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1、浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司复数、积分的相关概念及运算复数、积分的相关概念及运算20162016年年3 3月月2424日日11浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司 目录目录22常微分方程的概念常微分方程的概念1一一次常微分方程的解法次常微分方程的解法2二二阶常微分方程的解法阶常微分方程的解法3欧欧拉公式的证明拉公式的证明4常用的三角函数常用的三角函数5单自由度系统公式的求解单自由度系统公式的求解6浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司 目录目录33常微分方程的概念常微分方程的概念1一一次常微分方程
2、的解法次常微分方程的解法2二二阶常微分方程的解法阶常微分方程的解法3欧欧拉公式的证明拉公式的证明4常用的三角函数常用的三角函数5单自由度系统公式的求解单自由度系统公式的求解6浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司一、复数的概念一、复数的概念44浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司一、常微分方程的概念一、常微分方程的概念阶数阶数55微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高次数，称为微分方程的阶数。一阶二阶一阶浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司一、常微分方程的概念一、常微分方程的概念方程的解方程的解66引例2使方程成为恒等式的函数.通解 解中所含独
3、立的任意常数的个数与方程的阶数相同.特解引例1通解:特解:微分方程的解不含任意常数的解.浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司一、常微分方程的概念一、常微分方程的概念初值问题初值问题77初始条件:用来确定任意常数的条件.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.常微分方程初始条件问题一阶:过定点的积分曲线;二阶:浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司一、常微分方程的概念一、常微分方程的概念88解微分方程初始条件通解特解浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司 目录目录99常微分方程的概念常微分方程的概念1一一次常微分方程的解法次常微分方程的解法2二二阶常微分
4、方程的解法阶常微分方程的解法3欧欧拉公式的证明拉公式的证明4常用的三角函数常用的三角函数5单自由度系统公式的求解单自由度系统公式的求解6浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司二、一阶常微分方程二、一阶常微分方程可分离变量的方程可分离变量的方程1010形如的 微分方程，称为可分离变量方程。浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司二、一阶常微分方程二、一阶常微分方程可分离变量的方程可分离变量的方程1111浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司二、一阶常微分方程二、一阶常微分方程齐次方程齐次方程1212，形如 的方程，称为齐次方程。浪潮集团有限公司军品事业部山东超越
5、数控电子有限公司二、一阶常微分方程二、一阶常微分方程一阶线性齐次一阶线性齐次方程方程1313浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司二、一阶常微分方程二、一阶常微分方程一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程1414浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司二、一阶常微分方程二、一阶常微分方程一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程1515浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司二、一阶常微分方程二、一阶常微分方程伯努利方程伯努利方程1616浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司 目录目录1717常微分方程的概念常微分方程的概念1一一次常微分方程的解法次常微分方程的解法
6、2二二阶常微分方程的解法阶常微分方程的解法3欧欧拉公式的证明拉公式的证明4常用的三角函数常用的三角函数5单自由度系统公式的求解单自由度系统公式的求解6浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司三、二阶常微分方程三、二阶常微分方程可降阶的二阶常微分方程可降阶的二阶常微分方程1818浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司三、二三、二阶线性微分方程阶线性微分方程1919浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司三、二阶常微分方程三、二阶常微分方程的定理的定理2020浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司三、二阶常微分方程的定理三、二阶常微分方程的定理2121浪
7、潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司三、二三、二阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程2222浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司三、二阶常系数线性微分方程三、二阶常系数线性微分方程2323浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司三、二阶常系数线性微分方程三、二阶常系数线性微分方程2424浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司三、二阶常系数线性微分方程三、二阶常系数线性微分方程2525浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司三、二阶常系数线性微分方程三、二阶常系数线性微分方程2626浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司三
8、、二阶常系数线性微分方程三、二阶常系数线性微分方程2727浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司三、二阶常系数线性微分方程三、二阶常系数线性微分方程2828浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司三、二阶常系数线性微分方程三、二阶常系数线性微分方程2929浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司三、二三、二阶常阶常系数非齐次线性系数非齐次线性微分方程微分方程3030浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司三、二三、二阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程3131浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司三、二三、二阶常系数非齐次线
9、性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程3232浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司三、二三、二阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程3333浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司三、二阶常系数非齐次线性微分方程三、二阶常系数非齐次线性微分方程3434浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司三、二阶常系数非齐次线性微分方程三、二阶常系数非齐次线性微分方程3535浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司 目录目录3636常微分方程的概念常微分方程的概念1一一次常微分方程的解法次常微分方程的解法2二二阶常微分方程的解法阶常微分方程的解法3欧欧
10、拉公式的证明拉公式的证明4常用的三角函数常用的三角函数5单自由度系统公式的求解单自由度系统公式的求解6浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司四、欧拉方程的证明四、欧拉方程的证明3737浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司四、欧拉方程的证明四、欧拉方程的证明3838ex=1+x/1!+x2/2!+x3/3!+x4/4!+在在ex的展开式中把的展开式中把x换成换成ix因为因为(i)2=-1,(i)3=i,(i)4=1 e+ix=1+ix/1!-x2/2!-x3/3!+x4/4!=(1-x2/2!+)+i(x-x3/3!)cos x=1-x2/2!+x4/4!-x6/6!s
11、in x=x-x3/3!+x5/5!-x7/7!eix=cosx+isinx浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司 目录目录3939常微分方程的概念常微分方程的概念1一一次常微分方程的解法次常微分方程的解法2二二阶常微分方程的解法阶常微分方程的解法3欧欧拉公式的证明拉公式的证明4常用的三角函数常用的三角函数5单自由度系统公式的求解单自由度系统公式的求解6浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司五、常用的三角函数五、常用的三角函数4040sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAco
12、sB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=tan(A-B)=三角和公式三角和公式sin a+sin b=2sincossin a-sin b=2cossincos a+cos b=2coscoscos a-cos b=-2sinsin和差化积和差化积公式公式tan a+tan b=浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司五、常用的三角函数五、常用的三角函数4141asin a+bcos a=sin(a+c)(其中tan c=)asin a-bcos a=cos(a-c)(其中tan c=)浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有
13、限公司 目录目录4242常微分方程的概念常微分方程的概念1一一次常微分方程的解法次常微分方程的解法2二二阶常微分方程的解法阶常微分方程的解法3欧欧拉公式的证明拉公式的证明4常用的三角函数常用的三角函数5单自由度系统公式的求解单自由度系统公式的求解6浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司单自由度无阻尼系统单自由度无阻尼系统4343 取静平衡位置为坐标原点，向上为正。取静平衡位置为坐标原点，向上为正。此时弹簧的变形为此时弹簧的变形为 z l ls，而作用于质量上的力有重力，而作用于质量上的力有重力mg，方向朝下。，方向朝下。在撤消外力的瞬时，应用牛顿第二定律，可得系统的运动方程在撤消外
14、力的瞬时，应用牛顿第二定律，可得系统的运动方程 弹弹簧簧的的弹弹性性力力是是k(z l ls)，弹弹性性力力的的特特点点是是：始始终终使使质质量量恢恢复复到到平平衡衡状状态态，故故此时其方向也是向下：此时其方向也是向下：即即k未受外力作用，处于自由状态的弹簧未受外力作用，处于自由状态的弹簧l lsmg受重力受重力mg作用，弹簧被压缩作用，弹簧被压缩zT浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司单自由度无阻尼系统单自由度无阻尼系统4444 由于由于kl ls=mg，故式故式(12-1)可简化为：可简化为：由由上上式式可可知知，质质量量m所所受受的的合合外外力力是是：-kz，其其方方向向则
15、则始始终终与与弹弹簧簧的的变变形形方方向向相相反反，指指向向坐坐标标原原点点。因因为为这这个个力力总总是是起起着着使使物物体体恢恢复复到到平平衡衡位位置置的的作作用用，故故称称弹性恢复力弹性恢复力。现在用现在用m除式除式(12-2)，并引入符号，并引入符号，令，令k/m=2，则上式可改写为，则上式可改写为 z=c1 cos t+c2 sin t浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司五、常用的三角函数五、常用的三角函数4545浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司单自由度有阻尼系统单自由度有阻尼系统4646 它它受受到到的的合合力力是重力、弹性力和阻尼力是重力、弹性力和阻
16、尼力 之和，即之和，即 当物体运动到位置当物体运动到位置z处时，处时，阻尼阻尼衰减振动衰减振动zmgkckc 图图12-7表示有粘性阻尼的自由振动系统，表示有粘性阻尼的自由振动系统，k(z l ls)根据牛顿运动定律，可得物体运动微分方程根据牛顿运动定律，可得物体运动微分方程令令c/m=2 ，k/m=2，然后用然后用m遍除方程各项，遍除方程各项，则有则有 cz.=kl ls浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司单单自由度有阻尼系统自由度有阻尼系统4747二阶齐次线性微分方程特征根1.欠阻尼欠阻尼状态状态 即即 令令c1=Bsin，c2=Bcos，应用三角变换可得应用三角变换可得浪潮
17、集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司单自由度有阻尼系统单自由度有阻尼系统48482.过阻尼过阻尼状态状态 即即浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司单自由度有阻尼系统单自由度有阻尼系统49493 临界阻尼状态，即临界阻尼状态，即 此时特征方程此时特征方程 特征根为：特征根为：r1=r2=-，z e t(c1 c2 t)浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司单单自由度有阻尼强迫振动自由度有阻尼强迫振动5050kcUz(t)12.3.2 有阻尼系统的强迫振动有阻尼系统的强迫振动 图图中中Uz(t)=Usin pt 表表示示作作用用在在质质量量体体上上的的简简谐谐激
18、激振振力力。其其中中 U表表示示激激振振力力幅幅值值，p是是激激振振频频率率。由由于于重重力力已已被被kl ls平平衡衡，故故不不再再示示出出。该该系系统统除除了了多多一一个个激激振振力力作作用用于于物物体体之之外外，其其它它与与自自由由振振动动完完全全相相同同。故故只只要要在在有有阻阻尼尼自自由由振振动动方方程程式式的的(12.11)右边加上激振力一项，即可得到系统作强迫振动的运动方程右边加上激振力一项，即可得到系统作强迫振动的运动方程zkc kz Uz(t)Uz(t)(12-20)仍令：仍令：c/m=2，k/m=2，且令：，且令：U/m=u，则上式可化为如下形式：，则上式可化为如下形式：cz.浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司单自由度有阻尼强迫振动单自由度有阻尼强迫振动5151根据前面二阶常系数线性非齐次方程的解的形式：设其特解为：代入方程，得：得：根据三角函数：sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB 浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司单自由度有阻尼强迫振动单自由度有阻尼强迫振动5252故其特解为：浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司总结总结5353一阶线性齐次和非齐次微分方程解的形式？二阶常系数线性齐次和非齐次微分方程的解题思路及解的形式？浪潮集团有限公司军品事业部山东超越数控电子有限公司谢谢大家！54