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1、第二节第二节 复数域数学模型复数域数学模型传递函数传递函数第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型建立系统微分方程的目的是什么？建立系统微分方程的目的是什么？如何求解得到的微分方程式？如何求解得到的微分方程式？对于高阶线性微分方程如何求解？对于高阶线性微分方程如何求解？使使用用拉拉普普拉拉斯斯变变换换法法解解线线性性微微分分方方程程有有哪哪些些优势？优势？思考？思考？在在求求解解方方法法上上：计计算算简简单单 (把把微微积积分分运运算算变变换换成成代代数数运运算算或或查查表表)，容容易易求求出出系系统统对输入的响应。对输入的响应。引引入入传传递递函函数数的的概概念念(复复数数域域数数
2、学学模模型型)，把把系系统统的的动动态态性性能能和和传传函函的的零零极极点点联联系系起起来来，使使在在复复数数域域内内(根根轨轨迹迹法法)和和频频域域内内(频频率法率法)分析和设计系统成为可能。分析和设计系统成为可能。优势优势：项 目内 容教 学 目 的从时域内的微分方程形式数学模型向复数域内的传递函数形式过渡。教 学 重 点熟悉传递函数的各种一般表达形式。教 学 难 点传递函数的解析表达式和几何表达形式的联合思维方法。对典型环节传递函数的理解。讲授技巧及注意事项注重微分方程同传递函数的对比。2-2 复数域数学模型复数域数学模型传递函数传递函数 本节课的学习思路：从多个方本节课的学习思路：从多
3、个方位来观察我们将要研究的对象位来观察我们将要研究的对象传传递函数递函数，为下一步深入细致的讨论，为下一步深入细致的讨论(第四章和第五章第四章和第五章)做准备。做准备。本节内容本节内容v拉式变换拉式变换v传递函数的概念和表达形式传递函数的概念和表达形式v系统传递函数的建立系统传递函数的建立v典型环节的传递函数典型环节的传递函数v拉式反变换拉式反变换v1.定义：定义：设函数设函数 f(t)当当 时有定义，设时有定义，设 且且积积分分存存在在，则则称称F(s)是是f(t)的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换。简称拉氏变换。简称拉氏变换。f(t)称为称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：的拉氏逆变换。记为：原函
4、数象函数2-2 传递函数传递函数一一 拉氏变换拉氏变换(2)例例2 求阶跃函数求阶跃函数 的拉氏的拉氏变换。(1)例例1 求求单位脉冲函数位脉冲函数 的拉氏的拉氏变换。单位阶跃函数单位阶跃函数 的拉氏的拉氏变换为为 。v2.常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换f(t)F(s)f(t)F(s)1tv3.几个重要的拉氏变换几个重要的拉氏变换（掌握）（掌握）(1)线性性质线性性质(2)积分性质积分性质(3)微分性质微分性质v4.拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质(4)终值定理终值定理(5)初值定理初值定理(6)时间比例尺时间比例尺(相似相似)定理定理a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延实域中的
5、位移定理，若原函数在时间上延迟迟 ，则其象函数应乘以，则其象函数应乘以 。b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘以原函数应乘以 。即。即(7)位移定理位移定理 1.定定义义：从从象象函函数数F(s)求求原原函函数数 f(t)的的运运算算称称为为拉拉氏反变换。记为氏反变换。记为 。由。由F(s)可按下式求出可按下式求出 式中式中C是实常数，而且大于是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。所有极点的实部。直直接接按按上上式式求求原原函函数数太太复复杂杂，一一般般都都用用查查拉拉氏氏变变换换表表的的方方法法求求拉拉氏氏反反变变换换，但但F(s)必
6、必须须是是一一种种能能直直接查到的原函数的形式。接查到的原函数的形式。二二 拉氏反变换拉氏反变换 若若F(s)不不能能在在表表中中直直接接找找到到原原函函数数，则则需需要要将将F(s)展展开开成成若若干干部部分分分分式式之之和和，而而这这些些部部分分式的拉氏变换在表中可以查到。分分式的拉氏变换在表中可以查到。展开的常用方法有：u配方法u比较系数法u留数法例例1：求：求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。例例2：求：求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。u配方法配方法解：解：解：解：u比较系数法比较系数法u留数法留数法F(s)总能展开成如下简单的部分分式之和：总能展开成如下简单的部分分式之和：numerna
7、tiondenominator （1）D(s)=0没有重根没有重根其中：其中：所以：所以：所以：所以：(2)D(s)=0(2)D(s)=0包含包含r r重根重根其中：其中：由于：由于：所以所以：例5 求 的拉氏反变换。其中：其中：所以：所以：所以：所以：解：设解：设用拉氏变换及其反变换解微分方程的步骤用拉氏变换及其反变换解微分方程的步骤 对微分方程进行拉氏变换，得到以s为变量的代数方程，方程中的初始值应取系统在t=0时刻的对应值；求出系统输出变量的表达式；将输出变量的表达式展开成部分分式；对部分分式进行反变换，即得微分方程的解。例6.已知系统的微分方程式为：并且设：，试求微分方程的解。解：方程
8、两边进行拉氏变换代入初始值变换形式可得设其中：其中：所以：所以：两端进行拉氏反变换，得两端进行拉氏反变换，得如果使用比较系数法：如果使用比较系数法：通分后令通分后令比较系数得比较系数得同样求出同样求出两端进行拉氏反变换，得两端进行拉氏反变换，得线性定常系统微分方程的一般形式为：线性定常系统微分方程的一般形式为：1.定定义义：零零初初始始条条件件下下，系系统统输输出出量量的的拉拉氏氏变变换换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数。与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数。三三 传递函数的概念和表达形式传递函数的概念和表达形式 c(t)为为系系统统的的输输出出，r(t)为为系系统统输输入入，则则
9、在在零零初初始始条条件件下下，对对上上式式两两边边取取拉拉氏氏变变换换，由由微微分分性性质质得得到到系统传递函数为：系统传递函数为：标准形式、有理分式形式标准形式、有理分式形式或多项式形式或多项式形式在在零零初初始始条条件件下下求求系系统统或或环环节节的的传传递递函函数数，只只需需要要将将微微分分方方程程中中变变量量的的各各阶阶导导数数用用s s的的相相应应幂幂次次代代替替就就行行了了，因因此此从从微微分分方方程程式式求求传传递递函函数数非非常常容容易易。经经过过变变换换后后，我我们们把把一一个个复复杂杂的的微微分分方方程程式式变变换换成成了了一一个个简简单单的的代数方程代数方程。为系统增益（
10、放大系数）为系统增益（放大系数）返回返回尾尾1 1形式形式因因式分解式分解时间常数形式时间常数形式典型环节形式典型环节形式各项提取各项提取an各项提取各项提取bmu传递函数的第二种表达形式传递函数的第二种表达形式为根轨迹增益为根轨迹增益首首1 1形式形式因因式分解式分解零极点增益形式零极点增益形式根轨迹形式根轨迹形式各项提取各项提取a0各项提取各项提取b0u传递函数的第三种表达形式传递函数的第三种表达形式稳态增益稳态增益K和根轨迹增益和根轨迹增益K*的定义及关系：的定义及关系：这两个参数是重要的调试参数。这两个参数是重要的调试参数。称为系统的特征多项式，称为系统的特征多项式，S的最高阶次的最高
11、阶次n即为即为系统的阶次。系统的阶次。D(s)=0称为系统的特征方程。称为系统的特征方程。分母分母传递函数的三大表达形式：传递函数的三大表达形式：传递函数的零极点分布图传递函数的零极点分布图传函传函的零极点分布图的零极点分布图2.传递函数的性质传递函数的性质（1）对对应应性性：传传递递函函数数与与微微分分方方程程一一一一对对应应。如果将如果将 置换，传递函数置换，传递函数 微分方程微分方程（2）固固有有性性：传传递递函函数数表表征征了了系系统统本本身身的的动动态态特特性性。传传递递函函数数只只取取决决于于系系统统本本身身的的结结构构参参数数，而而与与输输入入等等外外部部因因素素无无关关，可可见
12、见传传递递函函数数有有效效地地描描述述了系统的固有特性。了系统的固有特性。（3）局局限限性性：只只反反映映零零初初始始条条件件下下输输入入信信号号引引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。（4）唯一性。）唯一性。（5）传传递递函函数数的的拉拉氏氏反反变变换换是是系系统统的的单单位位脉脉冲冲响响应应，反反之之，系系统统单单位位脉脉冲冲响响应应的的拉拉氏氏变变换换是是系系统统的的传递函数，两者有一一对应的关系。传递函数，两者有一一对应的关系。（6）同同形形性性：G(s)虽虽描描述述了了输输出出输输入入间间的的关关系系，但但它它不不提提供供任任何何该该系
13、系统统的的物物理理结结构构。物物理理性性质质截截然然不同的系统或元件，可以有相同的传递函数。不同的系统或元件，可以有相同的传递函数。（7）特殊性：传递函数仅适用于线性定常系统。）特殊性：传递函数仅适用于线性定常系统。（8）有有理理性性：传传递递函函数数为为有有理理真真分分式式函函数数。即即m小于等于小于等于n。静一静，想一想：静一静，想一想：1.1.我我们们已已经经前前进进一一步步了了，我我们们将将一一般般形形式式的的微微分分方方程程变变换换成成了了传传递递函函数数，并并且且有有了了许许多表达形式；多表达形式；2.2.我我们们把把研研究究对对象象的的微微积积分分运运算算形形式式变变成成了了代代
14、数数运运算算形形式式，简简化化了了运运算算，降降低低了了工工作作的的难度；难度；3.3.更更大大的的收收获获是是在在传传递递函函数数代代数数和和几几何何形形式式下下，想想象象力力增增强强了了。我我们们可可以以对对系系统统采采取取更更多的方法进行分析和研究了。多的方法进行分析和研究了。四四 传递函数的建立传递函数的建立方法方法1：一般元件和系统传递函数的求取方法：一般元件和系统传递函数的求取方法：（1）列写元件或系统的微分方程；）列写元件或系统的微分方程；（2）在零初始条件下对方程进行拉氏变换；）在零初始条件下对方程进行拉氏变换；（3）取输出与输入的拉氏变换之比。）取输出与输入的拉氏变换之比。例
15、1对RC无源网络，求传递函数Uo(s)/Ui(s)。解：已求得网络的微分方程形式为已求得网络的微分方程形式为两边进行拉氏变换，可得两边进行拉氏变换，可得取输出与输入的拉氏变换之比取输出与输入的拉氏变换之比例2对无源网络，求传递函数Uo(s)/Ui(s)。解：已求得网络的微分方程形式为已求得网络的微分方程形式为两边进行拉氏变换，可得两边进行拉氏变换，可得取输出与输入的拉氏变换之比取输出与输入的拉氏变换之比例3一个由弹簧、质量、阻尼器组成的做直线运动的力学系统。图中，m为物体的质量，k为弹簧系数，f为粘性摩擦系数，F(t)为物体受到的外作用力，y(t)为物体的位移。试求传递函数Y(s)/F(s)。
16、f解：已求得系统的微分方程形式为已求得系统的微分方程形式为两边进行拉氏变换，可得两边进行拉氏变换，可得取输出与输入的拉氏变换之比取输出与输入的拉氏变换之比方法方法2：利用系统的单位脉冲响应求系统的传：利用系统的单位脉冲响应求系统的传递函数。递函数。（1）测量系统在零初始条件下的单位脉冲响应；）测量系统在零初始条件下的单位脉冲响应；（2）对单位脉冲响应作拉氏变换即得系统的传递函数。）对单位脉冲响应作拉氏变换即得系统的传递函数。证明：证明：由由所以又因为所以C(s):系统单位脉冲响应复数域形式系统单位脉冲响应复数域形式c(t):系统系统单位脉冲响应时域形式单位脉冲响应时域形式例例4 测得测得某系统
17、在零初始条件下脉冲输入作用某系统在零初始条件下脉冲输入作用时的输出响应为时的输出响应为求系统的传递函数。求系统的传递函数。解解:对单位脉冲响应作拉氏变换即得系统的传递函数对单位脉冲响应作拉氏变换即得系统的传递函数电气网络的运算阻抗与传递函数电气网络的运算阻抗与传递函数(重要)v运算(复)阻抗电阻电容电感例例5 对无源网络，对无源网络，求传递函数求传递函数Uo(s)/Ui(s)。解：把图中各量用复阻抗表示解：把图中各量用复阻抗表示根据分压定理写出根据分压定理写出Uo(s)表达式表达式化简得传函表达式化简得传函表达式复阻抗复阻抗+分压定理分压定理例例6 对无源网络，对无源网络，求传递函数求传递函数
18、Uo(s)/Ui(s)。解：解：复阻抗复阻抗+分压定理分压定理根据分压定理写出根据分压定理写出Uo(s)表达式表达式化简得传函表达式化简得传函表达式1.比例比例(放大放大)环节环节 特点：输出与输入成正比，无失真和时间延迟。特点：输出与输入成正比，无失真和时间延迟。五五.典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数uc2.惯性环节惯性环节特点：含一个储能元件，对突变的输入不能立即跟特点：含一个储能元件，对突变的输入不能立即跟随，输出无振荡。随，输出无振荡。0.633.微分微分(超前超前)环节环节特点：能预示输入信号的变化趋势。特点：能预示输入信号的变化趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的关
19、系。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的关系。r(t)由由于于 在在实实际际工工程程中中不不存存在在，所所以以纯纯微微分分环环节节不不能单独存在，只是理想微分环节。能单独存在，只是理想微分环节。若输入一阶跃信号若输入一阶跃信号，则可求出则可求出实际微分环节为实际微分环节为(带有惯性环节带有惯性环节)实际微分环节实现电路实际微分环节实现电路4.积分环节积分环节特点：输入消失后输出仍具有记忆功能。特点：输入消失后输出仍具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的关系，物体行驶距离实例：电动机角速度与角度间的关系，物体行驶距离与物体速度间的关系，模拟计算机中的积分器等。与物体速度间的关系，模拟计算机
20、中的积分器等。5.振荡环节振荡环节特点：环节中有两个独立储能元件，并可进行能量交特点：环节中有两个独立储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。换，其输出出现振荡。实例：实例：RLCRLC电路、两级电路、两级RCRC电路、弹簧电路、弹簧-物体物体-阻尼器力学阻尼器力学位移系统等。位移系统等。6.一阶微分环节和二阶微分环节一阶微分环节和二阶微分环节 一阶微分环节、二阶微分环节和纯微分环节都一阶微分环节、二阶微分环节和纯微分环节都称为理论微分环节，不满足称为理论微分环节，不满足 的条件，所以在实的条件，所以在实际工程中不会单独存在。际工程中不会单独存在。7.延迟环节延迟环节特特点点：准准确确复复
21、现现输输入入量量，但但延延迟迟了了一一个个固固定定的的时时间间间隔。间隔。实实例例：液液压压、气气动动等等压压力力在在容容器器内内或或热热量量在在管管道道中中的的传传播播有有延延迟迟时时间间；胶胶带带输输送送机机等等机机械械传传动动系系统统、晶晶闸闸管管（可可控控硅硅）整整流流器器等等的的控控制制问问题题的的数数学学模模型型就就含含有有延延迟迟环环节节；计计算算机机控控制制系系统统中中，由由于于运运算算需需要时间，也会出现延迟。要时间，也会出现延迟。传函典型环节表达式传函典型环节表达式本节应该掌握：本节应该掌握：1.传递函数的概念和表达形式传递函数的概念和表达形式2.系统传递函数的建立系统传递函数的建立3.典型环节的传递函数典型环节的传递函数小小 结结作业：作业：2-3 2-4 2-9 2-10