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1、第三节 三重积分第1页，本讲稿共27页一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想,采用 引例引例:设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,求分布在 内的物质的可得“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限”解决方法解决方法:质量 M.密度函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页，本讲稿共27页定义定义.设存在,称为体积元素体积元素,若对 作任意分割任意分割:任意取点任意取点则称此极限为函数在上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质:例如 下列“乘中值定理中值定理.在有界闭域 上连续,则存在使得V 为 的体
2、积,积和式”极限记作记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页，本讲稿共27页二、三重积分的计算二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1.投影法(“先一后二”)方法方法2.截面法(“先二后一”)方法方法3.三次积分法 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页，本讲稿共27页方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页，本讲稿共27页方法
3、方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)为底,d z 为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页，本讲稿共27页投影法方法方法3.三次积分法三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页，本讲稿共27页当被积函数在积分域上变号时,因为均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页，本讲稿共27页小结小结:三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1.“先一后二先一后二”方法方法2.“先二后一先二后一”方法方法3.“三次积分三次积分”具体计算时
4、应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页，本讲稿共27页其中 为三个坐标例例1.计算三重积分所围成的闭区域.解解:面及平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页，本讲稿共27页例例2.计算三重积分解解:用用“先二后一先二后一”机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页，本讲稿共27页2.利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页，本讲稿共27页如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用
5、范围适用范围:1)积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页，本讲稿共27页其中为由例例3.计算三重积分所围解解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页，本讲稿共27页例例4.计算三重积分解解:在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页，本讲稿共27页3.利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面机动 目录 上页 下页
6、 返回 结束 第16页，本讲稿共27页如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围适用范围:1)积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页，本讲稿共27页例例5.计算三重积分解解:在球面坐标系下所围立体.其中 与球面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页，本讲稿共27页例例6.求曲面所围立体体积.解解:由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,利用对称性,所求立体体积为yoz面对称,并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于 xoz 机动 目录 上页 下页 返回 结
7、束 第19页，本讲稿共27页内容小结内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页，本讲稿共27页1.将用三次积分表示,其中由所提示提示:思考与练习思考与练习六个平面围成,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页，本讲稿共27页2.设计算提示提示:利用对称性原式=奇函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页，本讲稿共27页3.设由锥面和球面所围成,计算提示提示:利用对称性用球坐标 机动
8、目录 上页 下页 返回 结束 第23页，本讲稿共27页作业作业P106 1(2),(3),(4);4;5;7;8;9(2);10(2);11(1),(4)第四节 目录 上页 下页 返回 结束 第24页，本讲稿共27页备用题备用题 1.计算所围成.其中 由分析分析：若用“先二后一”,则有计算较繁!采用“三次积分”较好.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页，本讲稿共27页所围,故可 思考思考:若被积函数为 f(y)时,如何计算简便?表为 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页，本讲稿共27页2.计算其中解解:利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页，本讲稿共27页