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1、物物质波的波函数及其波的波函数及其统计解解释 微微观粒粒子子的的基基本本属属性性不不能能用用经典典语言言确确切切描描述。述。量子力学用波函数描述微量子力学用波函数描述微观粒子的运粒子的运动状状态，波函数所遵从的方程波函数所遵从的方程薛定薛定谔方程是量子力学方程是量子力学的基本方程。的基本方程。这一章开始介绍量子力学的基本理论与方法。主要介绍：1.二个基本假设：A.微观粒子行为由波函数描述,波函数具有统计意义。B.描述微观粒子行为的波函数由薛定谔方程解出。2.用定态薛定谔方程求解三个简单问题：A.一维无限深势阱 B.一维谐振子 C.势垒贯穿（隧道效应）物物质波的波函数及其波的波函数及其统计解解释
2、1.波函数波函数：类似于似于经典波的数学表达形式，典波的数学表达形式，描述微描述微观客体的运客体的运动状状态一般表示一般表示为复指数函数形式复指数函数形式例：例：一一维自由粒子的波函数自由粒子的波函数经典描述：典描述：沿沿 x 轴匀速直匀速直线运运动量子描述：量子描述：类比：比：单色平面波色平面波一定一定沿直沿直线传播播以坐以坐标原点原点为参考点，参考点，推广推广：三三维自由粒子波函数自由粒子波函数二、波函数的物理意义二、波函数的物理意义如何理解波函数和粒子之间的关系？如何理解波函数和粒子之间的关系？1 物质波就是粒子的实际结构物质波就是粒子的实际结构？即三维空间连续分即三维空间连续分布的物质
3、波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。再布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。再者，衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性，抹煞者，衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性，抹煞了粒子性。了粒子性。2 大量粒子空间形成的疏密波？大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验，电子衍射实验，电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。单电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。单个电子就具有波动性。个电子就具有波动性。3 波函数的统计解释波函数的统计解释（Born 1926）:波函数在空间波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的二次方）和该点找到粒子某点的强度（振幅绝对值的二次方）和该点找到粒子的几（概）率
4、成比例。即物质波是几率波。的几（概）率成比例。即物质波是几率波。波函数与其共波函数与其共轭复数的复数的积例：例：一一维自由粒子：自由粒子：光光栅衍射衍射电子衍射子衍射类比比 波函数描述的物质波不像经典波代表实际物理量的波函数描述的物质波不像经典波代表实际物理量的波动波动,只是刻画粒子在空间的几率分布的几率波。只是刻画粒子在空间的几率分布的几率波。光子电子对比分析光子电子对比分析I大大处 到达光子数多到达光子数多I小小处 到达光子数少到达光子数少I=0 无光子到达无光子到达各光子起点、各光子起点、终点、路点、路径均不确定径均不确定用用I 对屏上光子数分布作屏上光子数分布作概率性描述概率性描述各各
5、电子起点、子起点、终点、路径点、路径均不确定均不确定对屏上屏上电子数分布子数分布作概率性描述作概率性描述电子到达子到达该处概率大概率大电子到达子到达该处概率概率为零零电子到达子到达该处概率小概率小光光栅衍射衍射电子衍射子衍射一般一般 t 时刻时刻,到达空间到达空间 r（x,y,z）处某体积处某体积dV内的粒子数内的粒子数 t 时刻，出现在空间（时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比粒子数与总粒子数之比 t 时刻，粒子出现在空间（时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积）点附近单位体积内的概率内的概率 t 时刻，粒子在空间分布的概率密度时
6、刻，粒子在空间分布的概率密度 的物理意义：的物理意义：物质波的波函数不描述介质中运动物质波的波函数不描述介质中运动状态（相位）传播的过程状态（相位）传播的过程概率密度，粒子在空间分布的统计规律概率密度，粒子在空间分布的统计规律概率幅概率幅注意注意：4 4、波函数的波函数的归一化条件和一化条件和标准条件准条件粒子在整个空粒子在整个空间出出现的概率的概率为1 1 归一化条件一化条件对微微观客体的数学描述：客体的数学描述：脱离日常生活脱离日常生活经验，避免借用，避免借用经典典语言引起言引起的表的表观矛盾矛盾 标准化条件准化条件试求：（试求：（1 1）常数）常数 A A；（2 2）粒子在）粒子在0 0
7、到到 a a/2/2区域出现的概率；区域出现的概率；（3 3）粒子在何处出现的概率最大？）粒子在何处出现的概率最大？例例 题题：一一 运运 动动 的的 粒粒 子子 被被 束束 缚缚 在在 0 xa的的 范范 围围 内内。已知其波函数为已知其波函数为 解解:（1 1）由归一化条件得）由归一化条件得:（2 2）粒子的概率密度为）粒子的概率密度为:在在0 xa/2区域内，粒子出现的概率为：区域内，粒子出现的概率为：（3 3）概率最大的位置应满足）概率最大的位置应满足因因00 xa/2,故得故得粒子出现的概率最大粒子出现的概率最大。讨论：讨论：1、薛定薛定谔方程方程也称波动方程，描述在势场也称波动方程
8、，描述在势场U中粒中粒子状态随时间的变化规律。子状态随时间的变化规律。2、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。性由它解出的结果是否符合实验来检验。3、薛定谔方程是线性方程。薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。方程，相当于牛顿方程。4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。足自由粒子薛定谔方程。5、薛定谔方程是非相对论的方程。薛定谔方程是非相对论的方程。