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1、第六章 平面向量及其应用 朝阳区课程资源高一下数学 第12课时 6.4.3 6.4.3 解三角形解三角形主要结论的回顾主要结论的回顾一、正弦定理一、正弦定理三角形外接圆半径三角形外接圆半径2 2、三角形面积公式、三角形面积公式1 1、公式的变形、公式的变形 二、余弦定理二、余弦定理主要结论的回顾主要结论的回顾公式变形公式变形若若C=900,则则 勾股定理是余弦定理的特例勾股定理是余弦定理的特例C=900C900C900直角三角形直角三角形钝角三角形钝角三角形锐角三角形锐角三角形“边边角问题边边角问题”由余弦定理 由正弦定理得 小结小结“边边角问题边边角问题”求第三边求第三边1 1、可以使用正弦
2、、也可用余弦；、可以使用正弦、也可用余弦；2 2、当已知角对大边，用余弦方便；当已知角对大边，用余弦方便；当已知角对小边，用余弦当已知角对小边，用余弦可能无解、一解或两解，注意检验。可能无解、一解或两解，注意检验。“边边角问题边边角问题”22思考思考：是否可以用正弦定理来解呢？正弦、余弦关系在解三角形的作用正弦、余弦关系在解三角形的作用主要结论主要结论已知三角形已知三角形中中的几个元素，求其他元素的过程的几个元素，求其他元素的过程检验方法：检验方法：三角形内角和为三角形内角和为1800 大边对大角，两边之和大于第三边大边对大角，两边之和大于第三边 画画三角形三角形 将解代回已知条件，看是否符合
3、。将解代回已知条件，看是否符合。（1）已知三边，或）已知三边，或两边及夹角两边及夹角用用余弦定理余弦定理（2）已知）已知两角及任意一边两角及任意一边用正弦定理用正弦定理（3）已知两边及一边对角，可）已知两边及一边对角，可用正弦定理、用正弦定理、也可以用余弦定理。也可以用余弦定理。（此时会出现无解、一解、两解的情况）（此时会出现无解、一解、两解的情况）“边边角问题边边角问题”例例3 3 在在ABC中，已知中，已知 试判断试判断ABC的形状的形状.“角角化边化边”法一：“边化角边化角”又故 是等腰直角三角形.法二：相关角的定义相关角的定义相关角的定义相关角的定义【仰角】：目标视线在水平线上方与水平
4、线的夹角【仰角】：目标视线在水平线上方与水平线的夹角【俯角】：目标视线在水平线下方与水平线的夹角【俯角】：目标视线在水平线下方与水平线的夹角【定义】：从某点的正北方向起，按顺时针方向【定义】：从某点的正北方向起，按顺时针方向 旋转到目标方向线所成的最小正角旋转到目标方向线所成的最小正角【定义】：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角【定义】：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角铅垂线视线视线水平线仰角仰角俯角俯角北东北东仰角和俯角方位角方向角OA：北偏西北偏西北偏西北偏西4040，OBOB：南偏西：南偏西：南偏西：南偏西6060例例4 4 如图如图，A，B两点在河的两岸，一测量者在两点在河的
5、两岸，一测量者在A的同侧，设计一种测量的同侧，设计一种测量A，B两点间的距离的方案，并求出两点间的距离的方案，并求出A，B间的距离间的距离.测量距离的问题测量距离的问题测量距离的问题测量距离的问题AB测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离,，利用正弦定理求出AB长度.思考：测量问题中，对于可到达的两点之间的距离，一般直接测量；一点可到达，一点不可到达如例1；两点均不可到达，该如何测量呢？分析：若测量者在A，B两点的对岸取定一点C（称作测量基点），则在点C处只能测出ACB的大小，因而无法解决问题.为此，可以再取一点D，测出线段CD的长，以及ACD，CDB，BDA，这样就可借助
6、正弦和余弦定理算出距离了.测量距离的问题测量距离的问题测量距离的问题测量距离的问题变式变式 如图如图，A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离的两点间的距离的方法，并求出方法，并求出A，B间的距离间的距离.AB【解析】如图，在A，B两点的对岸选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA=，在ADC和BDC中，应用正弦定理得于是在ABC中,由余弦定理可得AB两点间的距离测量距离的问题测量距离的问题测量距离的问题测量距离的问题解决实际问题解决实际问题的步骤的步骤分析分析建模建模求解求解
7、检验检验解题方法的总结解题方法的总结 “边化角，角化边边化角，角化边”是也我们解决三角形问题的主要策略。是也我们解决三角形问题的主要策略。（1）已知三边，或）已知三边，或两边及夹角用两边及夹角用余弦定理；余弦定理；（2）已知）已知两角及任意一边用正弦定理两角及任意一边用正弦定理 （3）已知两边及一边对角，可用正弦定理、也可以用余弦定理。）已知两边及一边对角，可用正弦定理、也可以用余弦定理。（此时会出现无解、一解、两解的情况）（此时会出现无解、一解、两解的情况）“边边角问题边边角问题”求边，利用余弦定理，建立所求边的二次方程较为简便。求边，利用余弦定理，建立所求边的二次方程较为简便。三角形中的正余弦关系，完美地揭示了三角形边与角三角形中的正余弦关系，完美地揭示了三角形边与角之间的秘密，让我们在边角之间任意转换。之间的秘密，让我们在边角之间任意转换。谢谢您的观看北京市朝阳区教育研究中心 制作