（y：-D y；+2%为+3-y；=0所以%，%为方程（4-1）2 +2%+3-犬=0的两根，2 M 3 y；%+为=-2 7 2 ,%=I ，y -1 必 TM 到直线4 4 的距离为
30、：2+y I|2+%）1=:楮 T =加+1 1 1 =y/l+（y2+y3）2 JI+（_2A_）2 J（y：-1）2+4 褚 犬+1 弁-1所以直线4A3 与圆M 相切；综上若直线4 4,与圆M相切，则直线4 4 与圆M相切.【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要 充 分 利 用 的 对 称 性，抽 象 出%+%，%为 与%关 系，把 以，%的关系转化为用以表示.【题目栏目】圆锥曲线抛物线、直线与抛物线的综合问题【题目来源】2 0 2 1 年高考全国甲卷理科第2 0 题1 2.（2 0 2 1高考北
31、京第2 0题）已知椭圆E:=+与=1（。人0）一个 顶 点A（O,-2）,以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为4 6.（1）求椭圆的方程；（2）过点用0,-3）的直线/斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点8,C,直线4 8,A C分别与直线交片-3交于点例,N,当 例+|M W1 5时，求左的取值范围.2 2【答案】土+汇=1 ;3,1）5 L 3.5 4解 析：（D因为椭圆过4（0,-2）,故 b=2,因为四个顶点围成的四边形的面积为4石，故;x 2 ax 2 6 =4石，即2 2故椭圆的标准方程为：土+匕=1 .5 4B C:y =kx-3,由口 二辰一：可得（4+5 F）2一3 0履+
32、2 5=0,4 -+5/=2 0 f eA =90 0 A:2-1 0 0（4 +5Z:2）0,解得左一1 或%1 .3 0攵 2 5.八 八又 X.+X-）Z,=TV 9 故玉，2。，所以 XM%N。4+5Z 4 +5 K又忸M+|/w|=%+%=X I 4X+2 y2+2kxy 1 kx2-12kxix2 一（%+x2）k2xx2 _%（玉+入2）+15Qk3Qk4 +5 攵 2 4+5女 225k230k24 +5/4 +5公=5W故5网4 1 5即网M 3,综上，-3 与女 一1 或 1%l）左、右顶点，Ga为 E的上顶点，A 存（；豆=8，P为直线x=6 上的动点，力 与 的另一交点
33、为C,P 8 与 E的另一交点为D.（1）求 E 方程；证明：直线C D 过定点.v-2【答案】（1）二+丁=1；（2）证明详见解析.9【解析】（1）依据题意作出如下图象：B（a,0）,G（0,l）.-.A G =（a,l）,GB=（a,-1）+y?=1（。1）可得：A（a,O）,AG G 1=8，a2=92椭圆方程为：+/=19 -（2）证明：设 P（6,%），则直线A 尸的方程为：=言尚（+3），即：y =联立直线A P的方程与椭圆方程可得：,整理得:+3)（年+9）/+6%2 刀+9,2 _ 8 i=o,解得：1=-3 或%=且丑%+9将 x =二3）b 0）右焦点F 与抛物线C2 的焦
34、a b点重合，G的中心与C2 的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交Q于 A,8 两点，交 C2 于 C,。两点，且4CD=-A B.（1）求G的离心率；（2）设M是G与C2的公共点，若|/W F|=5,求Q与C2的标准方程.1r2.2【答案】V；二+匕=1,a：V=i 2 x.2 1 36 2 7 解析：（1）./（G。），轴且与椭圆C相交于A、B两点,则直线A 3的方程为=，,联立x=c2?r y 1靛+乒ja2=b2+c2x=cb2，则|A5|=y=2b2解得-f即 2 c?+3a c 2。2=0，即 2 e?+3e 2 =()，QOel,解得e =；,因此，椭圆G的离心率为g；2 2
35、（2）由（1）知。=2 c ,=J 5 C，1陌圆G的方程为=1 ,4 c L 3cy2=4cx联立 x2 y2 J消去并整理得3x?+16以一12 c 2=0,hh2解得x =。或x =-6c （舍去）,32由抛物线的定义可得耳=c+c =M=5,解得c =3.因此，曲线G 的 标 准 方 程 为Y 二+v匕2=1，36 27曲线。2的标准方程为V=12x.【点睛】本题考查椭圆离心率 求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.【题目栏目】圆锥曲线圆锥曲线的综合问题、圆锥曲线的综合问题【题目来源】2020年高考课标II卷 理 科 第 19题15.(2
36、020年高考课标HI卷 理 科 第 20题)已知椭圆C:三+工=1(0?5)的离心率为巫，A，3 分25 m2 4别为C 的左、右顶点.(1)求 C 的方程；(2)若点p 在 C 上，点 Q 在直线X=6 上，且I8 P R B 0,B P 1 B Q,求AAPQ的面积.【答案】葛*喋”?2,2解析：(1);C:-F4=1(0 m25 258(5,0),PM=|B/V|=6-5 =1，设尸点为(斗,力),2 久 2可得p 点纵坐标为=1,将 其 代 入 二+效 匚=1,25 25可得：工x 2 +卬 6=1,25 25解得：4=3 或 巧,=_ 3,P 点为(3,1)或(3,1),当P 点为(
37、3,1)时,故|峭=5-3 =2,4P M B 三4 BNQ,.-.M B=N Q=2,可得：。点为(6,2),画出图象，如图v A(-5,0),2(6,2),可求得直线AQ的直线方程为：2x-llj+10=0,根据点到直线距离公式可得p到直线AQ的距离为：a=l2x3-llxl+12 1=_|L=,V22+ll2 V125 5根据两点间距离公式可得：|AQ|=7（6+5）2+（2-0）2=5J?，.APQ面积为：-!-x575x=-；2 5 2当尸点为（一3,1）时,故 阿=5+3=8,4 P M B =/B N Q ,|MB|=|NQ|=8,可得：。点为（6,8）,画出图象，如图A(-5,
38、0),。(6,8),可求得直线A。的直线方程为：8x-lly+40=0,根据点到直线距离公式可得P到直线A Q的距离为:d 18x(-3)-11x1+401|5|_ 5,782+112-?185-V185根据两点间距离公式可得：AQ=J（6+5）2+（8-0）2 =闹,A P Q 面积为：x V 1 85 x -=,2 ，1 85 2综上所述，AAPQ面积为：2【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.【题目栏目】圆锥曲线 椭圆 直线与椭圆的综合问题【题目来源】2 0 2 0 年高考课标m
39、 卷 理 科 第 2 0 题1 6.（2 0 2 0 年新高考全国I 卷（山东）第 2 2 题）己知椭圆C：5+营=1（。人0）的 离 心 率 为 孝，且过点 A（2,1）.（1）求 C的方程：（2）点 M,N在 C上，且 A/W L A/V,AD 1 M N,。为垂足.证明：存在定点Q,使得|D Q|为定值.2 2【答案】(1)二+工=1;(2)详见解析.6 3 =a 24 1J 2解析：由题意可得：+-r=l ,解得：a2=6,b2=c2=3,故椭圆方程为：+-=1.a b 6 3a2=b2+c2(2)设点 M,y j,N(w，%).因为 A M U/v,.丽 不 丽=o，即（玉一2）（为
40、 _ 2）+（,一 1）（%T）=O,当直线MN的斜率存在时，设方程为了 =去+加,如 图 1.代入椭圆方程消去丁并整理得：（1 +2 小 卜 2 +4 k n r+2 加2 -6 =0%+9=4 k m _ 2 m2 61 +2 心 中2-+2 攵2,根据y =3 +皿 2 =5 +加，代入整理可得：（k?+1）X|W +（初2 左一2）（玉 +%2）+（加一1）2 +4=0 将代入,（皿）禄+（加-%-2）/4km1 +2/+（m-以+4=0,整理化简得（2Z+3根+1）（2%+/1）=0,.A（2,D 不在直线 MN 上，.2Z+加一 1。0,2k+3m+1=0,Z h 1,于是M N的
41、方程为y=23,所以直线过定点直线过定点E当直线M N的斜率不存在时，可得N（X1,-y）,如图2.2 2代 入&-2）（马一2）+（%-1）（%-1）=0得（芭 2）2 +1 父=0,结 合 五+五=1,解得6 3x=2（舍）,X=,2此时直线M N过点E3，-3由于AE为定值，且AADE为直角三角形，4E为斜边,所以AE中点Q满 足 为 定 值（AE长度的一半;2-224&）亍由于,故由中点坐标公式可得故存在点Q（g,j,使得/D Q/为定值.【题目栏目】圆锥曲线 椭圆 直线与椭圆的综合问题【题目来源】2 0 2 0 年新高考全国I 卷（山东）第 2 2 题2 21 7.（2 0 2 0
42、年新高考全国卷n数 学（海南）第 2 1 题）已知椭圆C：3+2T=l（a b 0）过点M（2,3）,a u点 A为其左顶点，且 AM的 斜 率 为;,（1）求 C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求A M/V 的面积的最大值.2 2【答案】（1）土 +二=1;（2）1 8.解析:由题意可知直线A/W 的方程为：），-3=1 6 1 2当 y=O 时，解得x =-4,所以0 二 4,r2 v24 9椭圆C：+%=1（。0）过点M（2,3）,可 得 记+记=1，解得炉=1 2.2 2所以c的方程：+-=1.1 6 1 2设与直线AM平行的直线方程为：x-2 y m,如图所示，当直线与椭圆相切时
43、，与 AM距离比较远的直线与椭圆的切点为M值.-（x-2）,即 x-2 y =-4 .此时4 M/V的面积取得最大2 2联立直线方程X 2y=/n与椭圆方程+=1,16 12可得：3(m+2y)2+4y2=48,化简可得：16y2 +12州y+3/-48=0,所以八=14462-4x16(3m248)=0,即 加=6 4,解得 m=8,与A/W距离比较远的直线方程：x 2y=8,直线AM方程为：x2y=T,点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得:Ji+4 5由两点之间距离公式可得|AM|=J（2+4+32=3非.所以 AMN的面积的最大值：，x3有x为 后=18
44、.2 5【题目栏目】圆锥曲线 椭圆,椭圆的定义及其标准方程【题目来源】2020年新高考全国卷II数 学（海南）第21题218.（2020年浙江省高考数学试卷第21题）如图，已知椭圆G：.+y2=1,抛物线。2:V =2px（p 0）,点A是椭圆C,与抛物线C2的交点，过点A的直线1交椭圆G于点B,交抛物线C2于材（反M不同于4）.(1)若 =，求抛物线。2的焦点坐标;16(II)若存在不过原点的直线/使为线段4?的中点，求。的最大值.【答案】(1)(,0),(H)也32 401 ,1 1解析：(1)当=正 时，G的方程为=1，故 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为(至(II)设%)，4(如%)
45、，I-X=Ay+m,由,0）；*+2）2 n（2+-+2力 阳+加2 一2 二（）,x=Ay+m-2Am-Am c 2m由M在抛物线上，所以Z2m2（2+22）24 pm A.2m-7=-T=4p V2+3 2+万 八乂y2=2pxx-=y2=2p（4y+m）=y2-2p4y-2pm-0,x+%=2pA,西 +机+4%+7?7 =2pA2+2m,%=2pA,2+2m-2m z.2+%-2由 2 n x?+4尤=2,：即X?+4 入 一2 二 0y1=2px=-2p+&/+2=2pA2+2m；+；=2pA2 4-竽 +8p 16p,所以 J 4 P 2+2 2 1 8 P，击，P 6 0）的一个
46、顶点为4 0,-3）,右焦点为F,且I O A R O F I,其中O为原点.a-h-（I）求 椭 圆 方 程；（I I）已知点C满足3 反=赤，点 8在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线/W与以C为圆心的圆相切于点P,且尸为线段他的中点.求直线他的方程.【答案】【答案】（I）反+亡=1；（I I）y=x-3,或 y =x-3.【解析】.椭圆+/=1（。6 0）的一个顶点为A（0,-3）,：.b =3,由|。4|=|。日，得 c =6=3,又 由 =从+。2,得“2=3 2+3 2=1 8,2 2所以，椭圆的方程为土+匕=1;1 8 9（H）直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以根据题意可知，
47、直线AB和直线CP的斜率均存在，设 直 线 的 斜 率 为 3则 直 线 的 方 程 为 +3 =依，即 =-3,y=k x-31 8 9,消去y,可得(2 公+1 卜2-1 2 点=(),解得x =o 或 工=而 百劭 12 k、7 a 4曰 1 12 k c 6 K 3将、=药代入、=一 3 得 人.罚 一3二E(12 k 6左2一 3、所以，点 5 的坐标为 kTFL，因为P 为线段钻的中点，点 A 的坐标为(。，-3),2,K+1 2攵 +1,所 以 点 尸 的 坐 标 为(碧 7,五 工,由3方=而，得点C的坐标为(1,0),1 Z,K+1 Zk+1,_ 0所以，直线”的 斜 率 为
48、%=世 沪 一=c,2匚，,又因为CP LA 8,所以，3,=一1，M 2k “-6Z+1 2 K-64+12FTT-1整理得2/一 3k+1 =0,解得=g 或%=1.所以，直线A B 的方程为y =；x-3 或 y =x 3.【题目栏目】圆锥曲线楠圆直线与椭圆的综合问题【题目来源】2020天 津 高 考 第 1 8 题2 220.(2020江苏高考第1 8 题)在平面直角坐标系X 0 Y中，己知椭圆E:工+汇=1 的左、右焦点分别为耳,E,4 3点 A 在椭圆E上且在第一象限内，A F21 FtF2,直线A K与椭圆 相交于另一点(1)求 AA6 的周长;(2)在x 轴上任取一点P,直 线
49、 小 与 椭 圆 E的右准线相交于点。，求 而 诙 的最小值;设点在椭圆E上，记 A Q A B 与 的 面 积 分 别 为*$2,若$2=3 5，求点的坐标.【答案】【答案】(1)6；(2)4；(3)“(2,0)或卜白,一蓝).2 2【解析】椭圆E的方程为土+匕=1,耳(T，。)，尼(1,0)4 3由椭圆定义可得：A+A E=4.，人斗乙的周长为4+2=6 设P(%,0),根据题意可得X。.点A在椭圆E上，且在第一象限，A F21F,F2 .),.准线方程为x=4,.0 4,%),.而 4,为)=(与-4)%=(七一2)2-4 2-4,当且仅当4 =2时取等号.而 酬的最小值为T.设/(3
50、J),点M到直线4?的距离为d.爪-1,0)直线A耳的方程为y=(x +l),；点O到直线AB的距离为丁 S,=35,:.S2=3 Sl=3 xxA Bx=A B-d,:.d=,-4y,+3|=9 _ 2X 2 v 2%.=2 N-7.生+当_=1，.联立解得I ;4 3 E=0 12ri=，M(2,0)或卜【题目栏目】圆锥曲线椭圆椭圆的几何性质2 2【题目来源】2020江苏高考第18题21.(2020北京高考第20题)已知椭圆。:=+4=1过点4-2,-1),a h 且。=2Z?.(I)求椭圆。的方程：(H)过点8(-4,0)的直线/交椭圆C于点M,N,直线M4,N4分别交直线x=T于点P,