《2019年数学高考真题卷--全国Ⅱ卷理数（含答案解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年数学高考真题卷--全国Ⅱ卷理数（含答案解析）.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2019年普通高等学校招生全国统一考试-全国II卷理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.L 设集合力=x|A-5x 用 刈，6=x|x T0,则 8=A.(-8J)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,8)2.设 z=-3+2i,则在复平面内，对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3 .已知而=(2,3),前 b,则A.l n(a-6)X)B.3a|引7.设 a,户为两个平面,则。力的充要条件是A.。内有无数条直线与平行B .。内有两条相交直线与万平行C.。，平行于同一条直线D.。，垂直
2、于同一平面8.若 抛 物 线 的 焦 点 是 椭 圆 手 乃=1 的一个焦点，则p=3P VA.2 B.3 C.4 D.89.下列函数中，以子为周期且在区间(彳,三 单调递增的是A.fx=c o s 2 x B.fx=s in 2 xC.f(x)=c o s|x D.F(x)=s in|x|1 0.已知 a (0,y),2s in 2 a c o s 2 a 7-1,贝 lj s in a=A.1 Bg5 5C.叵 D.独3 51 1 .设厂为双曲线(a k X)的右焦点，。为坐标原点，以。尸为直径的圆与圆V货 与 交 于P,。两点.a2 b2若|阕=|刎，则 C的离心率为A.V 2 B.V
3、3 C.2 D.V 51 2.设函数/(%)的定义域为R,满足/X )2f(x),且当xG(0,1 时,f(x)w(x-l).若对任意xG S,加,都有 f(x)g则卬的取值范围是A.(-8,3 B.(-8,刍4 3c.D.(-)|二、填空题:本题共4小题,每小题5 分，共 20分.1 3 .我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有1 0个车次的正点率为0.97,有 20个车次的正点率为0.98,有 1 0个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为-1 4 .己知/1(X)是奇函数,且当x*4,bb,ra-.（1）证明：a,4 是等比数列，
4、a 4 是等差数列；求 a 和 4 的通项公式.2 0 .（1 2 分）己知函数/X x）=l nx-1（1）讨论/（X）的单调性,并证明/U）有且仅有两个零点；（2）设扬是/U）的一个零点，证明曲线尸I n x 在点/（扬,I n 就处的切线也是曲线ym,的切线.21.(12 分)己知点/(-2,0),庾2,0),动点材(力满足直线4 与掰的斜率之积为g记材的轨迹为曲线C.(1)求，的方程,并说明。是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P,0两点，点P在第一象限,/EJ_x轴,垂足为E,连接在并延长交。于 点G.(i)证明：AQG是直角三角形；(ii)求 面 积 的 最 大 值.(二)选考
5、题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4M:坐标系与参数方程(10分)在极坐标系中，。为极点，点 机 ，册)(。刈 在 曲 线C-.。乂s i n。上，直线/过点力(4,0)且 与 垂 直，垂足为2 当，时，求及/的极坐标方程；(2)当 在C上运动且P在线段犷上时,求夕点轨迹的极坐标方程.23.选修4 T:不等式选讲(10分)已知 fx)x-a x+x-2 (xa).(1)当a=l时,求不等式f(x)0的解集；(2)若xW(-J)时，/、(x)3 或 x2 ,B=x x 0 =x/x !,所以 AB=x xl,故选 A.2 .C【考查目标
6、】本题主要考查共朝复数及复数的几何意义，意在考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】由题意，得z=-3-2 i,其在复平面内对应的点为(-3,-2),位于第三象限，故选C.3 .C【考查目标】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算，意在考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】因为血业米=(1,L 3),所以，阮/刃 1 +(t-3)2=l,解得力玛所以前=(1,0),所 以 而 1+3 X 0 =2,故选 C.4 .D【考查目标】本题主要考查考生对背景材料的审读能力、逻辑思维能力、化归与转化能力、运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【
7、解析】由 缶 4=(加)答,得 缶 生=(吒)也 因 为a4 所 以 以 跨=(1 +。)乩得四史等堂(R+r)z rz R3(1+-)2(-)2 R R(l+a)z a2(1+a)23 a 得 3。公 器 即 3(,七赛,所以C 隘 R,故选D.5 .A【考查目标】本题主要考查样本的数字特征,意在考查考生分析问题和解决问题的能力，考查的核心素养是逻辑推理.【解析】记 9个原始评分分别为a,b,c,d,e,f,g,h,，(按从小到大的顺序排列)，易知e 为 7 个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.6 .C【考查目标】本题主要考查函数的性质，意在考查考生的逻辑思维
8、能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】通解 由函数y=l n x的图象(图略)知，当 O V a-ZK l 时，l n(a*)尻即才-6 见 故 C正确;当ba0时，/a/7。/,故 D不正确.故选C.优解 当 a=Q.3,b=-0.4 时，In (a-6)34,故排除 A,B,D.故选 C.【注意事项】特例法具有简化运算和推理的作用，适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法做选择题时,要注意以下两点:第一,取特例时应尽可能简单,有利于计算和推理；第二,若在某一特殊情况下有两个或两个以上的选项符合,则应选另一特殊情况再检验,直到剩余一个选项.7.B【考
9、查目标】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，意在考查考生的空间想象能力、逻辑思维能力，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、直观想象.【解析】对于A,。内有无数条直线与平行，当这无数条直线互相平行时，a与 可能相交,所以A不正确;对于B,根据两平面平行的判定定理与性质知,B正确;对于C,平行于同一条直线的两个平面可能相交,也可能平行,所以C不正确;对于D,垂直于同一平面的两个平面可能相交,也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的,所以D 不正确.综上可知选B.【方法总结】判定空间直线、平面间的位置关系主要有两种策略：(1)根据概念、定理、性质进行判定；(2)根据选
10、项给出的位置关系，联想相关的几何体(如正方体、正三棱柱等)模型进行直观判定.8.D【考查目标】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】由题意,知抛物线的焦点坐标为(今0),椭圆的焦点坐标为(土质,0),所以 酒,解 得 故 选D.9.A【考查目标】本题主要考查三角函数的图象与性质，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】A中，函数f(x)=/c os 2 x/的周期为；，当时,2 x e(g,幻，函数/X x)单调递增，故 A正24 2 2确;B中，函数f(x)-/s
11、 in 24的周期为:,当x G (p 时,2%e (y,n),函数f(x)单调递减,故B不正确;C中，函数f(x)p os/x/r os x的周期为2 “，故C不正确;D 中，A x)-s in/x/4S in X,X 由正弦函数图象知，在 x N O 和 x 0 时,f(x)均以2 n为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故 D 不正确.故选A.1 0.B【考查目标】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式,意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】由 2 s in 2 a =c os 2 a+1,得 4 s in a cos a
12、=1-2 s in a+1,即 2 s in a cos a =1-s in a.因为 a C(0,；),所以 c os a s i/a,所以 2 s in a l 一 s in 2 a=1-s in%,解得 s i n。弯,故选 B.【举一反三】三角函数求值常常与三角恒等变换相关,进行三角恒等变换时,要做到“三看”：（1）看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化；（2）看名，把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦,或把所有的弦转化为相应的切；（3）看式,看式子是否满足三角函数的公式.1 1.A【考查目标】本题主要考查双曲线的几何性质、圆与圆的位置关系，意在考查考生
13、的逻辑思维能力、运算求解能力，考查数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】首先求得以为直径的圆的方程,然后求得两圆相交弦所在直线的方程，由勾股定理求得,W.4 从而由/%/=/冰7 得到关于a,c的齐次方程,进而可求得双曲线C 的离心率.【解析】如图，由题意，知 以。尸为直径的圆的方程为（x）。/乌 ，将/歹=/记 为 式，-得24C则以用为直径的圆与圆人六才的相交弦所在直线的方程为X 与所以/阀/之 I a2-（y）2.由/尸0/=/加/,得2 小 2-（：）2=,整理得 c c-la=0,即 e /e,MR,解得 e=y/2,故选 A.【方法提炼】求双曲线的
14、离心率主要有两种方法：（D直接法,即根据已知条件直接求得a,c 的值，即可求得离心率；（2）齐次法,即根据条件建立关于a,c 的齐次方程,然后转化为关于离心率e 的方程求解.1 2.B【考查目标】本题主要考查函数的解析式、函数的图象、不等式恒成立问题，意在考查考生的逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算.【解题思路】首先根据已知条件依次得到在x e （0,1 附近的区间xG（-1,0,x G （1,2,xG 3 对应的函数解析式,然后按其规律画出函数的图象，再根据不等式恒成立的意义与函数图象的直
15、观性求得实数，的取值范围.【解析】当T GW0 时，则/V）当 16 2时,0?-1 在1,则 f（x）之/U-1)之(x-D (x-2);当 2 G W 3 时,0G-2 W 1,则 f(x)=2 f(xl)22 f(x-2)=22(A-2)(%-3),.由此可得F(x)=1(x +l)x,-l x 0,x(x-l)0 x 1,由此作出函数/X x)的图象,如图所示.由图可知当24W3时，令2 x-2)(X-2(x-l)(x-2),l%2,22(X-2)(X-3),2X 3,3)d 整理,得(3 X-7)(3 x 8)=0,解得月或月,将这两个值标注在图中.要使对任意x e (,加都有f(x
16、)号 必 有 后(即实数皿的取值范围是(口 ,故选B.【关键点拨】求解一个与已知函数相关的不等式恒成立问题时,主要有两种思考方向：(1)利用函数H x)的奇偶性与单调性将问题转化为普通的代数不等式的恒成立问题求解；(2)将不等式转化为两个函数图象位置关系问题,通过图象的直观性求解.1 3.0.9 8【考查目标】本题主要考查用样本估计总体，意在考查考生的数据处理能力、运算求解能力，考查的核心素养是数据分析、数学运算.【解析】经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为史汉 驾 鬻 产 丝0.9 8.14.-3【考查目标】本题主要考查函数的奇偶性，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的
17、核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】当xk时，r 0,乳57因为函数f(x)为奇函数，所以当才为时，f x)=-f(-x)和七所以A i n 2)=屋“=(，=8,所以,=_3.1 5.6百 【考查目标】本题主要考查余弦定理、三角形的面积公式，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力,考查方程思想,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】解法一 因为a=2 c,会6,6 ，所以由余弦定理6 2=a2+c-2 acco s 8,得X2 cXcco s；,得 c=2 遍，所以 a=4 低 所 以/笈的面积 s/acs i n B与X4 V 3 X2 M X singW V 3.解法二 因为
18、a=2 c,b=%,6 苫,所以由余弦定理 If=a+c-2 accos B,得 62=(2c)+c-2 X 2 c Xcco s y,得 c=2 V 3,所以a N V 3,所以a=l)+c,所以A-,所 以 的 面 积S与X2用X 6与V 3.【方法归纳】在解有关三角形的问题时,如果已知式子中含有角的余弦或边的二次式,通常考虑用余弦定理;如果已知式子中含有角的正弦或边的一次式,通常考虑用正弦定理.1 6.2 6 V2-1【考查目标】本题主要考查考生的运算求解能力、空间想象能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解析】依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后 6个面都在正方体的
19、表面上，且该半正多面体的表面由1 8 个正方形,8个正三角形组成,因此题中的半正多面体共有2 6 个面.注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x,则殍x+x 哼 x=l,解 得x E-,故题中的半正多面体的棱长为也-L1 7.【考查目标】本题主要考查空间直线与平面的位置关系、利用空间向量法求二面角，意在考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力、化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】(1)首先由已知条件推出64,平面AB B A,从而推出B G L B E,然后结合已知条件,利用线面垂直的判定定理即可使问题得证；(
20、2)以为坐标原点建立恰当的空间直角坐标系,然后求出相关点的坐标与相关向量,求得平面儆:与平面a G的法向量,最后利用向量的夹角公式求解即可.解：由 已 知 得,平 面AB B iA”B E u平面AB B泊“故B C1B E.又B E L E G,BG0圜=。所以比LL平面E B C.(2)由(1)知/应笈=9 0 .由题设知所以/曲2 5 ,故 AE=AB,AAt=2 AB.以为坐标原点，a的方向为x 轴正方向，/罚/为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,则 7(0,1,0),5(1,1,0),G(0,1,2),Ml,0,1),CB=(1,0,0),CE=(1,-1,1),西=
21、(0,0,2).设平面叱的法向量为nAx,y,z),则倡；:叫:U z =0,所以可取/2-(0,-1,-1).设 平 面 的 法 向 量 为 加 二（京,7 1,Z 1）,则所 以 可 取 1,0）.于是 c o s 0,所以/V)在(0,1),(1,+叫单调递增.X(X-1)2因为f(e)=1 g 0,f(e)之为所以/V)在(1,+8)有唯一零点小,即F(M)=0.又 0 己 1,A-)=一e-1 e2-l ez-lIn x 也;二-F(E)4),故 f(x)在(0,1)有唯一零点三.综上,f(x)有且仅有两个零点.因为二节1%，故点庾Tn 的,-)在曲线y k上.xo xo由题设知f(
22、x。)R,即 I n 扬 皙,连 接AB,则直线四的斜率XO-11 .1 X n+1衣 一-配 l nx0一-%-o 防Y1 -11-lnx()-Xo xo曲 线 在 点 8(-l n题上)处切线的斜率是工曲线尸In x 在 点 火 的 I n 8)处切线的斜率也是上，所以曲线XQ XQ XQy=ln x在点/K a I n 加)处的切线也是曲线了三,的切线.【注意事项】用导数判断函数的单调性时,首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调性.2 1.【考查目标】本题主要考查轨迹方程的求法、直线与椭圆的位置关系，意在考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查
23、方程思想、数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】(1)利用斜率公式建立方程，化简即可求得曲线C 的方程，从而可判断曲线类型.(2)(i)设直线用的方程为yd x(Z 9 0),然后与椭圆方程联立,求得点P,Q,的坐标,从而求得直线Q 7 的方程,并与椭圆方程联立,求得点G 的坐标，由此求得直线A G 的斜率,进而可使问题得证；(i i)由(i)求出/R。/,iP G l,从而得到户比面积的表达式,进而利用换元法及函数的单调性求得最大值.解：(1)由题设得化简得g=l(/x/N2),所 以 C 为中心在坐标原点,焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点.(2)(i)设
24、直线。的斜率为k,则其方程为y=kx(kX).由y=kx,正 好=得不=土神位.4 2t 己 一771：+2 k方z贝 IP 5,uk),0(一 ,一 4)，E(u,0).于是直线宛的斜率为小方程为理(X-U).V =7(.X-U),x2 得(2 次1+-1设GXG,脸,则和,由 此 得 加 黑.XG是 方 程 解，故XG-U(3fcz+2)2+k2从而直线阳的斜率为W 3N+2)2+3皿彳 所 以 国 UG,即 胸 是直角三角形.(i i)由得/%/.匹12+k2uk3,，所以A 0 C 的面积c j ：pn/pr-8软1+)2)二 8(2+)7 6(1+2)(2+/)i+2&k p设t=k
25、%则由Q0得 22,当且仅当k=时取等号.因为S-I在 2,+8)单调递减,所以当t 之，即 A=1 时,s 取得最大值,最大值为浮因此,胡面积的最大值为学【举一反三】解决圆锥曲线中最值与范围问题,一般有两个思路：（1）构造关于所求量的函数,通过求函数的值域来获得问题的解；（2）构造关于所求量的不等式,通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件.2 2 .【考查目标】本题主要考查直线的极坐标方程、轨迹方程的求解，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】（1）由点 在曲线C 上,将 叫?代 入 曲 线 C 的极坐标方
26、程中即可求得。的值,设出直线,上除。外的任意一点。的极坐标,结合/07的值及平面几何知识即可求得直线1的极坐标方程；（2）设点P ,。），根据题意得到P N c o s 9,再根据已知条件求得6 的取值范围,从而求得。点轨迹的极坐标方程.解：（1）因为M 0。，时）在。上,当 心 时，O o N s i n g 之由已知得/C 7=/f l 4/c o s g 2设 0（。，6）为/上除的任意一点.连接隔在R t。图中，o c o s（。弋）=/0八 2.经检验，点尸（2,J 在曲线0 c o s （之上.所以，/的极坐标方程为0 c o s （夕?）之.设 P（O,。），在 R t Z XM
27、0中，/3/=/f l 4/c o s。乂C O S，即 ONCOS 0.因为P在线段如上,且AP Y 0M,故0的 取 值 范 围 是.4 2所以，尸点轨迹的极坐标方程为0N C O S e,1 .2 3 .【考查目标】本题主要考查绝对值不等式的求解，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】（1）首先求得当a=l 时，函数A%）的解析式,然后分x d,*2 1 讨论函数f（x）的范围，从而求得不等式的解集；（2）首先由f（a）=O 及己知条件得到a 的取值范围,然后结合x 的取值范围,利用因式分解求 得 f（x）的范围,从而求得a的取值范围.解：（1）当 a=l 时,f（x）=/x-l/x+/x-2 /U-1）.当 x l 时,/（x）=-2（1）2 仙当了1 时,f（x）2 0.所以,不等式H x）0 的解集为（-吗 1）.因 为 f（a）4所以a L当(-8,1)时，F(x)=(a-)x+(2-x)(x-a)N(a-x)(xT)0.所以，a 的取值范围是 1,+8).