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1、2021-2022学年山东省临沂市郑城一中高一（下）质检数学试卷（4 月份）一、单 选 题（本大题共8小题，共40.0分）1.若直线a,b是异面直线，且aa,则直线b与平面a的位置关系是（）A.b u a B.b/a C.b与a相交 D.以上都有可能2.已知向量五与石的夹角是且|五|=1,向=4,若（3方+4），方，则实数4=（）A.,B.C.2 D.22 23.在AABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知4=g,a=3,b=百，则c=()A.V3 B.3-V 3 C.3 D.2国4.已知a,0为锐角，sin（a+2.）=，cos。=%则sin（a+/?）的值为（）5.A 1+8代
2、B 18 百 15 15C.2 n+2 企15D.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm.将一个球放在容器口.再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 sl.如果不计容器的厚度，则该球的半径为（）15A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm6.在 ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2g=鬻，贝必ABC的形状是（）A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形7.已知平行四边形4BCD的对角线分别为AC,BD,且 荏=2EC.点尸是BC上靠近。的四等分点，贝 服）A.FE=-A B-A D12 12C.FE=-A B-A D1
3、2 12B.TE=-AB-AD12 12D.=-12A B-12AD8 .已知M是边长为1 的正 4 BC的边A C 上的动点，N为力B 的中点，则 丽.标 的取值范围是()A.勺 B.W C.D.二、多选题(本大题共4小题，共 2 0.0 分)9 .已知复数2 =瑞，其中t 是虚数单位，则下列结论正确的是()A.z 的模等于1 3B.z 在复平面内对应的点位于第四象限C.z 的共朝复数为 2 -3iD.若z(m +4 i)是纯虚数，则m=-61 0 .已知向量乞=(一3,2),3=(-1,0),则下列选项正确的有()A.(a+b)-b=4 B.(a-3h)1 bC.a-b=/2 b D.-g
4、2=b2+4a-b1 1 .设函数/(x)=s i n(2 x +：)+co s(2 x +，则/(x)()A.是偶函数 B.在区间(0,上单调递增C.最大值为2 D.其图象关于点(%0)对称1 2 .在 A B C 中，内角4,B,C 的对边分别为a,b,c.下列四个结论正确的是()A,若 也=*，则B=工a b 4B.若B=%b=2,a =g,则满足条件的三角形共有两个4C.若 炉=a -c,且2 s i n B=sinA+sinC,则4 A BC为正三角形D.若a =5,c=2,A B C 的面积SA A BC=4，贝 I J co s B=g三、填 空 题(本大题共4小题，共 2 0.
5、0 分)1 3.已知向量为=(1,2),b=(2,-2).工=(1,Q.若用/(2 五+分 则4=.1 4 .已知 A BC中，A=6 0,最大边和最小边的长是方程3产 一 2 7 x +32 =0 的两根,那么BC边长等于.1 5 .设向量五=(2,3),3=(6 工)，若五与B 的夹角为锐角，则实数t 的取值范围_ _ _ _.第 2 页，共 16页16.如图，已知球C与圆锥VO的侧面和底面均相切，且球的体积为圆锥体积的一半.若球的半径为1,则该圆锥的侧面积为v四、解答题(本大题共6小题，共70.()分)17.设 向 量 落 了 满 足 同=面=1，且|3五-2 1|=6(1)求五与方的夹
6、角；(2)求|2五+3石|的大小.18.已知为=(V3sinx,m+cosx),b-(cosx,m+cosx)且/(x)=a-b(1)求函数/(x)的解析式；(2)当时，f(x)的最小值是一4,求 此 时 函 数 的 最 大 值，并求出相应的x 的值.19.已知平行四边形2BCD中，AD=a，AB=b 0,co 0,|w|今的最小正周期为兀，且点P(?2)是该函数图象上的一个最高点.O(1)求函数f(x)的解析式：(2)把函数/(x)的图象向右平移火0 9 今个单位长度，得到函数g(x)的图象,9。)在。币 上是增函数，求。的取值范围.第 4 页，共 16页答案和解析1.【答案】D【解析】解：
7、在长方体中，平面48CD视为平面a,直线&人 为直线a,点E,F分 别 为 棱 的 中 点，如图，显然有aa,当直线b为直线4。时，直线a,b是异面直线，此时b u a；因EF 4D,力D u平面a,EF ft平面a,则EFa,当直线b为直线E尸时，直线a,6是异面直线，此时，ba；当直线b为直线CG时，直线a,b是异面直线，此时，b与a相交；所以直线b与平面a可能平行，可能相交，也可能在平面内.故选：D.根据给定条件，举出实例说明，判断作答.本题考查了直线与平面的位置关系，属于中档题.2.【答案】A【解析】【分析】直接利用向量的数量积公式求出小方，进一步利用向量垂直的充要条件求出结果.本题考
8、查的知识要点：向量的数量积和夹角公式的应用，向量垂直的充要条件及相关的运算问题.【解答】解：已知向量方与方的夹角是g,且|五|=1,|1|=4，则：a-b=|a|K|cos=2,已知：(3五+五，则:(3a+lK)-a=0即:3a2+Aa-K=0.解得：A=-|,故选：a.3.【答案】D【解析】解：因为4=W，a=3,b=所以由余弦定理a?=炉+c?2bccosZ,可得9=3+。2-2 x V5 x c x 整理可得c2 V3c-6 =0，解得c=2V5，或舍去).故选：D.由已知利用余弦定理可得c2-g c -6=0,解方程即可求解c的值.本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题
9、.4.【答案】A【解析】解：:a,/?为锐角，0 p 0 2。兀，则0 a+2/?0,A 0 a 4-2/?7T,1 1 cosp=-e (0,-),(Y，y 2/?；r,V 仇 +20+八2=2,整理可得：a2 =b2+c2t2 ab a 48C为直角三角形.故选：A.7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.荏=2前，点尸是B D上靠近。的四等分点，可 得 而=；而，OE=AC,F E=F O+46OE=+A C,又 荏+荷=刀，而 一 通=前，代入化简即可得出.4 6【解答】解：.荏=2丁，点F是B D上靠近。的四等分点
10、，F 0 =OE=-AC,4 6一 *，1，1.F E=F O+O E=-DB +-AC,4 6：A B+A D=A C，AD-A B =B D，1 1.-.F E=-(A B-A D)+-(AB +AD)=-A B-A D.1 2 1 2故选：B.8.【答案】A【解析】解：取A C的中点0,以。为原点，直线4 C为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则:4(，0),B(0,9,N(-；净，设 1 B M =(一 一 第 务:.B M -M N =-%2 1=(%+3 2 -得 旦 一 拉 右.%=；时，询.而 取最小值一生 工=一：时，丽丽7取最大值一N4 o 0 4 .丽丽的取值范围是/一
11、 前.故选：A.可取4 c的中点为。，然后以点。为原点，直线4 c为x轴，建立平面直角坐标系，从而根第8页，共16页据条件可得出8(0,农),N(二G)，并设M(x,0),从而可得出的 丽=2 4 4 N N-x2-x-l，根据X的范围，配方即可求出两.丽 的最大值和最小值，从而得出取值范围.本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，配方求二次函数值域的方法，考查了计算能力，属于中档题.9 .【答案】B D【解析】解：z=翳 =黑 削 琮=2-3则i zi =m，A错误；复数Z 对应的点(2,-3)在第四象限，B正确：z=3 +3 i，C错误；若
12、z(m +4 i)=(2 3 i)(m +4 i)2 m+12 +(8 3 m i)是纯虚数,则12 +2 m =0,即m=6,。正确.故选：B D.由已知结合复数的四则运算及复数的几何意义分别检验各选项即可判断.本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题.10 .【答案】AB D【解析】解：由题意，可知对于4：.苍+1=(4,2)，.(a+b)-b=-4 x(-1)+2 x 0 =4.故选项 A 正确，对于B：.3 一3 至=(3 3 x(-1),2 -3 x 0)=(0,2)，(a -3 K)-K =0 x(-1)+2 x 0 =0，(a-3 b)L b 故选项B正确，对于 C：a.b=(2
13、,2).|a /)|=yj(2)2+22=2-7 2,V 2|b|=V 2-7(-l)2+02=V 2,|a-K|V 2|K|，故选项C不正确，对于。：片=砧 2 =(-3)2 +2 2 =13，b2+4a-b=b2+4a-b=(-1)2+02+4 x (-3)x(-1)+2 x 0 =13，a2=b+4 a .故选项。正确,二正确选项为4 B D.故选：AB D.本题根据向量的加减、数乘、数量积的坐标运算分别对四个选项进行计算并加以判别，即可得到正确选项.本题主要考查向量的坐标运算.考查了整体思想，向量的垂直与数量积的关系，模的计算，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力.本题属中档题.11
14、.【答案】AD【解析】【分析】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：奇偶性，对称性、单调性，考查计算能力，常考题型.首先，根据辅助角公式得到/(x)=V2 cos2 x，由于/(一%)=/(%)，可得y =/(乃为偶函数，可得A正确；利用余弦函数的单调性可得B 选项不符合题意；利用余弦函数的性质可得/(X)的最大值是V L 可得选项C 不符合题意；利用余弦函数的对称性可得当k =0时，其图象关于点,0)对称，可得。正确，由此得解.【解答】解：:函数/(X)=s in(2 x +：)+c o s(2 x +：)=V 2 s in(2 x+-)+-=V 2 s in(2 x +今=y1
15、 2 cos2 xi-/(%)=y/2 cos2 xfv /(%)=V 2 c o s(2%)=42COS2X=/(%)，y =/(%)为偶函数，故 4 正确；求y =&c o s 2 x 的单调递增区间：2 kn 4-7 T 2%2T T+2 kn(k G Z),即k/r 4-%T T+kn(k 6 Z),函数y =/(x)在兀)单调递增，所以B 选项不符合题意./(%)的最大值是VL 故选项。不符合题意.由2%=+三k w z,解得=+1 k e z,可得当k =o 时，其图象关于点邑0)对N2 44第 10页，共 16页称，故。正确;故选：AD.12.【答案】AC【解析】解：选项A,由正
16、弦定理及空四=,知si7iB=cosB,即tcmB=1,a b因为8 E(0,T T),所以8=%即选项A正确；选项8,由正弦定理得号=-4，sinA sinB所以sinA=吧 里=西 式=在，b2 4又Q =0,即。=c,所以力=等=拳=。，故U B C为正三角形，即选项C正确；选项 D,SA B C=acsinB=1 x 5 x 2 x sinB=4,所以sinB=所以cosB=V1-sin2B=|,即选项 错误.故选：AC.选项A,由正弦定理可得sinB=cosB,即tcm8=l,从而求得角B；选项3,利用正弦定理求得sirM的值，再结合“大边对大角”，得解；选 项C,利用正弦定理将2s
17、讥8=sma+s讥C中的角化边，再结合炉=。.的 化简运算推出a=b=c；选项力，由三角形面积公式求得sinB=再由同角三角函数的平方关系，得解.本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，三角形面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.13.【答案】|【解析】【分析】本题考查平面向量的坐标运算和共线，是基础题.利用向量坐标运算法则求出2方+石=(4,2)，再由向量平行的性质能求出;I的值.【解答】解：.向量方=(1,2),=(2,-2).2 a+b=(4,2)，-c=(1,A),c/(2 a+b1 A解得4 =I.故答案为：14 .【答案】7【解析】解：题中所给的一元二次方程判别
18、式不为零，则三角形不可能是等边三角形,由大边对大角可得边B C 既不是最大边，也不是最小边，设方程3/2 7%+3 2 =0的 两 根 为x2则X】+打=手结合余弦定理可得：B C =+后-2 x 6 2 c o s 6 0。=yjx(+xj x1 x2=yj(x1+x2)2 -xrx2=7-故答案为：7.首先确定边长的大小关系，然后结合韦达定理和余弦定理整理计算即可求得最终结果.本题考查了余弦定理的应用，韦达定理的应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题.15 .【答案】(4,9)u(9,+8)【解析】解：因为向量方=(2,3),B=(6,t)，且不与石的夹角为锐角，则为方
19、 0,且2、石不共线，所以廉解得t 4,f it *9；所以实数t 的取值范围是(一4,9)U(9,+8).故答案为：(-4,9)U(9,+00).根据题意知五不0,且方、B不共线，由此列不等式求出实数t 的取值范围.本题主要考查了两个向量的数量公式和共线定理应用问题，是基础题.16 .【答案】6 7 1第12页，共16页【解析】解：设圆锥V。的底面半径为r,高为九，因为圆锥内切球的半径为1,可得h-1 V/i2+r2-=-，1 r化简得九=等，又因为球的体积为圆锥体积的一半，所以与X 1 3=：X支 由，化简得九=),由得，Z=2,h=4,所以圆锥的底面半径为戈,母线长为4九2+2 a6 +
20、2=3A/2所以圆锥的侧面积为n r l =7 T x V 2 x 3 V2=67r.故答案为：67r.设圆锥U O的底面半径为r,高为也根据圆锥内切球的半径为1,利用相似三角形和球的体积为圆锥体积的一半，列方程组求出八和r的值，即可求出圆锥的侧面积.本题考查了圆锥的结构特征应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.1 7.【答案】解：|引=1，|3五 一 21|=V 7;(3 a-2 b)2=9 a2+4片-1 2|a|b|c o s =9 +4-1 2 cos=7；:.c o s=I；又0 i _ 2 2(2)-.-a-b=,a=b =1；(2a +3b)2=4a2+1 2a-b+9b2=
21、4+6+9=1 9：2 a+3 b =V 1 9.【解析】根 据|菊=1，对|3五-23|=V 7两边平方，进行数量积的运算即可求出c o s=I，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角；(2)可求出五7 =点 从而可求出|2五+3方=1 9，从而求出|24+3万|=旧.考查数量积的运算及计算公式，以及向量长度的求法.18.【答案】解：(1)/(%)=1 b=(遮+cosx)(cos%,m+cos%)，B|J/(x)=y/3sinxcosx 4-cos2%-m2=sin(2x 4-)4-m2,6 2(2)./(%)=sin(2x+)+；-Tn?,由 一，,可得 2x+gO L 0 3 O DO 5
22、也(2%+)-：,1 ,/(%)的最小值为一；+：-根 2=-4,.巾=2,6 N N N-fmaxM=1+1-4 =-1,此 时,2%+=p 即=也【解析】(1)/(%)=a-Z?=(V3sinxz m+cosx)cosx,m+cosx)=y/3sinxcosx+cos2%m2.(2)函数/(x)=sin(2x+)+；病,根据工 一,为 求得2x+W刍,得到o Z b 3 o o osin(2x+)e-1,1，从而得到函数f(x)的最大值及相应的x的值.o Z本题考查两个向量的数量积公式，三角函数性质及简单的三角变换，根据三角函数的值求角，化简函数f(x)的解析式，是解题的关键，属于中档题.
23、19.【答案】(1)解：MC=MF+fiC=|B+D =|b +a,NC=NB+BC=；DB+AD=(A B-A D)+AD=AB+AD=b+ja.(2)证明：由(1)可 得 配=|0 +：9)=|枇，M,N,C三点共线.【解析】(1)由 于 祝=丽+元=之 荏+而，WC=/Ve+fiC=|DB+/iD=|(A B-AD)+AD=AB+IAD,即可得出.(2)由(1)可 得 而=|位+卷 3)=|祝，即可证明M,N,C三点共线.本题考查了向量的三角形法则、向量的线性运算、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.20.【答案】解：(1)根据已知条件画图可知AB=1000km,AC=2
24、000/cm,/.BAC=60,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2-AB-AC-cosBAC=10002+20002-2 x 1000 x 2000 xcos600,解得 BC=1000百(km);(2)以点4为坐标原点，正东方和正北方为x轴和y轴的正方向，建立直角坐标系，第 14页，共 16页北设正南方向的单位向量为1 =(0,-1),其中B(-1 000c o s3(r,1 000s讥30。)，B|J B(-500V 3,500),C(-2000c o s30o,-2000si n 30).B P C(-1 000V 3,-1 000).则 就=(-50073,-1 500).则瓦与正
25、南方向的夹角9满足c o s。=熹=芸=4，1 0006 2故。=30。，可知命的方向是南偏西30。.【解析】(1)画图，直接用余弦定理求解即可；(2)利用向量的数量积公式即可求出向量睨与正南方所成的角.本题考查了余弦定理和向量的数量积公式，属于中档题.21.【答案】解：(1)因为c o s2A +|=2c o s4,所以2c o s24-1 +1 =2 cosA,解得 c o s/l =p由4 为三角形内角，得4=今(2)若a =4,贝！J s i n B +sinC=胃=j s i n A，7由正弦定理得，b 4-c =-a =7,4由余弦定理得，a2=b2+c2 2 bccosA,即 1
26、 6 =(b+炉 2 bc-h e =49 3 bc,所以be =1 1,所以 A B C 的面积S =-be sin A=U空.2 4【解析】(1)由已知结合二倍角公式进行化筒可求c o s 4,进而可求4(2)由已知结合正弦定理可求b+c,然后结合余弦定理可求儿，再由三角形面积公式即可求解.本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题.22.【答案】解：由已知得4=2,T=TI,3=与=2,故/(X)-2sin(2x+/),所以2sin(2 x，+9)=2,故sin。+9)=1,得g+0=+2/CTT,k&Z,又|在3,故k=0时，w=即为所
27、求，故/(X)=2stn(2x+0.(2)函数/(x)的图象向右平移。(0。)个单位长度，得g(x)=2sin 2(x-0)+5，令t=2 x-2 9 +,则y=g(x)化为y=2 sin t,因为x G 0,J,故t e 碎2。，零 一 2。,所以g(x)在 0于 上是增函数，即y=2sint在碎-2仇零一 2。上单调递增，又因为0。所以t e(-?片 ,仅包含y=sint的单调递增区间*申，故要使原函数在 0 5 上单调递增，(-2 0 -只需工/，解得然，20 -12 3I 3-2故所求。的取值范围是哈,9【解析】(1)先根据最小正周期求出3的值，然后利用最高点求出W的值；(2)利用换元法，令3X+0=3求出t 的范围。，即新函数在。内单调递增，由此求出9的范围.本题考查三角函数解析式的求法，同时利用换元法研究了三角函数的单调性，属于中档题.第 16页，共 16页