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1、波函数及其统计解释波函数及其统计解释波函数及其统计解释波函数及其统计解释1、波函数、波函数（wave function）平面简谐波函数：平面简谐波函数：y=Acos(t-kx)复数表示：复数表示：概率波波函数：概率波波函数：2、波函数的统计解释、波函数的统计解释一维一维三维三维物质波是物质波是“概率波概率波”，在空间各处出现的概率呢？在空间各处出现的概率呢？它是怎样描述粒子它是怎样描述粒子 量量子子力力学学假假定定：微微观观粒粒子子的的状状态态用用波波函函数数表示。表示。Postulate1:概率波与概率幅概率波与概率幅一、对物质波的理解，概率波的概念一、对物质波的理解，概率波的概念薛定谔：薛
2、定谔：波是基本的，波是基本的，l波包总要扩散，波包总要扩散，而电子是稳定的。而电子是稳定的。德布罗意：德布罗意：物质波是引导粒子运动的物质波是引导粒子运动的“导波导波”。本质是什么，不明确。本质是什么，不明确。电子是电子是“物质波包物质波包”。l通通过过电电子子衍衍射射可可以以在在空空间间不不同同方方向向上上观观测测到到波波包包的的一一部部分分，如如果果波波代代表表实实体体，那那就就意意味味着着能能观观测测到到电电子子的的一一部部分分，这这与与显显示示电电子子具具有有整整体体性性的的实实验验结结果果矛盾。矛盾。夸大了波动性，抹煞了粒子性。夸大了波动性，抹煞了粒子性。另一种理解：另一种理解：粒粒
3、子子是是基基本本的的，电电子子的的波波动动性性是是大量电子之间大量电子之间相互作用的结果相互作用的结果。为为防防止止电电子子间间发发生生作作用用，让让电电子子一一个个一一个个地地入入射射，发发现现时时间间足足够够长长后后的的干干涉涉图图样样和和大大量量电电子同时入射时完全相同。子同时入射时完全相同。这这说说明明，电电子子的的波波动动性性并并不不是是很很多多电电子子在在空空间间聚聚集集在在一一起起时时相相互互作作用用的的结结果果，而而是是单单个个电电子子就就具具有有波波动动性性。换换言言之之，干干涉涉是是电电子子“自自己己和自己和自己”的干涉。的干涉。无无论论是是大大量量电电子子同同时时入入射射
4、，还还是是电电子子一一个个一一个个地地长长时时间间地地入入射射，都都只只是是让让单单个个电电子子干干涉涉的的效果在底片上积累并显现出来而已。效果在底片上积累并显现出来而已。一个一个电子依次入射双缝的衍射实验：一个一个电子依次入射双缝的衍射实验：700003000200007个电子个电子100个电子个电子电子数电子数 N=7电子数电子数 N=100电子数电子数 N=3000电子数电子数 N=20000电子数电子数 N=70000单个粒子单个粒子在哪一处出现是偶然事件；在哪一处出现是偶然事件；大量粒子大量粒子的分布有确定的统计规律。的分布有确定的统计规律。出现概率小出现概率小出现概率大出现概率大电
5、电子子双双缝缝干干涉涉图图样样底片上出现一个个的点子底片上出现一个个的点子 电子具有电子具有粒子性。粒子性。“一个电子一个电子”所具有的波动性，所具有的波动性，来源于来源于而不是电子间相而不是电子间相互作用的结果。互作用的结果。随着电子增多，逐渐形成衍射图样随着电子增多，逐渐形成衍射图样一定条件下（如双缝），还是有确定的规律的。一定条件下（如双缝），还是有确定的规律的。玻恩玻恩（M.Born）：子在空间的概率分布的子在空间的概率分布的“概率波概率波”。德布罗意波德布罗意波并不像经典并不像经典波那样是代表实在物理量的波动，波那样是代表实在物理量的波动，而是描述粒而是描述粒尽管单个电子的去向是概率
6、性的，尽管单个电子的去向是概率性的，但其概率在但其概率在 玻玻恩恩对对 的的统统计计解解释释(1926)：波波函函数数 是是描描述粒子在空间概率分布的述粒子在空间概率分布的“概率振幅概率振幅”。其模方其模方代表代表 t 时刻，在坐标时刻，在坐标 附近单位体积中发现一个附近单位体积中发现一个粒子的概率，粒子的概率，rdVx yz 在在t 时刻，在时刻，在 附近附近dV内发现粒子的概率为：内发现粒子的概率为：在空间在空间 发现粒子的概率为：发现粒子的概率为：称为称为“概率密度概率密度”。它无直接的它无直接的物理意义，物理意义，对单个粒子：对单个粒子：不同于经典波的波函数，不同于经典波的波函数，和波
7、函数的位相。和波函数的位相。有意义的是有意义的是给出粒子概率密度分布；给出粒子概率密度分布；对大量粒子：对大量粒子：给出粒子数的分布；给出粒子数的分布；3、用电子双缝衍射实验说明概率波的含义、用电子双缝衍射实验说明概率波的含义只开上缝只开上缝 P1只开下缝只开下缝 P2双缝双缝 齐开齐开 P12=P1+P2（1）子弹穿过双缝）子弹穿过双缝（2）光波）光波只开上缝只开上缝光强光强 I1只开下缝只开下缝光强光强 I2双缝齐开双缝齐开通过上缝的光波用通过上缝的光波用 描述描述通过下缝的光波用通过下缝的光波用 描述描述双缝双缝 齐开时的光波为齐开时的光波为光强为光强为+干涉项干涉项干涉项干涉项 双缝齐
8、开时，电子可通过上缝也可通过下缝，双缝齐开时，电子可通过上缝也可通过下缝，（3）电子）电子 电子的状态用电子的状态用只开上缝时只开上缝时,电子有一定的概率通过上缝，电子有一定的概率通过上缝，其状态用其状态用 描述，描述，只开下缝时只开下缝时,电子有一定的概率通过下缝，电子有一定的概率通过下缝，电子的概率分布为电子的概率分布为其状态用其状态用 描述，描述，电子的概率分布为电子的概率分布为 、都有。都有。通过双缝后，通过双缝后，分布是分布是d不是不是c。波函数波函数 描述。描述。通过上、下缝各有一定的概率，通过上、下缝各有一定的概率，出现了干涉。出现了干涉。是由于概率幅的线性叠加产生的。是由于概率
9、幅的线性叠加产生的。即使只有一个电子，当双缝齐开时，即使只有一个电子，当双缝齐开时，两部分概率幅的叠加就会产生干涉。两部分概率幅的叠加就会产生干涉。微观粒子的波动性，实质上就是概率幅的微观粒子的波动性，实质上就是概率幅的它的状态也要用它的状态也要用 来描述。来描述。衍射图样是概率波的干涉结果。衍射图样是概率波的干涉结果。可见，干涉是概率波的干涉，可见，干涉是概率波的干涉，总的概率幅为总的概率幅为相干叠加性。相干叠加性。4、统计解释对波函数提出的要求、统计解释对波函数提出的要求1）有限性：）有限性：在空间任何有限体积元在空间任何有限体积元 V中找到中找到 归一化：归一化：在空间各点的概率总和必须
10、为在空间各点的概率总和必须为1。归一化因子归一化因子归一化条件：归一化条件：根据波函数的统计解释，它应有以下性质：根据波函数的统计解释，它应有以下性质：必须为有限值。必须为有限值。粒子的概率粒子的概率若若则则2）单值性：单值性：度在任意时刻、任意位置都是确定的。度在任意时刻、任意位置都是确定的。3）连续性：连续性：波函数应单值，波函数应单值，从而保证概率密从而保证概率密l对对于于势势场场连连续续点点，或或势势场场不不是是无无限限大大的的间间断断点，点，波函数的一阶导数连续。（后面证明）波函数的一阶导数连续。（后面证明）l波函数连续，波函数连续，保证概率密度连续。保证概率密度连续。波函数作出的统计解释，波函数作出的统计解释，获得了获得了1954年诺贝年诺贝玻恩玻恩（M.Born，英籍德国人，英籍德国人，1882 1970）由于进行了量子力学的基本研究，由于进行了量子力学的基本研究，特别是特别是对对尔物理学奖。尔物理学奖。