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1、2021-2022学年安徽省六校教育研究会高三（上）第一次素质测试数学试卷（理科）一、选 择 题（共 12小题，每 小 题 5 分，共 60分）.1.设 集 合4=口6仅2-8乂+120,B=x l l o g2（x-1）/2 B.4 C.D.25/23 一个至少有3项的数列 与 中，前 项 和 标 募n （?+g ）是数列 q 为等差数列的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4下列说法正确的是（）A,经过三点确定一个平面B.各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥C.各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D.一个三棱锥四个面可以都为直角三角形567二项式(
2、x+1)n （n N*）的展开式中X3的系数为20,则n=（）A.7B.6C.5D.4将点A2绕原点逆时针旋转5已知抛物线y 2=2p xB-6V25(p 0),4 和 8打得到点B,则点B的横坐标为（）V匚近 D.亚分 别 为 抛 物 的 两 个 动 点，若 必。8=（。V（一35A-7a为坐标原点），弦AB恒 过 定 点（4,0）,则抛物线方程为（）2A.y2=2x B.y2=4 x C.y 2=8x D.y2=l6x8七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任
3、取一点，则此点取自白色部分的概率为（）A-32 B-8-C-I 口.五9把1、2、3、4、5、6、7这七个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先减后增，则这样的数列共有（）A.20 个 B.62 个 C.63 个 D.64 个I）我 国 的 洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2,，9填 入3 X 3的方格内,使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15.如图所示.一般地，将连续的正整数I,2,3,，n2填 入n Xn个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n阶 幻 方.记n阶幻方的对角线上的数的和为N”,如图三阶幻方记为砥=1 5,那 么N”的 值 为（
4、）1 LC.6 7 2D.6 7 5已知双曲 x2/线 二餐的左、右焦点为耳、F2,过 尸2的直线交双曲线于M,N两 点（M在第一象限），若A M耳 尸2与A M行的内切圆半径之比为3：2,则直线MN的斜率为（）二、填 空 题（本大题共4 小题，每 题 5 分，共 2 0 分）。A.V 6设 a=2 d&,B.2找n 2b I n?C-Z 1 d，则(I nz 4-ln4c.Vs)D.2 /3A.cabB.bcaC.acbD.cba1 3.已 知 向 累，工 满 足 日|=愤=2,1+芯=0,sin C lk 兀且 se c 2 x+/c sc 2 x2 1 6 对任意的实数x 丁，依Z)均成
5、立，则 f 的最小值为.I x+3 15 x40 51 6 .已知函数/(x)=q、，设 g (x)=kx+f 且函数 y=/(x)-g(x)2x-6x+3,x0 2的图像经过四个象限，则实数Z的取值范围为三、解 答 题(共 7 0分。解答应写出文字说明、温明过程或演算步骤)。317.已知数列 的前项和为S,且满足S =(4-0 (WN*),设b=log a .n n n n 2 n(2)求数列 的前项和T .1 8.三角形A B C 中，角 A,B,。所对的边分别为m b,c,已知3+c 3=Z?2 +/?2 c.(1)求 8；退(2)若 b=,求 ABC 的面积最大值.1 9.近日，国家卫
6、健委公布了 2 0 2 0 年 9月 到 1 2 月开展的全国性近视专项调查结果：2 0 2 0年，我国儿童青少年总体近视率为52.7%.为掌握某校学生近视情况，从该校 高 三(1)班随机抽取7名学生，其中4 人近视、3人不近视.现从这7人中随机抽取球3人做进一步医学检查.(1)用 X表示抽取的3人中近视的学生人数，求随机变量X的分布列与数学期望；(2)设4 为事件“抽取的3人，既有近视的学生，又有不近视的学生”，求事件A 发生的概率.-y20.如图，在多面体4 8 C E F M 中，底 面 A BC是等腰直角三角形，N4 CB=，四边形A8 F E为矩形，4瓦1 _ 面 ABC,AE/CM
7、,A E=A C=2 C M=6,N 为 AB 中点，面 E M N 交 BC 于点 G.(1)求 CG长；(2)求二面角B-fi G-N 的余弦值.E2 1.已知椭圆C：车片=1 (a b 0)的离心率为萼，尸2是椭圆。的左、右焦点,a b 3P为椭圆上的一个动点，且 面 积 的 最 大 值 为(1)求椭圆c的方程；(2)过椭圆C的右焦点尸2作与x 轴不垂直的直线L交椭圆于A,8两点，第一象限点M在椭圆上且满足M 尸 2，x 轴，连 接 M 4 MB,记直线A8,M A,M B的斜率分别为k,勺，k i +k?k2,探 索2 k是否为定值,若是求出；若不是说明理由.对 任 意 正 数 人 有
8、4口(2)对任意正数a,b,有aPp q参考答案一、选 择 题(共 12小题，每 小 题 5 分，共 60分).1.设集合A=xeN|x2-8x+12V0,B=x|lo号(x-1)2 ,则4 0 8=()A.xl3WxV5 B.xl2x5 C.3,4 D.3,4,5)解：因为集合4=xeN|x2-8x+120=xl2xV6,xeN=3,4,5,又8=刈082(x-1)2=xllx所以 AAB=3,4.故选：C.2-复数z=(通-i)(l+i)2,则团=()A-4V2 B-4 C-2/3 D.2/解：z=(V 3-i)(H i)2=(V 3-i)(2 i)=2+2百 i|Z|=V22+(2V3)
9、2=4-故选：B.3 一个至少有3项的数列 4 中，前n项和(f+g)是数列 g 为等差数列的()2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解：若 S=in(a+。)，则当 n22 时，S=i(n-i)(o.a),2 2两式相减得，2a n=n(。+。)-(-1)(。+。)，1十 1 r n-即(“-)Q=a(n-7)Q，1 n-1 1十 /n当时，(-?)a=Q (r?-3)a，J乙 n-2 1十 J n-1-得，9(n-o)a=(-?)(a+a),乙 乙 n.1 乙 n-2-Q i _ Q fn-1 n-2数列 a j为等差数列，充分性成立，若数列 a
10、j为等差数列，则 S/f (aa)“显然成立，必要性成立，.前n 项和S产 丁(4+%)是菱列 4 为等差数列的充要条件，2故选：c.4 下列说法正确的是（）A.经过三点确定一个平面B.各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥C.各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D.一个三棱锥四个面可以都为直角三角形解：对 于 4 经过不共线的三点确定一个平面，故A错误：对 于B；由多个三角形构成的多面体不一定是三棱锥，故B错误；对 于 C：各侧面都是正方形的棱柱，底面为菱形的四棱柱不是正棱柱，故C 错误;对 于D；一个三棱锥四个面可以都为直角三角形，如图所示:故选：D.5二 项 式(x+1)(n e N*)的展
11、开式中X 3 的系数为20,则 n=()A.7 B.6 C.5 D.4解：二 项 式（x+1）n（n e N*）的展开式中x 3 的系数为 3=2 0,贝！J n=6.故选：B.6 将点4 （一旦 三绕原点逆时针旋转 将得到点B,则点B的横坐标为（T-5 TA.7&B.电 C.返 D.亚-io-s_ F IF解：设直线。4 的倾斜角为8,则 s i n O=5 _=4 co s 0=-3)则 co s (0+TT)=co s 0 co s J T-s i n 0 s i n 7 1=(-3 )-4 =-7 2.4 4 4 5 k 5X 1 0则点B的横坐标为-工 亚10故选：A.7已知抛物线”
12、=2p x （p 0）,4和B分别为抛物线上的两个动点，若N A O B=（0为坐标原点），弦A B恒 过 定 点（4,0）,则抛物线方程为（）A.=2x B.yi=4 x C.y2=8 x D.=1 6 x解：设/：x=m y+4,代入=2 p x,得y 2-2p m x -8 P=0,设点 A（%B（x2,y2）,则%以=2 血，y必=-8 p,则 X X?=R=1 6.V Z A O B （。为坐标原点），.x1x2y/2=0,即 1 6 -8 p=0,解得 p=2.抛物线的方程为*=4 x；故选：B.8七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一
13、块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形,716D.解：对图，设大正方形的边长为2,*2*贝ij G F=1,E F至D E的是巨离d=,白色部件的面积为:y X 2 X iS=22-2-白5.I x Z 2,.在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率为:S 2258故选:GB9 把1、2、3、4、5、6、7这七个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先减后增，则这样的数列共有（）A.20 个 B.6 2个 C.6 3 个 D.6 4 个r 1解：从 1,2；63,4,5,6 中选出1 个数排在7 的右侧，其余排在7 的左侧，得到先增后减的数列有 个，
14、从 1,2f 4,5,6 中选出2 个数排在7 的右侧，其余排在7 的左侧，得到先增后减的数列有 个，.C+C/C尹 琮+C髀62故满足条件的总个数为 个.故选：B.I）我 国的 洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2,，9填 入 3X3的方格内,使三行、三列、对角线的三个数之和都等于1 5.如图所示.一般地，将连续的正整数1,2,3,，“2 填 入 nXn个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n阶 幻 方.记n阶幻方的对角线上的数的和为&=1 5,那 么Nu的 值 为（）A.6 7 0 B.6 7 1 C.6 7 2 D.6 7 5解：根据题意，幻方的每行，
15、每列和两条对角线上的数字之和都相等,2 2 2为=1+2+3+.+(n 2 -1)+2 =X。-1 1 *门=(1+彳 口，故 N =(13X11=6 7 1.1 1 2故选：B.1 已知双曲 式-2：=1 的左、右焦点为尸、尸，过尸的直线交双曲线于M，N两 点(M线 a2 b2 1 2 2在第一象限)，若 AM%与 那 勺 的内切圆半径之比为：3,2 则 直 线 MN的斜率为(A.)V6B.2 找解：设 M F F 的内切圆为圆。，与三边的切点分别为A,B,C,1 2 1如图所示，设 M A=M C=m,A F=B F=n,B F=C F=t,(m+n)-(m+t)=a由双曲线的定义可得(n
16、+t=2 c ，所 以n=a+c,由此可知，在AMF 尸中，O B J_ x 轴 于 点B,同理可得OBLx轴 于 点B,1 2 1 2所 以 O O _ L x 轴，1 2过 圆 心。作 C。的垂线，垂 足 为D,21因为N q q O+N B F,C=1 8 0 ,N B g C+N C Fr=1 8 0 ,所以/。与直线/的倾斜角相等，2 1设 AMF F 与 ANF F 的内切圆半径r、r之 比 为 3：2.1 2 1 2 1 22因为-=7 7 不妨设r=3，r=2，r2 2 12贝|J qq=3+2=5,q c=3-2=i,在RCOQ?中，0P=胃 2 _ 2=2 通,所以 t a
17、 n/q o p=故直线/的斜率为2&.故选：B.A.cab B.bca C.acb D.cba2 2解：设&)=产，则&=7=f(V Z)，b=f，C=e2In x In Ve ln(-y-)2 n x-因为f (x)=-丁，所以当 l x e 时，f(x)e 时，/(x)(lu x)20.所以f (x)在(1,e)单调递减，在(e,+8)单调递增.2因 为 八2）=/（4）,且1 爪2 0（号 N2）=f f字），即 a b c-故选：D.二、填 空 题（本大题共4小题，每 题5分，共2 0分）。1 3 .已 知 向 量*,;满 足 一|=|=2,一+;=（1,3）,a b|a|b|a b
18、解：由 3）可得那 么（1-+7 1）2=1 0,B|J-2 -2 -*,a b a +b +2 a，b =1 0 彳 厂 后 厂2，A2 a-b=2；I a-b|7 （a +b ）2-2a*b V1 0 2 2 2,故答案为：1 4.在棱长为2的正四面体A B C。中，A E是A B C的高线,正弦值为 V3 3 .6 则 rV 2_-则异面直线4 E和C D夹角的解：在棱长为2的正四面体A B C D中，A E是a A B C的高线,取 AD,EC 和 AC 的中点 N,G,F,连接 N G,G F,N F,W N G/CD,G F/AE,异面直线A E和C D 夹角的平面角为NF G N
19、,作正四面体的高0 0,且。0=3,。落在4 E的三等分点上，作NM垂直A E,可得N M/DO-,且 NM=华.,NMSA B C,2 V3在“产中，可得E M=-3E F=/Z M E F=9 0 ,：N M/ABC,.M WF 是直角三角形,3:.NF/；人 3V3在GN F 中，N F=N G=1,G F=1余弦定理可得c o s/FGN=今 雨；V33那么异面直线A E和C D夹角的正弦值为-飞一V33丁 故答案为1 5.正 割（se c s”）及 余 割（c o se c a m）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔威发首先引入.sec,esc这两个符号是荷兰数学家基拉德在 三
20、角学中首先使用，后经欧1 1拉采用得以通行.在三角中，定义正割seca=co s。，余割csca=$i n Cl .已知f 0,且sec2 x+f csc2 x 2 1 6对任意的实数（羽 L,kez)均成立，贝h的最小值为 解：sec2 x+r csc2 x=(sec2 x+r cscz r)(瞥 鼠+以 餐 加 2加cosz x s inzx2 2sin x c。s x2 2cos x sin x当且仅当=/时，取等号,解得：9 9或 后-2 5 (舍)故答案为：9.|x+31,x 4。52X3-5X4-3,X0 21 6.己知函数/(x)，设g(1)=h+，且函数y=/(x)-g(x)_
21、9 1-2-6-的图像经过四个象限，则实数k的取值范围为解：当 x 0 时，f(x)=2 x 3 -6 x+3,/./(x)=6 x 2 -6=6 (x 2 -1)=6 (x+1)(x -1),2 2函数g（X）=丘+恒 过 点（0,）,要使函数y=f（x）g（x）的图像经过四个象限，由图可知只需/G）与g （x）在（-8,0）和（0,+8）上分别有交点即可，且交点不可为（-3,0）和切点,当 k 0 时,若g（x）=f cx 得过点（-3,0）,则.0 k 26 当 k=0 时，符合题意，当 k 0 时，在（0,+8）内，只需要求出过定点（0,互与函数图像的切线的斜率2即可，y0=2x0 -
22、6X0+3设切点坐标为此，卬，则1解 得 12,1.切线的斜率为4 2 .=-9,6 x0 -6 7；.一 且k 0,7综上所述，实 数 k 的取值范围为（-._?，2 6故答案为：（一 旦 5.）.2 6三、解 答 题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。1 7.己知数列 a 的前n项和为S ,且满足5 =2（4，T）（布那），设b=l o g a.n n n n 2 n3（1）分别求%和 的通项公式；（2）求 数 列 r _ _ _ _ _ _ _1 _ _ _ _ _ _ _ _）的前n项和7.t（bn+L）（bn+M）J 解：（1）S =2 （4 n T）（n w
23、N*），当 n =l 时，可得a,=2；3由（心 2），可得 Q n=_2（4T）-2（4-IT）3 3=24-i,当=1时，1-1=2，满足；a 产,4 11，数列 与 的通项公式Q=2 4-I；又=啕%，4=2n-1；故得数列，的通项公式夕=2“-1.（2）由（1）可 知卜=2n-1,设数列-1(bn+l)(bn+3)）=%），那么 c=-1_%2n(2n+2)4 n n+1数列匕3 二的前x(bn+l)(bn+3)n 项和 Tn=JL z i L+._L_4 2 2 3 n n+1)-1 8.三角形4BC中，角 4 B,C所对的边分别为Q,b,c,已知Q3+c3=b2Q+b2c.(1)求
24、 B；(2)若 b=道,求48C的面积最大值.解：(1)因为 Q3+C3=b2Q+b2C,所 以(Q+C)(Q2-QC+C2)=b l(Q+C),所以 al-ac+c2=bi9 即 a2+c2-b2=act由余弦定理知，cosB=因 为 (0,n),a2+c2-b2=ac=r2ac 2ac 2所以B=.V(2)由()知，Q 2+C2-b2=ac,因为b=,J3所以 Q2+C2-3=ac,所以 Q2+C2=3+QC22QC,即 QC3,所以 S=QcsinBW1故ABC菊面积最1 9.近日，国家卫健委公布了曲20年 9 月 到 12月开展的全国性近视专项调查结果：2020年，我国儿童青少年总体近
25、视率为52.7%.为掌握某校学生近视情况，从该校高三（1）班随机抽取7 名学生，其中4 人近视、3 人不近视.现从这7 人中随机抽取球3 人做进一步医学检查.(1)用 X 表示抽取的3 人中近视的学生人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；(2)设力为事件“抽取的3 人，既有近视的学生，又有不近视的学生”，求事件力发生的概率.解：(1)由题意可知，X 的可能取值为0,1,2,3,Qk9-k又(k=O,1,2,3),C 3所 以 X 的分布列为：X 01 23P 工12 1843535 3535则 X 的数学期望为E(X)=0 x-+1 x +2X+3 X=1235 3535 357(2)设 B
26、 为事件“抽取的 3人中，不近视2 人,近 视 1 人”，设 C 为事件”抽 取 的 3 人中，不近视1人，近 视 2 人”，贝 ij A=B U C,且 B 与 C 互斥，12 18 6所以P(力)=P(BU C)=P(X=2)+P(X=1)=故事件力发生 的 概 率6库.7T2 0.如图，在多面体A B C E F M中，底面A B C是等腰直角三角形，Z A C B=,四边形/BFE为矩形，E l ABC,AE/CM,ZE=ZC=2aM=6,N 为力 B 中点，面 E MN 交 BC 于点 G.(1)求 CG长；(2)求二面角8-EG-N的余弦值.解：（1）如图，延 长EM.A C,设E
27、 M C A C H,连 接B H,：A E/C M,且 Z E=2 C M,为 的 中 点，则B C为a/B H的中线，；N为 的 中 点，；.H N为为/B H的中线，又 H N C B C=G,；.G 为NB H 的重心，故 BG：G C=2：1,由 B C=6,知 C G=2；（2）以U为坐标原点，分别以C A、CB,所在直线为X、/、系，则 B (0,6,0),G (0,2,0),E (6,0,6),N (3,3,G B=(O,4,0)，G E=(6,-2,6)，G N=(3,1,0)，弋轴建立空间直角坐标0）,设平面G B E的法向量为m=&，y，z),m G B=4 y=O由砾6
28、x-2 y+6z=0,取 门，得航 设平面G N E的一个法向量为n=l，丫1，Z ),n.G E=6x1-2 y1+6z1=0 _咋;痂=3町+丫广0 ，取 勺=1,得Ml，乜-2)irrn _ _3叔.co s =|V2XA/14=-F-由图可知，二 面 角B-E G-N为锐角,二面角B-E G-N的余弦值为刍迎Fr尸2是椭圆右的左、右焦点，P为椭圆上的一个动点，且A P F F z面积的最大值为的万（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点写作与x轴不垂直的直线4交椭圆于A,B两点，第一象限点M在 椭 圆 上 且 满 足 轴，连接A小1,M B,记直线AB,M A,MB的斜率分别为k,
29、6,右2,探索k 1+七2二是否为定值,若是求出；若不是说明理由.2解：（1）:椭圆的离心率为返，面积的最大值为3 6,3e a 3；J 2c=3V?解得=3,=6，ka2=b2+c2故椭圆的方程为三-4=1.9 3(2)设 A(x p j j),B(吗，北),：MF 2，x 轴，/.M(V 6 5 D.设 直 线4的方程为=k(x-近),5k&近)联 立 直 线(与 椭 圆 方 程2 v2?t-y=19 3由韦达定理可得，Xi+K力 自 粤1 3k 2+1，化简整理可得,（3米+1 ）X2 -6 V 6 k2x+1 8 k 2-9=0,1 8k 2-9x2=-3-k52-+lkj+k 2 i
30、 y i -1 了211 1 k（x-用）T T.-（.1 _ ,）-r-12 2 x -*/g X2V6 2 x j -6 X2-V6二5_!小 -(,彳I孤 寸,石1)、=1 彳1.2卜(、i付+X(2-,2V_6忡-2 /6卷 瑟 咏 平=k萼3 k2+lki+k2 ,V e-L r=-,2 K 3 ,k +k z 粕故 2-k为定值，定值为飞二1 1 一22.设p,q 1,满 监7=1.证明：(2)对任意正数a,(1)对任意正数X,有P【解答】证明：(1)令/(x)=rr )，则/(1)=0,求导可得/(x)=XP,当0 x 1时，/(x)1时，/(x)0,/(x)单调递增,故/(x)在x=1处取得极小值，也是最小值，故对任意的x 0,恒 有/(x)可(1)=0,即得证.(2)令/(x)_ _ bx 0)，则/)P Q P上-bQ=o,qf(x)=xp r -41当O V x V Q I T时，f(x)b亍丁时，f G)0,f(X)单调递增,1故/(x)在x=bP-1处取得极小值,J-_ T1(bP T 广 _AP q-bq=0,其中 q=p qpp-1 故对任意x 0,/(x)2f(6诃”。，特别/(a)2 0,即得证.