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1、绝密启用前2 0 1 9 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 .本试卷共4 页，均为非选择题（第 1 题第2 0 题，共 2 0 题）。本卷满分为1 6 0 分，考试时间为1 2 0 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2 .答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3 .请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4 .作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5.如需作图，须用2
2、 B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。参考公式：样本数据%,的方差s 2=-Z（七一可 其中元/=!i=l柱体的体积V =S/2,其中S是柱体的底面积，是柱体的高.锥体的体积V =；S/2,其中S 是锥体的底面积，是锥体的高.一、填空题：本大题共1 4 小题，每小题5 分，共计7 0 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合 A=-l,0,l,6,B=x x O,x e R,则 A B=.1.1,6 由题知，A B=I,6.2.已知复数（。+2。（1 +。的实部为0,其中i为虚数单位，则实数。的值是.2.2（a+2z）（l+i）=a+出+2i+2/=Q-2+（a+2）z,令。
3、-2=0 得=2.3.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是.Y I3.5执行第一次，S =S+=,x=1 2 4不成立，继续循环，x=x+l =2；2 2x 3执行第二次，S =S+=,x=2 2 4不成立，继续循环，x=x+l=3；2 2x执行第三次，S =S +=3,x=3 N 4不成立，继续循环，x=x+l =4；2X执行第四次，S =S +；=5,x=4 2 4成立，输出S=5.24.函数y=1 7 +6 x V的 定 义 域 是.4.-1,7 由已知得7 +6 x-f 2 0,BPX2-6X-7 +(7-8 +(8-8)2+(8-8 Y+(9 -8 +(1 0-8)2 =*.6 3
4、6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是7。6 从3名 男 同 学 和2名 女 同学中任选2名同学参加志愿服务，共 有C；=1 0种情况.若 选 出 的2名 学 生 恰 有1名女生，有=6种情况,若 选 出 的2名学生都是女生，有C；=l种情况,所以所求的概率 为 出 =.1 0 1 07.在平面直角坐标系xO y中，若 双 曲 线 Y 一b2=l(b 0)经 过 点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.7 .y=J 5x 由已知得3 2 厂=1，解 得。=yf2或 力=/2 因为人0,所 以 匕=上.因 为4 =1,所以双曲线的渐近
5、线方程为y=0 x.8.己知数列an(n e N)是等差数列，S”是其前项和.若a2a5+4 =0,S 9 =2 7 ,则S8的值是.8.1 6由题意可得：,02a5 +1 =(4+)(q +4d)+(q+7d)=09x8S9=9a1+-y J =27解 得：a,=-5 8 x7,则 纵=8 4+-d=-4 0 +2 8 x2 =1 6.9.如图，长 方 体A B C。-44GA的 体 积 是1 2 0,E为CG的中点，则 三 棱 锥E-B C。的体积是.9.1 0因为长方体A B C。一 4月GA的体积为1 2 0,所以 AB-BC-C Ci=1 2 0 ,因为七为CG的中点，所以 C E
6、=g c ,由长方体的性质知CG，底面A 8 C O,所以C E是三棱锥E-B C。的底面B C D上的高，所 以 三 棱 锥 的 体 积V=-x-A B B C C E=-x-A B B C-C C,=xl 2 0 =1 0.3 2 3 2 2 1 1 241 0.在平面直角坐标系x O v中，P是曲线y=x+-（x 0）上的一个动点，则点P到直线xx+y=0的 距 离 的 最 小 值 是.41 0.4当直线x+y =0平移到与曲线y=x+-相切位置时，切 点。即 为 点P到直线xX+y =0的距离最小.由 V =1 T =1，得 x=血（-血 舍）,y=3 /2 ,x即切点。（夜,3夜），
7、IV 2 +3 V 2 I则切点Q到直线x+y=0的距离为 l 一 =4，VFTi7故答案为：4.1 1.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点A在曲线）=h u-上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e,-l)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是.1 1.(e,I)设点则%=坨0.又y=一,I当 x=%时，y=一,1 .、点A在曲线y=I n x上的切线为y N o =(x-x0),I x 1即 y_ l n x0 =-1,代入点(一得 TTnXo=-1 ,X()即x0nx0=e f考查函数”(x)=xl n x,当 xe(O,l)时，/(%)(),且H(x)=l n x+1,当x l时，H
8、(x)0,7/(x)单调递增，注意到(e)=e,故/InA o =e存在唯一的实数根=e,此 时%=1,故点A的坐标为A(e,l).12.如图，在 八4 3。中，。是B C的中点，E在边A B上，BE=2EA,A C与C交于点。.若A B A C 6 A O EC 则r 的值是_ _ _ _ _.A C12.7 3 如图，过 点D作DF/CE,交A B于 点F,由BE=2EA,D 为 B C中点，知BF=FE=EAAO=OD.AEB D C6AO,=3 A D(A C-A E)=-(A B+A C)(A C-A )=g(A B+A C)P-=A B j =:(A B AC-AB+A C-A B
9、 AC3/2 i 一、)1232=-A B g f-A B +AC AB AC-AB+-AC=AB AC,213 2 2得_ LA =3A C；即 朋=6,4故 组=6.2 2 ACtan a 2/、-;-=-I 7T 13.已知+(上 元)3,tan a+I 4j厂 tana13.史由(乃)一10 tanl +-1得 3 tan2(2-5 tan(2-2 =0解得tana=2,或tana=-sin 2(7+=sin 2a cos-l 4J/2 7 、7=(sin 2a+cos 2a)=1 2tana+l-tan2 dz2 I tan2 c+1 )当tana 2时，上式则sin 2a+-的值是
10、_ _ _ _.tancu _ tana(l-tancu)_ 2tantz+1 -tana+1 1 3,1 -tan a3,T)一 +cos 2a sin 一145(2sinacosa+cos2 a-sin%、2(sin2+cos2 a)2X2+1-22|_V222+l 1 10)14.设/(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且A x)_ _ _ _ _ _ _ _ _ 代(x +2),0 x 4 1是奇函数.当 x e(0,2 时，/(x)=Jl _(x-l)2，g(x)=1 r 2 ，其中。一 0,所以c o sB=2 si nB 0,从而c
11、 o sB=*Y 3.5因此 si n(8+)=c o s B=.16.如图，在直三棱柱ABC-A出 G 中，D,E 分别为BC,AC的中点，AB=BC.求证：(1)481 平面0 E G；(2)BEL CiE.16.(1)因为。，E 分别为BC,4 c 的中点,所以 ED/AB.在直三棱柱 ABC-481cl 中，AB/A B,所以A B 即.又因为E Q u 平面ECi,平面DEG,所以4 8 i平面DECi.(2)因为AB=BC,E 为 4 c 的中点，所以8ELAC.因为三棱柱ABC-AIBICI是直棱柱，所以C G,平面A8C.又因为Bu平面A 8 C,所 以 CGJLBE.因为 C
12、iCu平面 AiACG,ACu平面 4A C C,CiCClAC=C,所以B E,平面AiACG.因为G E u平面AiACCi,所以BE_ L CiE.17.如图，在平面直角坐标系x Oy中，椭圆C:片+a2 b2=1(。方0)的焦点为印(-0),F2(1,0).过尸2 作 X 轴的垂线/,在 X 轴的上方，/与圆尸2：(%-1)2 +丁 2=4/交于点4,与椭圆C 交于点D 连 结 并 延 长 交 圆 仍于点B,连结B巳交椭圆C 于点E,连结。田.己卜 5知 D F i=-.2(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求点E 的坐标.17.(1)设椭圆C 的焦距为2 c.因为尸i(1,0),尸 2
13、(1,0),所以 Q B=2,c=l.又因为。尸 i=g,AB Lx轴，所以 DF2=yDF：R F；=旧?一?=,因此 2 a=OFi+OF2=4,从而 a=2.由按=。2 _ 02,得b2=3.x因此，椭圆c的标准方程为二2+2v_2=i.4 3(2)解法一：尤 2 V2由 Q)知，椭圆C：+乙=1,a=2,4 3因为AB L x轴，所以点A 横坐标为1.将x=代入圆B 的方程(x-l)2+y 2=16,解得y=4.因为点A在x轴上方，所以4（1,4）.又尸（1,0）,所以直线A F i：y=2x+2.y-2 x +2(x-l 1+y 2 =16得 5 d+6x-l l =0,解得x =1
14、或x =.11 12将 x =-代入 y=2x+2,得 y =-,11 I?3因此 8(一一,一一).又尸2(1,0),所以直线 B B：y =(x 1).5 5 4由，4-2土+汇=1,得7/-6 x-13=0,解得 x =-1 或 =亍.14 3又因为E是线段B E与椭圆的交点，所以X=l.3 3 3将 x =-1 代入 y =二（*_ 1）,得 y =.因此 （-1,一一）.4 2 2解法二：由（1）知，椭圆C：二+匕=1.如图，连结E Q.4 3因为 8危=2“，EFi+EF2=2a,所以 E F i=E B,从而 NBFiE=NB因为B A=所以N A=N B,所以N 4=N 8 F
15、 E,从而 ER/FM.因为轴，所以轴.x=-l3因为 F l(-1,0),由 。，所以NBA。为锐角.2A D A B 2 5所以线段A。上存在点到点O的距离小于圆。的半径.因此，。选在。处也不满足规划要求.综上，P和。均不能选在。处.（3）先讨论点P的位置.当/O 8 P O B,即线段PB上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径，点P符合规划要求.设 片 为/上一点，且 B L AB,由（1）知，PB=15 ,3此时 FD=/JBs i n ZFBD=cos N E B A=15 x-=9；当N O BP90。时，在 PR B 中,P B PtB =15.由上可知，止15.再讨论点。的位置
16、.由（2）知，要使得Q A N 15,点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当Q A=15时，C Q =ylQA2-A C2=V152-62=3 0 1 .此时，线段。上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径.综上，当PB_ LA B,点。位于点C右侧，且C Q=3j I I时，d最小，此时尸，。两点间的距离 PQ=PD+CD+CQ=17+372 1.因此，“最小时，P,。两点间的距离为17+3夜T (百 米).解法二：(I)如图，过。作垂足为”.以。为坐标原点，直线。”为y轴，建立平面直角坐标系.因为8。=12,A C=6,所以0H=9,直线/的方程为)，=9,点4,B的纵坐标分别为3,-
17、3.因为A 3为圆。的直径，A B=10,所以圆。的方程为X2+)1=2 5.3从而A (4,3),B(-4,-3),直线A 8的斜率为一.44因为所以直线PB的斜率为一一，34 2 5直线P B的方程为y =所以 P(-13,9),P B=7(-13+4)2+(9+3)2=15.因此道路P 8的长为15 (百米).(2)若P在。处，取线段8。上一点E (-4,0),则E O=4 5,所以户选在。处不满足规划要求.若。在力处，连结由(1)知。(-4,9),又A (4,3),3所以线段 A。y =-x +6(-4g!k 4).4在线段A O上取点M(3,y),因为6+42 =5，所以线段A O上
18、存在点到点0的距离小于圆。的半径.因此。选在。处也不满足规划要求.综上，P和。均不能选在。处.(3)先讨论点P的位置.当N O BP OB,即 线 段 上 所 有 点 到 点。的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设片为/上一点，且6 8 _ L A B,由(1)知，8 =15,此时片(一13,9)；当/O BP90。时，在 P qB 中,P B 收=15*由上可知，d 15.再讨论点。的位置.由(2)知，要 使 得 以 多5,点。只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当 04=15 时，设。(a,9),由 =4)+(9-3)2 =15(a 4)，得a=4+3 f，所以。(4+3及1，9
19、),此时，线 段Q A上所有点到点。的距离均不小于圆O的半径.综上，当P(-13,9),Q(4+3收，9)时，d最小，此时P,。两点间的距离P Q =4+3 -(-13)=17+3 庄.因此，“最小时，P,。两点间的距离为17+3用(百 米)19.设函数/(幻=(万-。)(无 一6)(无一。),力,。1,f (x)为f(x)的导函数.(1)若 a-b-c,f(4)=8,求 a 的值；(2)若h=c,且/(x)和尸(x)零点均在集合-3,1,3中，求/Cv)的极小值；4(3)若a =0,0,l,c =l,且f (x)的极大值为例，求证:M W .2719.(1)因为a =Z?=c,所以/(x)=
20、(x-a)(x-0)(x-c)=(x-a)因为/(4)=8,所以(4-4=8,解得a =2.(2)因为人=c,所以/(X)=(x-a)(x-b)2=x3-(a +2)x2+b(2a+b x-ab2,从而/0)=3(_ 匕)1 _ 令/(x)=0,得*=1)或=.因为a,女号 女，都在集合-3,1,3中，且#b,所以 2+2=1 a=3,b=3.3此时/(x)=(x-3)(x+3)2,/(x)=3(x+3)(x-l).令厂（x）=0,得x=3或x=l.列表如下:X(-00,-3)-3(-3,1)1&)+0-0+极大值极小值所以/(x)的极小值为/(1)=(1-3)(1+3)2=-32.(3)因为
21、a =O,c =l,所以/(彳)=%0-6)0-1)=丁一(人+1)+法,广(x)=3x2-2(6+l)x+8.因为0 0,则 八x)有2个不同的零点，设为再,(玉*J+1 +也=b+1 .1 3 2 3列表如下:X（一8,西）*X2(%2，+8)八X）+0-0+极大值极小值所以/（力 的极大值/=/（石）.解法一：M=/(xj =x：(Z?+l)x：+如(3x；2(。+l)Xj +b用 0+12(b2-b+l)b(b+l)9 玉+9一2/一人+1)S +1)+。(8 +1)7 +-9 Z?(Z?+1)27丝业+工土 因 此 人土27 27 2727解法二:因为0 v b 4 1,所以 (0,
22、1).当xe(0,l)时，/(%)=%(%-/7)(%-1)x(x-l)2.令 g(x)=x(x-1)2,X G(0,1),则 g(x)=3(x-(x-1).令g(x)=O,得列表如下：X畤13事)g(x)+0-g(x)极大值所以当X 时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(X)m a x=g(；)=.4 4所以当xe(0,l)时，f x)g x)0.因 为 娟6&%+1,所以其中；1,2,3.m.当 仁1时，有 在1；当代2,3,机时，有Wl n q W也勺.k k-1设、门 /(，x、)=I n x(z x 41、),则/“(x)、=1-l；nxx厂令 尸(x)=0,得x=e.列表如下:
23、Xd,e)e(e,+00)f x)+0f(x)极大值B*l n 2 I n 8 I n 9 I n 3.因 为 丁 =丁=W，所以/(Q m a x=/(3)2 o o 3取“=g，当&=1,2,3,4,5 时，I n 7 ,U ik qk,k经检验知q i KG也成立.因此所求，的最大值不小于5.若 论6,分别取6 3,6,得3乡3,且从而严N 24 3,15 2.23.当x 2,解得x 2,即x 2,解得X1.2综上，原不等式的解集为 x|x 1.【必做题】第 24 题、第 25 题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.设(1+
24、x)=,+w N*,已知a；=2a2a4.(1)求的值；(2)设(1+6)”=。+人百，其中求 一36 2的 值.24.(1)因为(l +x)=C：+C；x +C 5 2+C：x ,n 4,所以卬=c：=2%=G=(L),2 64 _ (n-l)(n-2)(n-3)4=C二 因为 a；=2a2a4，而z r(T)(一2)口 n(n-l)n(n-1)(-2)(一3)所以 L-J =2 x-x-,6 2 24解 得 =5.(2)由(1)知，n=5.(1+6)=(1+百)5=C C；百+C；(省)2+C；诋3 +C；(石)4+C(6)5=a+b 乖)解法一：因为&6 e N*,所以 a=C：+3C；
25、+9C；=7 6 1=C；+3C：+9C；=4 4 ,从而。2-3必=762-3 X 442=-32.解法二：(1-V 3)5=C?+C；(-G)+C (6)2+C；(-g)3+C；(6)4+C；(g)5=C -C；G +C(6)2 -C(右)3 +G(g)4 _ q(G)5 .因为a e N*,所以(1 一行尸=a b百.因此/一 3b2=g+b 屈a-b 亚=(1+垂)$x(l-回=(-2)5=-32.25.在平面直角坐标系xOy中，设点集4=(0,0),(1,0),(2,0二.,(,0),纥=(),1),(4),=(0,2),(1,2),(2,2),纥 C”.从集合M),中任取两个不同的
26、点，用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当”=1时，求X的概率分布：(2)对给定的正整数(3),求概率P(X)，所以仅需考虑X 的情况.若=,则ABW，不存在X 的取法；若8=。，=1,则 Afi=J(a c)2+l W J/d+i,所以 x 当且仅当 AB=JN2+I,此时。=0,c=或a=，c=0,有2种取法；若。=0，d=2,则AB=J(a C3+4 W J+4，因为当“23 时，+4 当且仅当AB=J/?+4,此时。=0，c=或。=/，c=0,有2种取法；若8=1,=2,则 AB=J(a c.+lw 4rH，所以 X 当且仅当=此时。=0,c=或。=，。=0,有2种取法.综上，当X 时，X的所有可能取值是后不和J2+4,且P(X=4 n)=-,P(X=yn2+4)=-.。2+4。2+4因此，P(XK)=1 P(X=J 2+i)_p(x=J 2+4)=i _.