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1、常微分方程常微分方程 变量可变量可分离方程分离方程1第1页，此课件共30页哦一、一、变量可分离方程的求解变量可分离方程的求解当当 方程（方程（2.2.12.2.1）两边同除以）两边同除以 得得 这样对上式两边积分得到这样对上式两边积分得到例例2.2.12.2.1求微分方程求微分方程的通解。的通解。2第2页，此课件共30页哦注：求方程通解时，我们假设注：求方程通解时，我们假设 若若 时得时得 y 值也可能为方程的解。值也可能为方程的解。解：变量分离后得解：变量分离后得上式两边积分得上式两边积分得整理得整理得其中其中该解在该解在无定义无定义,故通解在故通解在中有定义中有定义.所以要考虑所以要考虑
2、的情况，的情况，该方程对应的解我们称为常数解该方程对应的解我们称为常数解.3第3页，此课件共30页哦例例 2.2.2 2.2.2求微分方程求微分方程的通解的通解.解解:变形为变形为积分得积分得:求积分得求积分得:解得解得:4第4页，此课件共30页哦记记则则因为因为可得可得故所有的解为故所有的解为:5第5页，此课件共30页哦练习练习解解通解：通解：6第6页，此课件共30页哦二、二、齐次方程齐次方程齐次函数齐次函数:函数函数称为称为m次齐次函数次齐次函数,如果如果齐次方程齐次方程:形如形如的方程称为齐次方程的方程称为齐次方程。引入一个新变量化为变量可引入一个新变量化为变量可分离方程。分离方程。求解
3、思想求解思想:7第7页，此课件共30页哦例例2.2.3 2.2.3 求下面初始值问题求下面初始值问题解：方程为齐次方程，令解：方程为齐次方程，令求导后得求导后得分离变量得分离变量得事实上事实上,令令则则故有故有即即8第8页，此课件共30页哦积分上式得积分上式得用用 代入得代入得利用初始条件利用初始条件 可定出可定出 代入上式解出代入上式解出 9第9页，此课件共30页哦 求解微分方程求解微分方程微分方程通解：微分方程通解：解解练习练习10第10页，此课件共30页哦 解方程解方程解解改写方程：改写方程：齐次方程齐次方程方程变为：方程变为：两边积分：两边积分：练习练习11第11页，此课件共30页哦分
4、析分析解解方程变为方程变为 齐次方程齐次方程练习练习12第12页，此课件共30页哦两边积分两边积分通解：通解：分离变量分离变量13第13页，此课件共30页哦三、三、可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程形如形如的方程可化为齐次方程的方程可化为齐次方程.其中其中都是常数都是常数.1.当当时时,此方程就是齐次方此方程就是齐次方程程.2.当当时时,并且并且(1)14第14页，此课件共30页哦此时二元方程组此时二元方程组有惟一解有惟一解引入新变量引入新变量此时此时,方程可化为齐次方程方程可化为齐次方程:15第15页，此课件共30页哦(2)若若则存在实数则存在实数使得使得:或者有或者有不妨是前者不妨是
5、前者,则方程可变为则方程可变为令令则则16第16页，此课件共30页哦3.对特殊方程对特殊方程令令则则17第17页，此课件共30页哦例例2.2.42.2.4求方程求方程 的通解。的通解。解：解方程组解：解方程组 得得 令令 代入原方程可得到齐次方程代入原方程可得到齐次方程令令 得得18第18页，此课件共30页哦还原后得原方程通解为还原后得原方程通解为变量分离后积分变量分离后积分19第19页，此课件共30页哦解解代入原方程得代入原方程得非齐次型方程非齐次型方程.方程组方程组齐次型方程齐次型方程.方程变为方程变为练习练习20第20页，此课件共30页哦分离变量法得分离变量法得原方程通解原方程通解21第
6、21页，此课件共30页哦例例:雪球融化问题雪球融化问题设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为开始时的半径为6 6cm cm，经过经过2 2小时后，其半径缩小时后，其半径缩小为小为3 3cmcm。求雪球的体积随时间变化的关系。求雪球的体积随时间变化的关系。解解:设设t t 时刻雪球的体积为时刻雪球的体积为，表面积为，表面积为 球体与表面积的关系为球体与表面积的关系为 2.2.32.2.3变量可分离方程的应用变量可分离方程的应用22第22页，此课件共30页哦引入新常数引入
7、新常数 再利用题中的条件得再利用题中的条件得分离变量积分得方程得通解为分离变量积分得方程得通解为再利用条件再利用条件 确定出常数确定出常数C C和和r r代入关系式得代入关系式得 t t的取值在的取值在 之间。之间。23第23页，此课件共30页哦游船上的传染病人数游船上的传染病人数.一只游船上有一只游船上有800人人,12小时后有小时后有3人发病人发病.故感染者不能被及时隔离故感染者不能被及时隔离.设传染病的传播速度与受感染的人数及设传染病的传播速度与受感染的人数及未受感染的人数之积成正比未受感染的人数之积成正比.一名游客患了某种传染病一名游客患了某种传染病,由于这种传染病没有早期症状由于这种
8、传染病没有早期症状,直升机将在直升机将在60至至72小时小时将疫苗运到将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数试估算疫苗运到时患此传染病的人数.解解 设设y(t)表示发现首例病人后表示发现首例病人后 t 小时的小时的感染人数。感染人数。其中其中k 0为比例常数为比例常数.可分离变量微分方程初始条件初始条件:练习练习24第24页，此课件共30页哦两边积分两边积分,通解通解分离变量分离变量25第25页，此课件共30页哦直升机将在直升机将在60至至72小时将疫苗运到小时将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数。试估算疫苗运到时患此传染病的人数。26第26页，此课件共30页哦车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解练习练习27第27页，此课件共30页哦两边积分两边积分28第28页，此课件共30页哦抛物线29第29页，此课件共30页哦P.50 1（1，4，5，9，15）2（1，3），6作 业30第30页，此课件共30页哦