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1、1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 的的陈述句叫做命题陈述句叫做命题.其中其中 的语句叫真命题的语句叫真命题, 的语句叫假命题的语句叫假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题四种命题判断真假判断真假 判断为真判断为真 判断为假判断为假 命命 题题表述形式表述形式原命题原命题若若p,p,则则q q逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题若若q ,则则 p 若若 p,则则 q 若若 q,则则 p (2) 四种命题间的逆否关系四种命题间的逆否关系逆命题逆命题 否命题否命题 逆否命题逆否命题 (3)四种命题的真假关系四种命题的真假关系 两个命题
2、互为逆否命题两个命题互为逆否命题,它们有它们有 的真假性的真假性; 两个命题互为逆命题或互为否命题两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假它们的真假 性性 . 3.命题 pq , pq ,p的真假判断相同相同 没有关系没有关系p pq qpqpqpqpqp p真真真真真真假假假假真真假假假假真真真真真真真真真真真真假假假假假假假假假假假假 4.含有一个量词的命题的否定 5.充分条件与必要条件 (1)如果如果p q,则则p是是q的的 ,q是是p ; (2)如果如果p q,q p,则则p是是q的的 . 6.特别注意特别注意: :命题的否命题是既否定命题的条件命题的否命题是既否定命题的条件, ,又
3、否又否 定命题的结论定命题的结论; ;而命题的否定是只否定命题的结论而命题的否定是只否定命题的结论. .命命 题题命题的否定命题的否定xM,P(x)xM,P(x) xM,P(x) xM,P(x) 充要条件充要条件 充分条件充分条件 必要条件必要条件 xM, P(x)xM, P(x)分别写出由下列各组命题构成的分别写出由下列各组命题构成的“pq”“pq”“ p”形式的命题的真假形式的命题的真假.(1) p:3是是9的约数，的约数，q:3是是18的约数的约数;(2) p:菱形的对角线相等，菱形的对角线相等，q :菱形的对角线互相垂直菱形的对角线互相垂直;(3) p:方程方程x2+x-1=0的两实根
4、符号相同的两实根符号相同, q : 方程方程x2+x- 1=0的两实根绝对值相等的两实根绝对值相等;(4) p:是有理数是有理数,q:是无理数是无理数.由含逻辑联结词由含逻辑联结词 “或或” “且且” “非非” 的命的命题的形式及其真值表直接判断题的形式及其真值表直接判断. (1) p是真命题是真命题,q是真命题是真命题,pq是真命题是真命题,pq是真命题是真命题, p是假命题是假命题.(2) p是假命题是假命题,q是真命题是真命题,pq是真命题是真命题,pq是假命题是假命题, p是真命题是真命题.(3) p是假命题是假命题,q是假命题是假命题,pq是假命题是假命题,pq是假命题是假命题, p
5、是真命题是真命题.(4) p是假命题是假命题,q是真命题是真命题,pq是真命题是真命题,pq是假命题是假命题, p是真命题是真命题.判断含有逻辑联结词判断含有逻辑联结词“或或”“”“且且”“”“非非”的命题的真假：必须弄清构成它的命题的真假；弄的命题的真假：必须弄清构成它的命题的真假；弄清结构形式；由真值表判断真假清结构形式；由真值表判断真假.分别指出由下列命题构成的分别指出由下列命题构成的“pq”“pq”“ p”形式形式的命题的真假的命题的真假.(1) p:42,3,q:22,3;(2) p:1是奇数是奇数,q:1 是质数是质数;(3) p:0,q:x|x2-3x-50R;(4) p:55,
6、q:27不是质数不是质数.(1) p是假命题是假命题,q是真命题是真命题,pq为真命题为真命题 , pq为假命题为假命题, p为真命题为真命题.(2) 1是奇数，是奇数，p是真命题，是真命题，又又1不是质数，不是质数，q是假命题，是假命题，因此因此pq为真命题，为真命题，pq为假命题为假命题, p为假命题为假命题.(3) 0 ,p为假命题为假命题,又又x2-3x-50 x|x2-3x-50= 成立成立.q为真命题为真命题.pq为真命题为真命题, pq为假命题为假命题, p为真命题为真命题.2 22 29 93 3x x2 22 29 93 3R R2 22 29 93 3x x2 22 29
7、93 3x x(4)显然显然p:55为真命题为真命题,q: 27不是质数为真命题不是质数为真命题,pq为真命题为真命题,pq为真命题为真命题, p为假命题为假命题.写出下列命题的否定，并判断其真假写出下列命题的否定，并判断其真假. p:xR, q:所有的正方形都是矩形所有的正方形都是矩形;(3) r:xR，x2+2x+20;(4)s:至少有一个实数至少有一个实数x，使，使x3+1=0.0;0;4 41 1x x- -x x2 2在全称命题和特称命题的否定中，应明确全在全称命题和特称命题的否定中，应明确全称量词与存在量词是如何对应转换的，称量词与存在量词是如何对应转换的， 全称命题的否定全称命题
8、的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题是特称命题，而特称命题的否定是全称命题. (1) p:xR, x2-x+ 0.(假）假）这是由于这是由于xR, x2-x+ =(x- )20恒成立恒成立. (2) q:至少存在一个正方形不是矩形至少存在一个正方形不是矩形.(假假) (3) r: xR,x2+2x+20.(真真) (4) s: xR,x3+10.（假）（假）41 4121 命题的命题的“否定否定”与一个命题的与一个命题的“否命题否命题”是两个不同的概念，对命题是两个不同的概念，对命题 p 的否定是否定命题所作的否定是否定命题所作的判断，的判断， 而而“否命题否命题”是对是对“若若p，则
9、，则q”形式的命题而形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论言，既要否定条件也要否定结论.写出下列命题的否定，并判定真假写出下列命题的否定，并判定真假.(1) 所有的矩形都是平行四边形所有的矩形都是平行四边形;(2) 有些实数的绝对值是正数有些实数的绝对值是正数.(1) 至少存在一个矩形不是平行四边形至少存在一个矩形不是平行四边形(假假).(2) 所有实数的绝对值都是正数所有实数的绝对值都是正数(假假).把下列命题改写成把下列命题改写成“若若p ，则，则 q”的形式的形式 ，并写出它们，并写出它们的的 逆命题、否命题、逆否命题逆命题、否命题、逆否命题.(1)正三角形的三内角相等正三角形的三内角
10、相等;(2)全等三角形的面积相等全等三角形的面积相等;(3)已知已知a,b,c,d是实数是实数,若若a=b,c=d,则则a+c=b+d. 先找出原命题的条件先找出原命题的条件p和结论和结论q , 然后根然后根据四种命题之间的关系直接写出据四种命题之间的关系直接写出. (1) 原命题原命题 : 若一个三角形是正三角形若一个三角形是正三角形, 则则 它的三个内角相等它的三个内角相等. 逆命题逆命题:若一个三角形的三个内角相等若一个三角形的三个内角相等,则这个三角则这个三角形是正三角形形是正三角形(或写成或写成 : 三个内角相等的三角形是正三三个内角相等的三角形是正三角形角形). 否命题否命题:若一
11、个三角形不是正三角形若一个三角形不是正三角形,则它的三个内则它的三个内角不全相等角不全相等. 逆否命题逆否命题:若一个三角形的三个内角不全相等若一个三角形的三个内角不全相等,那么那么这个三角形不是正三角形这个三角形不是正三角形 (或写成或写成 :三个内角不全相等三个内角不全相等的三角形不是正三角形的三角形不是正三角形). (2)原命题原命题:若两个三角形全等若两个三角形全等 , 则它们的面积相等则它们的面积相等. 逆命题逆命题:若两个三角形面积相等若两个三角形面积相等,则这两个三角形全则这两个三角形全等等(或写成或写成:面积相等的三角形全等面积相等的三角形全等). 否命题否命题:若两个三角形不
12、全等若两个三角形不全等,则这两个三角形面积则这两个三角形面积不相等不相等(或写成或写成:不全等的三角形面积不相等不全等的三角形面积不相等). 逆否命题逆否命题:若两个三角形面积不相等若两个三角形面积不相等, 则这两个三角则这两个三角形不全等形不全等. (3)原命题原命题:已知已知a,b,c,d是实数是实数,若若a=b,c=d,则则a+c=b+d.其中其中“已知已知a,b,c,d是实数是实数”是大前提，是大前提， “a与与b, c与与d都相等都相等”是条件是条件p,“a+c=b+d”是结论是结论q,所以所以 逆命题：已知逆命题：已知a,b,c,d是实数，若是实数，若a+c=b+d ， 则则a 与
13、与b,c与与d都相等都相等. 否命题否命题:已知已知a,b,c,d是实数是实数,若若a与与b,c与与d不都相等不都相等,则则a+cb+d. 逆否命题逆否命题:已知已知a,b,c,d是实数是实数,若若a+cb+d,则则a与与b, c与与d不都相等不都相等.已知原命题已知原命题,写出它的其他三种命题写出它的其他三种命题,首先首先把原命题改写成把原命题改写成“若若p,则则q”的形式的形式,然后找出其条件然后找出其条件p和结论和结论q,再根据四种命题的定义写出其他命题再根据四种命题的定义写出其他命题. 逆命题逆命题:“若若q，则，则p”；否命题：；否命题：“若若 p,则则 q”; 逆否命题：逆否命题：
14、“若若 q，则，则 p”，对写出的命题也可，对写出的命题也可简洁表述；对于含有大前提的命题，在改写命题形式简洁表述；对于含有大前提的命题，在改写命题形式时，大前提不要动时，大前提不要动. 把下列命题写成把下列命题写成“若若p则则q”的形式，并写出它们的逆的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题命题、否命题与逆否命题,并判断其真假并判断其真假.（1）当）当x=2时，时，x2-3x+2=0;（2）对顶角相等）对顶角相等.（1）原命题）原命题:若若x=2，则，则x2-3x+2=0.为真命题为真命题.逆命题逆命题:若若x2-3x+2=0,则则x=2.为假命题为假命题.否命题否命题:若若x2,则则x
15、2-3x+20.为假命题为假命题.逆否命题逆否命题:若若x2-3x+20,则则x2.为真命题为真命题.（2）原命题）原命题:若两个角是对顶角若两个角是对顶角,则它们相等则它们相等.为真命题为真命题.逆命题逆命题:若两个角相等若两个角相等,则它们是对顶角则它们是对顶角.为假命题为假命题.否命题否命题:若两个角不是对顶角若两个角不是对顶角,则它们不相等则它们不相等.为假命题为假命题.逆否命题逆否命题:若两个角不相等若两个角不相等,则它们不是对顶角则它们不是对顶角.为真命题为真命题.给出下列命题：给出下列命题：p:x-2=0;q:(x-2)(x-3)=0;p:两个三角形相似；两个三角形相似；q:两个
16、三角形全等两个三角形全等;p:m-2;q:方程方程x2-x-m=0无实根无实根;p:一个四边形是矩形一个四边形是矩形;q:四边形的对角线相等四边形的对角线相等.试分别指出试分别指出p是是q的什么条件的什么条件. (1)首先分清条件和结论首先分清条件和结论.(2)再看条件再看条件能否推出结论能否推出结论,结论能否推出条件结论能否推出条件.x-2=0(x-2)(x-3)=0，而而(x-2)(x-3)=0/ x-2=0,p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件.两个三角形相似两个三角形相似/ 两个三角形全等两个三角形全等,但两个三角形全等但两个三角形全等 两个三角形相似两个三角形相似,p是是q的必要
17、不充分条件的必要不充分条件.m-2方程方程x2-x-m=0无实根无实根,方程方程x2-x-m=0无实根无实根/ m0,a+b-1=0,即即a+b=1.综上可知综上可知,当当ab0时时,a+b=1的充要条件是的充要条件是a3+b3+ab- a2-b2=0.2b243b有关充要条件的证明问题有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条要分清哪个是条件件,哪个是结论哪个是结论,由由“条件条件” “结论结论”是证明命题的是证明命题的充分性，由充分性，由“结论结论”“条件条件”是证明命题的必要性是证明命题的必要性. 证明要分两个环节证明要分两个环节:一是充分性一是充分性;二是必要性二是必要性.证明一元二次方程
18、证明一元二次方程ax2 + bx +c=0有一正根和一负根的充有一正根和一负根的充要条件是要条件是ac0.:充分性充分性:若若ac0,且且ca0,x1x2=ca0,ac0. 综上所述综上所述,一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负有一正根和一负根的充要条件是根的充要条件是ac0 m0，若方程若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，无实根，则则=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)0,解得解得1m3，即，即q:1m2 m2 m1或或m3 1m3,即即m3 或或12，即，即p:m2. 或或 所以所以 （1）由简单命题和逻辑联结词构成的复合）由简单命题和逻辑联结词构
19、成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假真假也可以判断简单命题的真假.假若假若p且且q真，则真，则p 真，真，q也真也真;若若p或或q真，则真，则p,q至少有一个真；若至少有一个真；若p且且q假，则假，则p,q至少有一个假至少有一个假. （2）可把）可把“p或或q”为真命题转化为并集的运算为真命题转化为并集的运算;把把“p且且q”为真命题转化为交集的运算为真命题转化为交集的运算.由由 ,得得 0,即即 0,得得0m 3 ,p: mR,0m3.由关于由关于x的不等式的不等式x2-4x+m20的解集是空集得
20、的解集是空集得=16-4m22或或m2或或m-2,设设p: ;q:关于关于x的不等式的不等式x2-4x+m20 的解集的解集是空集，若是空集，若“pq”为真命题，为真命题，“pq”为假命题，求为假命题，求m的取值范围的取值范围.3232mm3232mm3232mm3mmpq为真为真,pq为假为假,p,q有且只有一个为真有且只有一个为真.若若p真真q假假,则则0m3且且-2m2,0m2.若若p假假q真真,则则m0或或m3,同时同时m2,m-2或或m3.m的取值范围是的取值范围是(-,-2)0,23,+). 3.“pq”为真，当且仅当为真，当且仅当p和和q中至少一个为真（一中至少一个为真（一真为真）；真为真）；“pq”为假，当且仅当为假，当且仅当p和和q中至少一个为中至少一个为假（一假为假）；假（一假为假）；p与与 p真假相反真假相反. 4.A是是B的充分不必要条件是指：的充分不必要条件是指：AB 且且 B / A； 5.A的充分不必要条件是的充分不必要条件是B，是指：，是指：BA且且 A / B.这两种说法是在充分必要条件推理判断中经常出现且容这两种说法是在充分必要条件推理判断中经常出现且容易混淆的说法易混淆的说法 ，在解题中一定要根据问题的设问方式，在解题中一定要根据问题的设问方式 ，弄清它们的区别，以免出现判断错误弄清它们的区别，以免出现判断错误.