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1、学案学案1 1 集集 合合 一、集合的有关概念一、集合的有关概念1.元素与集合元素与集合 .（2）集合中元素与集合的关系）集合中元素与集合的关系 文字描述为文字描述为 和和 .符号表示为符号表示为 和和 .返回目录返回目录（1）集合中元素的三个特性）集合中元素的三个特性确定性确定性 互异性互异性 无序性无序性 属于属于 不属于不属于 考点分析考点分析返回目录返回目录 .2.集合间的基本关系集合间的基本关系(1)集合间基本关系集合间基本关系相等关系相等关系:AB且且BA ;子集子集:A是是B的子集的子集,符号表示为符号表示为 或或BA;真子集真子集:A是是B的真子集的真子集,符号表示为符号表示为
2、 或或 .(2)不含任何元素的集合叫做不含任何元素的集合叫做 ,记为记为 ，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的的 .(3)集合的表示法集合的表示法列举法列举法 描述法描述法 图示法图示法A=B ABABBA空集空集 真子集真子集 二、集合的运算二、集合的运算1.并集并集一般地，由所有属于集合一般地，由所有属于集合A或属于集合或属于集合B的元素所组成的的元素所组成的集合，称为集合集合，称为集合A与与B的并集，记作的并集，记作A B，即，即A B=.2.交集交集一般地，由所有属于集合一般地，由所有属于集合A且属于集合且属于集合B的所有元素组
3、成的所有元素组成的集合，称为的集合，称为A与与B的交集，记作的交集，记作AB，即，即AB=.3.补集补集对于一个集合对于一个集合A ，由全集，由全集U中不属于集合中不属于集合A的所有元素组的所有元素组成的集合称为集合成的集合称为集合A相对于全集相对于全集U的补集，记作的补集，记作 CUA=.返回目录返回目录 x|x A,或或x B x|x A,且且x Bx|x U,且且xA4.集合的运算性质集合的运算性质(1)交集交集AB=;AA=;A=;AB A,AB B;AB=A .(2)并集并集A B=;A A=;A=;A B A,A B B;A B=B .(3)交集、并集、补集的关系交集、并集、补集的
4、关系A(CUA)=;A(CUA)=.CU(AB)=;CU(A B)=.返回目录返回目录 BA A A BB A A A U 返回目录返回目录 若若a,b R，集合，集合1,a+b,a=,求求b-a的值的值.【分析分析分析分析】由由1,a+b,a=可知，可知，a0，因此只，因此只能能a+b=0，然后利用两集合相等的条件列出方程组，然后利用两集合相等的条件列出方程组，分别求出分别求出a,b的值即可的值即可.考点一考点一考点一考点一 集合的概念集合的概念集合的概念集合的概念 题型分析题型分析返回目录返回目录【解析解析解析解析】由由1,a+b,a=可知可知a0,则只能则只能a+b=0，则有以下对应关系
5、：，则有以下对应关系：a+b=0 a+b=0 =a b=a b=1 =1 a=-1 b=1所以所以b-a=2.或或由由得得,符合题意；符合题意；无解无解.【评析评析评析评析】(1)解决该类问题的基本方法为：利用解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点集合中元素的特点 ，列出方程组求解，列出方程组求解.但解出后应注但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性意检验，看所得结果是否符合元素的互异性.(2)解决此类问题还可以根据两集合中元素的和解决此类问题还可以根据两集合中元素的和相等、元素的积相等，列方程求解，但仍然要检验相等、元素的积相等，列方程求解，但仍然要检验.返回目录返回目录
6、返回目录返回目录 已知集合已知集合A=,B=x2,x+y,0,若若A=B,则则x2 007+y2 008=,A=B=.对应演练对应演练对应演练对应演练返回目录返回目录-1-1,0,1(根据集合相等的定义知根据集合相等的定义知x=0或或 =0.当当x=0时时,无意义无意义,只能只能 =0,得得y=0,代入代入A,B得得A=x,0,1,B=x2,x,0.又又A=B,x2=1,x=1或或x=-1.当当x=1时时,A=1,0,1,B=1,1,0,不符合集合元素的互异性不符合集合元素的互异性,故舍去故舍去;当当x=-1时时,A=-1,0,1,B=1,-1,0,A=B,符合题意符合题意.x2 007+y2
7、 008=(-1)2 007+02 008=-1.AB-1,0,1.)返回目录返回目录 考点二考点二考点二考点二 集合与集合的关系集合与集合的关系集合与集合的关系集合与集合的关系【分析分析分析分析】利用数轴作工具利用数轴作工具,使问题得到解决使问题得到解决.已知集合已知集合A=x|0ax+15，集合，集合B=(1)若若AB,求实数求实数a的取值范围的取值范围;(2)若若BA,求实数求实数a的取值范围的取值范围;(3)A,B能否相等能否相等?若能若能,求出求出a的值的值;若不能若不能,试说明理由试说明理由.返回目录返回目录【解析解析解析解析】A中不等式的解集应分三种情况讨论中不等式的解集应分三种
8、情况讨论:若若a=0,则则A=R；若若a0,则则A=.(1)当当a=0时，若时，若AB，此种情况不存在此种情况不存在.当当a-a-8 -2,a-,a0时时,若若AB,如图如图,-a2 2,a2.a2.综上知综上知,此时此时a的取值范围是的取值范围是a-8或或a2.则则 返回目录返回目录(2)当当a=0时时,显然显然BA;当当a0时，若时，若BA，如图，如图，0a2.综上知综上知,当当BA时时,-2m-1,即即m2时时,B=,满足满足BA;若若B,且满足且满足BA,如图所示如图所示,m+12m-1 m2 m+1-2 m-3 2m-15 m3,2m3.综上所述综上所述,m的的取值范围为取值范围为m
9、2或或2m3,即所求集合为即所求集合为m|m3.即即则则返回目录返回目录 设集合设集合A=x|x2-3x+2=0,B=x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0.(1)若若AB=2,求实数求实数a的值的值;(2)若若A B=A,求实数求实数a的取值范围的取值范围;(3)若若U=R,A(CUB)=A,求实数求实数a的取值范围的取值范围.考点三考点三考点三考点三 集合的基本运算集合的基本运算集合的基本运算集合的基本运算【分析分析分析分析】对于含参数的集合的运算对于含参数的集合的运算,首先解出不含参数的首先解出不含参数的集合集合,而后根据已知条件求参数而后根据已知条件求参数.【解析解析解析解析】由由
10、x2-3x+2=0得得x=1或或x=2,故集合故集合A=1,2.(1)AB=2,2 B,代入代入B中的方程中的方程,得得a2+4a+3=0,a=-1或或a=-3.当当a=-1时时,B=x|x2-4=0=-2,2,满足条件满足条件;当当a=-3时时,B=x|x2-4x+4=0=2,满足条件满足条件.综上综上,a的值为的值为-1或或-3.返回目录返回目录 返回目录返回目录(2)对于集合对于集合B,=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).A B=A,BA,当当0,即即a0,即即a-3时时,B=A=1,2才能满足条件才能满足条件.则由根与系数的关系得则由根与系数的关系得 1+2=-2(a+1)
11、a=-12=a2-5,a2=7综上综上,a的取值范围是的取值范围是a-3.,矛盾矛盾.即即返回目录返回目录(3)A(CUB)=A,A CUB,AB=.若若B=,则则0 a-3,此时需此时需1B且且2B.将将2代入代入B的方程得的方程得a=-1或或a=-3(舍去舍去);将将1代入代入B的方程得的方程得a2+2a-2=0 a=-1 .a-1且且a-3且且a-1 .综上综上,a的取值范围是的取值范围是a-3或或-3a-1-或或-1-a-1或或-1a-1+.返回目录返回目录 【评评 析析评评 析析】解解决决参参数数问问题题的的集集合合运运算算,首首先先要要理理清清题题目目要要 求求,看看清清集集合合间
12、间存存在在的的相相互互关关系系,注注意意分分类类讨讨论论 、数数形形结结合合思思想想的的应应用用 ，还还要要注注意意空空集集作作为为一一个个特特殊殊集集合合与与非非空空集集合合间间的的关关系系 ，在在解解题题中中漏漏掉掉它它极极易易导导致致错错解解.已知集合已知集合M=x|x-1|2,x R,P=,则则MP等于等于()A.x|0 x3,x Z B.x|0 x3,x Z C.x|-1x0,x Z D.x|-1x0,x Z 返回目录返回目录 B B对应演练对应演练对应演练对应演练B(M=x|x-1|2,x R=x|-1x3,x R,P=x|-1x4,x Z,MP=x|0 x3,x Z.故应选故应选
13、B.)考点四考点四考点四考点四 维恩维恩维恩维恩(Venn)(Venn)图的应用图的应用图的应用图的应用 向向50名学生调查对名学生调查对A,B两事件的态度两事件的态度,有如下结果有如下结果:赞成赞成A的人数是全体的五分之三的人数是全体的五分之三,其余的不赞成；赞成其余的不赞成；赞成B的比的比赞成赞成A的多的多3个个,其余的不赞成其余的不赞成;另外另外,对对A,B都不赞成的都不赞成的学生数比对学生数比对A,B都赞成的学生数的三分之一多都赞成的学生数的三分之一多1人人.问对问对A,B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?返回目录返回目录【分析分析分析分析】
14、画出画出Venn图图,形象地表示出各数量关系间的联系形象地表示出各数量关系间的联系.返回目录返回目录 【解析解析解析解析】赞成赞成A的人数为的人数为50 =30(名名),赞成赞成B的人数的人数为为30+3=33(名名),如图如图,记记50名学生组成的集合为名学生组成的集合为U,赞成事赞成事件件A的学生全体为集合的学生全体为集合A;赞成事件赞成事件B的学生全体为集合的学生全体为集合B.设对事件设对事件A,B都赞成的学生人数为都赞成的学生人数为x，则对，则对A,B都不赞都不赞成的学生人数为成的学生人数为 +1，赞成，赞成A而不赞成而不赞成B的人数为的人数为30-x，赞成，赞成B而不赞成而不赞成A的
15、人数为的人数为33-x.由题意得由题意得 (30-x)+x+(33-x)+(+1)=50，x=21，对对A,B都赞成的都赞成的同学有同学有21人人,都不赞成的有都不赞成的有8人人.【评析评析评析评析】本题数量关系错综复杂本题数量关系错综复杂,似乎与集合无关似乎与集合无关,但若把各种情况分别视为一个集合但若把各种情况分别视为一个集合,则可利用维恩则可利用维恩(Venn)图直观求解图直观求解.返回目录返回目录 某校有某校有21个学生参加了数学小组个学生参加了数学小组,17个学生参加了物理个学生参加了物理小组小组,10个学生参加了化学小组个学生参加了化学小组,他们之中同时参加数学、他们之中同时参加数
16、学、物理小组的有物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的人，同时参加数学、化学小组的 有有 6人，同时参加物理、化学小组的有人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加三个人，同时参加三个小组的有小组的有2人，现在这三个小组的学生都要去市里参加人，现在这三个小组的学生都要去市里参加数理化竞赛，问需要预购多少张车票？数理化竞赛，问需要预购多少张车票？返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练 如图所示，该校学生参加三个小组的情况可看作下列互如图所示，该校学生参加三个小组的情况可看作下列互不包含的集合：不包含的集合：A,B,C,D,E,F,G.依题意可知依题意可知card(G)=2,c
17、ard(D)=12-2=10,card(E)=6-2=4,card(F)=5-2=3.card(A)=21-2-10-4=5，card(B)=17-2-3-10=2,card(C)=10-2-3-4=1.需要预购车票数为需要预购车票数为5+2+1+10+4+3+2=27.返回目录返回目录 考点五考点五考点五考点五 自定义集合的运算自定义集合的运算自定义集合的运算自定义集合的运算若集合若集合A1,A2满足满足A1 A2=A,则称则称(A1,A2)为集合为集合A的一种的一种分拆分拆,并规定并规定:当且仅当当且仅当A1=A2时时,(A1,A2)与与(A2,A1)为集为集合合A的同一种分拆的同一种分拆
18、,则集合则集合A=1,2,3的不同分拆种数是的不同分拆种数是()A.27 B.26 C.9 D.8【分析分析分析分析】在正确理解在正确理解“分拆分拆”定义的基础上定义的基础上,采用列举采用列举法法,注意分类注意分类.返回目录返回目录 A A 【解析解析解析解析】当当A1=时时,A2=1,2,3,只有一种分拆只有一种分拆;当当A1是单元素集时是单元素集时(有有3种可能种可能),则则A2必须至少包含除必须至少包含除该元素之外的两个元素该元素之外的两个元素,也可能包含也可能包含3个元素个元素,有两类情况有两类情况(如如A1=1时时,A2=2,3或或A2=1,2,3),这样这样A1是单元素集是单元素集
19、时的分拆有时的分拆有6种种;当当A1是两个元素的集合时是两个元素的集合时(有有3种可能种可能),则则A2必须必须至少包含除这两个元素之外的另一个元素至少包含除这两个元素之外的另一个元素,还可能包含还可能包含A1中的中的1个或个或2个元素个元素(如如A1=1,2时时,A2=3或或A2=1,3或或A2=2,3或或A2=1,2,3),这样这样A1是两个元素的集合时的分是两个元素的集合时的分拆有拆有12种种;返回目录返回目录 当当A1是三个元素的集合时是三个元素的集合时(只有只有1种种),则则A2可能包可能包含含0,1,2或或3个元素个元素(即即A1=1,2,3时时,A2可以是集合可以是集合1,2,3
20、的任意一个子集的任意一个子集),这样这样A1=1,2,3时的分拆有时的分拆有23=8(种种).集合集合A=1,2,3的不同分拆种数是的不同分拆种数是1+6+12+827(种种).故应选故应选A.返回目录返回目录 【评析评析评析评析】解此类问题的关键是理解并掌握题目给出的解此类问题的关键是理解并掌握题目给出的新定义新定义(或新运算或新运算).思路是找到与此新知识有关的所学知思路是找到与此新知识有关的所学知识识,帮助理解帮助理解.同时同时,找出新知识与所学相关知识的不同找出新知识与所学相关知识的不同之处之处,通过对比，加深对新知识的认识通过对比，加深对新知识的认识.返回目录返回目录 设集合设集合S
21、=A0,A1,A2,A3,在在S上定义运算上定义运算为为:Ai Aj=Ak,其其中中k为为i+j被被4除的余数除的余数,i,j=0,1,2,3,则满足关系式则满足关系式(x x)A2=A0的的x(x S)的个数为的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4B对应演练对应演练对应演练对应演练 返回目录返回目录 B(验证法验证法:(A0 A0)A2=A0 A2=A2A0,A0不满足关系式；不满足关系式；（A1 A1）A2=A2 A2=A0，A1符合关系式；符合关系式；（A2 A2）A2=A0 A2=A2A0,A2不满足关系式不满足关系式;(A3 A3)A2=A2 A2=A0,则则A3符合关系式符合关
22、系式.故应选故应选B.)1.1.在进行集合的运算时要注意：在进行集合的运算时要注意：在进行集合的运算时要注意：在进行集合的运算时要注意：勿忘对空集的讨勿忘对空集的讨勿忘对空集的讨勿忘对空集的讨论；论；论；论；勿忘集合中元素的互异性；勿忘集合中元素的互异性；勿忘集合中元素的互异性；勿忘集合中元素的互异性；对于集合对于集合对于集合对于集合A A的补集的补集的补集的补集运算，勿忘运算，勿忘运算，勿忘运算，勿忘A A必须是全集的补集；必须是全集的补集；必须是全集的补集；必须是全集的补集；对于含参数（或待对于含参数（或待对于含参数（或待对于含参数（或待定系数）的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍定系数
23、）的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍定系数）的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍定系数）的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍.2.2.在集合运算过程中应力求做到在集合运算过程中应力求做到在集合运算过程中应力求做到在集合运算过程中应力求做到“三化三化三化三化”：(1)(1)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集还是图形，是表示函数的定义域、值域还是方程点集还是图形，是表示函数的定义域、值域还是方程点集还是图形，是表示函数的定义域、值域还是方程点集还是图形，
24、是表示函数的定义域、值域还是方程或不等式的解集或不等式的解集或不等式的解集或不等式的解集.返回目录返回目录 高考专家助教高考专家助教 (2)(2)直观化：借助数轴、直角坐标平面、直观化：借助数轴、直角坐标平面、直观化：借助数轴、直角坐标平面、直观化：借助数轴、直角坐标平面、VennVenn图等图等图等图等将有关集合直观地表示出来将有关集合直观地表示出来将有关集合直观地表示出来将有关集合直观地表示出来.(3)(3)具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简单形式应力求将相关集合转化为最简单形式应力求将相关集合转化为最简单形式应力求将相关集合转化为最简单形式.返回目录返回目录