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1、离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布随机变量的分布函数随机变量的分布函数连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布第二章 随机变量及其分布1 1 随机变量随机变量第二章 随机变量及其分布例例 1 1 袋中有袋中有3 3只只黑黑球，球，2 2只只白白球，从中任意取出球，从中任意取出3 3只球我们将只球我们将3 3只黑球分别记作只黑球分别记作1 1，2 2，3 3号，号，2 2只白只白球分别记作球分别记作4 4，5 5号，则该试验的样本空间为号，则该试验的样本空间为1 随机变量返回主目录考察取出的考察取出的3 3只球中的只球中的黑球的个数。
2、黑球的个数。我们记取出的我们记取出的黑球数为黑球数为X，则则 X 的可能取值为的可能取值为1，2，3因此，因此，X 是一个变量但是，是一个变量但是，X 取什么值依赖于取什么值依赖于试验结果，即试验结果，即 X 的取值带有随机性，所以，我们称的取值带有随机性，所以，我们称 X 为随机变量为随机变量X 的取值情况可由下表给出：的取值情况可由下表给出：第二章 随机变量及其分布1 随机变量由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量着变量 X 的一个确定的取值，因此变量的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空是样本空间间S上的函数：上的函数：我们定义了
3、随机变量后，就可以用随机变量的取值我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件例如情况来刻划随机事件例如 表示至少取出表示至少取出2个黑球这一事件，等等个黑球这一事件，等等第二章 随机变量及其分布 表示取出表示取出2个黑球这一事件；个黑球这一事件；返回主目录第二章 随机变量及其分布1 随机变量返回主目录例例2 掷一颗骰子，令掷一颗骰子，令 X：出现的点数出现的点数则则 X 就是一个随机变量就是一个随机变量 表示掷出的点数不超过表示掷出的点数不超过 4 这一随机事件；这一随机事件；表示掷出的点数为偶数这一随机事件表示掷出的点数为偶数这一随机事件它的取值为它的取值为1，2，3，4
4、，5，6例例3 上午上午 8:009:00 在某路口观察，令：在某路口观察，令：Y：该时间间隔内通过的汽车数该时间间隔内通过的汽车数则则 Y 就是一个随机变量就是一个随机变量 表示通过的汽车数小于表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；辆这一随机事件；表示通过的汽车数大于表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过辆但不超过 100 辆这一辆这一随机事件随机事件第二章 随机变量及其分布1 随机变量返回主目录它的取值为它的取值为 0，1，注意注意 Y 的取值是可列无穷个！的取值是可列无穷个！例例 4 观察某电子元件的寿命（单位：小时），令观察某电子元件的寿命（单位：小时），令 Z：该该电子元件电子元
5、件的寿命的寿命则则Z 就是一个随机变量它的取值为所有非负实数就是一个随机变量它的取值为所有非负实数表示表示该该电子元件的寿命大于电子元件的寿命大于 1000小时这一随机事件小时这一随机事件表示该表示该电子元件电子元件的寿命不超过的寿命不超过500小时这一随机事件小时这一随机事件第二章 随机变量及其分布1 随机变量注意注意 Z Z 的取值是不可列无穷个！的取值是不可列无穷个！返回主目录例例 5 掷一枚硬币，令：掷一枚硬币，令：则则X是一个随机变量是一个随机变量第二章 随机变量及其分布1 随机变量说说 明：明：在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量返回主目
6、录 例例 6 掷一枚骰子，在掷一枚骰子，在例例2中，我们定义了随机变量中，我们定义了随机变量X表示出现的点数我们还可以定义其它的随机表示出现的点数我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定义：变量，例如我们可以定义：等等等等第二章 随机变量及其分布1 随机变量返回主目录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量的分布率与性质离散型随机变量的分布率与性质一些常用的离散型随机变量一些常用的离散型随机变量一、离散型随机变量的分布率与性质一、离散型随机变量的分布率与性质第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量1)离散型随机变量的定义离散型随机变量的定义如果随机变量如果随机变
7、量 X 的取值是有限个或可列无穷个，的取值是有限个或可列无穷个，则称则称 X 为离散型随机变量为离散型随机变量2离散型随机变量离散型随机变量返回主目录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量2)离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的所有可能取值为的所有可能取值为并设并设则称上式或则称上式或为离散型随机变量为离散型随机变量 X 的分布律的分布律返回主目录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量3)3)离散型随机变量分布律的性质离散型随机变量分布律的性质:返回主目录例例 1 从从110这这10个数字中随机取出个数字中随机取出5个数字，令个数字，令X：取
8、出的取出的5个数字中的最大值试求个数字中的最大值试求X的分布律的分布律第二章 随机变量及其分布具体写出，即可得具体写出，即可得 X 的分布律：的分布律：返回主目录解：解：X 的可能取值为的可能取值为 5，6，7，8，9，10 并且并且=求分布率一定要说明求分布率一定要说明 k 的取值范围！的取值范围！例例 2将将 1 枚硬币掷枚硬币掷 3 次，令次，令第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录X：出现的正面次数与反面次数之差出现的正面次数与反面次数之差试求：试求：（1）X 的分布律；的分布律；解：解：X 的可能取值为的可能取值为-3，-1，1，3并且分布率为并且分布率为例例 3设随机变
9、量设随机变量 X 的分布律为的分布律为解：解：由分布率的性质，得由分布率的性质，得第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量该级数为等比级数，故有该级数为等比级数，故有所以所以返回主目录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以概率每盏信号灯以概率p禁止汽车通过禁止汽车通过.以以 X 表示汽车首次表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的分布律的分布律.(信号灯的工作是相互独立的信号灯的工作是相互独立的).PX=3例例 4=(1-p)3p第二章 随机
10、变量及其分布2离散型随机变量解：解：以以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X 的分布律为：的分布律为：Xpk 0 1 2 3 4 p或写成或写成 PX=k=(1-p)kp，k=0,1,2,3 PX=4=(1-p)4 例例 4(续续)返回主目录(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4 第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量以以 p=1/2 代入得：代入得：Xpk 0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625例例 4(续续)返回主目录二、一些常用的离散型随机变量二、一些常用的离散型随机变量第二章 随机变量及
11、其分布2离散型随机变量1)Bernoulli分布分布如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为或或则称随机变量则称随机变量 X 服从参数为服从参数为 p 的的 Bernoulli分布分布Bernoulli分布也称作分布也称作 0-1 分布或二点分布分布或二点分布第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量Bernoulli分布的概率背景分布的概率背景进行一次进行一次Bernoulli试验，试验，A是随机事件。设：是随机事件。设：设设X 表示这次表示这次Bernoulli试验中事件试验中事件A发生的次数发生的次数或者设或者设返回主目录2 2）二）二 项项 分分 布布如果随机变量如果随机变量
12、X 的分布律为的分布律为第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录分布律的验证分布律的验证 由于由于以及以及 n 为自然数，可知为自然数，可知 又由二项式定理，可知又由二项式定理，可知所以所以是分布律是分布律第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录说 明显然，当显然，当 n=1 时时第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录二项分布的概率背景进行进行n重重 Bernoulli 试验，试验，A是随机事件。设在每次是随机事件。设在每次试验中试验中令令 X 表示表示这这 n 次次 Bernoulli 试验中事件试验中事件A发生的发生的次数次数第二章 随机变量及其分布2离散型
13、随机变量返回主目录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量说明：说明：返回主目录所以所以第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量例例5 一大批产品的次品率为一大批产品的次品率为0.1，现从中取，现从中取出出15件试求下列事件的概率：件试求下列事件的概率：B=取出的取出的15件产品中恰有件产品中恰有2件次品件次品 C=取出的取出的15件产品中至少有件产品中至少有2件次品件次品 返回主目录 由于从一大批产品中取由于从一大批产品中取15件产品，故可近似看作件产品，故可近似看作是一是一15重重Bernoulli试验试验解：解：所以，所以，例例 6 一张考卷上有一张考卷上有5道选择题，每道题列出道选择题
14、，每道题列出4个可能个可能答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测能答对能答对4道题以上的概率是多少？道题以上的概率是多少？则答则答5道题相当于做道题相当于做5重重Bernoulli试验试验第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录解：解：每答一道题相当于做一次每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，试验，所以所以第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录二项分布的分布形态二项分布的分布形态由此可知，二项分布的分布率由此可知，二项分布的分布率先是随着先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着的增大而增大，达到其最大值后再随
15、着k 的增大而减少这个使得的增大而减少这个使得第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录可以证明：可以证明：第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录例例 7 对同一目标进行对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的次独立射击，设每次射击时的命中率均为命中率均为0.44，试求，试求300次射击最可能命中几次？次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？其相应的概率是多少？则由题意则由题意第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录解：解：对目标进行对目标进行300次射击相当于做次射击相当于做300重重Bernoulli 试验令：试验令：因此，最可能射击的命中次数为因此，
16、最可能射击的命中次数为其相应的概率为其相应的概率为第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录3）Poisson 分布分布如果随机变量如果随机变量X 的分布律为的分布律为 则称随机变量则称随机变量 X 服从服从参数为参数为的的Poisson 分布分布第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录分布律的验证分布律的验证 由于由于可知对任意的自然数可知对任意的自然数 k，有有第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量 又由幂级数的展开式，可知又由幂级数的展开式，可知所以所以是分布律是分布律返回主目录Poisson 分布的应用分布的应用Poisson分布是概率论中重要的分布之一分布是概率论
17、中重要的分布之一自然界及工程技术中的许多随机指标都服从自然界及工程技术中的许多随机指标都服从 Poisson分布分布例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔 内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔 内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产 生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台 要求服务的人数，等等，在一定条件下，都要求服务的人数，等等，在一定条件下，都 是服从是服从Poisson分布的分布的第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录第二章
18、 随机变量及其分布2离散型随机变量如果随机变量如果随机变量X 的分布律为的分布律为试确定未知常数试确定未知常数c.例例11由由分布率的性质有分布率的性质有解：解：例例 12 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为的的Poisson分布，分布，且已知且已知解：解：随机变量随机变量 X 的分布律为的分布律为由已知由已知第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录得得由此得方程由此得方程得解得解所以，所以，第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录例例 13第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录解：解：设设 B=此人在一年中得此人在一年中得3次感冒次感冒 则由则由B
19、ayes公式，得公式，得第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录_=Poisson 定理定理证明：证明：第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量对于固定的对于固定的 k，有有第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录所以，所以，PoissonPoisson定理的应用定理的应用由由 Poisson 定理，可知定理，可知第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录例例 14设每次射击命中目标的概率为设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击，现射击600次，次，求至少命中求至少命中3次目标的概率（用次目标的概率（用Poisson分布近似计分布近似计算）算）第二章 随机变量
20、及其分布返回主目录解：解：第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量例例 15 某车间有某车间有100 台车床独立地工作着，发生故障的台车床独立地工作着，发生故障的概率都是概率都是 0.01.在通常情况下，一台车床的故障可由一个在通常情况下，一台车床的故障可由一个人来处理人来处理.问至少需配备多少工人，才能保证当车床发问至少需配备多少工人，才能保证当车床发生故障但不能及时维修的概率不超过生故障但不能及时维修的概率不超过 0.01？解：解：设需配备设需配备 N 人，记同一时刻发生故障的设备台人，记同一时刻发生故障的设备台数为数为 X，返回主目录则则 X b(100，0.01），取值，使得：取值，使
21、得：需要确定最小的需要确定最小的 N 的的查表可知，满足上式的最小的查表可知，满足上式的最小的 N 是是 4,因此至少需配因此至少需配备备 4 个工人。个工人。第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录例例 15（续）（续）第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量例例 16 保险公司售出某种寿险（一年）保单保险公司售出某种寿险（一年）保单2500份份.每单每单交保费交保费100元，当被保人一年内死亡时，家属可从保险公元，当被保人一年内死亡时，家属可从保险公司获得司获得2万元的赔偿万元的赔偿.若此类被保人一年内死亡的概率为若此类被保人一年内死亡的概率为0.001，求，求 （1）保险公司亏
22、本的概率；保险公司亏本的概率；（2）保险公司获利不少于保险公司获利不少于10万元的概率万元的概率.解：解：设此类被保人一年内死亡的人数为设此类被保人一年内死亡的人数为 X，则则 X b(2500，0.001）.第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量例例 16（续）（续）（1）P(保险公司亏本保险公司亏本)（2）P(保险公司获利不少于保险公司获利不少于10万元万元)4 4）几）几 何何 分分 布布若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录分 布 律 的 验 证 由条件由条件 由条件可知由条件可知综上所述，可知综上所述，可知是一分布律是一分布
23、律第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录几何分布的概率背景在在Bernoulli试验中，试验中，试验进行到试验进行到 A 首次出现为止首次出现为止第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量即即返回主目录例例 17对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为为0.64，射击进行到击中目标时为止，令，射击进行到击中目标时为止，令 X：所需射击次数所需射击次数 试求随机变量试求随机变量 X 的分布律，并求至少进行的分布律，并求至少进行2次射击次射击才能击中目标的概率才能击中目标的概率解：解：第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量5 5）超）超 几几
24、何何 分分 布布如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量返回主目录超几何分布的概率背景 一批产品有一批产品有 N 件，其中有件，其中有 M 件次品，其余件次品，其余 N-M 件为正品现从中取出件为正品现从中取出 n 件件 令令 X：取出取出 n 件产品中的次品数件产品中的次品数 则则 X 的分的分 布律为布律为2离散型随机变量第二章 随机变量及其分布返回主目录第二章 随机变量及其分布思考题：思考题：若每蚕产个卵的概率服从泊松分布，参数为，若每蚕产个卵的概率服从泊松分布，参数为，而每个卵变为成虫的概率为而每个卵变为成虫的概率为，且，且各卵是否变成
25、各卵是否变成成虫彼此间没有关系，求每个蚕养出成虫彼此间没有关系，求每个蚕养出k只小蚕的概只小蚕的概率。（）率。（）2离散型随机变量第二章 随机变量及其分布本节小结：本节小结：1）离散型随机变量的分布率及其性质；）离散型随机变量的分布率及其性质；2）两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布；）两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布；要求：要求：1）掌握分布率的性质；）掌握分布率的性质；2）熟练运用两点分布、二项分布、泊松分布、几何分）熟练运用两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布这几个分布模型解决实际问题。特别是二项分布。布这几个分布模型解决实际问题。特别是二项分布。3 随机变量的分布函数随机变量
26、的分布函数第二章 随机变量及其分布分布函数的定义分布函数的定义分布函数的性质分布函数的性质一、一、分布函数的定义分布函数的定义 1）定义）定义 设设 X 是一个随机变量，是一个随机变量，x 是任意实数，是任意实数，函数函数称为称为 X 的分布函数的分布函数对于任意的实数对于任意的实数 x1,x2(x1 x2)，有：有：x1 x2 xXo0 xxX返回主目录 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布例例 1 设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为:Xpk -2 1 2解解：当当 x-2 时，时，01xX2-2x2）例例 子子 3 随机变量的分布函数返回主目录第二章 随机变量及其分布
27、求求 X 的分布函数的分布函数.满足满足 Xx 的的 X 取值为取值为 X=-2,x1X2-2x满足满足 Xx 的的 X 取值为取值为 X=-2,或或 1，Xpk-2 1 2返回主目录 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布同理当同理当-2 0 1 2 x1返回主目录 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布分布函数分布函数 F(x)在在 x=xk(k=1,2,)处有跳跃，其处有跳跃，其跳跳跃值为跃值为 pk=PX=xk.返回主目录 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布说说 明：明：Xpk-2 1 2-2 0 1 2 x1 例例 2 一个靶子是半径为一个靶子是半径为 2
28、 米的圆盘，设击中靶上任米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积面积成正比，并成正比，并设射击都能中靶，以设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试试求随机变量求随机变量 X 的分布函数的分布函数.解：解：（1）若若 x 0,则则 是不可能事件，于是是不可能事件，于是（2）X 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布（3）若若 ,则则 是必然事件，于是是必然事件，于是返回主目录 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布0 1 2 31F(x)x返回主目录 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布二
29、、二、分分 布布 函函 数数 的的 性性 质质1）性质：）性质：分别观察离散型、连续型分布函数的图象，分别观察离散型、连续型分布函数的图象，可以可以 看出，分布函数看出，分布函数 F(x)具有以下基本性质：具有以下基本性质：（1）F(x)是一个是一个单调单调不减的函数不减的函数 0 1 2 31F(x)x返回主目录 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布（2）（3）-1 0 1 2 3 x1返回主目录 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布2）用分布函数计算某些事件的概率用分布函数计算某些事件的概率返回主目录 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布用分布函数计算某些事件
30、的概率（续）用分布函数计算某些事件的概率（续）返回主目录 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布例例 3 3返回主目录 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布返回主目录 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布例例4 4 设随机变量设随机变量 X 的分布函数为的分布函数为解：解：由分布函数的性质，我们有由分布函数的性质，我们有返回主目录 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布例例 4 4（续）（续）解方程组解方程组得解得解返回主目录 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布例例5 设有均匀陀螺，圆周半圆上标有刻度设有均匀陀螺，圆周半圆上标有刻度1，另半圆，另半圆周上均匀刻周上均匀刻0，1）诸数字，求陀螺旋转后停下时）诸数字，求陀螺旋转后停下时触及桌面上的点的刻度触及桌面上的点的刻度 X 的分布函数。的分布函数。解：解：3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布 3 随机变量的分布函数第二章 随机变量及其分布本节小结：本节小结：1）分布函数的定义及性质；）分布函数的定义及性质；2）用分布函数计算某些事件的概率，特别是）用分布函数计算某些事件的概率，特别是