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1、【中考命题猜想2】图形的旋转（旋转、翻折、平移）问题【考纲解读】平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形（或其一部分）施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系.这类实体的特点是：结论开放，注重考查学生的猜想、探索能力；便于与其它知识相联系，解题灵活多变，能够考察学生分析问题和解决问题的能力.在这一理念的引导下，近几年中考加大了这方面的考察力度，这一部分的分值比前两年大幅度提高。为帮助广大考生把握好平移，旋转和翻折的特征，巧妙利用平移，旋转和翻折的知识来解决相关的问题，下面以近几年中考题为例说明其解法，供大家参考。平移：在平面内，将
2、一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.“一定的方向”称为平移方向，“一定的距离”称为平移距离。平移特征：图形平移时，图形中的每一点的平移方向都相同，平移距离都相等。旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角.旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角翻折：翻折是指把一个图形按某一直线翻折180。后所形成的新的图形的变化。翻折特征：平面上的两个图形，将其中一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这条直
3、线对称，这条直线就是对称轴。解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的，弄清翻折后不变的要素。翻折在三大图形运动中是比较重要的，考查得较多.另外，从运动变化得图形得特殊位置探索出一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要的，值得大家留意。图形沿某条线折叠，这条线就是对称轴，利用轴对称的性质并借助方程的的知识就能较快得到计算结果。由此看出，近几年中考，重点突出，试题贴近考生，贴近初中数学教学，图形运动的思想(图形的旋转、翻折、平移三大运动)都一一考查到了.因此在平时抓住这三种运动的特征和基本解题思路来指导我们的复习，将是一种事半功倍的好方法。平移与旋转实际上
4、是一种全等变换，由于具有可操作性，因而是考查同学们动手能力、观察能力的好素材，也就成了近几年中考试题中频繁出现的内容。题型多以填空题、计算题呈现。在解答此类问题时，我们通常将其转换成全等求解。根据变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到求解的目的。旋转具有以下特征：(1)图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；(2)对应点到旋转中心的距离相等；(3)对应角、对应线段相等；(4)图形的形状和大小都不变。利用旋转的特征，可巧妙解决很多数学问题，如数学思想是解数学题的精髓和重要的指导方法，在平移和旋转中的应用也相当的广泛，一般可以归结为两种思想对称的思想和旋转的思想，具体的分析
5、如下：1、对称的思想：在平移、旋转、对称这些概念中，对称这一概念非常重要.它包括轴对称、旋转对称、中心对称.对称是一种种要的思想方法，在解题的应用非常广泛.2、旋转的思想：旋转也是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的解决，它是一种要的解题方法。考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。旋转性质-对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。【命题形式】1 .从考查的题型来看，本知识点主要以填空题或选择题的形式考查，题目简单，属于低档题.2.从考查内容来看，
6、涉及本知识点的重点有平移的性质与旋转的性质；轴对称的性质；中心对称与中心对称图形的概念；轴对称与轴对称图形的概念3.从考查热点来看，86涉及本知识点的主要有平移、旋转、轴对称的性质；轴对称与轴对称图形；中心对称与中心对称图形；用轴对称、平移、旋转的性质作图【满分技巧】一、图形的旋转变换：几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点，多于三角形、四边形结合。解决旋转变换问题。首先要明确旋转中心、旋转方向和旋转角，关键是找出旋转前后的对应点，利用旋转前后对应的两个图形全等来 解 题。旋转一、单选题例L如 图，在 矩 形 力 中，N AB D=6 0。,8 0=1 6,连接将绕点。顺 时 针 旋 转 相
7、（0。9 0。），得 到/9。，连 接5 9，CC,延 长CC交5 9于 点N,连 接49，当N B /395D 21B.1 0【答 案】c【解 析】【分 析】过 点。作D E_ L力夕，交B A的 延 长 线 于 点E,利 用 直 角 三 角 形 的 边 角 关 系 可 得 的 长，由旋转可知：DC=DC,D B=D B,N CDC=N B DB 得到则/。CC=/089，利用三角形的内角和定理可得N C D B=6 0。,于是NB/1B，=6 O。；在 中 利 用 宜 角 三 角 形 的 边 角 关 系 可 得DE,在R/A/TDE中，利用勾股 定 理 可 求B E，则/*=8-/氏 利用
8、平行线之间的距离相等可得A X B B 中1 8 边上 的 高 等 于D E,利用三角形的面积公式结论可求.【详 解】解：过 点。作次，交/的 延 长 线 于 点E,如图，87在矩形48。中，V ZABD=60f BD=6,n:AD=BC=BDsinZABD=i6x =83.2由旋转可知：DC=DC,DB=DB/C D C=/B D B 1.CD BD C D D9:CDCSBDB:：./D C C=N D B B：.4BNC=NCDB.,:/C D B=/A B D,/B N C=4B A B ZABD=60f NBAB，=60。V/B 4D=90。,：.ZEAD=SO-/BAB-ZBAD=
9、30.D E=AD =4 6,AE=ADcosZEAD=S G x 走=12.2 =D r-D E1=4A/13：.WB，E-AE=4屈-12.:/B A B/ABD=6。,：.ABf/BD.夕中ZQ边上的高等T DE.SJBK=；*AB&DE88=/X（49-1 2）X4百=8 a-24G.故选：C.【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系，相似三角形的判定与性质，过点。作。E _ L 4 B,添加适当的辅助线，利用直角三角形的边角关系求得4B 的长皑解题的关键.例 2.如图，在AABC中，ZACB=90,ZBAC=3 0 ,。为AM C内一点，分别连接
10、以、PB、P C,当ZAPB=NBPC=NCR4时，PA+PB+PC=421，则 BC 的 值 为（）C BA.1 B.夜 C.x/3 D.2【答案】C【解析】【分析】将 8/%顺时针旋转60,到 M N 处，得至必8尸 W,/8 N 是等边三角形，证明C、P、例、N 四点共线，且/C/N=90。,设 8 C=x,贝 I/8=8N=2x,AC=y/3x,利用勾股定理计算即可.【详解】将 顺 时 针 旋 转 60。，到A8A/N处，则 8PA/,48N 是等边三角形，ZBPM=ZBMP=60,ZBAN=60,PM=PB,BA=BN,PA=MN,：ACPB=ZBPA=Z.APC=ZBMN=120,
11、ZBMP+ZBMN=180,ZBPC+NBPM=180,89；.C、P、M、N四点共线，C P+PM+MN=C P+PB+PA=7 2 1，V Z BA C=3 0,NBA N=60。,：./0 4 2 9 0,设 8 C=x,W l J A B=BN=2 x,心底，A (/3X)2+(2X)2=(V 2 1)2,解得=e，x=-V 5 ,舍去，故选c.【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.二、填空题例 3.如图，在AABC中，Z A C B =4 5 ,A B=4,A BA C =60,。是边B C 上的一个动点，连
12、接仞，并将线段AD绕点 4逆时针旋转60。后得线段47,连接50,在点。运动过程中，线段8。长 度 的 最 小 值 是.【答案】7 6-7 2【解析】【分析】过点8作 3 G J.A C 于点G ,在AC上取点E,使A E =A B =4,连接DE，先根据直角三角形的性质、勾股定理可得 A G =2,8 G =2 百，根据等腰直角三角形的判定与性质可得C G =B G =2 /5,从而可得C E =2 后-2,再根据旋转的性质可得A D =A D,Z D A D =60,然 后 根 据 三 角 形 全 等 的 判 定 证 出 根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 可得 匹=3,最后根据垂线段
13、最短可得当E D 1.5 C 时，ED的长度最小，在 R t a C D E 中，解直角三角形即可得.【详解】解：如图，过点8作 BGLAC于点G ,在 4c上取点E，使A =4 3 =4，连接O E,90A8=4,NB4C=60。，AG-AB=2,BG=yjAB2-AG2=243,2vZA C B =45,RtCG是等腰宜角三角形，CG=BG=2s3,:.AC=AG+CG=2+2y/3,:.CE=AC-AE=2+2y/3-4=2j3-2,由旋转的性质得：AD=AD,ZDAD=60,：.ABAD+Z.BAD-f,-.Zfi4C=60,/.ZE 4D+ZfiA D =60,：.ZEADZBAiy
14、,AE=AB在 AADE 和 ADB 中，/EAD=ABAD,AD=AD:必ADE=AAO B(SAS),：.ED=Biy,如图，由垂线段最短可知，当E D L B C时，EQ的长度最小,6在RtZCE 中，DE=CE smZACB=(2y/3-2)x =y/6-42,2即线段班 长度的最小值是卡-灰,故答案为：76-72.91【点睛】本题考查了含3(r角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形全等的判定定理与性质、旋转的性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键.例4.如图，AABC为边长为6的等边三角形，点 D,E分别为AC和8 c的中点，点F为AABC内部一点，且。尸
15、=2,连接防，将线段所绕点B按逆时针方向旋转60得到B G,连接EG.(1)当8、F、。三点共线时，线段所的长度为；(2)在旋转过程中，线段EG的最小值为.【答案】3 6-2 1【解析】【分析】(1)在等边三角形ABC中，D为AC中点，可得NADB=900,由勾股定理可得BD的长，又B、F、0三点共线，即可求得8尸：(2)作线段A B的中点H,连接D H,作 D F =2，连接防,将线段B F绕点B按逆时针方向旋转60得至U B G，连接EG,此时EG的值最小，根据旋转性质可知8F=BG.NF8C=60。，可得N H B F =/E B G,进而证明AfiHF三ABEG,即可求出E G的值.【
16、详解】解：(1)是等边三角形，边长为6,.A8=AC=6,Q D为AC的中点，AD=CD=AC=3,B D A C,.ZADB=90,：.B D =yjAB2-A D2=762-32=3 7 3，点8、F、。三点共线，D F =2,92BF=BD-DF=3 6-2,二线段8尸的长度为3 6-2:(2)如图,作线段AB的中点H，连接,作OF=2，连接所,将线段BF绕点B按逆时针方向旋转60得到BG，连接EG,此时EG的值最小，A4BC是等边三角形,边长为6,：.AB=AC=6,Z/WC=60,点。为A C的中点，点E为8 c的中点，点，为AB的中点:，.-.BDYAC,BE=-BC =3,BH=
17、-AB=3,2 2:.ZADB=9Q、BH=BE,:.DH=-AB=3,2,:DF=2,：.HF=DH-DF=3-2=1,由旋转可知：BF=BG,ZFBC=60,.ZABC=NF6G=60,:.NHBF=/EBG,在BHF和M EG中，BH=BE，NHBF=NEBG,BF=BG:.BHF 三/BEGSAS),:.HF=EG=l,在旋转过程中，线段EG的最小值为1.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理、三角形的全等，旋转的性质，正确地理解题意并且作出93辅助线是解题的关键.三、解答题例 5.如 图 1所示，在菱形/8 C。和菱形中，点B,E 在同一条直线上，P 是线段C/的中点，连接P
18、,PG.(1)若/B A D =Z A E F=1 2 0,请直接写出A D P G的度数及标的值_ _ _ _ _ _.(2)若Z B A D =Z A E F =1 2 0,将菱形A B C D绕点A顺时针旋转，使菱形A B C D的对角线ZC恰好与菱形A E F G的边/E 在同一直线上，如图2,此时，(1)中的两个结论是否发生改变？写出你的猜想并加以说明.若 N 8W =NAF=180。-2 a(0。夕 =A,BE CD,A G=F G,F G/B E,得出尸GCD,得出内错角相等NPFG=NPC，由ASA证明 尸 产 G=APC”,得出FG=C ,P G=P H ,证出AG=C”，延
19、长D G =D H、山等腰三角形的三线合一性质得出。P_LG”，得出N3PG=90。：求出NA)C=60。，得出1PGN P D G =N P D H =-Z A D C=30。，由三角函数即可得出，的值；2PD(2)延长G P交CE于 ，连接 、D G,由菱形的性质得出F G/E C,得出N G O =N H C P,由ASA证明APFG W C H ,得出尸G=C”，P G =P H ,证出AG=C，AACD是等边三角形，得出4)=8,得出Z E A G =Z A D C =O),ZZMC=ZDC4=6 0 ,求出 NG4=6 0 ,由册S 证明 AAPG 三AC E，得出 D G =DH
20、,Z A D G =N C D H,由等腰三角形的三线合一性质得出。尸_LG”,因此N O PG=90,求出NGOP=30。，由三角函数即可得 出 贵 的值；(3)延长GP到 H,使得尸=GP,连接CH、OG、。，延长Q C 交E 4 的延长线于点M,同(2)可证 P F G P C H ,得出 N G F C =NHCF,F G =C H ,证出 NGAD=ZC，A G =C H ,由 SAS 证明94AD G*CD H,得出 NAG=NCr，DG=D H、因此NGH=ZAZ)C=2a,得出 NOPG=90。,1PG/GDP=/G D H=a,即可得出一=tan.2PD(1)延长GP交CO于
21、”，如 图 1所示：在菱形A8CD和菱形AEFG P,AB=CD=ADf BE/CD,AG=FG,FGHBE,：,FG/CD.;.APFG=/PC H ,尸 是 线 段。尸的中点，;.PF=PC,在2打；和 四中，ZPFG=ZPCHPF=PC,ZFPG=ZCPH:APFG=APCH(ASA),:.FG=C H,PG=PH,.AG=C H,:.DG=D H,s.DPLGH(三线合一),ZDPG=90；vZBAE=120,ZADC=60 tZPDG=ZPDH=-ZADC=30,2二.=tan Z.PDG=tan 30=；PD 3ffll(2)(1)中的两个结论不发生改变；理由如下：延长G尸交CE于
22、“，连接Q”、D G,如图2 所示：四边形AEFG为菱形，95：.FG/EC,NGFP=NHCP,P 是线段C尸的中点，:.PF=PC,在和PCM中，VGFP=ZHCP PF=PC,NFPG=/CPH：APFG 三 4PCHIAS0,:.FG=CH,PG=PH,vFG =AG,AG=CH,四边形ABC。是菱形，AC=CD,-ZBAD=ZAEF=120,/.ZACD=60,.ACO是等边三角形，:.AD=CD,/.ZEAG=ZADC=60f ZDAC=ZDCA=60 f/.ZGAD=180O-ZE A G-ZD A C =60,在 AOG和C M 中，AD=CD Z.GAD=4DCH,AG=CH
23、.ADG*C D H(SAS),:,DG=DH,ZADG=NCDH,.DPLGH,.NDPG=90。,NGO=ZADC=60。，.NGDP=30。,.PG f 2八。6 =tan 30=；96图2(3)延长GP到”，使得尸=G P,连接CH、DG、D H,延长。C交 必 的延长线于点M,如图3所示:同(2)可证/f G三 PC”，:GFC=/HCF,FG=CH,:.FG/CHf-FG/AE,:.CHI/EM,Z.DCH=ZM,QCD/AB,.,.ZM=ZMAB，.ZDCH=ZMAB,ZBAD=ZAEF=180-2a,：.ZEAG=ZADC=2a,ZGAM=180-2,/.ZGAD=ZBAM,.
24、/GAD=/D C H,/AG=FG,:.AG=CH f在 ziADG 和CDF/中，AD=CD/GDH=a,97PG：.-=tan a.PD【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角函数、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线，并且需要多次证明三角形全等才能得出结果.例 6.新定义：如图1 （图2,图3）,在AABC中，把 边 绕 点 A 顺时针旋转，把 AC边绕点A 逆时针旋转，得到A B C,若4 A C+/a 4 C =180。，我们称ABC是AABC的“旋补三角形，ABC的中线AD叫做AABC的“旋
25、补中线”，点A 叫做“旋补中心”（1）【特例感知】若AABC是等边三角形（如图2）,8c=4,则AD=；若/B 4C =90。（如图3）,B C =6,AD=；（2）【猜想论证】在图1中，当 是 任 意 三 角 形 时，猜想AO与 BC的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点8 作且B E=A C,连接C E,则四边 形 他 EC是平行四边形.）（3）【拓展应用】如图4,点A,B,C,。都在半径为5 的圆尸上，且 AB与CO不平行，4）=6,是的“旋补三角形”，点 P是“旋补中心”，求 BC的长.【答案】（1）2；3（2）A D =B C,理由见解析98(3)8【解析】【分析】(1)根据等边三
26、角形的性质可得出AB=AC=4、ZE4C=60o,结合“旋补三角形”的定义可得出AB=AC=4、Z B A C =12 0,利用等腰三角形的三线合一可得出NAOC=90。，通过解直角三角形可求出AD 的长度；由“旋补三角形”的定义可得出NBAC=9()o=/5 4 C、Ag=AB，、AC=A C,进而可得出ABC四ABC(S45),根据全等三角形的性质可得出8C=BC=6,再利用直角三角形斜边.上的中线等于斜边的一半即可求出AO的长度；(2)A D =B C,过点B作 BEAC,8 E=A C,连接CE、O E,则四边形ABEC是平行四边形，根据平行四边形的性质结合“旋补三角形”的定义可得出/
27、BAC=ZA9E、BA =A f f，C A =E B ,进而可证出BACZzVlBE(S A S),根据全等三角形的性质可得出BC=A E,由平行四边形的对角线互相平分即可证出AO=gB C：(3)过点P作 PF_LBC于点/，由(2)的结论可求出P尸的长度，在RABPF中,利用勾股定理可求出所的长度，进而可求出8 c 的长度.(1)解：是 等 边 三 角 形，B C =4,二 AB=AC=4、Z BA C=60,A B=AC=4,Z B A C =12 0,；AO为等腰ABC的中线，A A D IB C ,NC=30。，NA)C=90。，在 RAADC 中，ZADC=90,AC=4,NC=
28、30,A D =-A C 2；2；4 c=90,Z B A C =9 0,在“BC和M C”中，A B=A B=；AC；牢记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）构造平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分找出A O =3AE=3BC；（3）利 用（2）的结论结合勾股定理求出班 的长度.二、图形的翻折变换：图形的翻折变换也是近年来中考中的常考点，多于三角形、四边形结合。翻折变换的实质是对称，翻折部分得两图形全等，找出对应边、对应角；再结合勾股定理、相似的性质和判定解题。一、单选题例 1.如图，在AM C 中，AB,交 8 c 于点G,设=根据勾股定理和等腰直角三角形的性质,通过列一元二次
29、方程并求解，从而推导得NC和工,亦；设=根据轴对称、全等三角形和相似三角形的性质,分别计算得CD、A E,从而完成求解.【详解】解：如图，过 点/作 A F _LB C,交BC于 点、F；延长CZ）,交BC于 点、G101TSLBF=X,AF=yjAB2-B F2=,2 5-x2，ZC=45,ZFAC=90-Z C =45,FC=AF=j25-x2-BC=4近,：FC=BC-BF=4丘-x,，-4A/2-X=V2 5-X2；.2x2-8 历+7=0,.7 血 一 72 x=-或 x=-,2 2当x=时，FC=BC-BF=4 5/2-=,2 2 2AC=JAF2+FC2=1 :AC ABf .x
30、 =4 l 符合题意；2/.5A 4 8 C=-XB CXAF =-X4 V 2X-=1 4,设 D E=加，,/把 BCD沿 8。折叠得到ABCD，8C 交AC于点E,102:.C D =CD,NC=NC,在 ACOE 和 ACOG 中,ZCDE=ZCDG CD=CD,NC=ZCCDE丝CDG,DE=DG=m./C D/AB,：.ZABC=ADGC,ZABE=N C,：./C D G sC A B,：.DG 二 CD,即AII w 二CDAB AC 5 7 一 83gV ZABE=ZCrf ZAEB=NDEC,:./A E B s/D E C ,.AE*DEABAE即二T5Im,VAE=7*
31、.*AE+DE+CD-F m H.-7,7 5m=一710.图中阴影部分的面积&DE 7 20,-=14 x =BC AC 7 7故选：D.【点睛】本题考查了轴对称、全等三角形、相似三角形、勾股定理、等腰直角三角形、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、相似三角形、一元二次方程的性质，从而完成求解.例2.如图，在菱形ABCO中，ZZMB=60,4）=2 6，点P为对角线AC上的一个动点，过P作 瓦 _L AC交AD于点、E,交A8于点尸，将沿EF折叠，点工的对应点恰好落在对角线AC上的点G处，若ACBG是等腰三角形时，则AP的 长 为（）103c3A.3-6或 5 B.3-6或 2
32、C.6-2 石 或 4【答案】B【解析】【分析】分CG=CB和GC=GB两种情形，分别求解即可.【详解】解：连接交/C于点O,则。8_L4C.：EF LAC,：.EFHDB3D.6-2 6或万ZAfi=60,ZCAB=ZCAD=ZBCA=30,：AD=2&:.AD=AB=BC=DB=2上,DO=BO=也：DBACAO=yjAD2-OD2=3，即”C=6当 GC=C8=2石，AP=CAC-CG)=1(6-243)=3-石;当 G8=GC时，过点 G做 GHJ_8C,则 C=g8C=后ZBCA=30.CH 丛 丛 cos Z.BCA=GC GC 2:.GC=2,：.AP=(AC-CG)=y(6-2
33、)=2；综上，/P的长为3-石 或2.故选B.104【点 睛】本题主要考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、菱形的性质、解宜角三角形等知识，掌握分类讨论的思想以及灵活运用所学知识成为解答本题的关键.二、填空题例3.如 图，AA B C为等边三角形，点，E分别在边A C k,B D =3,将沿直线OE翻折得到VFDE,当 点 尸落 在 边8 c上，且5F=4CF时，/的值为【答 案】98百3【解 析】【分 析】根据M B C为等边三角形，/与M D E关 于。E成轴对称，可证B D FSAC F E,根 据8尸=4C F,可 得C F=4,根据力厂为轴对称图形对应点的连线Q E为对称轴，可
34、得D E L A F,根据 S A D F E=g D E-A F =SACEF=-SAABC-SACEF,进而可求OE-AF=空 叵3【详 解】解：如 图，作A/BC的高作AB。尸的高。H,为等边三角形，M D E与A F D E关于QE成轴对称,105A ZDFE=ZDAE=60,AD=DF,：.Z CFE+Z FEC=Z CFE+Z DFB=120,:/DFB=/C EF,又乙B=NC=60。,:.ABDFSCFE,BD CFBECEBJC=BFC FBD设 C尸=x(x0),：BF=4CF,:.BF=4x,:B g,口 4x23:BC=BF+CF=4x-x=5 x,4%2 AD=AB-
35、BD =BC-BD =DF=5 x-31 AE=EF=5 x-,3ABDFSCFE,.DF BD*F-C7,5x-3 3解得：x=2,：.CF=41i?C=5x=10,在 R/MBL 中,ZB=60,.ZL=Z8sin60=10 x 3=5 6,2:.SAABC=LX1QX5石=25后,2V RtBHD+,BD=3,N8=60,/.DH=BDsin600=3x =2 2:.SABDF=BF-DH=LX8X =G6 ,2 2 2106:W D FSACFE,S ABDF-s3CFE2B DCF3:SABDF=6#),:&C E F=,3又 .【尸为轴对称图形对应点的连线,D E为对称轴,：.AD
36、=DF,/）尸为等腰三角形，D E V A F,S -A D F E=D E A F =SACEF=-SAABC-SACEF小 凤6层哈罕D E-A F =3故答案为【点 睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明发型相似，以及“垂美四边形”的性质：对角线互相垂直的四边形的面积=对角线乘积的一半.例4.如 图，/MON=30。，点 在 射 线QM上，过 点A作A 4，交 射 线ON于 点 与，将沿A四折叠得到 A4耳，点A2落 在 射 线OM上；过 点 人作&与J.O M交 射 线QN于 点 斗,将aOB,沿 人员折叠得到4人?/!1?,点为 落在射线。M上；按此作法进行下去，在
37、NMON内部作射线。“，分 别 与4万，人 生，A,交于点 R,P2,P3,又分别与 人与，A.B2,A A，A+tB ,交于点 Q2,Q3,Q,.若 点 为线段的中点,。4,=抬，则四边形的面积为_ （用含有的式子表示）.【答 案】5 GtM吁 23【解 析】【分 析】107先证明VOA：VO&U,YORB、：YO眄,又因为点4 为线段&耳的中点，从而可得尸2为线段右邑的中点，同理可证6、P、.匕依次为线段A%人区、4 纥的中 点.结 合 相 似 三 角 形 的 性 质 可 得 的 耳 匕的高与蓝&Q的&鸟 上的高之比为1:2,所以送4 2 的 上 的 高 为 同 理 可得送BM上的高为g
38、A2A3，从而S四 凶 彩 46。占=S，A,&-S/4C,以此类推来求S叫 如 彩&q2”，从而找到Af d i 的面枳规律.【详解】由折叠可知，。4=6 =4 4，山；A冉 II4B”/.VOA,q:V04,7OP、B、:VOP2B2,.46 _ 0A=OR-*A2P2 OA2 OP2 P2B2 2 又.点R 为线段A M 的中点，A 6=勺瓦,A2P=p2B2,则尸2为 线 段 的 中 点，同理可证同 其、2 依次为线段4%A区.4 纥的中点;4肖|4 打，V0恰：NPAP、,.A 耳 44 _ 1*鸟 4 2,则N B Q 的上的高与 q的A2P2上的高之比为1：2,所以送8的上的高为
39、3 4 4同理可得送与已上的高为g&Aj，由折叠可知，4 4 =2豆，&儿=4石，且 NON=30，/.AB=tan30 x 0Al=1,.4 层=2,A员=4.:.S四边形A6aA2 =S&A6A2 _,邱0=；AA2，A8-；A g A 4=x x l-xlx x 2 G2 2 3同理S四边形&用Q,Ai=S9殳Al-S温殳Q?108=x 2 /3 x 2-x lx-x 2 A/32 2 3S pu边 账 414aAa“=S4,%。”=g A,A,+A“纥-g AnPn-AnAn+t=-x2-Hx2-x x-x2-j32 2 2 35 7 3?-2 43故答案为：也 空.3【点睛】本题考查
40、了规律型：图形的变化类、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、锐角三角函数等知识点，解决本题的关键在于找到图形的变化规律.三、解答题例 5.在平面直角坐标系x Ov 中，。的半径为2.对于直线/：y =x+l和线段8 C,给出如下定义：若将线段8 c 沿直线/翻折可以得到。的弦AC(B ,C 分别是8,C的对应点)，则称线段8c是以直线/为轴的。的“关联线 段 例 如：在 图 1 中，线段5c的是以直线/为轴的。的“关联线段”.图 1图2(1)如图2,点4,G，B2,C2,B3,C,的横、纵坐标都是整数.在线段B,G，B 2 c 2,B G 中，以直线/为轴的。的“关 联 线 段 是;(2)A/
41、5 C 是边长为a 的等边三角形，点 A(O,1),若 8c是以直线/为轴的。的“关联线段”，求的值；(3)如果经过点P(-L 5)的直线上存在以直线/为轴的。的“关联线段”，直接写出这条直线与y轴交点的纵坐标m 的取值范围.【答案】(1)8 ,8 2 c 2,2109（3）胆 5 +行【解析】【分析】（1）根据定义作。关于/的对称点，若线段是。的弦，则再次对称（依题意定义）即为GQ的弦，据此求解即可；（2）根 据（1）的方法，根据等边三角形的对称性，可知B C y 轴，设。交，轴于点D,AB交 于点E,解R A O|E,R fA B Q E，进而求得A8的长，即。的值；（3）根据题意，作。的
42、切线，P S,P R,求得直线?S,刊?解析式，即可求得，的取值范围.（1）根据定义作。关丁”的对称点，若线段是。0的弦，则再次对称（依题意定义）即为。的弦，如图，B C，B g是。Oi的弦，与。关于/轴对称，则 4 G，约C?是以直线/为轴的。的“关联线段”故答案为：BiCl,B2C2（2）如图，设。1 交y轴于点O,A B交。于点E,.0 0,0。的半径为2:.O,D =2v A(0,1),0,(-1,1),则 A =l在 MAO|AZ)中,c o s Z D 0 A =0,A 1OJ)2Z D OtA =60110A 9所在直线是等边三角形 ABC的对称轴，则/。田上=30。./AEO、
43、=90AB1OD.AE=AO,sin ZEO.A=AO-sin 60在 ME 中，BE=BO：-OE2=AB=AE+EB=小+晅2(3)如图，过点p作。的切线PS,PR,.a(-i,i),p(T 5)POt=4。的半径为2,;PS LO、S,P R RS,R是。与。的交点:.QS=2 g=O R =2.ASQ是等边三角形=,O,E=O.A cos ZEO,A=2 2Q)ROSR与O F交于点T,取O F的中点。(-1,3),连接QS,QR,SO、,RO,喳厂厂眨1 !；L-：.Q T =；S Q =l,P r =3,-.TS=TR=y/3.S(-设直线P S的解析式为y =+株的解析式为y =
44、c x+d5 =k+b 5 =-c+d2=_便 +1*+从*=(6-1 +”k=Gb=5+6解得,d=5-y3直线P S的解析式为y =x/I r +5 +石，尸R的解析式为y =-G x +5-石根据定义可知，经过点尸(-1，5)的直线上存在以直线/为轴的。的“关联线段”，则直线与。相交，；，5 +G【点睛】本题考查了新定义问题，轴对称的性质，解直角三角形，圆的性质，待定系数法求解析式，等边三角形的性质，勾股定理，切线的性质，理解定义，将圆心对称是解题的关键.例6.问题提出：(1)如 图1,正方形4 88的边长为4,对角线/C,8。交于点O.若点尸是对角线8。上任意一点，则线段/尸长的取值范
45、围是:问题探究：(2)如图2,若点。是A/B C内任意一点，点M,N分 别 是 边 和 对 角 线Z C上的两个动点，则当4 P的值在(1)中的取值范围内变化时，P M N的周长是否存在最小值？若存在，求 出 周 长 的 最 小 值；若不存在，请说明理由；问题解决：(3)如图3,正方形/8 C。边长为4,点P是A/8 C内任意一点，且N P=4,点/，N分 别 是 边 和 对 角 线Z C上的两个动点，则 当 的 周 长 取 到 最 小 值 时，求四 边 形 面 积 的 最 大 值.112【答案】(1)2 V 2 P A 4(2)存在，2义的周长的最小值为4(3)四 边 形 的 面 积 的 最
46、 大 值=1 6-8及【解析】【分析】(1)当尸与。重合时，处的值最小最小值=20,当尸与8或。重合时，为的值最大，最大值为4；(2)存在.如图2中，作点尸关于/8、N C的对称点 F,连接防交于交 AC于 N,连接Z E、4F、RL由P M+M N+P N=E M+M N+N F=E F,推出点P位置确定时，此时P M N的局长最小，最小值为线段所的长，山=/E A M,/P A N=N F A N,NA 4c=45。，推出N 4F=2/5/C=9 0。，由 R 4=P E=P F,推出口尸是等腰直角三角形，由总的最小值为2夜 可 得 线段防的最小值为8,由此即可解决问题；(3)如图3中，在
47、图2的基础上，以/为圆心，为半径作。/,应 交E F于点O.由?!尸丝ANAP%NA F,推出5腔够4切=544阳+5/阴7=5/户-5 4 4 ,由此可知“MN的面积最小时，四边形4 W P N的面积最大.【详解】解：(1)如 图1中，断；四边形4 88是正方形，边长为4,J.A C V BD,4 C=B D=4 g ,.当P与。重合时，%的 值 最 小，最小值=2后，当P与8或。重合时，应 的值最大，最大值为4,：.242PAA.113故答案为(2)存在.理由：如图2中，作点P关于48、ZC的对称点E、F,连接EF交Z8于交AC于N,连接/E、AF,PA.：PM+MN+PN=EM+MN+N
48、F=EF,.点P位置确定时，此时 义的周长最小，最小值为线段E尸的长，V APAM ZEAM,ZR4N=ZE4N,N8NC=45。，ZEAF=2ZBAC=90,：AEAF,.EZ尸是等腰直角三角形，的最小值为2夜，线段E尸的最小值为4,APMN的周长的最小值为4.(3)如图3中，在图2的基础上，以/为圆心，4 8为半径作。4 R4交EF于点、0.由题意点P在。”上,*：AMAP9 AMAE,&NAP迫/NAF,:.S 醺彬AMPN=SAAEM+S/NF=S“iEF-SAMN,：PA=AE=AF=4,114:.SAEAF=8,.Z M N的面积最小时，四边形N M P N的面积最大，易知当以J_
49、 M V H寸，的面积最小，此时。4=2后，O M=O N=O P=4-2 7 2 .:.M N=3-4叵.：.SAA M N=(8 -4 7 2)/20=80 -8,二四边形划1卅N的面积的最大值=8 -(8 7 2 -8)=1 6-8 7 2 .【点睛】本题考查四边形的综合题，正方形的性质、轴对称变换、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用对称变换，解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴.三：图形的平移变换：图形的平移变换也是近年来中考中的常考点，平移后得两图形全等，找出对应边、对应角。一、单选题例1.如 图，在矩形4 88中，A B=4,B C=3,将A沿射线8。
50、平移。个单位长度(心0)得到eC。，连接4B,A D ,则当AABZ)是直角三角形时，。的 值 为()A.-B.C.工或3 D.1或35 5 5 5 5【答案】C【解析】【分析】分 两 种 情 况:当/夕=9 0。时，分别过点用、)作B MLA B,D N A B,先证明夕MBsAC,于是可设B M=3 k,M B=4 k,则59=5九再判定四边形C D W M为矩形，然 后 再 利 用 放 得 到 关 于 左 的 方 程，求解即可；当/。8=9 0。时，根据勾股定理求出8。的长，再证明N8 9s。团1得 到 普=黑，即，由此可求D B BA 5 4出8 8,的长，从而可得答案.【详解】:当夕