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1、学习必备 欢迎下载 一元二次方程的应用 专题一、利用一元二次方程解决面积问题 1.在高度为 2.8m 的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户 现用 9.5m 长的铝合金条制成如图所示的窗框问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为 3m2（铝合金条的宽度忽略不计）2.如图：要设计一幅宽 20cm，长 30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？3.数学的学习贵在举一反三，触类旁通.仔细观察图形，认真思考，解决下面的问题：（1）在长为am，宽为bm的一块草坪上修了一条 1m宽的笔直小路（如图（1），
2、则余下草坪的面积可表示为 2m；（2）现为了增加美感，设计师把这条小路改为宽恒为 1m的弯曲小路（如图（2），则此时余下草坪的面积为 2m；（3）聪明的鲁鲁结合上面的问题编写了一道应用题，你能解决吗？相信自己哦！（如图（3），在长为 50m，宽为 30m的一块草坪上修了一条宽为 xm的笔直小路和一条长恒为 xm的弯曲小路（如图 3），此时余下草坪的面积为 14212m求小路的宽 x.专题二、利用一元二次方程解决变化率问题 4.据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，20XX年的利用率只有 30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长学
3、习必备 欢迎下载 率相同，要使 20XX年的利用率提高到 60%，求每年的增长率（取 21.41）5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感 染 请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效 控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？6.（2012广元）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米 7000 元的价格出售，由于 国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价后，决定以每平方米 5670 元的价格销售（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开放商建议：先公布下调 5%，再下调
4、 15%，这样更有吸引力请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？专题三、利用一元二次方程解决市场经济问题 7.（2012 济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过 60 棵，每棵售价为 120 元；如果购买树苗超过 60 棵，每增加 1 棵，所 出售的这批树苗每棵售价均降低 0.5 元，但每棵树苗最低售价不得少于 100 元该校最终 向园林公司支付树苗款 8800 元请问该校共购买了多少棵树苗？如图要设计一幅宽长的矩形图案其中有两横两竖的彩条横竖彩条的宽度问题在长为宽为的一块草坪上修了一条宽的笔直小路如图则余下草坪的信自己哦如图在长为
5、宽为的一块草坪上修了一条宽为的笔直小路和一条学习必备 欢迎下载 8.（2012南京）某汽车销售公司 6 月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的售 价与销售量有如下关系：若当月仅售出 1 部汽车，则该部汽车的进价为 27 万元,每多售出 1 部，所有售出的汽车的进价均降低 0.1 万元/部；月底厂家根据销售量一次性返利给销售公 司，销售 10 部以内（含 10 部），每部返利 0.5 万元；销售量在 10 部以上，每部返利 1 万元.(1)若该公司当月售出 3 部汽车，则每部汽车的进价为 万元.(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利
6、=销售利润+返利）知识要点：列方程解决实际问题的常见类型：面积问题，增长率问题、经济问题、疾病传播问题、生活中的其他问题.温馨提示：1.若设每次的平均增长(或降低)率为 x，增长(或降低)前的数量为 a，则第一次增长(或降低)后的数量为 a(1x)，第二次增长(或降低)后的数量为 a(1x)2 2.面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积(体积)公式列出一元二次方程 3.列方程解决实际问题时，方程的解必须使实际问题有意义，因此要注意检验结果的合理性.方法技巧：1.变化率问题中常用 a（1x）n=b，其中
7、 a 是起始量，b 是终止量，n 是变出次数，x 是变 化率.变化率问题用直接开平方法求解简单.2.解决面积问题常常用到平移的方法，利用平移前后图形面积不变建立等量关系.答案：1.解：设高为 x 米，则宽为9.50.523x米.由题意，得9.50.5233xx.解得121.5,3xx(舍去,高度为 2.8m 的一面墙上).当 x=1.5 时，宽9.50.529.50.53233x.答：高为 1.5 米,宽为 2 米.2.解：设横、竖彩条的宽度分别为 2xcm、3xcm，由题意，得 如图要设计一幅宽长的矩形图案其中有两横两竖的彩条横竖彩条的宽度问题在长为宽为的一块草坪上修了一条宽的笔直小路如图则
8、余下草坪的信自己哦如图在长为宽为的一块草坪上修了一条宽为的笔直小路和一条学习必备 欢迎下载（206x）（304x）=（113）20 30.整理，得 6x265x500.解，得 x156，x210（不合题意，舍去）.2x53，3x52.答：每个横、竖彩条的宽度分别为53cm，52cm 3.解：(1)(1)a b（或aba）；(2)(1)a b（或aba）；(3)将笔直的小路平移到草坪的左边，则余下部分的长为(50-x)m,将弯曲的小路的两侧重合，则余下部分的宽为（30-x）m,由题意得：(50-x)（30-x）=1421.解得 x1=1，x2=79（舍去）.答：小路的宽为 1m.4.解：设我省每
9、年产出的农作物秸杆总量为 a，合理利用量的增长率是 x，由题意，得 30%a（1+x）2=60%a.x10.41，x2-2.41（不合题意舍去）x0.41 答：每年的增长率约为 41%5.解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染 x 台电脑，依题意，得 1x(1x)x81.整理得(1x)281.x18，x2 10（舍去）.(1x)3(18)3729700 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 8 台电脑，3 轮感染后，被感染的电脑会超过 700 台 6.解：（1）设平均每次下调%p，则有5670%)1(70002p.81.0%)1(2p.1p%0，1p%=0.9.p%=0.1=10%.答：平均每次下
10、调 10%；（2）先下调 5%，再下调 15%，这样最后单价为 7000 元(15%)(115%）=5652.5 元.销售经理的方案对购房者更优惠一些 7.解：因为 60 棵树苗售价为 120 元607200 元8800 元，所以该校购买树苗超过 60 棵 设该校共购买了 x 棵树苗，由题意，得1200.5608800 xx.解得12220,80 xx 当1220 x 时，1200.5 2206040100，1220 x 不合题意，舍去；当280 x 时，1200.5 8060110100，280 x.80 x.答：该校共购买了 80 棵树苗 8.解：(1)270.3=26.7；（2）设需要销
11、售出 x 部汽车可盈利 12 万元.当销售 10 部以内（含 10 部）时，依题可得2827+0.1（x1）x+0.5x=12.解得6)(2021xx，不合题意，舍去.当销售 6 部汽车时，当月可盈利 12 万元.当销售 10 部以上时，依题可得2827+0.1（x1）x+x=12.解得24,521 xx，均不合题意，应舍去.答：当销售 6 部汽车时，当月可盈利 12 万元.9.解:（1）n3；(2)设这个凸多边形是n边形,由题意,得(3)142n n.解得127,4nn (不合题意,舍去).答:这个凸多边形是七边形.(3)不存在.如图要设计一幅宽长的矩形图案其中有两横两竖的彩条横竖彩条的宽度
12、问题在长为宽为的一块草坪上修了一条宽的笔直小路如图则余下草坪的信自己哦如图在长为宽为的一块草坪上修了一条宽为的笔直小路和一条学习必备 欢迎下载 理由:假设存在n边形有 21 条对角线.由题意,得(3)212n n.解得31772n.因为多边形的边数为正整数，但31772不是正整数，故不合题意.所以不存在有 18 条对角线的凸多边形.10.解：（1）1，5，9，13（奇数）2n1；4，8，12，16（偶数）2n（2）由（1）可知 n 为偶数时 P1=2nP2=n22n.根据题意得 n22n=5 2n，n212n=0，解得 n=12，n=0（舍去）存在偶数 n=12使得 P2=5P12 如图要设计一幅宽长的矩形图案其中有两横两竖的彩条横竖彩条的宽度问题在长为宽为的一块草坪上修了一条宽的笔直小路如图则余下草坪的信自己哦如图在长为宽为的一块草坪上修了一条宽为的笔直小路和一条