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1、44.协方差及相关系数协方差及相关系数第四章 随机变量的数字特征协方差的定义协方差的定义协方差的性质协方差的性质相关系数的定义相关系数的定义相关系数的性质相关系数的性质4 协方差第四章 随机变量的数字特征一、协方差一、协方差称称 COV(X,Y)=E(X EX)(Y-EY)=E XY EX EY为随机变量为随机变量 X,Y 的的协方差协方差.COV(X,X)=DX.称为随机变量称为随机变量 X,Y 的的相关系数相关系数。是一个无量纲的量；是一个无量纲的量；1）协方差的定义协方差的定义2）相关系数的定义）相关系数的定义4 协方差第四章 随机变量的数字特征证明：证明：E XY=EX EY所以所以C
2、OV(X,Y)=0.由数学期望的性质由数学期望的性质:3)定理定理：若若X，Y 独立，则独立，则 X,Y 不相关。不相关。4)(反之，不然）反之，不然）称称 X,Y 不相关不相关，此时此时 COV(X，Y)=0.若若X，Y 独立，独立，注意：注意：若若 E(X EX)(Y-EY)则则X，Y一定相关，且一定相关，且 X，Y 一定不独立。一定不独立。即即 EXY-EXEY二、协方差的性质二、协方差的性质第四章 随机变量的数字特征4 协方差1)COV(X,Y)=COV(Y,X)2)COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)；3)COV(X+Y,Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);5)X，Y不相
3、关不相关COV(X,Y)=E(X EX)(Y-EY)三、相关系数的性质三、相关系数的性质证明：证明：令：令：第四章 随机变量的数字特征4 协方差求求a，b 使使 e 达到最小。达到最小。令：令：第四章 随机变量的数字特征4 协方差得：得：第四章 随机变量的数字特征返回主目录第四章 随机变量的数字特征返回主目录即即由上式得由上式得:4 协方差现在证明：现在证明：由上面知此时由上面知此时第四章 随机变量的数字特征4 协方差从而从而 所以所以第四章 随机变量的数字特征4 协方差反之，若存在反之，若存在 使使，这时这时故故 则则故故第四章 随机变量的数字特征4 协方差说说 明明X与与Y之间没有线性关系
4、并不表示它们之间没有关系。之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。X 与与 Y 不相关，但不一定相互独立。不相关，但不一定相互独立。第四章 随机变量的数字特征4 协方差返回主目录例例1第四章 随机变量的数字特征4 协方差返回主目录第四章 随机变量的数字特征4 协方差返回主目录由上述知：由上述知：则：则：例例2设设(X，Y)服从二维正态分布，求：服从二维正态分布，求：第四章 随机变量的数字特征4 协方差令令：第四章 随机变量的数字特征4 协方差返回主目录第四章 随机变量的数字特征返回主目录第四章 随机变量的数字特征返回主目录故故4 协方差例例3证明：证明：第四章 随机变量的数字特征4 协方差第四章 随机变量的数字特征4 协方差2）则根据切比雪夫不等式有则根据切比雪夫不等式有3）思考题：思考题：1)第四章 随机变量的数字特征4 协方差小结：小结：1）协方差的定义和性质；）协方差的定义和性质；2）相关系数的定义性质；）相关系数的定义性质；3）不相关的定义及等价条件；不相关的定义及等价条件；4）独立性与不相关性的关系；）独立性与不相关性的关系；5）二维正态分布的不相关性与独立性等价。）二维正态分布的不相关性与独立性等价。