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1、精品名师归纳总结第三章 线性方程组 1 消元法一 授课内容： 1 消元法二 教学目的： 懂得和把握线性方程组的初等变换，同解变换，会用消元法解线性方程组 .三 教学重难点： 用消元法解线性方程组 .四 教学过程：所谓的一般线性方程组是指形式为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 x1 a21x1a12 x2 a22 x2.a1n xnb1a2n xnb21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1x1an 2 x2.ann xnbn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
2、名师归纳总结的方程组，其中x1 , x2, xn代表 n 个未知量 ， s 是方程的个数，aij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 i1,2, s ， j1,2, n 称为方程组的 系数， b j j1,2, s 称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为常数项.所谓方程组 1的的一个解就是指由n 个数组成的有序数组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 k1 ,k 2 , kn ，当x1, x2 , xn 分别用k1 ,k 2, kn代入后，1中每可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个等式变为恒等式
3、，方程组 1的解的全体称为它的 解集合.解方程组实际上就是找出它的全部解，或就说，求出它的解集合. 假如两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.明显，假如知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个方程组就基本上确定了，准确的说，线性方程组1可以用如下的矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11a12a1n b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a21a22a2 n b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结来表示.as1as2asn bs可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在中学代数里
4、， 我们学习过用加减消元法和代入消元法解二元，三元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线性方程组，实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复的对方程组进行变换， 而所做的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1. 用一非零的数乘某一方程 .2. 把一个方程的倍数加到另一方程 .3. 互换两个方程的位置 .定义 1变换 1， 2， 3 称为线性方程组的 初等变换 .消元法的过程就是反复的施行初等变换的过程.可以证明，初等变换总是把方程组变成 同解的方程组 .对于线性方程组反复的施行初等变换， 一步一步做下去， 最终就得到一个阶梯形方程组.
5、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c11 x1c12 x2c1r xrc1n xnd1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c22 x2c2 r xrc2 n xnd2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结crr xrcrn xndr5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0dr 10000明显 5与 1是同解的 . 考察 5的解的情形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如5中的方程 0d r 1 ，而 dr 10 这时不管x1, x2 , xn 取什么值可编辑资料 - - - 欢迎下载
6、精品名师归纳总结都不能使它成为等式，故 5无解，因而 1也无解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 d r 10，或5中根本没有“ 00 ”的方程时，分两种情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 rn ，这时阶梯形方程组为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c11 x1c12 x2c1n xnd1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c22 x2c2 n xnd2cnn xndn有唯独解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 解方程组2 x1 4 x1x2 2 x23x315 x34 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精
7、品名师归纳总结2 x12x36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 上述方程有唯独的解9,1, 6 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 rn ，这时阶梯形方程组为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c11 x1c12 x2c1r xrc1n xnd1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c22 x2c2 r xrc2 n xnd2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结crr xrcr , r1 xr 1cnn xndn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 cii0，
8、i1,2, s，把它改写成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c11 x1c12 x2c1r xrd1c1,r1 xr 1c1n xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c22 x2c2 r xrd 2c2, r1 xr 1c2n xn7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结crr xrcr , r1 xr 1dncr ,r1 xr 1cnn xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由7我们可以把x1 , x2 , xr通过 xr 1, xn表示出来，这样一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结组表达式称为方程组 1的一般解 ，而量.xr
9、 1, xn称为一组 自由未知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 解方程组2 x14x1 2x1x22x2 x23x315x34 .4 x31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 一般解为x1 712x3x2 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 1在齐次线性方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 x1 a21 x1a12 x2a22 x2.a1n xn0a2n xn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1 x
10、1an 2 x2.ann xn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中，假如 sn ，那么它必有非零解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11a12a1 n b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把矩阵a21a22a2 n b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结as1as2asn bs可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为线性方程组 1的增广矩阵， 明显，用初等变换花线性方程组 1成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩
11、阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 解方程组2 x14 x12 x1x2 2 x2 x23x315x34 .4x30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结213121312131解:42540012002140001100从最终一行可以看出原方程组无解 . 2 n 维向量空间一 授课内容： 2 n 维向量空间二 教学目的： 懂得和把握 n 维向量空间的概念，把握两种运算及八条运算律三 教学重难点： n 维向量空间的概念 .四 教学过程：定义 2所谓数域 P 上一个 n 维向量就是由数域 P 中1201n 维向量n 个数组序数组a1 ,a 2 , anai 称为向量
12、 1的重量 .定义 3假如 n 维向量应重量都相等，即aibii就称这两个向量是相等的，记作定 义4向 量a1a1 , a21,2,b1, a, an,n .2b2 , ，, anbbn1, b2 ,称空间的成的有1, bn 的对为 向 量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1, a2 , an ，b1,b2 ,bn 的和，记为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由定义立刻推出1交换律 ：.2结合律 ：.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 5重量全为零的向量0,0,0 称为 零向量 ，记为 0，向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可
13、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 ,a2 ,an 称为向量a1, a2 , an 的负向量，记为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显对于全部的，都有0,0 .定义 6 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 7设 k 为数域 P 中的数， 向 量ka1, ka 2, kan 称为向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1, a2 , an 与数 k 的数量乘积 ，记为 k.由定义立刻推出kkk kl klklkl1定义 8以数域 P 中的数作为重量的 n 维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P 上的
14、n 维向量空间 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量通常是写成一行a1 ,a 2 , an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 a2有时候也可以写成一列an前者称为 行向量，后者称为 列向量 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 线性相关性一 授课内容： 3 线性相关性二 教学目的：懂得和把握以下概念：线性组合、线性表出、线性相关、线性无关、极大线性无关组、向量组的秩.三 教学重难点： 线性相关与线性无关的概念 .四 教学过程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 9向量 称为向量组1 ,2 ,s 的一个线性组合 ，假如有数域
15、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P 中的数k1 ,k 2, ks ，使 = k11k22kss .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结任何一个 n 维向量 都是向量组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11,0,2 0,1,n0,0,0,0,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的一个线性组合，由于a1 1a 22ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量 1 ,2,n 称为 n 维单位向量 .当向量 是向量组的一个线性组合时，我们
16、也说可以线性表出 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 10假如向量组1 ,2 ,t 中的每一个向量i i1,2, t 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结都可以由向量组1,2 ,s 线性表出，那么向量组1,2 ,t 就称为可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以由向量组1,2 ,s线性表出 , 假如两个向量组相互可以线性表出，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结它们就称为 等价.由定义知，向量组之间的等价有以下性质1. 反身性每一个向量组与它自
17、身等价 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 对称性假如向量组1,2 ,t 与1 ,2 ,s 等价，那么向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结组 1,2 ,s 也与1,2 ,t 等价.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 传递性假如向量组1,2 ,t 与1 ,2 ,s 等价，向量组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,2 ,价.,s 与1 ,2 ,t 等价，那么向量组1,2 ,t 与1,2
18、,t 等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 11假如向量组1,2 ,s s2 中有有一向量可以经其余可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的向量线性表出，那么向量组1 ,2 ,s 称为线性相关的 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显，由于零向量可以被任一个向量组线性表出， 那么任意一个包含零向量的向量组必线性相关 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 11向量组1 ,2 ,s s1称为线性相关，假如数域P 中可编辑资料 - - - 欢迎
19、下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不全为零的数k1, k 2, ks ，使k11k22k ss0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 12一向量组不线性相关，即没有不全为零的数k1, k2 , ks ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使 k11k22kss0 就称 为 线 性 无 关 ， 或 者说 ， 一向 量 组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 ,2,s 称为线性无关
20、，假如由k11k22kss0 可以推出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k1k2k s0 .由定义立刻得出， 假如一向量组的一部分线性相关， 那么这个向量组就线性相关 . 换个说法，假如一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显，由 n 维单位向量1 ,2,n 组成的向量组是线性无关的 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 2设1,2,r 与1,2 ,s 是两个向量组，假如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢
21、迎下载精品名师归纳总结1) 向量组1 ,2 ,r 可以经1 ,2,s 线性表出 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2) rs .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么向量组1,2 ,r 必线性相关 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 1假如向量组可以经1 ,2 ,s 线性表出，且1 ,2 ,r 线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性无关，那么 rs .推论 2任意 n1个 n 维向量必线性相关 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 3 两个线性无关的等价向量组，必含
22、有相同个数的向量 .定义 13 一向量组的一个部分组称为一个 极大线性无关组 ，假如这个部分组本身是线性无关的， 并且从这个向量组中任意添一个向量 假如仍有的话，所得的部分向量组都线性相关 .明显，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价， 向量组的两个极大线性无关组是等价的 .定理 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量 .定义 14向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.由定义立刻得出， 一向量组线性无关的充分必要条件是它的秩与它所含向量的个数相同 .明显，等价的向量组有相同的秩.4 矩阵的秩一 授课内容： 4 矩阵的秩二 教学目的： 懂得和把握行秩、列秩、矩阵的
23、秩，把握矩阵的秩与k级子式的关系，会求矩阵的秩 .三 教学重难点： 定理 4 的证明.四 教学过程：假如我们把矩阵的每一行看成一个向量， 那么矩阵就可以看作由这些行向量所组成的，同样的，假如我们把矩阵的每一列看成一个向量，那么 矩阵就可以看作由这些列向量所组成的 .定义 15所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩 .引理 假如齐次线性方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 x1 a21 x1a12 x2a22 x2.a1n xn0a2n xn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
24、总结的系数矩阵as1 x1as2 x2.asnxn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11Aa21a12 a22a1n a2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的行秩 sas1n ，那么它有非零解 .as2asn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 4矩阵的行秩与列秩相等 .由于矩阵的行秩与列秩相等，所以下面就统称为矩阵的秩 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 5nn 矩阵Aa11 a21a12 a22a1n a2n可编辑资料 - -
25、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1an2ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的行列式为零的充分必要条件是A 的秩小于 n .推论 齐次线性方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 x1 a21 x1a12 x2a22 x2.a1n xn0a2n xn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1 x1an 2 x2.ann xn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
26、名师归纳总结a11 a21Aa12 a22a1n a2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的行列式等于零 .an1an2ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义 16在一个 sn 矩阵 A中任意选定 k 行和 k 列，位于这些选定的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结行和列的交点上的k 2 个元素按原先的次序所组成的kk 矩阵的行列式，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为 A 的一个 k 级子式.定理 6一矩阵的秩是 r 的充分必要条件为矩阵中有一 r 级子式不为零，同时全部的 r1级子
27、式全为零 .怎样运算矩阵的秩， 可以用初等变换化矩阵为阶梯形矩阵， 其中非零行的数目就是原矩阵的秩 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 5 线性方程组有解的判定定理一 授课内容： 5 线性方程组有解的判定定理二 教学目的：懂得和把握线性方程组有解判定定理，利用克兰姆法就写出一般解三 教学重难点： 判定定理的证明 .四 教学过程：a11a21as1a12a22as 2a1na2nasna11a12a1na21a22a2nas1as2asn线性方程组有解的判定定理线性方程组 1有解的充分必要条件为它的系数矩阵A与增广矩阵b1 b2Abs有相同的秩 . 6 线性方程组解的结构一 授课
28、内容： 6 线性方程组解的结构二 教学目的：懂得和把握基础解系的概念，把握方程组解的性质， 把握一般线性方程组解的结构.三 教学重难点： 基础解系，解的结构 .四 教学过程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于齐次线性方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 x1 a21 x1a12 x2 a22 x2.a1n xn0a2nxn01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结as1 x1as2 x2.asn xn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结它的解构成的集合具有下面两个重要性质：1.
29、两个解的和仍是方程组的解 .2. 一个解的倍数仍是方程组的解 .综上，解的线性组合仍是方程组的解 .定义 17齐次线性方程组 1的一组解个基础解系 ，假如1,2 ,t 称为 1的一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11的任何一个解都可以表示为1 ,2 ,t 的线性组合 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 1,2 ,t 线性无关 .定义 7在齐次线性方程组有非零解的情形下，它有基础解系，并且它所含解的个数就等于nr ，这里 r 表示系数矩阵的秩 . 以下将看到，nr 也是自由未知量的个数由定义简单看出， 任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系
30、.对于一般的线性方程组：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 x1 a21 x1a12 x2 a22 x2.a1n xnb1a2n xnb29可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结as1 x1as2 x2.asn xnbs可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如把常数项换成零，就得到齐次线性方程组1，方程组 1称为方程组 9的.方程组 9的解与它的导出组 1的解有亲密的关系： 1方程组 9的两个解的差是它的导出组1的解.2方程组 9的一个解与它的导出组 1的一个解之和仍是这个线性方程组的一个解 .由这两点
31、简单证明定理 8假如 0 是方程组 9的一个特解，那么方程组 9的任一个解 都可以表成010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中是导出组 1的一个解 . 因此，对于方程组 9的任一个特解0 ，当取遍它的导出组的全部解时， 10就给出 9的全部解 .推论 在方程组有解的情形下， 解是唯独的充分必要条件是它的导出组1只有零解 .例 用消元法解方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x13x25x34x51可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x12x22x3x4x53.x14x2x3x4x53x12x2x32x4x56x13x22x32x4x51可编辑资料 -
32、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 把向量组表示为向量组1 ,2 ,3,4 的线性组合：1,2,1,1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11,1,1,1 ， 21,1,1, 1 ,31,1,1,1 ,41,1, 1,1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 证明 假如向量组1,2 ,r 线性无关，而1 ,2 ,r ， 线性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相关，就向量可以由1 ,2 ,r 线性表出 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 设 t1, t2 ,t