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1、生命表函数生命表函数第1页，共50页，编辑于2022年，星期日本章重点本章重点生命表函数生存函数剩余寿命死亡效力生命表的构造有关寿命分布的参数模型生命表的起源生命表的构造选择与终极生命表有关分数年龄的三种假定第2页，共50页，编辑于2022年，星期日本章中英文单词对照本章中英文单词对照死亡年龄死亡年龄生命表生命表剩余寿命剩余寿命整数剩余寿命整数剩余寿命死亡效力死亡效力极限年龄极限年龄选择与终极生命表选择与终极生命表Age-at-deathLife tableTime-until-deathCurtate future lifetimeForce of mortalityLimiting age
2、Select-and-ultimate tables第3页，共50页，编辑于2022年，星期日第第1 1节节 生命表基本函数生命表基本函数第4页，共50页，编辑于2022年，星期日某生命表节选某生命表节选年龄年龄x 0100000015801.5819984206800.6829977404850.4939972554350.44第5页，共50页，编辑于2022年，星期日生命表基本函数生命表基本函数第6页，共50页，编辑于2022年，星期日第7页，共50页，编辑于2022年，星期日第8页，共50页，编辑于2022年，星期日第9页，共50页，编辑于2022年，星期日第10页，共50页，编辑于20
3、22年，星期日第11页，共50页，编辑于2022年，星期日第12页，共50页，编辑于2022年，星期日第13页，共50页，编辑于2022年，星期日第14页，共50页，编辑于2022年，星期日第二节第二节 生存分布生存分布生命表描述了人口在整数年龄存活和死亡的规律，但实际上年龄是人出生后存活时间的度量，它是一个连续随机变量。假设新生儿未来存活时间或新生儿的死亡年龄为X，它是一个连续随机变量，其分布函数为：它是新生儿在x岁前死亡的概率，以前面概率的方式表示为 。第15页，共50页，编辑于2022年，星期日（一）新生儿的生存函数（一）新生儿的生存函数定义意义：新生儿能活到 岁的概率。以概率表示为 ，
4、s(x)称为生存函数。新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：第16页，共50页，编辑于2022年，星期日生命表函数中的存活人数lx 正是生命表基数l0 与x岁生存函数之积 。生存函数曲线生存函数曲线第17页，共50页，编辑于2022年，星期日（二）（二）x岁余寿的生存函数岁余寿的生存函数定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。分布函数 G(t)=Pr(T(x)t)第18页，共50页，编辑于2022年，星期日剩余寿命剩余寿命剩余寿命的生存函数 ：特别：第19页，共50页，编辑于2022年，星期日剩余寿命剩余寿命 ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 ：x
5、岁的人将在1年内去世的概率 ：x岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率 第20页，共50页，编辑于2022年，星期日整值剩余寿命整值剩余寿命定义：未来存活的完整年数，简记概率函数第21页，共50页，编辑于2022年，星期日第22页，共50页，编辑于2022年，星期日剩余寿命的期望与方差剩余寿命的期望与方差期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值),简记剩余寿命的方差第23页，共50页，编辑于2022年，星期日整值剩余寿命的期望与方差整值剩余寿命的期望与方差期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值(均值),简记整值剩余寿命的方差第24页，共50页，编辑于2022年，星期日（三）死亡效力（三）死
6、亡效力第25页，共50页，编辑于2022年，星期日死亡效力死亡效力第26页，共50页，编辑于2022年，星期日死亡效力与生存函数的关系第27页，共50页，编辑于2022年，星期日第28页，共50页，编辑于2022年，星期日死亡效力死亡效力死亡效力与密度函数的关系死亡效力表示剩余寿命的密度函数第29页，共50页，编辑于2022年，星期日第30页，共50页，编辑于2022年，星期日第31页，共50页，编辑于2022年，星期日第三节第三节 有关分数年龄的假设有关分数年龄的假设 使用背景:生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某
7、种分数年龄的生存分布假定，估计分数年龄的生存状况基本原理:插值法常用方法均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值)第32页，共50页，编辑于2022年，星期日三种假定三种假定均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值)第33页，共50页，编辑于2022年，星期日三种假定下的生命表函数三种假定下的生命表函数第34页，共50页，编辑于2022年，星期日例例3.2：已知 分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：第35页，共50页，编辑于2022年，星期日例例3.2答案答案第36页，共50页，编辑于2022年，星期日例例3.
8、2答案答案第37页，共50页，编辑于2022年，星期日例例3.2答案答案第38页，共50页，编辑于2022年，星期日第四节第四节 有关寿命分布的参数模型有关寿命分布的参数模型 De Moivre模型(1724)Gompertze模型(1825)第39页，共50页，编辑于2022年，星期日有关寿命分布的参数模型有关寿命分布的参数模型 Makeham模型(1860)Weibull模型(1939)第40页，共50页，编辑于2022年，星期日参数模型的问题参数模型的问题至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差寿险中
9、通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。第41页，共50页，编辑于2022年，星期日第五节第五节 生命表生命表生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.生命表的发展历史1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过生命表的自然和政治观察。这是生命表的最早起源。1693年，Edmund Halley,根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halle
10、y称为生命表的创始人。生命表的特点构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）第42页，共50页，编辑于2022年，星期日生命表的构造生命表的构造原理在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）常用符号新生生命组个体数：年龄：极限年龄：第43页，共50页，编辑于2022年，星期日生命表的构造生命表的构造 个新生生命能生存到年龄X的期望个数：个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数：特别：n=1时，记作第44页，共50页，编辑于2022年，星期日生命表的构造生命表的构造 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：个新生生命中能活到年龄
11、x的个体的剩余寿命总数：第45页，共50页，编辑于2022年，星期日例例已知 计算下面各值：（1）（2）20岁的人在5055岁死亡的概率。（3）该人群平均寿命。第46页，共50页，编辑于2022年，星期日答案答案第47页，共50页，编辑于2022年，星期日生命表实例（美国全体人口生命表）生命表实例（美国全体人口生命表）年龄区间死亡比例期初生存数期间死亡数在年龄区间共存活年数剩余寿命总数期初存活者平均剩余寿命天0-1.00463100000463273738775873.881-7.00246995372451635738748574.227-28.00139992921385708738585
12、074.38年0-1.0126010000126098973738775873.881-2.00093987409298694728878573.822-3.00065986486498617719009172.89第48页，共50页，编辑于2022年，星期日选择选择-终极生命表终极生命表选择-终极生命表构造的原因需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失选择-终极生命表的使用第49页，共50页，编辑于2022年，星期日选择选择-终极表实例终极表实例x选择表终极表70.0175.0249.0313.0388.0474.05457571.0191.0272.0342.0424.0518.05967672.0209.0297.0374.0463.0566.06527773.0228.0324.0409.0507.0620.07147874.0249.0354.0447.0554.0678.07817975.0273.0387.0489.0607.0742.08558076.0298.0424.0535.0664.0812.09368177.0326.0464.0586.0727.0889.102482第50页，共50页，编辑于2022年，星期日