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1、2022年中考数学复习新题速递之图形的旋转一.选 择 题（共10小题）1.（2 0 2 1 秋海淀区校级期中）若点A（3,-2）与点8 关于原点对称，则点B的坐标为（）A.（3,2）B.（-3,2）C.（3,-2）D.（-3,-2）2.（2 0 2 1 秋长沙期中）下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）3.（2 0 2 1 秋惠城区校级期中）已知点A的坐标为（-1,2）,则点A关于原点的对称点的坐 标 为（）A.（1,2）B.（1,-2）C.（2,-1）D.（-1,-2）4.下列图形只是中心对称图形不是轴对称图形的是（）A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形5.（2 0
2、 2 1 秋朝阳区期中）点 尸（2,6）关于原点对称的点的坐标是（）A.（2,6）B.（2,-6）C.（-2,6）D.（-2,-6）6.（2 0 2 1 秋香洲区校级期中）如图，在中，N 4C B=90 ,将 R t Z XA B C 绕 点 C顺时针方向旋转一定角度得到R t Z i D E C,点。恰好落在边A8 上.若 N B=2 5 ,则NB C E 的度数为（）A.2 0 B.3 0 C.5 0 D.6 0 7.（2 0 2 1 秋费县期中）如图，在 R t Z XA B C 中，乙4cB=90 ,将 R t Z A B C 绕 点 C按顺时针方向旋转一定角度得到R t O E C,
3、点。恰好落在边4 8 上.若 N 4=7 0 ,则/B C E的度数为（）A.2 0 B.40 C.6 0 D.80 8.（2 0 2 1 秋海淀区校级期中）如图，在 A B C 中，/A B C=6 6 ,/C=40 ,将A A B C绕点8 逆时针旋转a后得到4 B C ,此时点A恰好在线段A C上，则/4 B 4 的9.（2 0 2 1 秋江汉区期中）如图，在AABC中，AB=AC,/B A C=5 0 ,将 A B C 绕着点A顺时针方向旋转得 A O E,A 3,C E 相交于点F,若A C E 时，则 的 大 小 是（）1 0.（2 0 2 1 秋江阴市期中）如图，在 A B C
4、中，N A C 8=90 ,N A=3 0 ,A8=8,点 P是 AC上的动点，连接8 P,以 8尸为边作等边 B P Q,连接C。，则点尸在运动过程中，线段CQ长度的最小值是（）A.2B.4C.丘D.百+2二.填 空 题（共 5 小题）11.（2021秋海珠区校级期中）如图，E 是正方形ABCZ）的边8 c 上一点，4 4 8 6 逆时针旋转后能够与AOF重合，旋转中心是，旋转角为12.（2021秋南开区期中）如图，将AABC绕着点B 逆时针旋转4 5 后得到A 5 C,若N，则NABC的度数为度13.（2021 秋普陀区期中）在 RtZABC 中，ZC=90,/B=3 0 ,4 c=2,点
5、力、E 分别在边8C、A 3上，SLDELBC,B D=2,将/BDE绕点、B 旋转至A B DIEI,点 D、E 分别对应点。i、E i,当4、。1、由 三点共线时，Ci的长为.14.（2021秋锦江区校级期中）如图，在四边形ABC。中，AB/CD,A B L B C,且 A8=B C,里=3,将A B绕 点A旋转一定的角度使点B 对应的点E在四边形的内部，连接AB 5DE,ZAED=90,连接BE并延长交 8 于点凡 作 C H J_8E,垂足为点“，已知CH=3,那么BC长度为.15.（2021衢州四模）图 1是由七根连杆链接而成的机械装置，图 2 是其示意图.已知。,P两点固定，连 杆
6、PA P C 14,A B B C-C Q=Q A=6,O Q 5,O,P两点间距离与0。长度相等.当OQ绕点O 转动时，点 A,B,C 的位置随之改变.（1）点 P、0 之间距离的最大值为;（2）在转动过程中，则 PQPB=.cBs r P o/：一 图1图2三.解 答 题(共 5小题)1 6.(2 0 2 1 秋西城区校级期中)如图，在正方形网格中，AABC的顶点和。点都在格点上.(1)在 图 1 中画出将 4B C 绕 点 8 逆时针旋转90 的图形AIBICI；并将C点所走的路线长计算出来，直接填在横线上：询=.(2)在图2中画出与 A 8C 关于点。对称的A A 2 82 c2；(3
7、)若以点。为原点，以水平向右为x轴的正方向建立平面直角坐标系,请写出2 8 2 c 2三个顶点的坐标.A 2 (,);B2(,)C2(,).1 7.(2 0 2 1 秋高州市期中)如图，A BC 三个顶点的坐标分别为A (1,1),B(4,2),C(3,4).(1)请画出 A BC 向下平移5个单位长度后得到的 4 B1 C 1；(2)请画出 A BC 关于原点对称的A A z B2 c 2；(3)在)，轴上求作一点P,使 的 周 长 最 小.18.（2021秋罗湖区期中）如图，O 为平行四边形ABC。的对称中心，对角线ACLA8,过点O 作直线分别交A。，B C 于 E,F,连接AF,CE.
8、（1）证明：四边形AFCE是菱形.（2）若四边形4FCE是正方形且B C=6,求 AB的长.19.（2021秋建宁县期中）如图，已知ABC.（1）在平面内将ABC绕点C 逆时针旋转6 0 得（点。对应点A）（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，连结A E,若 QCLBC,A C=A B,求证：直线BA经过点D20.（2021秋建宁县期中）如图，已知点P（2m-,6m-5）在第一象限的角平分线OC上，A P LB P,点 A 在 x 轴上，点 8 在 y 轴上.（1）求点P的坐标.（2）当/A P B 绕点尸旋转时，04+08的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；
9、若不变，求出这个定值.2022年中考数学复习新题速递之图形的旋转（2021年 11月）参考答案与试题解析一.选 择 题（共10小题）1.（2021秋海淀区校级期中）若点4（3,-2）与点B 关于原点对称，则点B 的坐标为（）A.（3,2）B.（-3,2）C.（3,-2）D.（-3,-2）【考点】关于原点对称的点的坐标.【专题】平面直角坐标系；符号意识.【分析】利用关于原点对称的点的坐标特点（横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数）可得答案.【解答】解：.点A（3,-2）与点8 关于原点对称，.,.点8 的坐标为（-3,2）,故选：B.【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关
10、于原点对称时,它们的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数.2.（2021秋长沙期中）下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）【考点】轴对称图形；中心对称图形.【专题】平移、旋转与对称；几何直观.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解：A.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意:B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意.故选：A.【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全
11、重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转1 8 0。，旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.3.(2 0 2 1秋惠城区校级期中)已知点A的坐标为(-1,2),则点A关于原点的对称点的坐 标 为()A.(1,2)B.(1,-2)C.(2,-1)D.(-1,-2)【考点】关于原点对称的点的坐标.【专题】平面直角坐标系；符号意识.【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反.【解答】解：点A的坐标为(-1,2),则点4关于原点的对称点的坐标为(1,-2),故选：B.【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，点P(x,y
12、)关于原点。的对称点是 P (-x,-y).4.下列图形只是中心对称图形不是轴对称图形的是()A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形【考点】轴对称图形；中心对称图形.【专题】平移、旋转与对称；几何直观.【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.【解答】解：儿 平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；B.矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；C.菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；D.正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意.故选：A.【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关
13、键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋 转1 8 0度后与原图重合.5.(2 0 2 1秋朝阳区期中)点P (2,6)关于原点对称的点的坐标是()A.(2,6)B.(2,-6)C.(-2,6)D.(-2,-6)【考点】关于原点对称的点的坐标.【专题】平面直角坐标系；符号意识.【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反.【解答】解：点（2,6）关于原点对称的点坐标是（-2,-6）,故选：D.【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，点 P（x,y）关于原点。的对称点是 P（-x,-y）.6.（2021秋香洲区校级期中）如图，在 RtABC中，Z
14、ACB=90Q,将 RtzMBC绕 点 C顺时针方向旋转一定角度得到R t O E C,点。恰好落在边AB上.若NB=25。，则/BCE的度数为（）A.20 B.30 C.50 D.60【考点】旋转的性质.【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称：推理能力.【分析】由旋转的性质可得AC=CD,N A C D=N B C E,可得NA=N4）C=65,由三角形内角和定理可得NACZ）=50,即可求解.【解答】解：；/A C B=90,ZB=25,：.ZA=65,.将RtzMBC绕点C 顺时针方向旋转一定角度得到RtADEC,：.AC=CD,NACD=NBCE,：.ZA=ZADC=f5）,
15、A ZACD=50a,:.NBCE=50,故选：C.【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.7.（2021秋费县期中）如图，在中，NACB=90,将 Rl/XABC绕 点 C 按顺时针方向旋转一定角度得到RtZW EC,点。恰好落在边AB上.若NA=70,则N8CE的度数为（）A.20 B.40 C.60 D.80【考点】旋转的性质.【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力.【分析】由旋转的性质可得AC=C。，N A C D=N B C E,由等腰三角形的性质可得/A =ZADC=70 ,即可求解.【解答】解：将 RtZA8C绕点C 顺时针
16、方向旋转一定角度得到RtADEC,：.AC=CD,N A C D=N B C E,.N4=N4DC=70,A ZACD=40,A ZBCE=40,故 选:B.【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.8.（2021秋海淀区校级期中）如图，在 A B C 中，NABC=66,NC=40,将 ABC绕点8 逆时针旋转a 后得到a A B C ,此时点A 恰好在线段A C 上，则/A B A 的【考点】旋转的性质.【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力.【分析】由 旋 转 的 性 质 可 得ZBACZBA,C=14 ,由三角形的内角和定理可求解.
17、【解答】解：；NABC=66,NC=40,：.ZBAC=14,.将AABC绕点8 逆时针旋转a 后得到AA B C,：.AB=BA,/8 4 C=/B 4 C=7 4 ,.NBA4=/8AA=74,A ZABA=32a,故选：C.【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.9.（2021秋江汉区期中）如图，在 A 8C 中，AB=AC,ZBAC=50,将 A8C 绕着点A 顺时针方向旋转得 ADE,AB,CE相交于点F,若AOCE时，则ZBAE的大小是（）【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；旋转的性质.【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能
18、力.【分析】由旋转的性质得出/ZME=NBAC=50,A C=A E,根据平行线的性质得出ND4E=N4EC=50,由等腰三角形的性质得出/ACE=NAEC=50,可求出/E A C=80,则可求出答案.【解答】解：.将 ABC绕着点A 顺时针方向旋转得相），.ZDAE=ZBAC=50,AC=AE,JAD/CE,./D4E=N4EC=50,A ZACE=ZAEC=50,A ZEAC=1800-ZAEC-ZAC=180-50-50=80,：.ZBAEZEAC-ZBAC=80-50=30.故选：C.【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.10.
19、（2021 秋江阴市期中）如图，在ABC 中，NACB=90,ZA=30,A B=8,点 P是 AC上的动点，连接8尸，以 B P为边作等边B P Q,连接C Q,则点尸在运动过程中，线 段 CQ长度的最小值是（）A.2 B.4 C.V12 D.M+2【考点】垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含 30度角的直角三角形；旋转的性质.【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力.【分析】如图，取 A 3 的中点E,连 接 CE,P E.由“SAS”可证QBC之P 8 E,推出Q C=P E,推出当EP_LAC时，QC的值最小；【解答】解：如图，取 AB
20、的中点E,连接CE,P E.则 BE=AE=4,V ZACB=90,ZA=30,.ZC B E=60,：BE=AE=4,：.CE=BE=AE=4,.BCE是等边三角形，：.BC=BE,：ZPBQ=ZCBE=60a,：.ZQ BC=ZPBE,在Q8C和PBE中，rQ B=P BB C=B E.QBC丝PBE(SAS),，QC=PE,.当EP_LAC时，QC的值最小，在 RtZAEP 中，；AE=4,NA=30,：.PE=1AE=4,2.C。的最小值为2,故选：A.【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅
21、助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题.二.填 空 题（共5小题）11.（2021秋海珠区校级期中）如图，E是正方形A8CD的边BC上一点，ABE逆时针旋转后能够与AOF重合，旋转中心是 点A,旋转角为 9 0度.【考点】正方形的性质；旋转的性质.【专题】矩 形 菱 形 正 方 形；平移、旋转与对称；几何直观.【分析】从图形和已知可知：旋转中心是点A,旋转角的度数等于NBA。的度数，即为90.【解答】解：从图形和已知可知：旋转中心是点4旋 转 角 的 度 数 等 于 的 度 数，即为90,故答案为：点A；90.【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，熟记旋转的性质是解题的关
22、键.12.（2021秋南开区期中）如图，将AABC绕着点B逆时针旋转4 5 后得到A 5 C,若NA=100,NC=45,则 NABC 的度数为 10 度.B【考点】旋转的性质.【专题】平移、旋转与对称：推理能力.【分析】由三角形的内角和定理可求N A B C,由旋转的性质可得/ABA=45,即可求解.【解答】解：V Z A=100,NC=45,；.NABC=35 ,.,将aABC绕着点B 逆时针旋转45 后得到 A5C,A ZABA=45 ,A ZABC=10 ,故答案为10.【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.13.（2021 秋普陀区期中）在 RtZA8C 中，ZC
23、=90,NB=30,A C=2,点。、E 分别在边8C、A 8上，且 QE_LBC,B D=2,将 8Q E绕点8 旋转至B Q iE i,点。、E 分别对应点Oi、E i,当4、。1、E i三点共线时，Ci的长为 2 或 4.【考点】含 30度角的直角三角形：旋转的性质.【专题】图形的全等：等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力.【分析】分两种情况讨论，由矩形的性质和全等三角形的性质可求解.V ZACD=90,Z A B C=3 0a,AC=2,.8=4,8C=V4C=2时，.将 BDE绕点B 旋转至 8D1E1,：.DB=2=DB,ZBDEi=90,.,.A)i=，皿 2-口
24、加 2=4 1 6-4=2 ，：.ADi=BC,S.AC=BDi,四边形ACBDi是平行四边形，且NACB=90,四边形A C B。是矩形，：.CDAB=4,如图2,当点力1在线段A E 1的延长线上,图2V Z A C B=Z A i B=9 0 ,.,.点A,点B,点 1,点C四点共圆，.N A D 1 C=/A B C=3 O ,AC=BD,AB=AB,A R t A A B C R t A B A D i (HL)：.Z D i A B Z A B C=3 0Q,且/R 4 C=6 0 ,.N C A i=3 0 =N A O C,；.A C=8 1=2,综上所述：C D i=2或4,
25、故答案为：2或4.【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论解决问题是本题的关键.1 4.(2 0 2 1秋锦江区校级期中)如图，在四边形A B C。中，AB/CD,A B L B C,且A B=BC,将A B绕点A旋转一定的角度使点B对应的 点E在四边形的内部，连接A B 5DE,Z A E D=9 0 ,连接B E并延长交C。于点尸，作 C H L B E,垂足为点“，己知C”=3,那么8 C长 度 为 瓦【考点】勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质.【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力.【分
26、析】过点A作AP，C的延长线于点P,过点E作N8 C,交AB、8于点M、N,然后证明APQ丝A ED,再设AB=5r,C=3r,然后用含有f的式子表示相关线段长度，再设EN=x,D N=y,利用“K 型”相 似 证 明 从 而 利 用 相 似 三角形的性质表示BM与E M,进 而 得 到 的 正 切 值，最后结合C H=3求得8”的长,从而利用勾股定理求得BC的长度.【解答】解：过点A作AP_LCQ的延长线于点P,过点E作MNB C,交4 8、C于点M、N,则 NAPC=90,由 里 工AB 5设 C=31,AB=BC=5t,CAB/CD,AB VCD,.NABC=NBC)=90,；NAPC=
27、90,四边形ABCP为正方形，：.AB=BCCP=AP=AE=5t,在 RtAAPD 和 Rt/XAED 中，AP=AE,lAD=AD，.RtAAPDRtAAED(.HL),:.PD=DE=CP-CD=5t-3t=2t,JMN/BC,：.EMAB,ENLPC,设 EN=x,D N=y,则 EM=MN-EN=5t-x,AM=PN=PD+DN=2t+y,；NAED=90,：.ZAEM+ZDEN=90,又.NAEM+NAME=90,NDEN=ZMAE,NAME=ZEND,.AAMEsAEND,.DN=F”E,丽 WKy-x-=2 t,5 t-x 2 t+y 5 t解得：x=t,y=t.2 9 2 9
28、.,.EM=5 t-x=5 t-t=15/,B M=A B -AM=5 t-(2 z+y)=3 r -y=3t-+=-62 9 2 9 2 9 2 94 5t an Z B E M=,EM W5.72 9,:MN BC,N C B H=Z B EM,A t an Z CBH=tan Z B E M=A,7 CH=_3；B H 1,:CH=3,BH=1,A SC=VBH2泞，十TTT二二，TT工工，丁丁，十二二二，7FCLr-4-【考点】多边形内角与外角；轨迹；作图-旋转变换.【专题】网格型；平移、旋转与对称；几何直观.【分析】（1）将点A、C 分别绕点B逆时针旋转9 0 得到其对应点，再首尾顺
29、次连接即可；（2）分别作出三个顶点关于原点。的对称点，再首尾顺次连接即可；（3）先以点。为原点建立平面直角坐标系，再结合坐标系可得三个顶点的坐标.【解答】解：（1）如图所示，4 8 1 C1 即为所求,：NCBCi=90,BC=3,.南=3,180 2故答案为：3n.2(2)如图所示，AA282c2即为所求,(3)建立的平面直角坐标如图所示，由图知医(2,0),B2(3,I),C2(0,1),故答案为：2、0；3、1；0、1.【点评】本题主要考查作图一旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及弧长公式.17.(2021秋高州市期中)如图，ZVIBC三个顶点的坐标
30、分别为4(L 1),B(4,2),C(3,4).(1)请画出aA BC 向下平移5 个单位长度后得到的 A1B1G；(2)请画出 ABC关于原点对称的 4282C2；(3)在)，轴上求作一点P,使 的 周 长 最 小.【考点】轴对称-最短路线问题；作图-平移变换；作图-旋转变换.【专题】网格型；平移、旋转与对称；几何直观.【分析】(1)分别作出三个顶点向下平移5个单位长度所得对应点，再首尾顺次连接即可；(2)分别作出三个顶点关于原点对称的点，再首尾顺次连接即可；(3)作点A关于y轴的对称点M ,再连接M B,与 y 轴的交点即为所求.【解答】解：(1)如图所示，A i B i Ci 就是所求作
31、的图形；(2)如图所示，2 8 2 c 2 就是所求作的图形；(3)如图所示，点 P就是所求作的点.【点评】本题主要考查作图一平移变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质.1 8.(2 0 2 1 秋罗湖区期中)如图，O 为平行四边形A 8 C。的对称中心，对角线A CJ _ A 8,过点。作直线E F A B,分别交4 0,B C 于 E,F,连接A F,CE.(1)证明：四边形A F C E 是菱形.(2)若四边形AFCE是正方形且B C=6,求 A 8 的长.【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；正方形的性质；中心对称.【专题】多边形与
32、平行四边形；矩 形 菱 形 正 方 形；推理能力.【分析】(1)先证明四边形AFCE是平行四边形，再根据对角线互相垂直可得结论；(2)根据已知可证 ABC是等腰直角三角形，进而可得AB的长.【解答】(1)证明：.四边形4 8 8 是平行四边形，J.AB/BC,：.ZAEO=ZCFO,为AC中点，OA=OC,在 AOE和 CO尸中，fZ A 0E=Z C 0FE即为所求.（2）证明ND4B=180,可得结论.【解答】（1）解：如图，C 0 E即为所求.（2）证明：如图，连接A DE,JCD1.BC,：.Z D C B=9 0Q,V Z D C A=60,CDCA,.AC。是等边三角形，NACB=
33、90-60=30,，N C W=60,：AC=A2,.N 4C B=/B=30,A ZCAB=180-30-30=120,A Z D A B=ZDAC+ZCAB=60+120=180,直线B A经过点D.【点评】本题考查作图-旋转变换，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型.20.(2021秋建宁县期中)如图，已知点P(2m-,6m-5)在第一象限的角平分线O C上，APA.BP,点A在x轴上，点B在 ，轴上.(1)求点P的坐标.(2)当NAP8绕点尸旋转时，0A+08的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围;若不变，求出这个定值.【考点】坐标与图形变化-旋转
34、.【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力.【分析】(1)根据在第一象限的角平分线0 C 上的点的横坐标与纵坐标相等，构建方程求出m即可.(2)过点P 作尸M_Ly轴于M,PN_LOA于 N.证明四边形OMPN是正方形，再证明PMB迫APNA(A S A),推出B M=A N,可得结论.【解答】解：(1)点P1,6机-5)在第一象限的角平分线0C 上，/.1m-1=6m-5,7?7 =1 ,：.P(1,1).(2)过 点 尸 作 轴 于 M,PNLOA于N.,：NPMO=NPNO=NMON=90,.四边形0MPN是矩形，；0P 平分/MON,PMLOM,PNLON,：.PM=PN,.四边
35、形。MPN是正方形，VP(1,1),PM=PN=0M=ON=1,：AP1BP,：.ZAPB=ZMPN=90a,：.4M PB=/NPA,在P M 2和P N A中，fZ M P B=Z N P A P M=P N ，Z P M B=Z P N A:.APMB叁APNA(ASA),：.BM=AN,，OB+OA=OM-8M+ON+AN=2OM=2.【点评】本题考查坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.考点卡片1.垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段.（2）垂线段的性质：垂线段最短
36、.正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言.（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择.2.平行线的性质1、平行线性质定理定 理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.2、两条平行线之间的距离处处相等.3.全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等
37、三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.4.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.（2）等腰三角形的性质等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】（3）在等腰；底边上的高；底边上的中线；顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.5.等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相
38、等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；可以得到它与等腰三角形的关系:等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的.（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60 .等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴.6.含 30度角的直角三角形（1）含 30 度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30 角所对的直角边等于斜边的一半.（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用
39、来求边的长度和角的度数.（3）注意：该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30 ）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；应用时，要注意找准30 的角所对的直角边，点明斜边.7.勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是小h,斜边长为C,那么“2+b 2=c 2.（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.（3）勾股定理公式/+庐=2的变形有：=c2 _b2,匕=2-&2 及 c=J a 2+b 2.（4）由于。2+必=C 2。2,所 以。小 同 理c b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一
40、条直角边.8.等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.即：两个锐角都是4 5。，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径上而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为4 5 ,高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径厂=1,则 外 接 圆 的 半 径/?=扬 1,所以r：R=l：V 2+1.9.多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（-2）7 8 0 （
41、23且“为整数）此公式推导的基本方法是从边形的一个顶点出发引出（n-3）条对角线，将月边形分割为（-2）个三角形，这（”-2）个三角形的所有内角之和正好是边形的内角和.除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的.即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法.（2）多边形的外角和等于3 60 .多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则”边形取“个外角，无论边数是几，其外角和永远为3 60 .借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和=1 8 0 n-（-2）7 8 0 =3 60 .10.平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边
42、形.（2）平行四边形的性质：边：平行四边形的对边相等.角：平行四边形的对角相等.对角线：平行四边形的对角线互相平分.（3）平行线间的距离处处相等.（4）平行四边形的面积：平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.同 底（等底）同 高（等高）的平行四边形面积相等.11.菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形.（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形.）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四
43、边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形.1 2.正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.（2）正方形的性质正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时.，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴.13.轨迹14.轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如
44、果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称.（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条.（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等.15.轴对称-最短路线问题1、最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B,在直线L上有到4、8的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所
45、要找的点.AB2、凡是涉及最短距离的问题，般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.16.作图-平移变换（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离.（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.1 7.旋转的性质（1）旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.旋转前、后的图形全等.（2）旋转三要素：旋转中心；旋转方向；旋转角度.注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样.1 8.中心对称（1）中心对称的定义把一个图
46、形绕着某个点旋转18 0 ,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.（2）中心对称的性质关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.1 9.中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转18 0 ,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同.(2)常见
47、的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等.20.关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标特点(1)两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点。的对称点是(-x,-y.(2)关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质.但它主要是用坐标变化确定图形.注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标.21.坐标与图形变化-旋转(1)关于原点对称的点的坐标P(x,y)(-x,-y)(2)旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30,45,60,90,180.22.作图-旋转变换(1)旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.(2)旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等.