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1、第三节三重积分的应用本讲稿第一页，共四十二页一一 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分体积元素体积元素 本讲稿第二页，共四十二页得得 ,以以 的边界为的边界为准线母线平行于准线母线平行于z轴轴的柱面把的柱面把 分为下上分为下上两个边界：两个边界：设设 如图如图,将将 向向xoy面投影，面投影，本讲稿第三页，共四十二页则则于是，积分区域可表示为于是，积分区域可表示为(先一后二）先一后二）本讲稿第四页，共四十二页根据根据D是是X型域或型域或Y型域确定二重积分的型域确定二重积分的积分限，就得到三重积分公式积分限，就得到三重积分公式.若若D为为X型域，则有型域，则有这是先对这是先对z，次对
2、，次对y，最后对，最后对x的三次积分的三次积分本讲稿第五页，共四十二页例例1 计算计算 ,其中其中 为三个坐标面为三个坐标面及平面及平面x2yz1所围成的区域。所围成的区域。解解 在在xoy面上的投影为面上的投影为若若 看成看成X型域，则型域，则本讲稿第六页，共四十二页本讲稿第七页，共四十二页例例2 将将 化为直角坐标系下的化为直角坐标系下的三次积分，其中三次积分，其中 是由平面是由平面 xyz1，xy1，x0，y0，z1围成的区域。围成的区域。的下底是的下底是xyz1，上底是上底是z1，解解 的投影的投影 是是x+y=1，x=0，y=0围成的三角形域围成的三角形域，本讲稿第八页，共四十二页本
3、讲稿第九页，共四十二页2）截面法（先二后一）截面法（先二后一）1）投影法（先一后二）投影法（先一后二）计算三重积分时，先求一个二重积分，计算三重积分时，先求一个二重积分，再求一个定积分的方法再求一个定积分的方法本讲稿第十页，共四十二页 设区域设区域 的的z值的最大值的最大值和最小值为值和最小值为 和和 ，过过 内任一点内任一点z，作水平平面与作水平平面与 交出截面交出截面 ，就是二重积分的积分就是二重积分的积分区域区域.先在先在 上对上对x,y积分然后在积分然后在 上对上对z积分积分.本讲稿第十一页，共四十二页这样得到这样得到先求出先求出 上的二重积分再求定积分上的二重积分再求定积分.先二后一
4、先二后一此法常用于此法常用于 上的二重积分易求的情形上的二重积分易求的情形本讲稿第十二页，共四十二页例例3 计算计算 ，其中，其中 是由椭球是由椭球面面 所围成的空间闭区域。所围成的空间闭区域。解解 z的最小值和最大值为的最小值和最大值为 和和 ，即，即本讲稿第十三页，共四十二页的面积为的面积为本讲稿第十四页，共四十二页二二 用柱面坐标计算三重积分用柱面坐标计算三重积分 设设M（x,y,z）为空间）为空间一点，如果将一点，如果将x，y，z改用另外三个数改用另外三个数r，,z来表示，则称（来表示，则称（r,z）为点为点M的的柱面坐标柱面坐标。在在xoy面上面上 就是极坐标就是极坐标本讲稿第十五页
5、，共四十二页三组坐标面：三组坐标面：r常数常数（圆柱面）（圆柱面）常数常数（半平面半平面）z常数常数 （水平平面）（水平平面）由图可知柱面与直角坐标的关系是由图可知柱面与直角坐标的关系是本讲稿第十六页，共四十二页三组坐标面族三组坐标面族去分割空间区域去分割空间区域 ，其任一，其任一小块的体积小块的体积 可以可以近似近似看成以看成以 为底，为底，为高的柱体体积。为高的柱体体积。体积元素体积元素本讲稿第十七页，共四十二页因此因此则积分区域在柱面坐标系下的表示为：则积分区域在柱面坐标系下的表示为：在柱面坐标系下在柱面坐标系下本讲稿第十八页，共四十二页则三重积分化为柱面坐标的三次积分：则三重积分化为柱
6、面坐标的三次积分：若若本讲稿第十九页，共四十二页例例4 计算计算 其中其中 是由上半球面是由上半球面 和旋转抛物面和旋转抛物面 所围成的区域所围成的区域.解解 将积分区域将积分区域 向向xoy面投影，得面投影，得本讲稿第二十页，共四十二页柱面坐标柱面坐标本讲稿第二十一页，共四十二页本讲稿第二十二页，共四十二页例例5 计算计算 其中其中 是由曲面是由曲面 与平面与平面 围成的区域围成的区域.解解 在在xoy面上的投影区域为圆域面上的投影区域为圆域:本讲稿第二十三页，共四十二页所以所以本讲稿第二十四页，共四十二页 例例6 6 计算计算其中其中本讲稿第二十五页，共四十二页本讲稿第二十六页，共四十二页
7、问题问题若例若例6中的积分区域改为中的积分区域改为则则答答 由对称性，有由对称性，有本讲稿第二十七页，共四十二页思考题思考题 在柱面坐标系下求三重积分可以看作在柱面坐标系下求三重积分可以看作在直角坐标系对在直角坐标系对 作单积分，然后在投作单积分，然后在投影区域影区域 上用极坐标作二重积分呢？上用极坐标作二重积分呢？答：可以答：可以本讲稿第二十八页，共四十二页三 用球面坐标计算三重积分设设M（x,y,z）为空间一点，）为空间一点，如果将如果将x，y，z改用另外改用另外三个数三个数r，来表示来表示,则称（则称（r，）为点）为点M的的球面坐标球面坐标。本讲稿第二十九页，共四十二页球面坐标与直角坐标
8、的关系是球面坐标与直角坐标的关系是本讲稿第三十页，共四十二页分割空间区域分割空间区域 ，其任一小块的体积，其任一小块的体积 可可以近似地看成是以近似地看成是长为长为 、宽为宽为 、高为高为 的长方体体积的长方体体积积分元素积分元素本讲稿第三十一页，共四十二页其中其中 一般将右端的形式化为先对一般将右端的形式化为先对r、次对、次对 、最后对、最后对 的三次积分来计算。的三次积分来计算。三重积分在球面坐标系下的形式：三重积分在球面坐标系下的形式：本讲稿第三十二页，共四十二页 一般地，空间区域一般地，空间区域 包含原点在其内包含原点在其内部，边界曲面为部，边界曲面为 则有则有例如例如 当当 为球面为
9、球面 时时本讲稿第三十三页，共四十二页例例6 求半径为 的球面与半顶角为 的内接圆锥面所围成的立体的体积。本讲稿第三十四页，共四十二页解解 根据积分性质：的度量，将 用球面坐标表示成不等式：本讲稿第三十五页，共四十二页本讲稿第三十六页，共四十二页思考题：思考题：球面方程球面方程柱面柱面球面球面柱面方程柱面方程直角直角坐坐标标系系1.填写下表中的空格：填写下表中的空格：本讲稿第三十七页，共四十二页2.计算重积分应怎样选择合适的坐标系？计算重积分应怎样选择合适的坐标系？应考虑哪两个方面？哪个方面更重要些？应考虑哪两个方面？哪个方面更重要些？（1）积分区域（2）被积函数积分区域边界的表达式简单，便于
10、定限被积函数的表达式简单，便于积分相对而言，便于积分更重要一些相对而言，便于积分更重要一些.本讲稿第三十八页，共四十二页小小结结1.柱面坐标系下柱面坐标系下两种坐标系下三重积分的计算两种坐标系下三重积分的计算由柱面与直角坐标的关系由柱面与直角坐标的关系有有体积元素体积元素本讲稿第三十九页，共四十二页若若则则且被积函数含有且被积函数含有 常用极坐标常用极坐标 且被积函数含有且被积函数含有 常用极坐标常用极坐标 的侧面由圆柱面或的侧面由圆柱面或且被积函数含有且被积函数含有 常用柱坐标常用柱坐标 本讲稿第四十页，共四十二页2.球面坐标球面坐标由球面坐标与直角坐标的关系：由球面坐标与直角坐标的关系：三重积分在球面坐标系下的形式：三重积分在球面坐标系下的形式：体积元素体积元素其中其中本讲稿第四十一页，共四十二页 一般地，空间区域一般地，空间区域 包含原点在其内包含原点在其内部，边界曲面为部，边界曲面为 则有则有 当当 的边界由球面、锥面等围成，且的边界由球面、锥面等围成，且被积函数中含有被积函数中含有常用球面坐标常用球面坐标常用球面坐标常用球面坐标本讲稿第四十二页，共四十二页