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1、主讲教主讲教师：师：李晓沛李晓沛 1第1页 第二章 导数与微分第1节 导数概念2第2页导数产生背景导数产生背景导数定义导数定义求导举例求导举例导数几何意义导数几何意义 导数概念可导与连续关系可导与连续关系3第3页一.导数产生背景 1.物理背景 2.几何背景4第4页 变速直线运动物体作匀速直线运动时,有,这一速度其实是物体走完某一段旅程平均速度，平均速度记作V.因为匀速运动物体速度是不变，所以1.物理背景5第5页 因为变速直线运动物体速度 V(t)是变，所以，用这个公式算出平均速度 V 不能真实反应物体在时刻 t0 瞬时速度 V(t0).怎样求V(t0)?如图SS(t0)S(t0+t)0 在 t
2、0,t0+t 这段时间内物体平均速度为 t越小，近似值就越靠近准确值V(t0).V(t0)=?6第6页 平面曲线上切线概念割线PQ切线PT切点2.几何背景 平面曲线切线问题 7第7页沿曲线趋近于点 A 时极限位置.平面曲线 y=f(x)切线：曲线在点 A(x0,y0)处切线 AT 为过曲线上点 A 任意一条割线 AA 当点 A(x0+x,y0+y)定义定义切线方程:其中,8第8页(1)建立一个函数关系 y=f(x)xI.(2)求函数由 x0 到 x0+x 平均改变率：处理与速度改变或改变率相关问题步骤:(3)求 x 0 极限：小结9第9页设函数 f(x)在 U(x0)有定义,且 x0+x U(
3、x0).则称函数 f(x)在点 x0 处可导,极限值 a 称为 f(x)在假如极限存在,点 x0 处导数.记为定义定义1.导数定义二.导数概念10第10页假如函数 f(x)在点 x0 处可导,则11第11页存在，则称f(x)在x0可导(或称f(x)在 x0 导数存在).不然，称 f(x)在x0不可导(或称 f(x)在 x0导数不存在).尤其注注1.若12第12页设函数 f(x)在 x0,x0+)内有定义,若则称 a 为 f(x)在点 x0 处右导数.记为2.左、右导数定义定义则称 a 为 f(x)在点 x0 处左导数.记为定理定理定理定理设函数 f(x)在(x0-,x0,内有定义,若13第13
4、页3.导函数若 x(a,b),函数 f(x)皆可导,则说 f(x)在(a,b)内可导.这时 f(x)是关于 x 一个新函数,称之为 f(x)在(a,b)内导函数.通常我们仍称之为 f(x)在(a,b)内导数：导数：定义定义14第14页函数在点 x0 I 处导数:若 f(x)在(a,b)内可导,且 存在,则称 f(x)在 a,b 上可导,f(x)称为 f(x)在 a,b 上导函数,简称为导数.先求导、后代值.定义定义15第15页4.求函数导数求导数可分为以下几步：1.写出函数增量2.算比值3.求极限16第16页17第17页例例1 118第18页或主要极限和差化积等价无穷小（仿照正弦函数推导方法）
5、19第19页20第20页(x)=x121第21页总总 结结22第22页5.导数几何意义此时,切线方程为:函数 f(x)在点 x0 导数 f(x0)就是对应平面曲线 y=f(x)在点(x0,y0)处切线斜率 k:5.导数几何意义23第23页切线平行于x 轴：曲线 y=f(x)在点 x0 处切线可能平行于x 轴、垂直于 x 轴、或不存在,所反应出导数值是：切线垂直于x 轴：（曲线为连续曲线）在点 x0 处无切线：f(x0)不存在.24第24页 y O x x0 y=c f(x0)=0 y O x f(x0)=x0 O xyx0 y O x x0f(x0)不存在f(x0)不存在25第25页在任意一点
6、 x 处,有在点(1,1)处 故所求切线方程为：求曲线 y=x2上任意一点处切线斜率,并求在点(1,1)处切线方程.即 y=2x 1.y 1=2(x 1),例例2 2解26第26页三 可导与连续关系设 f(x)在点 x0 可导,即有于是故只是必要条件！无穷小27第27页y=|x|在点 x=0 连续,但不可导.故 f(0)不存在.y=|x|Oxy例例3 3解28第28页在点 x=0 处连续性和可导性.又 当 nN 时,函数在在点 x=0 处连续.例例4 4解29第29页当 n=1 时,不存在,故 n=1 时,函数在 x=0 处不可导.当 n 1 时,故 n 1时,函数在 x=0 处可导.其导数为
7、30第30页 f(x)在 x=0 处可导,从而 f(x)=1+bx,x0e x,x 0f(0)=1 f(x)在 x=0 处连续,f(0)=a.解设a+bx,x 0求 a,b 之值.e x,x 0y=在 x=0 可导,练习练习31第31页由可导性：故 b=1,此时函数为f(x)=1 x,x 0e x,x 0f(x)=1+bx,x0e x,x 0f(0)=132第32页P46 习题2-1一、1，333第33页 第二章 导数与微分第2节 求导法则和基本公式34第34页定理定理和、差、积、商求导法则和、差、积、商求导法则35第35页推论推论36第36页例例1 1解解例例2 2解解37第37页例例3 3
8、解解同理可得同理可得38第38页例例4 4解解同理可得同理可得39第39页例例5 5解解40第40页41第41页注意注意:分段函数分段函数求导时求导时,分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.42第42页例例 求曲线求曲线 上与上与 轴平行轴平行切线方程切线方程.令令切点为切点为所求切线方程为所求切线方程为和和解解43第43页练练 习习 题题44第44页第二章第二章 第一、二节第一、二节第一章第二、三节第一章第二、三节P46P46习题习题2-1 2-1 1.1.（2 2）6.6.（3 3）P53 P53习题习题2-2 2-2 1 1（2 2）2.(4)2.(4)（7 7）（）（9 9）45第45页