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1、2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一（下）第一次月考数学试卷1.(3+4i)+(l-2 i)=()A.4+2t B.4-2iC.1+4iD.1+5i2.下列命题错误的是（）A.若非零向量为，b,c a/b,b/c,则勿/不B.零向量与任意向量平行C.己知向量优至不共线，且五 乙b/c,则下=UD.平行四边形ABCO中，AB=CD3.已知正方形ABC。的边长为6,用在边BC上且BC=3BM,N为OC的中点，则 宿 BN=（）A.-6 B.12 C.6 D.-124.5.6.若向量落石满足|矶=|石1 =1,且4色一另）=;,则 向 量E与方的夹角为（）A.-B.-C.-D.-6
2、3 3 6在力BC中，AB=c,m =3.若点。满足前=2万乙 则而=（）2-r,1-.D 5-2 三 小 2T-I f c 1/,2 fA.-b+-c B.-c b C.-b c D.-b+-c3 3 3 3 3 3 3 3已知i是虚数单位，复数Zi=-3+2i,z2=1-4 i,则复数z=z1+z2在复平面内表示的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.如图所示，隔河可以看到对岸两目标A,B,但不能到达，现在 岸 边 取 相 距 的C,。两点，测得乙4cB=75。,AB CD=45,/.ADC=30%/.ADB=45A,B,C,D在同一平面内），则两目标4,B间
3、的距离为k/n.（）-、B、/、/或东赤即C 4 km DA.延 B.皿 C.泊 D.2V53 3 38.欧拉公式e汉=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，他将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论中占有非常重要的地位，特别是当=兀时，e+1=0被称为数学上的优美.71.2公式.根据欧拉公式，e7+e/表 示 复 数z,则|z|=（）A.2+遮 B.V2 C.2 D.2-V39.在三棱柱 A 8C-4B 1G 中，NBAC=90,aB=AC=a,zA4iBi=60,乙BBG=9 0,侧棱长为4 则其侧面积为（）10.A,2
4、B.3a b4 2下列说法正确的个数（）C.(V3+V2)abD卓就空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面;梯形可以确定一个平面；如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等;24 e a,4 6 0 且。口 0=,则 A 在/上.A.1B.2 C.3 D.411.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是（）A嘤B 1+22n7TC l+n2ir12.PA垂直于正方形ABC。所在平面，连接P2,P C,P D,AC,BD,则下列垂直关系正确的个数是（）面24B 1 面P B C；面PAB 1_面P A D；面P4B 1面P C D-.面P4B lP AC.
5、A.1B.2C.3D.41 3.在平行四边形ABC。中，荏=可，前=可，血=（近，丽=：祝，则 而=（用瓦，石表示）.14.如图，设 A,8 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在 A所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50/n/4CB=45,ZC2B=105后，则 A,B 两点的距离为15._m.如图所示，在上、下底面对应的比为1：2 的三棱台中，过上底面一边41当作一个平行于棱CiC的平面4/i E F,记平面分三棱台两部分的体积为匕（三棱柱为B1G-FEC）,彩两部分，那么匕：V2=.第2页，共15页16.如图，S 为等边三角形ABC所在平面外一点，且$4=SB =S C =AB,
6、E,尸分别为SC,AB的中点，则异面直线 E F 与 A C 所 成 的 角 为.17.如图所示，在AAB。中，O C =-0 A,O D=-O B,与B C相交于点M.设立？=方，4 20 B =b.(1)试用向量五、b表示。“；(2)在线段A C 上取一点E,在线段BO上取一点尸，使 E F 过点用，设 而=2 就,O F=H OB,求证：i +-=7.A g18.如图，一艘船从港口 O 出发往南偏东75。方向航行了 10 0 k?到达港口 A,然后往北偏东60。方向航行了 160 h 到达港口8 试用向量分解知识求从出发点。到港口 3 的直线距离(&“1.414,旧荻=12.0 65,结
7、果精确到0.1km).(提示：将瓦?，荏分解为垂直的两个向量.)19.如图所示，圆形纸片的圆心为。，半径为6 cm,该纸片上的等边三角形A 8C的中心为。，点 O,E,尸为圆。上的点，DBC,E C A,凡4B分别是以BC,C A,A B 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC,C A,AB为折痕折起ADBC,EC4,凡4 B,使得。，E,F 重合，得到三棱锥，则当AZBC的边长变化时，求三棱锥的表面枳的取值范围.20.如图，长方体ABC。一公当口/中，AB=BC=2,AAr=3.(1)求 异 面 直 线 和 C。所成角的正切值；(2)求三棱柱4 遇8-OiDC的体积和表面积.21.如图
8、，四边形 ABCD 中，AB 1 AD,AD/BC,AD=6,BC=4,AB=2,E,F分别在BC,A。上，EFAB.现将四边形ABEF沿 EF折起，使得平面4BEF J 平 面EFDC.(1)当BE=1,是否在折叠后的4力上存在一点P,使得CP平面4B E F?若存在,求出P 点位置，若不存在，说明理由；(2)设8E=x，问当x 为何值时，三棱锥4-C D F的体积有最大值？并求出这个最大值.22.如图，正方体4 。-4 8 道 也 中，E,尸分别为G D i，&G 的中点.(1)求证：E,F,B,。四点共面；(2)若4CDBD=P,&G nE F=Q,AC1与平面EFBO交 于 点 上 求
9、 证：P,Q,R三点共线.第4 页，共 15页答案和解析1 .【答案】A【解析】解：(3 +4 i)4-(1-2 i)=(3 +1)+(4 -2)i =4 +2 i.故选：A.直接利用复数代数形式的加减运算得答案.本题考查复数代数形式的加减运算，是基础题.2 .【答案】D【解析】解 非 零 向 量 方 及3 乙则存在非零实数；I,4 满足石=Aa,c=nb=Afi a,根据向量共线定理可判断五乙 故 A正确B -.由零向量的定义可知6 与任意向量平行，故 B正确C：若不羊6,则根据A可知五石与已知矛盾，故 C正确D：平行四边形A B C。中，AB =DC,故。错误故选：D.A：非零向量方 3,
10、b/c,则存在非零实数九“满足3 =2 五，c=/j.b=A a,根据向量共线定理可判断；B：由零向量的定义可知6 与任意向量平行；C：若3彳6,则根据A可知方方与已知矛盾；D：平行四边形A 8 c。中，AB =D C本题主要考查了命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握向量的基本概念与定理.3 .【答案】A【解析】解：以A为原点建立坐标系，如图所示:则4(0,0),B(6,0),M(6,2),N(3,6),A M =(6,2),B N =(-3,6),A M -F/V =-1 8 +1 2 =-6.故选4建立坐标系，求出两向量的坐标，再计算数量积.本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题.4.
11、【答案】B【解析】解：由己知|初=|9|=1,且五 0 一 石)=%则五2-五 1=%所以五不=点所以向量方与方的夹角的余弦值为儒=p所以向量方与用勺夹角为全故选B.首先由已知等式求出向量五与加勺数量积，利用平面向量的数量积公式可得.第6页，共15页本题考查了平面向量的数量积公式的运用；属于基础题.5.【答案】A【解析】解：由同 一 荏=2(前 一 而)，3AD=A B +2AC=c+2b,_ _,2 一AD=-c +-b.3 3故选：A.把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着己知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求.本题也可以根据。点 把 分 成 一 比
12、 二的两部分入手.用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的6.【答案】C【解析】解：因为z1=-3 +2i,z2=1-4 1,则复数z=zx+z2=-2 -2i,其对应的点(-2,-2)在第三象限.故选：C.直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了计算求解能力和转化思想，属于中档题.在 AC。中由正弦定理可求A D
13、 的值，在 BCD中由正弦定理可求8。的值，再在 480中由余弦定理可求A 8 的值.【解答】解：由已知，ACD中，ADC=3 0,ACD=1 2 0,可得/乙4。=3 0,由正弦定理，得 一 发=一 当 就，sinz.C AD sinz.AC DAC CO sin乙4co 4 x-7 ,k所以力。=.=T-=4V3；smz.C AD -2 BCD 中,D B =75,ABCD=4 5 ,可得/CBD=60,由正弦定理，得 一 妥=一 发，snz.C B D sinz.B C D所 以BDCD sin/BCO _ 4 x sxnLCBD 一 更24/63 48。中，由余弦定理，得AB2=AD2
14、+BD2-2AD-BD-cos乙4OB=48+-2 x 4b x x =,3 3 2 3解得：4B=苧，则两目标4,B间的距离为手km.故选：B.8.【答案】B【解析】解:z=e?+el3n=cos%+is in+（cosy+isin y）=y +1J+（-1+y i）=6 _ I遮+1 i22 则|Z|=J（等）2+（等）2=故选：B.运用欧拉公式和复数的加减运算，化简复数z为代数形式，再由复数的模的定义，计算可得所求值.本题考查欧拉公式的运用，以及复数的加减运算和复数的模的求法，考查化简运算能力,属于基础题.9.【答案】C【解析】解：由题意知I,斜三棱柱4 B C-&B 1 G的底面是一个
15、等腰直角三角形，且ZB=AC=a,BC=y/2a,v 乙4 4/1 =乙4alei=60,AB=AC a,AA=b,S 四边形ABBA=S 四边形ACC、A=bsin 60=yah,又cBBiCi=9 0,.侧面881cle为矩形，S 矩形BB,JC=b x 近 a=V2ab.二斜三棱柱力BC-的侧面积S=ab x 2+近ab=（V3+版）ab.故选：C.由 平 行 四 边 形 面 积 公 式 求 出 侧 面 和ACCi&的面积，再由矩形面积公式求出侧面B C C/i的面积得答案本题考查柱、锥、台体表面积与体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题.10.【答案】B第8页，共15页【解析
16、】解：空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；反例：正方体的一个顶点处的3 条棱，确定3 个平面，所以不正确；梯形可以确定一个平面；满足平面的基本性质，正确；如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；或互补；所以不正确；/l e a,=则 4在/上，满足平面的基本性质，所以正确；故选：B.利用反例判断；平面的性质判断；等角定理判断，平面的性质判断.本题考查平面的基本性质的应用，命题的真假的判断，是基本知识的考查.11.【答案】B【解析】解：设圆柱的底面半径为r,圆柱的高为近 圆柱的侧面展开图是一个正方形，2 nr=h,E R r =.2 l t二圆柱的侧面积为2 n?7 i=
17、4 7 7 2 r 2,圆柱的两个底面积为2 7 1 T 2,.圆柱的表面积为2 71T 2 +2 nrh=2 nr2+4 7 1 2 r 2,圆柱的表面积与侧面积的比为：2 3+44712r广、竽,2 27r故选：B.根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论.本题主要考查圆柱的侧面积和表面积公式的计算，利用圆柱的侧面展开图是一个正方形,得到高和半径之间的关系是解决本题的关键.1 2 .【答案】B【解析】解：对于，因为底面为正方形，所以B C _L 4 B,由题意可知P 4 1 平面AB C D,所以8 c 1 P A,而 P
18、Af W=A,所以B C 1 平面P AB,又因为B C u 平面P B C,所以平面P A B _L 平面P 8 C,所以正确；对于，因为A D B C,故由可得，4 0 1 平面P A B,而A D u 平面P AD,所以平面P A O _L 平面P A B,所以正确；不满足面面垂直的判定定理，错误，不垂直.综上可知，正确的为，故选：B.根据题意，底面为正方形且P 4 _L平面A 8 C D,则B C _L平面P A 8；即可判断.本题考查了平面与平面垂直的判定，属于基础题.1 3.【答案】-河+/1【解析】解：由 丽=：觉 得 流=|元，且 能=前 一 费=宅 一百，又 N C =-AC
19、=-e,4 4.MN=祝 一 配 =|(另一2一:或=一|瓦+宅.故答案为：1 e i+根据向量的线性运算性质及几何意义，由 的=觉 得 配=|万，利用向量的三角形法则得就=而-近=部-可，且 丽=祝-枇，最后将左式的两个向量都用用瓦,瓦表示即得.本题考点是向量加减混合运算及其几何意义，考查了向量加法与减法法则，解题的关键是熟练掌握向量加减法的法则，根据图象将所研究的向量用基向量表示出来，本题考查数形结合的思想，是向量在几何中运用的基础题型.1 4.【答案】5 0 V 2【解析】解：在中，N A C B =4 5。，/.C AB =1 0 5 Z B =3 0 由正弦定理可得：急=缶AC x
20、sinZ.AC B/.AB =-：-sin z.fi=5 0 V 2 m2故答案为：5 0 V 2先利用三角形的内角和求出4 8 =3 0。，再利用正弦定理，即可得出结论.本题考查解三角形的实际应用，解题的关键是利用正弦定理，求三角形的边，属于基础题.1 5.【答案】:4【解析】解：设三棱台的高为/?,上底的面积是S,则下底的面积是4 S,明es c=(S +4 S +2 S)=V棱柱A、BC、-EFC=SH,第10页，共15页.%=上齿或=三.V 棱台-V 棱柱 A、BC-EFC 5s 八 一 S/l 4故答案为：2,4设三棱台的高为/?,上底的面积是S,则下底的面积是4 S,再由棱台与棱柱
21、的体积公式计算得答案.本题考查了三棱台的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.16.【答案】45。【解析】解：如图，取 AS的中点G,连接GE,G F,则GE/AC,GF/SB,二NGEF是异面直线EF,AC所成角，设48=2,则GE=1,GF=1,取 AC的中点为M,连接MS,MB,v SA=SB=SC=AB,SAC,ABC 为等边三角形，.-.SM 1AC,BM 1 AC,SMCiBM=M,SM,BM u 平面 BMS,AC l ffi SBM,：.A C L SB,EG IG F,4 GEF=45,二 异面直线EF与AC所成的角为45。.故答案为：45。.取 AS的中点G,
22、连接GE,G F,则NGEF是异面直线E F与 AC所成角，证明AC 1平面B M C,能求出异面直线EF与 AC所成的角.本题考查异面直线所成角的定义、线面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.17.【答案】解：（1）不 妨 设 丽=7nN+n 石，由于4、。、M 三点共线，则存在a（a 于一 1）使得而f=a 而,即 丽 一 次=a（函 而），于 是 丽=OA+aD1+a又 丽=白而，所 以 丽=OA+OBm=1+a，即？n+2n=l,由于8、C、M 三点共线，则存在0(#-1)使 得 由=/?说,即 丽 一 记=/?(而一初彳)，于 是 两=叱 竿又 小=工 雨，所 以
23、 丽=1+0 4(1+0)所以,+“),即4m+n=l,由可得m=；,n=|,所以。时=加+7；(2)证明：由于E、M、F 三点共线，所以存在实数(羊1)使 得 前=?7而,即 雨 一 反=(而-而)，于 是 而=卓 攀，又 灰=4 列，O F=iiO B,所 以 而=如 迺=2 五+也 九1+1+4 1+4所 以 +为=5 4+蜀 反 则1+7J 7A 1+3 7rj 7 -节两式相加得：+三=7.【解析 1(1)设 丽=皿 1+兀3,根据向量的线性运算求出3 ,从而用向量次石表示0 M；(2)根 据 丽=而 以 及 左=2成，O F=n OB,表示出面7,从而证明结论成立.本题考查了向量的
24、线性运算，考查数形结合以及转化思想，是中档题.18.【答案】解：一艘船从港口。出发往南偏东75。方向航行了 10 0 的?到达港口 A,然后往北偏东60 方向航行了 160 5到达港口 B,建立如图所示的坐标系：显然4Aoe=90 -75=1 5,4BAE=90 -60 =3 0,OA=10 0,AB=160,于是有：sinl5=AC=10 0 sinl5,cosl5=OC=10 0 cosl50,sin3 0 =OA OABE=160 sin3 0 =80,cos3 0 =A E =160 cos3 0 0 =80A/3,第12页，共15页所 以 市=(10 0 cosl50,-10 0 s
25、inl5),B=(80 祗 80),因 为 丽=O A+X B =(10 0 cosl50 +80 V3,-10 0 sinl5+8 0),所以有：0 8 =J(10 0 cosl50 +80 V3)2+(-10 0 sinl50 +80)2=J(10 0 cosl50)2+(80 V3)2+(-10 0 sinl5)2+802+160 0 0 V3 cosl50 -160 0 0 sinl50=V3 560 0 +3 20 0 0 cos450=20 89+40 V2 20 V89+40 x 1.414=20,145.56a 20 x 12.0 65=241.3.【解析】建立直角坐标系，利用
26、平面向量的坐标表示公式，结合平面向量加法的几何意义和坐标表示公式进行求解即可.本题考查了平面向量加法的几何意义和坐标表示公式，属于中档题.19.【答案】解：由题意知，等边ABC的中心为O,/-圆 O 的半径为6,(设三棱锥的底面边长为a,即等边AABC的边长为a,下、：如图所示：、/Zc连接O。，交 8 C 与点G,由题意可知，O D J.B C,；/所以0 4=G =jasin；=O D=6,因为。4 00,所 以 当 6,解得0 a 6 V 5，n又因为OD=6,O G=：0 4=华，2 6所以DG=DO-G O =6-,6所以三棱锥的底面积为：SAABC=-AC -sin60。=9 a2
27、.乎=罕；由题意知，A DBg b ECA A F A B,所以它们的面积相等，所以三棱锥的侧面积为：3S CD=3；BC GD=1 a (6-华)=9a-卑，2 2 6 4所以三棱锥的表面积为：S表而积=S“BC+3SADBC=竿+9a-等=9a,因为a e(0,6 g),所以9a (0,54百)，即S袤面积W (0,54百)，所以当 4BC的边长变化时，三棱锥表面积的取值范围是(0,54百).【解析】根据题意设三棱锥的底面边长为m 连接O。，交B C与 点、G,求出OA、O D和。G 的值，由此计算三棱锥的底面积和侧面积，即可求出三棱锥的表面积，再求表面积的取值范围.本题考查了三棱锥的表面
28、积计算问题，也考查了逻辑推理与运算求解能力，是中档题.20.【答案】解：（1）在长方体中，因为4BC0,所 以 与 所 成 的 角 即 为 与 4 8 所成的角，即或补角），因为力B=BC=2,44i=3,A IA B,所以 tan 乙 1 AB 2所以异面直线&B 和 CD所成角的正切值为|；（2）易知三棱柱4MB-DiDC是直三棱柱，底面4遇8 是直角三角形，-I1所以SA A.B=鼻 公力 4B=y x 3 x 2=3.又为三棱柱的高，所以V-SM IAB-=3 x 2 =6,又四边形为D1CB为矩形，4 5 =2,4$=VH,所以S四 边 形A B R B=2,S四 边 形ABCD=2
29、 乂2=%S四 边 形 弧 即=2 x 3 =6，故所求表面积S=2SA4A8+S四 边 形AD、CB+S四 边 形ABCD+S四 边 形 人 业 遇 人=2X3+213+4+6=16+2713.【解析】（1）因为4B CD,所 以 与 C 所 成 的 角 即 为 与 4 8 所成的角，从而得到结果；（2）根据三棱柱的体积公式和表面积公式即可得到结果.本题主要考查了异面直线所成角以及几何体表面积体积的计算，属于中档题.21.【答案】解：（1）存在点P,使得CP 平 面 止 匕 时 箓=|证明如下：过 P 作MP尸。，与 A尸交于M,则丝=三,FD 5又FD=5,A MP=3.EC=3,MP/F
30、D/EC,：.M P/E C,且MP=E C,故四边形 MPCE为平行四边形,PCME,PC C平面 ABEF,ME u 平面 ABEF,CP平面 ABEF；(2)平面4BEF _L平面EFZJC,平面力BEFD平面EFDC=EF,AF 1 EF,AF u 平面ABEF,AF _L平面 EFDC,第14页，共15页 B E=x,AF=%,(0 x 4),FD =6 x,故三棱锥A-CD尸的体积厂=|x|x 2x(6-x)x =-1(x-3)2+3,当#=3口 寸，三棱锥4-CDF的体积丫有最大值，最大值为3.【解析】本题主要考查直线和平面平行的性质和判定，以及三棱锥体积的计算，考查学生的推理能
31、力.属于拔高题.当/=|时，筹=|，过尸作MP FO,与 AF交于M,证明四边形MPCE为平行四边形，可得PC ME,由直线与平面平行的判定可得CP平面A8EF；(2)设BE=x,根据三棱锥的体积公式即可得到结论.22.【答案】证明：(1)连接当必,在正方体4BC。-4道道1。1中，E,产分别为(:也,B1G的中点，7=是4 B1GD1 的中位线，E FHB D,又因为EFBD四边形BOEF为梯形，即B,D,E,尸四点共面.(2)在正方体力BCD-4 卷 心。1中，AC C iB D =P,力 iCiPIEF=Q,PQ是平面44停传与平面BQEF的交线，又因为4G 交平面B D E F 于点R,R是平面4&G C 与平面BDE尸的一个公共点.因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，.P,Q,R三点共线.【解析】(1)证明EFBD即可得出结论；(2)只需说明P,Q,R三点都是平面BDEF和平面4 C G 4 的公共点即可得出结论.本题考查了平面的性质，属于基础题.