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1、-1-【命中考心】2013高考数学必考点之圆的方程 3 例 11 求经过点)5,0(A，且与直线02yx和02yx都相切的圆的方程分析：欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上解：圆和直线02yx与02yx相切，圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02yx和02yx的距离相等5252yxyx两直线交角的平分线方程是03yx或03yx又圆过点)5,0(A，圆心C只能在直线03yx上设圆心)3,(ttCC到直线02yx的距离等于AC，22)53(532tttt化简整理得0562tt解得：1t或5t圆心
2、是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55所求圆的方程为5)3()1(22yx或125)15()5(22yx说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法典型例题十二例 12 设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02yxl：的距离最小的圆的方程-2-分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程满 足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便
3、可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程解法一：设圆心为),(baP，半径为r则P到x轴、y轴的距离分别为b和a由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，故圆截x轴所得弦长为r2222br又圆截y轴所得弦长为2122ar又),(baP到直线02yx的距离为52bad2225badabba4422)(242222baba1222ab当且仅当ba时取“=”号，此时55mind这时有1222abba11ba或11ba又2222br故所求圆的方程为2)1()1(22yx或2)1()1(22yx解法二：同解法一，得52bad-3-dba5
4、22225544dbdba将1222ba代入上式得：01554222dbdb上述方程有实根，故0)15(82d，55d将55d代入方程得1b又1222ab1a由12ba知a、b同号故所求圆的方程为2)1()1(22yx或2)1()1(22yx说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？典型例题十三例 13 两圆0111221FyExDyxC：与0222222FyExDyxC：相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧解：设两圆1C、2C的
5、任一交点坐标为),(00yx，则有：0101012020FyExDyx0202022020FyExDyx得：0)()(21021021FFyEExDDA、B的坐标满足方程0)()(212121FFyEExDD方程0)()(212121FFyEExDD是过A、B两点的直线方程又过A、B两点的直线是唯一的-4-两圆1C、2C的公共弦AB所在直线的方程为0)()(212121FFyEExDD说明：上述 解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程
6、的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识它的应用很广泛典型例题十四例 14已知对于圆1122yx上任意一点yxP，不等式0myx恒成立，求实数m的取值范围解：运用圆的参数方程，设P的坐标为sin1cos，20，即cosx，sin1y，0myx恒成立yxm恒成立即sin1cosm恒成立只需m大于等于sin1cos的最大值令14sin21sincossin1cosuu的最大值为1212m说明：在上述解法中我们运用了圆上点的参数设法采用这种设法的优点在于，一方面可以减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式从代数的观点看，这种设法的实质就是三角代换另外本题也可以不用圆的参数方程求解，本
7、题的实质就是求最值问题，方法较多但以上述解法较简典型例题十五例 15 试求圆sin2,cos2yx(为参数)上的点到点)4,3(A距离的最大(小)值分析：利用两点间距离公式求解或数形结合求解解法一：设P是 圆sin2,cos2yx上任一点，则)sin2,cos2(P所以-5-22)sin24()cos23(PAsin16cos12425)43arctan()sin(2029因为R，所以R，因此当1)sin(时，72029最大值PA当1)sin(时，32029最小值PA解法二：将圆sin2,cos2yx代入普通方程得422yx如图所示可得，AP1、AP2分别是圆上的点到)4,3(A的距离的最小值和最大值易知：31AP，72AP说明：(1)在圆的参数方程sin,cosrbyrax(为参数)中，),(baA为圆心，)0(rr为半径，参数的几何意义是：圆的半径从x轴正向绕圆心按逆时针方向旋转到P所得圆心角的大小若原点为圆心，常常用)sin,cos(rr来表示半径为r的圆上的任一点(2)圆的参数方程也是解决某些代数问题的一个重要工具