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1、高考数学必考点总结高中数学第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件.考试要求：(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示些简 单 的 集 合.(2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.01.集合与简易逻辑知识要点一、知识结构：本章知识主要分为集合、简 单 不 等 式 的 解 法(集 合 化 筒)、简易逻辑三部分：集合知或他学座用1.值不E M嘛;2.1 M M1.IV单命黑也
2、合基；2.fiM IE C R港式；2.克现条件.二、知识回顾：集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为Z 工 4；空集是任何集合的子集，记为g A：空集是任何非空集合的真子集；如果1 4 a 8,同时8 a ,那么Z=8.如果N qB,B三C,那么N q C.注:Z=整数 (J)Z=全体整数 (X)已知集合S 中/的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.(X)(例：S=N；A=N+,则 GA=0)空集的补集是全集.若集合”=集合 5
3、,则 C f t 4=0,C/=0 Q（C =（注：cw=0）.3.（D （x,y）I孙=0,x G R,y G R 坐标轴上的点集.（x,y）0,x ER,y&R 一、三象限的点集.注:对方程组解的集合应是点集.例：尸 尸 3解的集合 1）.2x-3y =1点集与数集的交集是。.（例：A=（x,y）|y=x+l B=y y=x2+1则/08=0）4 .个元素的子集有2 个.个元素的真子集有2 -1个.个元素的非空真子集有2 -2 个.5 .一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题O逆命题.一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题=逆否命题.例：若a +b=5,则”2 或b丰3 应
4、是真命题.解：逆否：a =2且 6 =3,则 a+b =5,成立，所以此命题为真.x#1 且y#2,A x +尸 3.解：逆否：x+y =3 x =1 或y=2.“片1 且 二2 书丫 +、#3,故+y二3 是;（:二1 且 工2 的既不是充分，又不是必要条件.小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3 .例：若 x M 5,=x 好 5 或x Y 2 .4 .集合运算：交、并、补.交：/|）8 =3 8 /,月/团并：=x|x e 4 或x e 团补：Q A o x G U,SL x i A 5 .主要性质和运算律（1）包含关系：A 工 Z,c c U,QjA q U,B,B ,C =A C;
5、A C B A,A C B A,A J B B.（2）等价关系：18oZn8=Z =/U8=8=G U 8 =（3）集合的运算律：交换律：AnB=BH A;AU B=B U A.结合律：（/n8）nc=4n（8nc）；（/UB）uc=zu（8Uc）分配律：.zn（8Uc）=（zn B）u（/n c）；zu（8n c）=（4U8）n（/uc）o-i 律：n z=，Uz=4un z=4UUz=。等幕律：ACA=A,AJA=A.求补律：A n G A=AU C,A=U CLU=CU=U反演律:C u(AAB)=(C u A)U (Q B)C l(AU B)=(GA)A(C t B)6.有限集的元素个
6、数定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记 为 car d(A)规 定 car d(6)=0.基本公式：cd(ZU8)=card(A)+card(5)-card(l)cardA U 8 U C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A yB)-card(B DC)-card(C D A)+card(ACBCC)(3)car d(v A)=car d(U)car d(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1 .整式不等式的解法根 轴 法(零点分段法)将不等式化为也(X-X I)(X-X 2)(x-x J 0(0”，则 找“线”在 x轴上方的区间；若不
7、等式 是“0(b解的讨论；一元二次不等式ax2+bo x 0 (a0)解的讨论.A 0 =0A 0)的图象1JX1=X2 X一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0 为勺根有两相异实根Xt,x2(xt 0m o)的解集卜,b X x w-2aRax2+6 x +c o)的解集卜昆 x 0(或1 o。/(x)g(x)()；2 0 Og(x)g(x),/(x)g(x)0g(x)丰 03 .含绝对值不等式的解法(1)公式法：麻+耳 c(c 0)型的不等式的解法.(2)定义法：用“零点分区间法”分类讨论.(3)几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4 .一元二次方程根的分布一元二次方程
8、ax2+bx+c=0 (aWO)(1)根 的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.(2)根 的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.(=)简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式:P或 q(记作“p V q”)；P且 q(记作“p A q”);非P (记作“1 q”)。3、“或”、“且”、“非”的真值判断(1)“非 P”形式复合命题的真假与F 的真假相反；(2
9、)“p且 q”形式复合命题当P与 q同为真时为真，其他情况时为假；(3)“p或 q”形式复合命题当p与 q同为假时为假，其他情况时为真.6否 一I麓上互逆舞镰原命题互 逆逆命题若p则q互为、*否逆若q则P互互否为逆丕否4、四种命题的形式：原命题：若 P则 q；逆命题：若 q 则 P;否命题：若r P则1 q；逆否命题：若r q贝 h P =(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.5、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题=
10、逆否命题)、原命题为真，它的逆命题不一定为真。、原命题为真，它的否命题不定为真。、原命题为真，它的逆否命题一定为真。6、如果已知pnq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。若p=q且q=p,则称P是q的充要条件，记为p O q.7、反证法：从命题结论的反面出发(假设)，引出(与已知、公理、定理)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。高中数学第二章函数考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性.反函数.互为反函数的函数图像间的关系.指数概念的扩充.有理指数基的运算性质.指数函数.对数.对数的运算性质.对数函数.函数的应用.考试要求：(1)了解映射的概念，理解函数的
11、概念.(2)了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法.(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求一些简单函数的反函数.(4)理解分数指数新的概念，掌握有理指数靠的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和性质.(5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质.(6)能 够 运 用 函 数 的 性 质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.02.函数知识要点一、本章知识网络结构：-在 义-F:A r B二、知识回顾：(-)映射与函数1 .映射与-映射2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定
12、作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.3.反函数反函数的定义设函数y =/(x)(x e%)的值域是C,根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=0(y).若对于y在 C中的任何一个值，通过x=(y),x在 A中都有唯一的值和它对应，那么,x=(y)就表示y 是自变量,x 是自变量y 的函数，这样的函数x=e(y)(y e C)叫做函数J=/(%)(X G /)的反函数，记 作 =/()，习惯上改写成y=fx)(-)函数的性质1 .函数的单调性定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值X i
13、,X 2.若当X 1 X2时，都有f(X)f(X 2),则说f(X)在这个区间上是减函数.若函数产f(X)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数产f(X)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性偶函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有-X)=f(X),那么函数f(X)就叫做偶函数./(X)是偶函数 o/(-.X)=/(A)O /(-.X)-/(X)=0 O 驶=l(/(.v)H 0)/(X)奇函数的定义：如果对于函数板)的定义域内任意一个X,都有f(-x)=-f(x)JP么函数f(X)就叫做
14、奇函数./是奇函数 O/(T)=-/(.t)O /(T)+/(X)=0 O 缤=-l(/(x)/0)正 确 理 解 奇、偶 函 数 的 定 义。必 须 把 握 好 两 个 问 题：(1)定 义 域 在 数 轴 上 关 于 原 点 对 称 是 函 数/(X)为奇函 数 或 偶 函 数 的 必 要 不 充 分 条 件；(2)-x)=/(x)或/(-X)=-/(x)是 定 义 域 上 的 恒 等 式。2 .奇 函 数 的 图 象 关 于 原 点 成 中 心 对 称 图 形，偶函数的 图 象 关 于，轴 成 轴 对 称 图 形。反 之 亦 真，因 此，也可 以 利 用 函 数 图 象 的 对 称 性
15、去 判 断 函 数 的 奇 偶 性。3.奇 函 数 在 对 称 区 间 同 增 同 减；偶 函 数 在 对 称 区 间 增减性相反.4.如 果/(x)是 偶 函 数，则 x)=/(|x|),反 之 亦 成 立。若 奇 函 数 在x=0时 有 意 义，则 0)=0。7.奇函数，偶函数：偶函数：/(-x)=/(x)设(0,6)为偶函数上一点，则 s 也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于y轴对称，例如：y =x2+l 在0,T)上不是偶函数.满足/(-x)=/(x),或，r)-/(x)=O,若x)xO 时,俳 4 =1.f(-x)奇函数：r)=-f(x)设(a,b)为奇函数
16、上一点，则 也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：y =x3 在口,_ 1)上不是奇函数满足/(T)=-/(X),或洒-x)+f(工)=0,若 f(x)#0 时,-=-1.f(-x)8 .对称变换：y=f(X)剂-y =/(-x)y=f(x)y =-f(X)y=f(x)y=-f(-x)9 .判断函数单调性(定义)作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：/(占)-七)=而方-而7=户 一 攵 丝+1&+&+庐在进行讨论.1 0 .外层函数的定义域是内层函数的值域.X例如：已知函数/(x)=l+的定义域为儿 函 数 (x)的定义域是8,则集合4 与1-x集
17、合B老吟的关系是.解：/(x)的值域是/(/(x)的定义域B ,f(x)的值域e R，故而/=x|xr l,故 B n N.1 1 .常用变换：f(x+y)=o f(x-y)=f(y)证：f(x-y)=f(x)=f(x-y)+y =f(x -y)f(y)f W/(-)=/(x)-,f(y)o ,f(x-y)=f(x)+f(y)yY Y证：/(x)=/(-y)=/()+f(y)y y1 2 .熟悉常用函数图象：例：y =2.f|x|关于y轴对称.y =|2.d +2 x-1 1 *3 关于 x 轴对称.例：y =+1=2 H n 定义域 x|x 片 3,x e A，x-3 x-3熟悉分式图象：、
18、对数函数y=Ioga X的图象和性质:对数运算：logq(M N)=log。M+log”NMlog.=log“M-log。N10gq AT=lOgq(土 A/)ogayM=-ogaMnJ o g N =N换底公式：log。N=3 叱log/,。推论：loga b-log；,c logc a=1n log%为 Jog%log%-%=log%（以上 M O,N A O,aO,a，l,bA O,bHl,c A O,c H l,a ,a2.an 0 且 H 1）注：当a b Y O 时，l o g(a-h)=l o g(-a)+l o g(-/).(5)在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数
19、：当时，取“+”，当是偶数时且A/YO时，”0,而A/YO,故 取“一”.例如：1 0 g a x2 w 2 1 0 g a X：(2 1 0 g a X 中 x 0 而 l o g”一 中 x GR).(2)y =a*(t z 0,0,a 0,aH l,b 0,bw l,c0,cH ,ai,a2.an A 0且 H 1)注(1)：当a,Z Y 0 时，l o g(a 6)=l o g(-a)+l o g(-b).：当时.，取“+”，当是偶数时且MYO时，ATM,而MYO,故 取“一”.例 如:1 0 8小22 k g a X T(2 k g X 中。0 而 l o g。/中 x WR).(2
20、)y =ax(a 0,a x l)与 y =l o g“x 互为反函数.当 今】时，y=l o g”x的a值越大，越靠近x轴；当O Y a Y l时，则相反.(2).函数表达式的求法：定义法；换元法；待定系数法.反函数的求法：先解X,互换x、y,注明反函数的定义域(即原函数的值域).函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为分母不为0；偶次根式中被开方数不小于0；对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;零指数帚的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等.函数值域的求法：配方法(二次或四次)：“判别式法”；反函数法；换元法；不等式法；函数的
21、单调性法.(6).单调性的判定法:设X 1,X 2 是所研究区间内任两个自变量,且X 1 2)-q -q重 要 性质a,+a=ap+aq(m,n,p,q&N*,m+n=p+q)a胆 an=ap。(八 加，叫p,q w N*,m+n=p+q)等差数列等比数列定义。为Z P o an+x-an=d(常数)4 为G.Po4 =4(常数)*通项公式%=%+(n-l )(!=%+(n-k)d=d +Q -d 一 1 n-ka n=a、q=akq求和公式=g2 +(/_ s“=(q=1)=%a,q 丰、-q -q中项公式,.，Aa+b.A-2 推，：2%-%,+限G?=a b。推广：a,2=a_m x a
22、n+m1 质1若 m+n=p+q 贝 ij am+an=ap+aq若 m+n=p+q,则 aman=apaq=2若 h 成 A.P (其中“w N)则 为 也为A.P o若 氏,成等比数列（其中院等）,则 氏J 成等比数列。3 s,s2 n-sn,s3-s2 成等差数列。s“，s2n-s ,s3 n-s2n 成等比数列。4a-a,a ad=-L=-(m W )n-1 m-nq_i,q.-m=4_a 0mw n)5看数列是不是等差数列有以卜一三种方法：4“一即_ 1 =（2:2,4为常数）2 4“=a+|+a_!（n2）a.=kn +b （n,k 为常数）.看数列是不是等比数列有以下四种方法：a
23、=2 2,夕 为常数，且 X 0）淄=册+i（“2 2,aan+a_t*0 注：i.b =4ac ,是 a、6、c 成等比的双非条件，即，=7 =、b、c 等比数列.ii.b =&（ac0）一为a、b、c 等比数列的充分不必要.iii.b=疝 一 为 a、A c 等比数列的必要不充分.iv.b =且ac A Q f为a、6、c 等比数列的充要.注意：任 意 两 数 如 c 不一定有等比中项，除 非 有 农 0,则等比中项一定有两个.=c qn（c,q为非零常数）.正数列 册 成等比的充要条件是数列 log,。”（XA1）成等比数列.$1=%（=1）数列%的前项和5“与通项a”的关系：=,注:,
24、=%+（-/=（%7/）可为零也可不为零一为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）一若d 不为0,则是等差数列充分条件）.等差%前n项和5“=/2+即=（|2+,|一葭可以为零也可不为零一为等差的充要条件f 若d 为零，则是等差数列的充分条件；若 4 不为零，则是等差数列的充分条件.非等常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2.等 差 数 列 依 次 每k项 的 和 仍 成 等 差 数 列，其 公 差 为 原 公 差 的 F倍Sk，s?k _ Sk，s 3k-s 2k；若等差数列的项数为2n n w N*）,则 S 偶一5 奇=n d,善=.3 偶 an+若等
25、差数列的项数为2 -l(cN+),则S 2”T=(2-l)a，且S奇-S偶生=_S 网 w 1n 代入到2 -1得到所求项数.3.常用公式：1+2+3+=血 凶2 12 +2 2 +3 2 +M=巡 臼 色 里)6尸+2 3+3 3 注:熟悉常用通项：9,9 9,9 9 9,.=o =10n-l；5,5 5,5 5 5,.=a =-|(10n-1).4 .等比数列的前项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为0,年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为1 +r.其中第年产量为a(l +r)T,且过年后总产量为：a +a(l +r)+a(I +r)2 +.+a(l
26、 +r)n-1=十Ll-(l +r)银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存。元，利息为r,每月利息按复利计算，则每月的。元过个月后便成为。(1 +厂)元.因此，第二年年初可存款：a(l +r)12+a(l +r)+a(l +r)10+.+a(l+r)=*+/一 +)-.l-(l +r)分期付款应用题：。为分期付款方式贷款为4元；机为m个月将款全部付清；为年利率.a(l +r)m=x(l +r)i +xQ+r)m2+x(l +r)+x=(l +r)m=+=x=(1了)r(l +r)m-15 .数列常见的几种形式：W an+2=p an+c/a(/?,q为二阶常数)-用特证根方法求解
27、.具体步骤:写出特征方程X?=Px +q(X2对应。”+2，X对应。”+1 ),并设二根毛,工2若X|W X2可设a“.=q x；+C 2 X；,若盯=盯可设。“=(。|+。2 口；山初始值由必 确 定,心.%=为“_ +8、r为 常 数)-用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数转化为。“+2=尸%+1+抑”的 形 式,再 用 特 征 根 方 法 求*=C i+C 2 3入(公式法)，CitC2由臼,。2确定.转化等差，等比：a+x =P(an+x)=an+x=Pa+Px-x=x=.p 选代法：an=Pan_+r =P(Pan_2+r)+r=(a,+=(a+x)P-xP P =P L I+P
28、”2+P r+r.用特征方程求解：a=pan+r,相减，n aw+1-an=Pan-Pan_=an+l=(P+1)an-Pan_.由选代法推导结果：C|=一，2=%+二一，a,=c2Pn-+c=（a+）1 p p 1 p p6.几种常见的数列的思想方法：等差数列的前项和为s“，在 dYO时，有最大值.如何确定使s“取最大值时的值，有两种方法：一是 求 使 2 0,。“+1 Y 0,成立的值；二是由5“=5 2+（%-?）利用二次函数的性质求的值.如果数列可以看作是一个等差数列与个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：11,3工,2 4 2两
29、个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差小的最小公倍数.2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：（1）定义法:对于n2 的任意自然数,验 证an-a A 2-）为 同 一 常 数。（2）通 项 公 式 法。（3）中 项 公 式 法：验 证2。”+1 =%+*（力+i =44+2）e N 都成立。am 03.在等差数列%中，有关S n 的最值问题：（1）当%o,d v o 时，满足1 的项数m 0 时，满足 am 0的项数m使得外取最小值。在解含绝4+1 2 0对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用。（三）、数列求和的
30、常用方法1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于 一 其 中%是各项不为0的等差数列，c为常数；部anan+,分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于脑力“其中%是等差数列，也,是各项不为0的等比数列。4 .倒序相加法：类似于等差数列前n 项利公式的推导方法.5 .常用结论、n（n+1）1）:l+2+3+.+n=-22）l+3+5+.+（2n-l）=w223)I3+23+-+W3=|n(n +l)4)I2+22+32+-+n2=-(/7+1)(2H+1)6111 11/1、5)-=-=-(-)(%+1)n +1 n n+2)2 n 力+2
31、6)=-(-)(P (1p q q -p p q高中数学第四章-三角函数考试内容：角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.两角和与差的正弦、余弦、正 切.二倍角的正弦、余弦、正切.正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数产A s in(3x+)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角.正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.考试要求：(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算.(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导
32、公式；了解周期函数与最小正周期的意义.(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.(4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会 用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数尸A s in(3x+4)的简图，理解A.3、的物理意义.(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号a r cs i nx a r c-cos x a r ct a nx 表示.(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.(8)“同角三角函数基本关系式：s i n2 a +cos 2 a =1,s i
33、n a /cos a =t a n a ,t e n a *cos a =1w.04.三角函数知识要点1.与 a (0。$a V 360。)终 边 相 同 的 角 的 集 合(角 a与 角/?的 终 边 重 合)：加|/=%x 360。+a,%e z 终边在x轴上的角的集合：（/?|/?=A-x l80 0,*e z 终边在y轴上的角的集合：物|夕=心1 80。+90。/e Z终边在坐标轴上的角的集合：物R =x 90，e z 终 边 在 尸 轴上的角的集合：物|夕=1 80+45,丘 z 终边 在 尸-x 轴上的角的集合：物|=%X18(T-45,%G Z若角a与角月的终边关于x轴对称，则角
34、a与角力的关系：a=360 k-/3若角a与角尸的终边关于y轴对称，则角a与角力的关系：a =360 7+1 80 -6若角a与角/?的终边在条直线上，则角a与角/7的关系：a =I 80*+角a与角的终边互相垂直，则角a与角的关系：a =360 Z +690 2.角度与弧度的互换关系：360=2 万 1 80。=1=0.0 1 745 1=57.30=571 8注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式：1 理(1=咽 弋 57.30 =57 1 8.1 0 =2 0.0 1 745(r a d)n1803,弧长公式：/=|a”.扇形面积公式：s 扇
35、形=；=；|a|,/6、三角函数线正弦线：M P;余弦线：0 M;A T.7.三角函数的定义域：16.儿个重要结论:i E切线:三角函数定义域f(x)=sinrx|x e/?/(x)=cosxx I x e/?)/(x)=tanxjx|x e 火.旦 x w左 左+；九 ，左 z/(x)=cotxx|x e R且x 丰 k?v,k eZ/(x)=secx|x G RUx H ATT+；乃,%e Zf(x)=esexx|x G R且x 工 ki,k eZ8、同角三角函数的基本关系式：酗=t a n a史丝cos a sin atana cota=1 csca sina=1 seca cosa=1
36、sin2 +cos2 a=1 sec2 c r-tan2 a=1 esc2 a-c o 2 a=9、诱导公式:把 。的三角函数化为a的三角函数，概括为:2“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：(一)基本关系公式组一公式组二公式组三sinx cscx=l tanr=sinx.2 L 2 1-sin x+cos x=lsin(2Z:+x)=sin xsin(-x)=-s in xcosxcos(2A：+x)=cos Xcos(-x)=cos Xcosx secx=l cotx=C O S X,2 2 1 +tan x=sec xtanQ hr+x)=tan xtan(-x)=-tan xtan
37、x cotr=l1 +cot2x=csc2xcot(2%;r+x)=cot xcot(-x)=-cot X公式组四公式组五公式组六sin(4+x)=-sin xsin(2 乃-x)=-sin xsin(乃 一 x)=sin xcos(乃 +o)=_ cos Xcos(2-x)=cos xcos(4一 x)=-c o s xtan(乃 +x)=tan xtan(2乃-x)=-tan xtan(-x)=-tan xcot(乃 +x)=cot Xcot(24-x)=-cot xcot(-x)=-cot X(-)角与角之间的互换公式组一公式组二cos(a+夕)=cos a cos -sin a sin
38、 p sin 2a=2 sin a cos acos(a-/7)=cos a cos/?+sin a sin pcos 2a=cose a-s in2 a =2cos2 a-1 =1 -2 sin2 asin(a+)=sin a cos 0 +cos a sin 0_ 2 tan atan la =-1 -ta rr asin(a-/7)=sin a cos P-cos a sin p.a ,/1-co sasin =J-2 V 2/八、tan a +tan tan(a+/3)=-1 -tan a tan(3a ,1 +cos acos =J-2 V 2tan(a-p)=tan -tan/?1
39、+tana tan pa,(1-cosa sin a 1-cosatan =J-=-=-2 V l+cosa 1 +cos a sin a公式组三公式组甲公式组五2tansin cos P=sin(a+/?)+sin(-/7)A、cos(7r-a)=sin a2cos a sin p =；sin(a+/7)-sin(a-/?)1 2 a1 +tan 2sin(7 r-a)=cos acos a cos 4=cos(a+y?)+cos(a-/7)21-tan2 sin a sin 0 =-ycos(a+)-co s(a-/7).n-a+B ct Psin cr+sin p=2 sin-cos-2
40、 2A、tan(7 i-a)-cot a,2 al+tan 2A、cos()+a)=sm a1 n o a +夕.a psin cr-sin p=2 cos-sin-2 tan2 2tan(一乃 +a)=-c o ta2八 c a+B a-Bcos a+cos p=2 cos-cos.-21 4 2 a2 211-tan2.a+p .a-pcos a-cos B-2 sin-sm-2 2sin(乃 +a)=cos asin 15=cos 75=近一4 sin750=cos 15=后+.tan 15。=cot 75=2-V3,tan 75=cot 15=2+VJ 41 0.正弦、余弦、正切、余切
41、函数的图象的性质:/y=sin xy=cosxy=tan xy=cotxy=/sin(3 +)(A、(D 0)定义域RRx e/?正工4;r+；;r,Aezx|x Rjlx*k4,k e zR值域-1.+1-1+1RR一 A,A周期性242万71712)co奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当0#0,非奇非偶当e=o,奇函数单调性-+2左 乃，5 +2左 万 上 为 增 函数；+2k 兀,+2 上 为 减 函数(k w Z)(2&-1)乃,.2k4 1上 为 增 函数2E,(2A+1上 为 减 函数(k e Z)-+k 7 c,-+k7r上 为 增 函 数(*e Z )(无 九,(k+1)乃)上为
42、减函数(k w Z)24乃-(p(，co 12k冗+一 九 一cp(T)_ (0 上为增函数；“兀24万+(p-2-，(O 32k冗+一 兀 一(p-1(Y)(0上 为 减 函 数(JteZ)注意：（T）y=-s in x y=sin x的单调性正好相反；y=-c o s x与歹=cosx的单调性也同样相反.一般地，若y=/（x）在 向上递增（减），则y=-/（x）在 以句上递减（增）.了=而乂与y=|cosx|的周期是乃.27ry=sin（&w+夕）或y=cos（m +夕）（w*0）的周期T=L.网y=ta n E的周期为2%（T=、T=2 Z如图，翻折无效）2|。|=sin(ur+0)的对
43、称轴方程是 x=乃+(A e Z),对称中心(k rtfi)：y=cos(uv+y=-cos(-2x)=-cos2x当 tana-tan/?=1,a+,=上 万 +(4 e Z)；tana,tan4=-1,a-夕=4%e Z).y=cos x与y =sin(x+生+2 k.是同一函数，而y =(x+夕)是偶函数，则y=(&w+夕)=sin(zuv+k7t+-7r)=cos(ftw)函数歹=ta n x在H上为增函数.（x）只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，y =ta n x为增函数，同样也是错误的.定 义 域 关 于 原 点 对 称 是 具 有 奇 偶 性 的 必要不充分条件.（奇偶
44、性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：/（-x）=/（x）,奇函数：/（-）=-f（x）奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y =ta n x是奇函数，y=tan（x+1 m是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若O e x的定义域，则/（x）一定有o）=o.（0 x的定义域，则无此性质）卜=sin|X不是周期函数；9=卜八目为周期函数（7=乃）；y=cos|x|是周期函数（如图）；y=|cosx为周期函数QT=冗厂85用 图 戳y=cos2x+的周期为万（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：2y -f(x)=5=f(x +k),k
45、e R.y=a cos a+bsin J3=y/a2+b2 sin(a+夕)+cos(p=有 yla2+b2|y|.11、三角函数图象的作法:1）、几何法：2）、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.3）、利用图象变换作三角函数图象.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.函数y=A si n （3x+（p）的振幅|A|,周期频率/_ 回，相位3 +初相Q（o T 2n（即当x=0时的相位）.（当 A 0,30时以上公式可去绝对值符号），由丫=以政的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|1）或缩短（当 0|A|1）到原来的|A|倍，得
46、到 y=A si n x的图象，叫做振幅变换或叫沿y 轴 的 伸 缩 变 换.（用y/A 替换y）由y=si n x的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0 1）到原来的山倍，得到y=si n a x 的图象，叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换.（用 3 x替换X）由y=si n x的图象上所有的点向左（当（p 0）或向右（当 p 0）平行移动I 0）或向下（当 b V O）平行移动I b I 个单位,得到y=si n x+b 的图象叫做沿y 轴 方 向 的 平 移.（用 y+（-b）替换y）由 y=si n x的图象利用图象变换作函数y=A si n （3x+0,0）（x G R）的图
47、象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。4、反三角函数：函数y=si n x,卜 年 _ 工）的反函数叫做反正弦函数，记作y=a rc si n x,它的定义域是 1,函数y=c o&x,（x G 0,万）的反应函数叫做反余弦函数，记 作 y=a rc c o sr,它的定义域是-1,门，值 域 是 0,.函数y=ta n x,卜,三工）的反函数叫做反正切函数,记作y=a rc ta n x,它的定义域是（一 ,+）.值域是二 三）.函数=以&:,xG （0,乃）的反函数叫做反余切函数，记作了=2 1 戊然，它的定义域 是（一8,4-0 0）,值 域
48、 是（0,万）.H.竞赛知识要点一、反三角函数.1.反三角函数：反正弦函数y=a rc si n x 是奇函数，故a rc si n（-x）=-a rc si n x,x e -l,l （定要注明定义域，若xe(_ 8,+8),没有x与y一对应，故 =5出不无反函数)注：si n(a rc si n x)=x,x G -1,1 ,a rc si n x G _ 2 2 _反余弦函数 y=a rc c o sx 非奇非偶，但有 a rc c o s(-x)+a rc c o s(x)=+2kjr ,x G -1,1 .注：c o s(a rc c o sx)=x ,X G-1,1 a rc c
49、o sx G 0,.y=c o sx是偶函数，y=a rc c o sx非奇非偶，而y=si n x和歹=a rc si n x为奇函数.反正切函数：y=a rc ta n x，定义域(一8,+8),值 域(1,),y=a rc ta n x是奇函数，a rc ta n(-x)=-a rc ta n x，X G (-0 0,4-0 0).注：ta n(a rc ta n x)=x,x G (-0 0,4-0 0).反余切函数：y =ar c c ot X,定义域(y,+o o)，值 域(一,歹=a rc c o tx是非奇非偶.ar c c o t(-x)+ar c c o t(x)=4 +2
50、k九,X e (-0 0,+0 0).注：c o t(6?rc c o t x)=x,X G (一0 0,+8).=a rc si n x 与 y=a rc si n(l -x)互为奇函数，y=a rc ta n x 同理为奇而 y =a rc c o s x 与 y =ar c c o t x非奇非偶但满足 a rc c o s(-x)+a rc c o s x =乃 +2左 乃,x e -l,l a rc c o tx+ar c c o t(-x)=+2ki,XG -1,1 .正 弦、余弦、正切、余切函数的解集：。的 取 值 范 围 解 集 si n x=Q的解集a|1 0=1 x|x=2