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1、向量的减法1.相反向量定义：如果两个向量大小相等，方向相反，那么称这两个向量是相反向量。性质：（1）对于相反向量有：a+（-a）=0。（2）若a，b互为相反向量，则a=-b，a+b=0。（3）零向量的相反向量仍是零向量。【思考】有人说：相反向量即方向相反的向量，定义中“大小相等”是多余的，对吗？提示：不对，相反向量要从“模”与“方向”两个方面去理解，不是仅方向相反，还必须大小相等。2.向量的减法（1）定义：平面上任意两个向量a，b，如果向量x满足b+x=a，则称x为向量a，b的差，记作x=a-b。（2）作法：在平面内任取一点O，作=a，=b，则向量a-b=，如图所示。a-b可以表示为从向量b的
2、终点指向向量a的终点的向量。（3）向量减法的三角形法则：当向量a，b不共线时，向量a，b，a-b正好能构成一个三角形，因此求两向量差的作图方法也常称为向量作差的三角形法则。（4）a-b=a+（-b）。【思考】（1）由向量减法作图方法，求差的两个向量的起点是怎样的？差向量的方向如何？提示：求差的两个向量是共起点的，差向量连接两向量终点，方向指向被减向量。（2）由向量减法的定义，你认为向量的减法与加法有何联系？提示：向量减法的实质是向量加法的逆运算。利用相反向量的定义，就可以把减法转化为加法。【素养小测】1.思维辨析（对的打“”，错的打“”）（1）两向量首尾相连，和向量由第一个向量的始点指向第二个
3、向量的终点。（）（2）向量a-b当它们起点重合时可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向量。（）（3）相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反向量。（）（4）向量与向量是相反向量。（）【提示】（1）。由向量加法的三角形法则知正确。（2）。由向量减法法则知正确。（3）。由平行向量与相反向量的定义可知，相反向量必为平行向量，平行向量不一定是相反向量。（4）。向量与向量长度相等，方向相反。2.在ABC中，若=a，=b，则等于（）A.aB.a+bC.b-aD.a-b【解析】选D。=a-b。3.设b是a的相反向量，则下列说法正确的有_。a与b的长度必相等；ab；a与b一定不相等；a是b的相反向量。
4、【解析】因为0的相反向量是0，故说法不正确。其他均正确。答案：类型一向量的减法【典例】1.（2019汕头高一检测）在ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则等于（）2.如图，已知向量a，b，c，求作a-b-c。【思维引】1.结合图形，利用向量减法的三角形法则求解。2.先作a-b，再作（a-b）-c即可。【解析】1.选D。如图所示，2.如图，以A为起点分别作向量，使=a，=b。连接CB，得向量，再以点C为起点作向量，使=c。连接DB，得向量。则向量即为所求作的向量a-b-c。【内化悟】（1）作向量减法时若所给向量不共起点，应如何解决？提示：平移向量使它们共起点。（2）在本例2中能否先
5、作向量b+c，再作a-（b+c）呢？提示：可以。【类题通】1.作两向量的差的步骤2.求两个向量的减法的注意点可以转化为向量的加法来进行，如a-b，可以先作-b，然后用加法a+（-b）即可。向量减法的三角形法则对共线向量也适用。【习练破】下列计算正确的是（）【解析】选B。根据向量减法的三角形法则，显然有【加练固】如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向（用箭头表示），使a+b=，c-d=，并画出b-c和a+d。【解析】因为a+b=，c-d=，所以a=，b=，c=，d=。如图所示，作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA。根据平行四边形法则可得b-c=，
6、a+d=。类型二向量的加减法运算【典例】1.（2019衡水高一检测）下列各式：其中结果为零向量的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.（2019临沂高一检测）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则|=（）A.8B.4C.2D.1【思维引】利用三角形法则或平行四边形法则求解。【解析】1.选D。=0；=0；=0；=0。2.选C。由可知，垂直，故ABC为直角三角形，|即斜边BC的中线，所以|=2。【内化悟】1.用起止点表示的几个向量的和差化简问题的常见形式有两种：首尾相连且求和，起点相同且求差。如果不满足以上形式时应怎样处理？提示：（1）使用交换律、结合律。（2）用相反向量进行转化。（
7、3）使用相等向量进行替换。2.平行四边形ABCD中，|与|分别是指什么？提示：分别是指两条对角线的长。【类题通】向量减法运算的常用方法【发散拓】已知向量a，b，那么|a|-|b|与|ab|及|a|+|b|三者具有什么样的大小关系？【提示】它们之间的关系为|a|-|b|ab|a|+|b|。（1）当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立。（2）当a，b不共线时，作=a，=b，则a+b=，如图（1）所示，根据三角形的性质，有|a|-|b|a+b|a|+|b|。同理可证|a|-|b|a-b|b|，作法同上，如图（3）所示，此时|a+b|=|a|-|b|。综上所述，得不等式|a|-|b|ab|a|+|b
8、|。【延伸练】若|=8，|=5，则|的取值范围是_。【解析】由及三角不等式，得又因为=8，所以3|=|13，即|3，13。答案：3，13【习练破】化简下列各式：【解析】（1）方法一：原式=方法二：原式=（2）方法一：原式=方法二：原式=【加练固】下列各式中不能化简为的是（）【解析】选D。选项A中，选项B中，选项C中，类型三向量加减运算几何意义的应用角度1利用已知向量表示未知向量【典例】如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且=a，=b，=c，试用向量a，b，c表示向量【思维引】由平行四边形的性质可知=c，由向量的减法可知：由向量的加法可知【解析】因为四边形ACDE是平行
9、四边形，所以=c，=b-a，故=b-a+c。【素养探】本例主要考查平面向量的加法、减法运算，利用已知向量表示未知向量，突出考查直观想象的核心素养。本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？【解析】如图，因为四边形ACDE是平行四边形，所以=c，=b-a，=b-a+c。角度2求解或证明几何问题【典例】（2019临沂高一检测）已知非零向量a，b满足|a|=+1，|b|=-1，且|a-b|=4，则|a+b|的值为_。【思维引】作出图形，利用向量加减法的几何意义求解。【解析】如图，令=a，=b，则|=|a-b|。以OA与OB为邻边作平行四
10、边形OACB，则|=|a+b|。由于（+1）2+（-1）2=42。故，所以OAB是AOB为90的直角三角形，从而OAOB，所以平行四边形OACB是矩形。根据矩形的对角线相等有=4，即|a+b|=4。答案：4【内化悟】|a|，|b|，|a-b|，|a+b|表示什么几何图形中的哪些几何量？提示：平行四边形的两条邻边及其两条对角线。【类题通】1.解决用已知向量表示未知向量问题的思路应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道。2.利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤：（1）由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量。（2）利用三角形
11、法则和平行四边形法则、对向量的加、减法进行运算。（3）构造三角形（一般是直角三角形），利用三角形的边、角关系解题。【习练破】1.在菱形ABCD中，DAB=60，|=2，则|=_。【解析】因为DAB=60，AB=AD，所以ABD为等边三角形。又因为|=2，所以OB=1。在RtAOB中，所以答案：22.如图，在ABC中，D，E分别为边AC，BC上的任意一点，O为AE，BD的交点，已知=a，=b，=c，=e，用a，b，c，e表示向量。【解析】在OBE中，有=e-c，在ABO中，=e-c-a，在ABD中，=a+b，所以在OAD中，=e-c-a+a+b=e-c+b。【加练固】如图所示，已知=a，=b，=c，=d，=e，=f，试用a，b，c，d，e，f表示：【解析】（1）因为=b，=d，所以=d-b。（2）因为=a，=b，=c，=f，所以=b+f-a-c。（3）因为=d，=f，所以=f-d。谢 谢