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1、2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高二(下)第一次月考数学试卷1.已知数列 a”满足a 1-2,a?=1，且 -(an 2),则 2)B-W =a n+a“_ i(n N2)C.数列 an 的通项公式为an=2 n-3D.an+2 an an+l anl(.n 2)3 .已知数列 a 是等差数列，若+a7+i o =17,a4+a5+a6+.+a13+a14=77,则公差d=()A.1 B.-C.-D.-2 3 34.我国天文学和数学著作 周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的唇长损益相同(皆是按照日影测定时刻的仪器，辱长即为所测量影子的长度)，二十四节气及唇长变化如图所
2、示，相邻两个节气展长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的号长为一丈三尺五寸，夏至的号长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是()你长逐渐好A.小寒比大寒的号长长一尺 B.春分和秋分两个节气的母长相同C.小雪的唇长为一丈五寸 D.立春的唇长比立秋的辱长长5.设数列 an 是以2 为首项，1为公差的等差数列，3 是 以 1为首项，2 为公比的等比数列，则a.+abz+ab w=()A.103 3 B.103 4 C.2057 D.20586.正项等比数列 a“满足。遂3=白，2a 4+a 3 =a 2,则工一上+(-1严 1 2=()16%a?anA.|1+(-2尸
3、 B.|l-2n C.|1+2n D.|1-(-2)7.函数f(x)的图象如图，则函数f(x)在下列区间上平均变化率最大的是()A.1,2 B.2,3 C.3,4 D.4,78.设f(x)在沏可导，则l i mfa+x)-,0-3x)等于()A.2 r(&)B.r(x0)C.3f(x0)D.4f(x0)9.曲线y=/(%)=1的倾斜角为g 的切线的切点坐标为()6A.(-扣3,泉 B.(iln3,V3)C.(扣3,净 D.(-如，通),。)为f(x)的导函数，则/(x)的图象是()11.已知点P 在曲线y =/上，a 为曲线在点P 处的倾斜角，则a 的取值范围是(A.0币 B.讨)C.邑 争
4、D.弓,兀)12.已知函数/(x)=l n(a x l)的导函数是/(X),且尸(2)=2,则实数a的值为()B113 .如图所示的图形是由一连串直角三角形拼合而成的，其中。&=4 遇2=42 3 =-=47A 8=1-如果把图中的直角三角形继续作下去，记。OA2,，。4,的长度构成数列 册,则此数列的通项公式为an=.D.11 4.数列 an 中，。3=2,a7=l,且数歹式士 是等差数列，贝 bu =_ _ _ _.an+11 5.已知正项数列 an,满足Q九+1 册=2九(九E N *),且Q1 +2+3+。20 20 V3(21 0 1 0 1),则 首 项 的 的 取 值 范 围 是
5、.1 6.曲线y =co s x 在 点 处 的 切 线 方 程 为 _ _ _ _.6 2第2页，共14页1 7 .已知等比数列5 的前 项和为Sn，%=1，芈=2Ss 32(1)求等比数列 a j的公比q；(2)求研+谖 H-F 哈1 8 .己知数列 a j中，=1.其前项和为又，且满足2sli=(n+D a。，(n N*).(1)求数列 an 的通项公式；(2)记=3。一兀嫉，若数列 为 为递增数列，求；I 的取值范围.1 9 .蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为7)=崇+1 5,其中7(t)为体温(单位：)，为太阳落山后的时间(单位：mi n).(1)求从t =0 至t =1 0
6、,蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t =0 到t =1 0,蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它表示什么实际意义？(3)求7(5)并解释它的实际意义.20 .已知曲线y =1/+2/3x +1.(1)求该曲线斜率为-3 的切线方程；(2)当曲线的切线斜率最大时，切点为P,过点P 作直线/与x 轴、y 轴的正半轴交于 4,B 两点，求A O A B 面积的最小值.21 .已知点4 G,一1),5(2,1),函数%)=lo g2%.(1)过原点O作曲线y =/(x)的切线，求切线的方程；(2)曲线y =/(x)C s x W 2)上是否存在点P,使得过P 的切线与直线A B 平行？若存在，则求出点P
7、 的横坐标，若不存在，则请说明理由.22.设函数/(x)=以 一 ,曲 线 y =/(%)在点(2,2)处的切线方程为7 x-4 y-1 2 =0.(1)求y =八久)的解析式；(2)证明：曲线y =f(x)上任一点处的切线与直线x =0 和直线y =x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.23.已知函数 y =ge 2x+4|n(2x +5).(1)求该函数的导数；(2)求该函数的图象在x =-2处的切线的倾斜角.答案和解析1 .【答案】C【解析】解：数 列 满 足%=2,a2=1,且二一=三一二一(%,2 2),an-i an an+l数列 是等差数列，首项为：P公差为：1 一;去所以
8、a E+S -D x；，所以a2 2 9CLA 4-CLc=二 +=TTT 4 5 4 5 1 0故选：C.判断数列 4 是等差数列，求出通项公式，然后求解。4+。5即可.an本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力，是基础题.2.【答案】C【解析】解：A.2an=an+1+an_n 2)是数列 an 是等差数列的充要条件，不满足条件.B.满足吗=an+1-a71To 2)的数列 an 是等比数列，不满足条件.C.由a”=2 n-3 得到数列 斯 是公差为2的等差数列，反之通项公式不一定是与=2n 3,满足条件，D数列出=:满足g+2-n =n+l-n-l(n 2),此时数
9、列 5 不是等0,n是奇数差数列，不满足条件.故选：C.根据等差数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等差数列的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断是解决本题的关键，是基础题.3.【答案】D【解析】解：由 a n 是等差数列，得+的0 =3。7=1 7，解得，又&4 +。6+a 1 3 +a14=1 1。9=7 7,解得。9=7,故选：D.根据等差数列的性质可得。4 +a7+a1 0=3 a 7=1 7,a4+a5+a6+.+a1 3+a1 4=l l a9=7 7,从而求出a?与4 9的值后再利用d =言求出公差即可.第4页，共14
10、页本题考查等差数列的性质，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题.4 .【答案】C【解析】【分析】本题考查了数列知识的应用，解题的关键是看懂题意，构造等差数列.先计算从夏至到冬至的唇长构成等差数列 斯 的基本量以及由冬至到夏至的咎长构成等差数列“J 的基本量，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误即可.【解答】解：由题意可知，由夏至到冬至的谷长构成等差数列 5 ,其中的=1 5,a1 3=1 3 5,则d=答？=1。，同理可得，由冬至到夏至的唇长构成等差数列%,其中瓦=1 3 5,瓦3 =1 5,则d =-1 0,故大寒与小寒相邻，小寒比大寒的号长长1 0 寸，即一尺，
11、故选项4正确；因为春分的唇长为厉，所以与=4+6d 1 3 5 6 0 =75,因为秋分的唇长为。7，所以。7=%+6 d =1 5+6 0 =75,故春分和秋分两个节气的唇长相同，故选项B正确；因为小雪的唇长为a n，所以的1 =%+1 0 d =1 5+1 0 0 =1 1 5,又 1 1 5寸即一丈一尺五寸，故小雪的署长为一丈一尺五寸，故选项C错误；因为立春的唇长和立秋的辱长分别为九，a4,所 以=%+3 d =1 5+3 0 =4 5,6 4 =瓦+3 d 1 3 5 3 0 =1 0 5,所以儿 。4,故立春的唇长比立秋的署长长，故选项。正确.故选：C.5.【答案】A【解析】解：.数
12、列 an 是以2 为首项，1 为公差的等差数列，.是 以 1 为首项，2 为公比的等比数列，an=2 +(n -1)X 1 =n +1 bn 2n-1.abn=bn+l=2n-1+1.+abl H-F abi0=1 +2 H-F 29+1 021 0-1=+1 0 =21 0+9=1 0 3 3.2 1故选：A.由于数列 an 是以2 为首项，1 为公差的等差数列，与 是 以 1 为首项，2 为公比的等比数列，利用等差数列和等比数列的通项公式即可得出即，斗.再利用等比数列的前项和公式即可得出.本题考查了等比数列和等差数列的通项公式及其前项和公式等基础知识与基本技能方法，属于基础题.6.【答案】
13、D【解析】解：正项等比数列 册 满足的。3 =2，1 6所以。2 =d由 2 4 +3 =2，整理得:q2+：q =0解得q =1或一1（舍去）故解得的=故的=（n，所以（一 1）+】卷=-（一2）,蛤/+（T产=若泮号口-（-2再.故选：D.直接利用等比数列的性质求出数列的通项公式，进一步求出数列的和.本题考查的知识要点：等比数列的性质，等比数列的通项公式，等比数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.7.【答案】C【解析】解：因为函数的平均变化率为9，%由图象可知I,在区间 3,4 上，函数的图象最陡，即受最大，所以函数在区间 3,4 上变化率最大.故选：C.函数
14、的平均变化率为蓑，由图象可知，在区间 3,4 上，函数的图象最陡，从而可判断.本题主要考查了函数变化率大小的判断，属于基础试题.8.【答案】D【解析】【分析】本题考查导数的定义，属于基础题.由函数在某点的导数的定义可得结论.【解答】解：/（久）在与可导，/（XO+X）-/（x0-3 X）li m-x-o x第6页，共14页./(x0+X)-/(x0-3 x)=4 1 im-x-o 4 x=4/(x。)，故选：D.9.【答案】A【解析】解：y=f(x)=ex,y=ex,设P(x o，y o),则y|x =x0=e ，又曲线y =e，上的点P 处的切线的倾斜角为g6.ex0 且，x-lin33 u
15、 2 点尸的坐标为(一沙3,堂).故选：A.求出原函数的导函数，得到函数在尸点处的导数，由导数值等于1 求得户的横坐标，则答案可求.本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，过曲线上的某点的切线的斜率,就是函数在该点处的导数值，是基础题.1 0 .【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0 时原函数单调递增，当导函数小于0 时原函数单调递减.先化简/(X)=+s i n +x)=:无2 +c o s x,再求其导数，得出导函数是奇函数，排除 B,。.再根据导函数的导函数小于。的x的范围，确定导函数在(话,今上单调递减,从而排除C,即可得
16、出正确答案.【解答】解：由/(x)=1 无 2 +s i n6 +x)=+c o s x,.f t(x)=f(x)=-s i nx,它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,D.又 九 (X)=1 CO SX,当时，CO SX p /iz(x)2 ex-=2,ex y ex ex+2 4,当且仅当蜻=2时取等，即 =0,ex ex y e-1,0)即 tana G 1,0),0 a 7 T3A-7T a 7T.4即a 的取值范围是仲为7i).4 1故选：D.利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围.本题主要考查直线的斜率关系、导数的几何意义.属于基础题
17、.12.【答案】B【解析】解：由/(%)=In(ax-1)可得/(久)=意彳由(2)=2,可得丁三=2,解之得a=；.ZCL1 3故选：B.利用导数的运算法则即可得出.本题考查了导数的运算法则、函数求值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.13.【答案】V,n6N*【解析】解：根据题意，0Al=4m2=A =,=47人 8=1，则有成=fln-1+1，故数列 a自是以I 为首项，以 1为公差的等差数列，则 成=n,故%,=y/n；故答案为：Vn,n&N *.根据题意，由所给的直角三角形中的边长，利用勾股定理得到连续两项之间的关系，从而得到 碎 是 以 1为首项，以 1为公差的等差
18、数列，写出通项，即可得到结果.本题考查数列的表示方法，涉及归纳推理的应用，属于基础题.14.【答案】i【解析】解：.数歹羽总3 是等差数列，公1=%-1-=_一 1,且H-1-,F-1-=-2-，Q7+I 2 Q1i+1 a7+l.一 +-=1,3。11+1 O n+1 3,1 3+1=Qu第 8 页，共 14页故答案为：I先有条件求得二二和 士 的 值，再 根 据:+二 1=/,求得的1 的值.本题主要考查等差数列的定义和性质，得到2+=,是解题的关键，属于中a3+l Qi i+1 a7+l档题.1 5.【答案】(L 2)【解析】解：。九+1 册=2、A an+2,an+l=2n+1，；.言
19、 可 得 膏=2,则数列 斯 的奇数项、偶数项分别成等比为2的等比数列，S 2 0 2。=短W )+吻=ai(21 0 1 0-1)+a2(21 0 1 0 一 D，又=2，。2 =三代入上式得：S 2 0 2 0 =%(2 1 0 1 0 _ 1)+A(2 1 0 1 0 _ 1),alalar(2w w-1)+(21 0 1 0-1)0,可得a：-3al +2 0,1 的 0,即入 V .)2n+l令=把，则2=上.丝！=3Ln 2n+l cn 2n+3 2-3n 2n+l ,%为递增数列，*X,V C 2,即a 的取值范围为(一 8,2).【解析】(1)运用数列的递推式：n=l 时，at
20、=Sl f几 1 时，an=Sn-,将换为九+1,两式相减可得+1=5+1)。力 整理变形，即可得到所求通项公式；(2)数列%为递增数列，作差可得2 3-2(2n+1)0,运用参数分离，构造小=弟，判断单调性，即可所求范围.本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式：n=1时，的=Si，ri 1时，an=Sn-Sn_1,考查数列的单调性的运用，注意运用分离参数，考查化简整理的运算第10页，共14页和变形能力，属于中档题.19.【答案】解：(l 7(t)=言+15,7(1。)-7(0)=提+15-第+15)=-16,可得从t=Ojljt=1 0,蜥蜴的体温下降了 16；(2)从=0到”1
21、 0,蜥蜴的体温下降的平均变化率为嗯*=-1.6(C/min),它表示的实际意义是从t=。到t=10这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6；喑+15，.7(5)=T(5+4t)-T=?+1 5-费+15)=_ 12 I 一 At At-10+4.当 4t T 0时，7(5+黑-7,T -1 2,即(5)=-1.2/min,它表示太阳落山后5min时，蜥蜴的体温下降的速度为lZZ/m in.【解析】(1)由己知求得T(10)T(0)即可;(2)利用平均变化率公式求解；(3)利用导数的几何意义求得(5).本题考查函数模型的选择及实际意义，考查导数的概念及应用，考查运算求解能力，是中档题.20.
22、【答案】解：（l）y=-1 x3+2/_ 3x+1 的导数为y=-x2+4x-3,设切点为O,九），可得一瓶2+4m-3=-3,解得m=0或m=4,即有切点为(0,1)或(4,一，可得切线方程为y=-3 x+1或y+=-3(x-4),即为 3x+y-l =0或9%+3丫-35=0；(2)由)/=-%2+4%3=(x-2)2+1,可得切点P(2,设直线的方程为y-=k(x-2),(/c 0),可得点4(2-表,0),B(0,A 2k),SM B=久2-2k)=超 -4k-表)对 6+24k).4=%当且仅当k=-，时4 04B的面积取得最小值申【解析】(1)求得函数y 的导数，设出切点，可得切线
23、的斜率，解方程可得切点坐标，由点斜式方程可得所求切线方程；(2)由二次函数的最值求法可得切点尸的坐标，设出直线/的方程，求得A,B 的坐标,运用三角形的面积公式和基本不等式，即可得到所求最小值.本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题.2 1 .【答案】解：(1)设切点为函数/(x)=l o g 2%导数为/(X)=焉,由题意可得上=期,mln2 m解得m=e,则切线方程为y =e x：(2)/1 B(2,l)的斜率为%B=%设 P(n,l o g 2 n),假设存在点P,使得过P的切线与直线A B 平行，可得可得几=-,工 _
24、2,nln2 3 41n2 2 41n2则曲线y =/(x)(j x 2)上存在点P,使得过P的切线与直线A B平行，且P的横坐标为高.4ln2【解析】(1)设切点为(m,l o g 2 m),求得/(%)的导数，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式，计算可得所求方程；(2)设P(z i,l o g 2 n),求得导数可得切线的斜率，由两点的斜率公式，以及两直线平行的条件：斜率相等，可得P的横坐标.本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，直线的斜率和直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.2 2 .【答案】解析：(1)方程7 x -4 y -1 2 =0 可化为y =-3
25、,当x =2 时，y =2 a =三又尸Q)=a+9,于是m，解得故/(%)=1(2)设P Q o，y o)为曲线上任一点,第12页，共14页由y =1 +爰知，曲线在点尸O o，y o)处的切线方程为y-丫。=(1 +看)(%-%()，即 y -(&-7)=(1 +4)(x -x0)x0 xo令x =0,得y =-&,从而得切线与直线x =0 的交点坐标为(0,-2)；XQ XQ令y =%,得y =%=2 x(p 从而得切线与直线y =%的交点坐标为(2%(),2 久 0)；所以点P Q o,小)处的切线与直线=0,y =%所围成的三角形面积为-&|2 q|=6.2 XQ故曲线y =f(x)
26、上任一点处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.【解析】本题考查导数的几何意义及直线方程的相关知识，考查学生的运算能力，属于中档题.(1)已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点(2,/(2)在曲线上，利用方程联立解出a,b；(2)可以设P(&,y o)为曲线上任一点，得到切线方程,再利用切线方程分别与直线x =0 和直线y =x 联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可.2 3.【答案】解：(1)函数)/=：6 2%+4-11 1(2%+5)的导数为M=g 2 x+4-?_.y 2x+S(2)函数的图象在x =-2 处的切线的斜率为e-4+4 _ 2 =1 -2 =-1,则t an a=-1 (a为倾斜角)，可得a=4【解析】(1)运用复合函数的求导法则，计算即可得到所求导数；(2)代入x =-2,计算可得切线的斜率，由斜率公式可得倾斜角的大小.本题考查导数的求法和应用：求切线的斜率，同时考查倾斜角的求法，以及运算能力,属于基础题.第14页，共14页