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1、第三节 三重积分本讲稿第一页，共二十七页一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想,采用 引例引例:设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,求分布在 内的物质的可得“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限”解决方法解决方法:质量 M.密度函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二页，共二十七页定义定义.设存在,称为体积元素体积元素,若对 作任意分割任意分割:任意取点任意取点则称此极限为函数在上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质:例如 下列“乘中值定理中值定理.在有界闭域 上连续,则存在使得V 为
2、的体积,积和式”极限记作记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三页，共二十七页二、三重积分的计算二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1.投影法(“先一后二”)方法方法2.截面法(“先二后一”)方法方法3.三次积分法 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第四页，共二十七页方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第五页，共二
3、十七页方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)为底,d z 为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第六页，共二十七页投影法方法方法3.三次积分法三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第七页，共二十七页当被积函数在积分域上变号时,因为均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第八页，共二十七页小结小结:三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1.“先一后二先一后二”方法方法2.“先二后一先二后一”方法方法3.“三次积分三次
4、积分”具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第九页，共二十七页其中 为三个坐标例例1.计算三重积分所围成的闭区域.解解:面及平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十页，共二十七页例例2.计算三重积分解解:用用“先二后一先二后一”机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十一页，共二十七页2.利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十二页，共二十七页如图所示,在柱面坐标系中
5、体积元素为因此其中适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十三页，共二十七页其中为由例例3.计算三重积分所围解解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十四页，共二十七页例例4.计算三重积分解解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十五页，共二十七页3.利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平
6、面锥面机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十六页，共二十七页如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十七页，共二十七页例例5.计算三重积分解解:在球面坐标系下所围立体.其中 与球面机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十八页，共二十七页例例6.求曲面所围立体体积.解解:由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,利用对称性,所求立体体积为yoz面对称,并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于 xoz
7、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十九页，共二十七页内容小结内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十页，共二十七页1.将用三次积分表示,其中由所提示提示:思考与练习思考与练习六个平面围成,机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十一页，共二十七页2.设计算提示提示:利用对称性原式=奇函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十二页，共二十七页3.设由锥面和球面所
8、围成,计算提示提示:利用对称性用球坐标 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十三页，共二十七页作业作业P106 1(2),(3),(4);4;5;7;8;9(2);10(2);11(1),(4)第四节 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十四页，共二十七页备用题备用题 1.计算所围成.其中 由分析分析：若用“先二后一”,则有计算较繁!采用“三次积分”较好.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十五页，共二十七页所围,故可 思考思考:若被积函数为 f(y)时,如何计算简便?表为 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十六页，共二十七页2.计算其中解解:利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十七页，共二十七页