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1、1引例1：自由落体运动距离增量那么函数的增量为一一.微分的概念微分的概念第1页/共24页2一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为 x,面积为 A,则面积的增量为关于x 的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到边长由其引例引例2:第2页/共24页3的微分,定义定义:若函数若函数在点 的增量可表示为(A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即定理:函数在点 可微的充要条件是即在点可微,第3页/共24页4定理定理:函数函数证:“必要性”已知在点 可微,则故在点 的可导,且在点 可微的充要条件是在点 处可导,且即第4页/共24页5定
2、理定理:函数函数在点 可微的充要条件是在点 处可导,且即“充分性”已知即在点 的可导,则第5页/共24页6说明说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当且第6页/共24页7微分的几何意义微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记第7页/共24页8例如例如,基本初等函数的微分公式(见 P108表)又如,第8页/共24页9二、二、微分运算法则微分运算法则设 u(x),v(x)均可微,则(C 为常数)分别可微,的微分为一阶微分形式的不变性5.复合函数的微分则复合函数无论是中间变量还是自变量，均有第9页/共24页10例例1.求 解:第10页/共2
3、4页11 已知求解：因为所以例例2第11页/共24页12方程两边求微分,得已知所确定求解：例例3.例4.设解:利用一阶微分形式不变性,有由方程所确定求由第12页/共24页13注意:数学中的反问题往往出现多值性.说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.例例5.在下列括号中填入适当的函数使等式成在下列括号中填入适当的函数使等式成立立:第13页/共24页14例例6.设设由方程确定,解:方程两边求微分,得当时由上式得求第14页/共24页15三、三、微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:第15页/共24页16特别当特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得第
4、16页/共24页17的近似值.解:设取则例例1.求求第17页/共24页18的近似值.解:例例2.计算计算第18页/共24页19例例3.有一批半径为有一批半径为1cm 的球的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为镀铜体积为 V 在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm,第19页/共24页20内容小结内容小结1.微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:(u 是自变量或中间变量)3.微分的应用-近似计算第20页/共24页21思考与练习思考与练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并说明其正负.第21页/共24页222.微商第22页/共24页23作业作业P112 1;2双号;3,4 5 做在书上;6第23页/共24页24感谢您的观赏！第24页/共24页