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1、第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理1 1 大数定律大数定律2 2 中心极限定理中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理1 1 大数定律大数定律大数定律的定义大数定律的定义切比晓夫大数定律切比晓夫大数定律贝努里大数定律贝努里大数定律辛钦大数定律辛钦大数定律1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理问题：问题：测量一个工件时，由于测量具有误差，测量一个工件时，由于测量具有误差，为什么为什么以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的次数足够多，总可以达到要求的精度？次数足够多，总可以达到要求的精度？我们把这问题给出数学表达：
2、我们把这问题给出数学表达：这里反映了什么样的客观统计规律呢？这里反映了什么样的客观统计规律呢？如果工件的真值为如果工件的真值为1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理即大量测量值的算术平均值具有稳定性。即大量测量值的算术平均值具有稳定性。这就是大数定律所阐述的。这就是大数定律所阐述的。测量的经验就是：测量的经验就是：1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理定义定义1若对任意若对任意想想：想想：数列的收敛性定义，比较数列与随机变量序列数列的收敛性定义，比较数列与随机变量序列 收敛性的区别。收敛性的区别。一、定义一、定义第五章 大数定律及中心极限定理定义定义2对任意对任意1 大数定律1 大数定
3、律第五章 大数定律及中心极限定理定理定理1回忆数列的性质，比较它们的相似和不同性。回忆数列的性质，比较它们的相似和不同性。1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理定理定理2 2（契比雪夫契比雪夫大数大数定律定律）返回主目录且具有相同的数学且具有相同的数学期望及方差，期望及方差，1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理由切比晓夫不等式得：由切比晓夫不等式得：证：证：思考：思考：能否把定理中独立性条件减弱？能否把定理中独立性条件减弱？第五章 大数定律及中心极限定理定理定理3（贝努里大数定律）（贝努里大数定律）(Bernoulli大数定律大数定律)证：证：令令1 大数定律第五章 大数定律及中心极
4、限定理由定理由定理2有有该定理给出了频率的稳定性的严格的数学意义。该定理给出了频率的稳定性的严格的数学意义。1 大数定律1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理注：注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。定理定理4（辛钦大数定律）（辛钦大数定律）且具有数学期望且具有数学期望思考：思考：比较辛钦大数定律与比较辛钦大数定律与切比晓夫切比晓夫大数定律条件的大数定律条件的 差别及强弱。差别及强弱。第五章 大数定律及中心极限定理22 中心极限定理中心极限定理定义定义独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理德莫佛德莫佛-拉普
5、拉斯定理拉普拉斯定理用频率估计概率时误差的估计用频率估计概率时误差的估计2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理一、定义一、定义返回主目录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理定理定理1（独立同分布的中心极限定理）（独立同分布的中心极限定理）中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也是统计学中处理大样本时的重要工具。是统计学中处理大样本时的重要工具。二、中心极限定理二、中心极限定理2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理定理定理2（李雅普诺夫定理）（李雅普诺夫定理）(Liapunov定理定理)返回主目录则则 服从中心极限定理，即：服
6、从中心极限定理，即：第五章 大数定律及中心极限定理由定理由定理1有结论成立。有结论成立。定理定理3（德莫佛（德莫佛-拉普拉斯定理）拉普拉斯定理）(De Moivre-Laplace)证明：证明：由二项分布和两点分布的关系知由二项分布和两点分布的关系知其中其中 相互独立且都服从于两点分布，且相互独立且都服从于两点分布，且2 中心极限定理2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理推论：推论：说明：说明：这个公式给出了这个公式给出了n 较大时二项分布的概率较大时二项分布的概率 计算方法。计算方法。返回主目录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理例例1 车间有车间有200台车床，它们独立地
7、工作着，开台车床，它们独立地工作着，开工率为工率为0.6,开工时耗电各为开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保的概率保证这个车间正常生产。证这个车间正常生产。设至少要供给这个车间设至少要供给这个车间 r 千瓦电才能以千瓦电才能以99.9%的概的概率保证这个车间正常生产。由题意有率保证这个车间正常生产。由题意有解：解：记某时刻工作着的车床数为记某时刻工作着的车床数为 X，则则 X B(200,0.6).第五章 大数定律及中心极限定理即供给即供给141千瓦电就能以千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车的概率保证
8、这个车间正常生产。间正常生产。返回主目录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理用频率估计概率时误差的估计：用频率估计概率时误差的估计：由上面的定理知由上面的定理知用这个关系式可解决许多计算问题。用这个关系式可解决许多计算问题。返回主目录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理第一类问题是第一类问题是第二类问题第二类问题是是问最少应做多少次试验？问最少应做多少次试验？这时只需求满足下式的最小的这时只需求满足下式的最小的 n,第三类问题第三类问题是是返回主目录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理例例2 今从良种率为今从良种率为1/6的种子中任取的种子中任取6000粒，问能粒
9、，问能以以0.99的概率保证在这的概率保证在这6000粒种子中良种所占的粒种子中良种所占的比例与比例与1/6的差的绝对值不超过多少？相应的良种的差的绝对值不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？粒数在哪个范围内？解：解：由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理返回主目录第五章 大数定律及中心极限定理故近似地有故近似地有返回主目录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理良种粒数良种粒数X的范围为的范围为返回主目录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理例例3 系统由系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为个部件的损坏率为0.1。系统要
10、正常工作，至少有。系统要正常工作，至少有85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。个部件正常工作，求系统正常工作的概率。解：解：由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯定理有拉普拉斯定理有则则 XB(100,0.1)。则整个系统能正常工作当且仅当则整个系统能正常工作当且仅当设设X是损坏的部件数，是损坏的部件数，第五章 大数定律及中心极限定理例例4 一加法器同时收到一加法器同时收到20个噪声电压，个噪声电压，返回主目录设设它它们们是是互互相相独独立立的的随随机机变变量量，且且都都在在区区间间(0,10)上上服从均匀分布，记服从均匀分布，记 2 中心极限定理 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量一生产线生产的
11、产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为千克，标准差为5千千克。若用最大载重量为克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于障不超载的概率大于0.977。例例5解：解：设最多可装设最多可装 n 箱，保障不超载的概率大于箱，保障不超载的概率大于0.977。由中心极限定理有由中心极限定理有第五章 大数定律及中心极限定理2 中心极限定理例例5（续）（续）因此最多可装因此最多可装 98 箱，保障不超载的概率大于箱，保障不超载的
12、概率大于0.977。第五章 大数定律及中心极限定理1)1)了解大数定律的意义和内容，理解贝努里、辛了解大数定律的意义和内容，理解贝努里、辛 钦大数定律，了解切比晓夫大数定律。钦大数定律，了解切比晓夫大数定律。第五章第五章 小小 结结要求：要求：1)1)大数定律的定义，贝努里、辛钦大数定律，切比大数定律的定义，贝努里、辛钦大数定律，切比 晓夫大数定律；晓夫大数定律；主要内容：主要内容：2)2)中心极限定理的定义，独立同分布的中心极限中心极限定理的定义，独立同分布的中心极限 理和德莫佛理和德莫佛-拉普拉斯定理及应用。拉普拉斯定理及应用。2)2)理解中心极限定理的含义及其客观背景，要掌理解中心极限定理的含义及其客观背景，要掌 握独立同分布的中心极限定理和德莫佛握独立同分布的中心极限定理和德莫佛-拉普拉拉普拉 斯定理，斯定理，会利用中心极限定理解决一般实际应会利用中心极限定理解决一般实际应 用问题。用问题。