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1、1 1自动控制原理自动控制原理山东科技大学信息与电气工程学院山东科技大学信息与电气工程学院高宏岩高宏岩自动控制原理2 2传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念，传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念，也是经典控制理论中两大分支也是经典控制理论中两大分支根轨迹法和频率法的基根轨迹法和频率法的基础。利用传递函数不必求解微分方程，就可以研究初始条础。利用传递函数不必求解微分方程，就可以研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。传递函数不件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统
2、的结构或参数变化对系统性能的影响。构或参数变化对系统性能的影响。2.2 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型传递函数传递函数3 3消去中间变量i(t)，得 对上式进行拉氏变换 求出Uc(s)的表达式若uc(0)=0 或式中 T=RC 2.2.1 2.2.1 传递函数的定义和性质传递函数的定义和性质4 4零初始条件下，零初始条件下，输出量拉氏变换输出量拉氏变换输入量拉氏变换输入量拉氏变换r(t)输入量，输入量，c(t)输出量输出量R(s)=Lr(t),C(s)=Lc(t)1、定义、定义5 5思考：思考：为何要规定零初始条件？规定初始条件为零为何要规定零初始条件？规定初始条件为零是否可
3、行？是否可行？一一一一是指输入量是在是指输入量是在是指输入量是在是指输入量是在t0t0t0t0时才作用于系统，则在时才作用于系统，则在时才作用于系统，则在时才作用于系统，则在t=0t=0t=0t=0-时，系统输入量以及其各阶导数均为零；时，系统输入量以及其各阶导数均为零；时，系统输入量以及其各阶导数均为零；时，系统输入量以及其各阶导数均为零；二二二二是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即输出量及其各阶导数在工作状态，即输出量及其各阶导数在工作状态，即输出量及其各阶导数在
4、工作状态，即输出量及其各阶导数在t=0t=0t=0t=0-时的时的时的时的值也为零。值也为零。值也为零。值也为零。零初始条件零初始条件6 6描述该线性定常系统的传递函数为：描述该线性定常系统的传递函数为：描述该线性定常系统的传递函数为：描述该线性定常系统的传递函数为：线性定常系统的微分方程式一般表达式为：线性定常系统的微分方程式一般表达式为：线性定常系统的微分方程式一般表达式为：线性定常系统的微分方程式一般表达式为：在零初始条件时，对上式进行拉氏变换，得：在零初始条件时，对上式进行拉氏变换，得：在零初始条件时，对上式进行拉氏变换，得：在零初始条件时，对上式进行拉氏变换，得：7 7 【例题】【例
5、题】试求如图所示试求如图所示试求如图所示试求如图所示RLCRLCRLCRLC无源网络的传递函数无源网络的传递函数无源网络的传递函数无源网络的传递函数Uc(S)/Ur(S)Uc(S)/Ur(S)Uc(S)/Ur(S)Uc(S)/Ur(S)方法一：方法一：由前面例题可知由前面例题可知描述描述网络输入输出关系的微分方程：网络输入输出关系的微分方程：在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换，得在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换，得由传递函数定义，得由传递函数定义，得u ur r(t)(t)u uc c(t)(t)i iRLC8 8 方法二：引用复数阻抗直接列写网络的代数方程，然后求其传方法二
6、：引用复数阻抗直接列写网络的代数方程，然后求其传方法二：引用复数阻抗直接列写网络的代数方程，然后求其传方法二：引用复数阻抗直接列写网络的代数方程，然后求其传递函数。递函数。递函数。递函数。解：用复数阻抗表示电阻时仍为解：用复数阻抗表示电阻时仍为R R，电容，电容C C的复数阻抗为的复数阻抗为1/Cs1/Cs，电感，电感的复数阻抗为的复数阻抗为LsLs。则由分压定律。则由分压定律可得：可得：总结：系统的传递函数与微分方程具有相通性，通常由微分方总结：系统的传递函数与微分方程具有相通性，通常由微分方总结：系统的传递函数与微分方程具有相通性，通常由微分方总结：系统的传递函数与微分方程具有相通性，通常
7、由微分方程可写出传递函数，但对于电网络，用复阻抗法直接求传递函程可写出传递函数，但对于电网络，用复阻抗法直接求传递函程可写出传递函数，但对于电网络，用复阻抗法直接求传递函程可写出传递函数，但对于电网络，用复阻抗法直接求传递函数往往更简单。数往往更简单。数往往更简单。数往往更简单。U Ur r(s)(s)U Uc c(s)(s)R RLSLS1/Cs9 9【例题】【例题】求如图所示有求如图所示有求如图所示有求如图所示有源网络的传递函数源网络的传递函数源网络的传递函数源网络的传递函数Uo(S)/Ui(S)Uo(S)/Ui(S)Uo(S)/Ui(S)Uo(S)/Ui(S)分析：分析：依运算放大器的特
8、点，可认为放大依运算放大器的特点，可认为放大器输入电压器输入电压u u0 000；又运算放大器输入阻抗；又运算放大器输入阻抗很大，可近似认为输入电流很大，可近似认为输入电流i i0 0=0=0。由上式整理，得由上式整理，得-KU Ui ii iC C0 0R R0 0R R1 1U Uo o解：则运用复数阻抗可得：解：则运用复数阻抗可得：10 10【例题】【例题】试求电枢控制直流电动机的传递函数试求电枢控制直流电动机的传递函数根据线性叠加原理，分别研究 到 和 到 的传递函数解：解：11 11 2 2、传递函数的性质、传递函数的性质(1)G(s)是复变量是复变量s的有理真分式函数，且的有理真分
9、式函数，且(2)G(s)只取决于系统或元件的结构和参数，而与只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息12 12(2)G(s)只取决于系统或元件的结构和参数，而与只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息u ur r(t)(t)u uc c(t)(t)i iRLC13 13(3)G(s)微分方程微分方程sd/dtsd/dt14 14(3)G(s)微分方程微分方程sd/dtsd/dt15 15(4)G(s)是单位脉冲响应的拉氏变换是单
10、位脉冲响应的拉氏变换(5)传递函数只适用于线性定常系统传递函数只适用于线性定常系统16 163.传递函数的表示方法传递函数的表示方法1）表示为有理分式形式：表示为有理分式形式：式中：为实常数，一般nm上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。17 172)零、极点表示方法零、极点表示方法（根轨迹分析法常用）（根轨迹分析法常用）将有理分式改写为式中：zj为分子多项式的根，称为传递函数的零点零点；pi为分母多项式的根，称为传递函数的极点（特征根即为极极点（特征根即为极点）点）；K*b0/a0称为根轨迹增益。18 18将零、极点标在复平面上，则得传递函数的零极点分布图。零点用“”表示，极点用“”表
11、示。j j19 193)时间常数表示方法将有理分式改写为式中：j、Ti分别为分子、分母多项式各因子的时间常数；Kbm/an为放大倍数或增益。2020 21 21传递函数G(s)如果出现复数零点、极点的话，那么复数零点、极点必然是共轭的。上式可改写成一般表示形式为2222传递函数的极点就是微分方程的特征根，极点决定了系统传递函数的极点就是微分方程的特征根，极点决定了系统自由运动的模态。自由运动的模态。2.2.2 传递函数极点和零点对输出的影响传递函数极点和零点对输出的影响自由运动的模态自由运动的模态输入函数输入函数零状态响应零状态响应前两项具有与输入函数相同的模态前两项具有与输入函数相同的模态,
12、后两项由极点决定的后两项由极点决定的自由运动模态，其系数与输入函数有关自由运动模态，其系数与输入函数有关2323输入信号输入信号 ，零状态响应分别为，零状态响应分别为传递函数的零点影响各模态在响应中所占的比重，取决于传递函数的零点影响各模态在响应中所占的比重，取决于零点相对于极点的距离。零点相对于极点的距离。2424 一一个个系系统统可可看看成成由由一一些些环环节节组组成成的的，可可能能是是电电气气的的，机机械械的的，液液压压的的，气气动动的的等等等等。尽尽管管这这些些系系统统的的物物理理本本质质差差别别很很大大，但但是是描描述述他他们们的的动动态态性性能能的的传传递递函函数数可可能能是是相相
13、同同的的。如如果果我我们们从从数数学学的的表表达达式式出出发发，一一般般可可将将一一个个复复杂杂的的系系统统分分为为有有限限的的一一些些典典型型环环节节所所组组成成，并并求求出出这这些些典典型型环环节节的的传传递递函函数数来来，以以便便于于分分析析及及研研究究复复杂杂的的系统。系统。控控制制系系统统中中常常用用的的典典型型环环节节有有:比比例例环环节节、惯惯性性环环节节、微分环节、微分环节、积分环节和振荡环节积分环节和振荡环节等。等。2.2.3 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数2525方框图：方框图：K1.比例环节（放大环节）比例环节（放大环节）特点特点：输出量与输入量成正比，不失真也
14、不延时。输出量与输入量成正比，不失真也不延时。举举例例：机机械械系系统统中中略略去去弹弹性性的的杠杠杆杆、无无弹弹性性变变形形的的杠杠杆杆、放放大大器器、分分压压器器、齿齿轮轮、减减速速器器等等等等，在在一一定定条条件件下下都都可可以以认为是比例环节。认为是比例环节。2626电位器电位器电位器电位器 齿轮传动系统齿轮传动系统齿轮传动系统齿轮传动系统2727测速发电机测速发电机测速发电机测速发电机TGu(t)28282.积分环节积分环节积分环节其输出量与输入量之间是积分关系。积分环节的微分方程为其传递函数为式中：T称为积分时间常数；K称为积分环节的放大倍数。2929当输入信号为单位阶跃信号时，在
15、零初始条件下，积分环节输出量的拉氏变换为将上式进行拉氏反变换后得到积分环节的单位阶跃响应为3030上式表明，只要有一个恒定的输入量作用于积分环节，其输出量就随时间成正比地无限增加。图2-11(a)是由运算放大器所构成的积分调节器。图2-11 积分环节(a)电路原理图；(b)单位阶跃响应曲线31 313.惯性环节惯性环节惯性环节又称为非周期环节，该环节由于含有储能元件，因此对突变的输入信号，输出量不能立即跟随输入，而是有一定的惯性。惯性环节的微分方程为其传递函数为式中：T为惯性环节的时间常数。可以看出，惯性环节在s平面上有一个负值极点3232图2-12(a)和(b)给出的RC网络和LR回路(电流
16、i作为输出时)都可视为惯性环节。在实际的工程中惯性环节是比较常见的。图2-12 惯性环节(a)RC网络；(b)LR回路；(c)单位阶跃响应曲线3333单容水槽单容水槽单容水槽单容水槽加热系统加热系统加热系统加热系统3434电枢控制直流电动机电枢控制直流电动机电枢控制直流电动机电枢控制直流电动机MR Ra aLaLa35354.微分环节微分环节微分环节又称超前环节。常见的微分环节有纯微分环节、一阶微分环节和二阶微分环节三种。相应的微分方程为3636式中：为时间常数；z为阻尼比。其传递函数分别为由上述各式可见，这些微分环节的传递函数都没有极由上述各式可见，这些微分环节的传递函数都没有极点，只有零点
17、。理想纯微分环节只有一个零值零点，一阶点，只有零点。理想纯微分环节只有一个零值零点，一阶微分环节有一个负实数零点，二阶微分环节有一对共轭复微分环节有一个负实数零点，二阶微分环节有一对共轭复数的数的零点。零点。3737在实际物理系统中，由于惯性的普遍存在，以至于很难实现理想的微分环节。如图2-13所示的RC电路，其传递函数为显然，只有当RC1时，才有G(s)RCs，电路才近似为纯微分环节。图2-13 RC电路3838测速发电机测速发电机测速发电机测速发电机39395.振荡环节振荡环节振荡环节的微分方程为其传递函数为 (2-54)式中：T为时间常数；x为阻尼比；n1/T为无阻尼自然振荡频率。404
18、0实际工程中，如枢控电机、实际工程中，如枢控电机、RLC网络、动力系统等等都可网络、动力系统等等都可用振荡环节描述。用振荡环节描述。RLCRLCRLCRLC电路电路电路电路弹簧弹簧-质量质量-阻尼器组成阻尼器组成的机械位移的机械位移系统系统41 416.延迟环节延迟环节延迟环节又称滞后环节，其输出延迟环节又称滞后环节，其输出延迟时间后复现输入信号，延迟环节延迟时间后复现输入信号，延迟环节的微分方程为的微分方程为传递函数为传递函数为42422.4.6 延时环节延时环节 工工业业上上经经常常会会遇遇到到纯纯时时间间延延迟迟或或传传输输滞滞后后现现象象。如如各各种种传传动动系系统统（液液压压传传动动
19、、气气压压传传动动、机机械械传传动动）和和计计算算机机控控制制系系统统，有时需要经过一定的延迟时间，才能允许输出对输入作出响应。有时需要经过一定的延迟时间，才能允许输出对输入作出响应。轧轧辊辊处处带带钢钢厚厚度度与与检检测测厚厚度度之之间的传递函数是一个延时环节间的传递函数是一个延时环节 轧轧轧轧钢钢钢钢工工工工艺艺艺艺中中带带钢钢在在轧轧辊辊A A点点轧轧出出时时，由由于于压压力力系系统统或或者者轧轧辊辊本本身身的的原原因因，可可能能产产生生厚厚度度偏偏差差，但但到到达达B B点点时时才才能能被被测测厚厚仪检测到。此延迟时间为仪检测到。此延迟时间为 ABLu轧辊轧辊测测厚厚仪仪43431 1、传递函数定义和性质、传递函数定义和性质2 2、传递函数的表示方法、传递函数的表示方法3 3、典型环节及其传递函数、典型环节及其传递函数本节小结本节小结4444作业：作业：P66 2-13