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1、 第二讲 微分中值定理及其应用 第1页/共81页 在微分中值定理的学习过程中，我们经常遇到如下的证明问题：已知 在 连续，在 内可导或二阶可导,证明：存在 使得 问题的提出问题的提出等等第2页/共81页 我们可把问题归结为：在 连续可导或二阶可导的条件下,证明：存在 使得 问题的提出问题的提出等等即证明存在一个中值满足某一个方程或微分方程。第3页/共81页 解决此类证明问题的关键在于构造恰当的辅助函数。下面我们分几种类型分别来分析探讨，找出解决问题的方法。第4页/共81页一、基本定理闭区间上连续函数的性质 有界性定理、最值定理、介值定理、零点定理微分中值定理 费尔马定理、罗尔定理、拉格朗日中值
2、定理、柯西中值定理、泰勒公式第5页/共81页 二、二、思路点拨思路点拨上连续，第一类:设函数在使得证明存在一点特点：待证的方程中不含导数。第6页/共81页 证明证明思路：思路：想办法在想办法在 上找两个上找两个点点使得使得(1)将欲证的等式中的将欲证的等式中的 改写成改写成 并并移项使移项使得得等式等式 的的一一端为零，另一端记为端为零，另一端记为 ，设辅助函数设辅助函数为为从而利用零点定理从而利用零点定理得到得到证证明明。(2)利用题设条件，利用题设条件，第7页/共81页其中其中 是恒正函数是恒正函数。(3)若对 不易验证零点定理，或是 不满足 零点定理的条件，则令辅助函数的导数为 或或(4
3、)求出求出 然后然后利用题设条件利用题设条件验证验证 满足罗尔定理的条件，从而证得所求的结论。满足罗尔定理的条件，从而证得所求的结论。第8页/共81页例例1 设不恒为设不恒为 的函数的函数 在在 上上连续，且连续，且 ，证明：存在实数证明：存在实数 ，使得使得 。第9页/共81页第10页/共81页第11页/共81页例例2 设函数设函数 在在 连续，连续，且且证明：至少存在一点证明：至少存在一点 ，使得，使得 第12页/共81页第13页/共81页例例3 设函数设函数 在在 上连续，且上连续，且 证明：至少存在一点证明：至少存在一点 ，使得，使得 第14页/共81页第15页/共81页第16页/共8
4、1页第17页/共81页例例4.设函数设函数 在在 上连续。上连续。证明：存在一点证明：存在一点 ，使得，使得第18页/共81页第19页/共81页第20页/共81页第21页/共81页例例5 设函数设函数 在在 上连续，且上连续，且 证明存在一点证明存在一点 ，使得使得 第22页/共81页第23页/共81页第24页/共81页第25页/共81页例例6 设函数设函数 在在 上连续，且上连续，且 证明：存在证明：存在 ，使得，使得 第26页/共81页第27页/共81页第二类第二类 设函数设函数 在在 上连续，上连续，在在 内可导，证明存在内可导，证明存在一一 点点 ，使得，使得 特点：欲证的等式中增加了
5、一项特点：欲证的等式中增加了一项 。第28页/共81页 证明证明思路：思路：得到形式为得到形式为 的通解（其中的通解（其中C为常数）；为常数）；(1)将欲证的等式中的将欲证的等式中的 改写成改写成 并并移项使移项使得得等式等式 的的一一端为零，另一端记为端为零，另一端记为 ，(2)求解以求解以 为未知函数的微分方程，为未知函数的微分方程，其中其中 第29页/共81页即即(3)设辅助函数为 ，满足满足(4)利用利用罗尔定理罗尔定理或零点定理或零点定理，即可即可证得证得：存在：存在然后然后利用题设条件寻找利用题设条件寻找等式的两个点等式的两个点使得使得因而得证。因而得证。或满足或满足等式的两个点等
6、式的两个点第30页/共81页例例1 设设 在在 上连续，在上连续，在 内可导，内可导，且且 证明：对任意实数证明：对任意实数 ，存在，存在 ，使得，使得第31页/共81页第32页/共81页第33页/共81页第34页/共81页第35页/共81页例例2 设设 在在 上有连续导数，且存在上有连续导数，且存在 证明：存在证明：存在 ，使得，使得第36页/共81页第37页/共81页第38页/共81页第39页/共81页第三类第三类 设函数设函数 在在 上连续，上连续，在在 内二阶可导，证明内二阶可导，证明 存在一点存在一点 ，使得，使得 特点：欲证的等式中增加了一项特点：欲证的等式中增加了一项 。第40页
7、/共81页 证明证明思路：思路：(1)将欲证的等式中的将欲证的等式中的 改写成改写成 并并移项使移项使得得等式等式 的的一一端为零，另一端记为端为零，另一端记为 ，(2)对对或或或或则方程变为则方程变为两种形式的微分方程，令两种形式的微分方程，令和和和和此时方程转化为第二类的问题。此时方程转化为第二类的问题。第41页/共81页 证明证明思路：思路：(3)求解以求解以 为未知函数的微分方为未知函数的微分方程程 (4)对形式为对形式为设辅助函数为设辅助函数为或或的微分方程，的微分方程，,并设辅助并设辅助并将其通解表示为并将其通解表示为函数为函数为尝试对方程的两端求不定积分，得到等式尝试对方程的两端
8、求不定积分，得到等式第42页/共81页(5)在在 上寻找满足上寻找满足 的的点点，,利用罗尔定理即可证得利用罗尔定理即可证得：存存 在在 ，使得，使得 即得即得 证明证明思路：思路：第43页/共81页例例1 设函数设函数 在在 上二阶可导，且上二阶可导，且 试证至少存在试证至少存在 ，使得，使得 第44页/共81页第45页/共81页第46页/共81页第47页/共81页第48页/共81页第49页/共81页第50页/共81页例例2 设函数设函数 在在 上二阶可导，且上二阶可导，且 试证存在试证存在 ，使得，使得第51页/共81页第52页/共81页第53页/共81页第四类 设函数 在 上连续,在 内
9、可导(二阶可导)，证明存在 第54页/共81页思路点拨：在拉格朗日中值定理的证明过程中，所构造的辅助函数具有如下的形式其中 为一个多项式函数，它满足 由此由此F(x)F(x)就有两个零点，从而就可应用就有两个零点，从而就可应用罗尔定理得到命题的证明罗尔定理得到命题的证明.这就启发我们这就启发我们在证明中值在证明中值 存在性的问题中，借存在性的问题中，借鉴此思路，构造类似的辅助函数。鉴此思路，构造类似的辅助函数。第55页/共81页例1 设 在 上连续，在 内二阶可导，过点A(0,f(0)与B(1,f(1)的直线与曲线y=f(x)相交于点c(c,f(c),其中0c1.证明存在使得第56页/共81页
10、分析：由要证的结论可以看出，如果我们能在0,1上找到三个点，使得f(x)在这三个点处的值相等，然后再两次使用罗尔定理便可得到本题的结论。由此设辅助函数为其中 为一次多项式函数，它必须满足 亦即亦即 F(0)=F(C)=F(1),F(0)=F(C)=F(1),对对F(x)F(x)两次应用罗两次应用罗尔定理，即得命题的结论。尔定理，即得命题的结论。第57页/共81页证明：显然连接A,C,B三点的直线方程（一次多项式）就满足上述的条件。令设辅助函数为依题意有 对F(x)两次应用罗尔定理，便可得到本题的结论。第58页/共81页例例2 设设 在在 上上二阶可导二阶可导，且且 证明存在证明存在 使得使得第
11、59页/共81页分析：本题要求的是经过已知三个点的抛物线 (二次多项式)，即所求的抛物线与曲线y=f(x)有三个交点处。令容易求的过 的抛物线为 由此设辅助函数为 第60页/共81页证明：设辅助函数则对F(x)两次应用罗尔定理可得即从而有 第61页/共81页例例3 设函数设函数 在在 上连续，在上连续，在 内二阶可导，内二阶可导，证明存在证明存在 ，使得，使得 第62页/共81页分析：记 ,首先求过三点 的抛物线，再令辅助函数为则有故存在 使得 由此立得结论。本题也可利用泰勒公式证明。第63页/共81页 设 在 上具有三阶连续导数，且 ，证明存在 使得举一反三练习举一反三练习提示：提示：需要构
12、造三次多项式需要构造三次多项式P(x)P(x)使之满足：使之满足：需再附加一个条需再附加一个条件：件：P(0)=f(0).P(0)=f(0).本题也可用泰勒公式证明。本题也可用泰勒公式证明。第64页/共81页第五类第五类 设函数设函数 在在 上连续，在上连续，在 内二阶可导，内二阶可导，证明存在证明存在 ，使得，使得 或把或把max换成换成min，其中，其中k为常数。为常数。第65页/共81页证明证明思路：思路：在在 内选取某个特殊点内选取某个特殊点 (例如例如极值点，最值点，题设条件给定的点、区间端点、区极值点，最值点，题设条件给定的点、区间端点、区间中点间中点等等)，然后分别在，然后分别在
13、 与与 上对上对 应用应用拉格朗日定理，得到拉格朗日定理，得到 和和 ，再对，再对 在在 上应用拉格朗日定理。上应用拉格朗日定理。第66页/共81页(2)将将 在特殊点在特殊点 处展成二阶泰勒公式，再将处展成二阶泰勒公式，再将适当的适当的 值代入，并将所得的等式相加或相减，或值代入，并将所得的等式相加或相减，或将二阶泰勒公式两端积分，由此推出所证的结论。将二阶泰勒公式两端积分，由此推出所证的结论。而而极值点，最值点，题设条件给定的点、区间端点、极值点，最值点，题设条件给定的点、区间端点、区间中点区间中点等等都是可能的特殊点。都是可能的特殊点。第67页/共81页例例1 设函数设函数 在在 上连续，在上连续，在 内二阶内二阶可导，且可导，且 证明存在证明存在 ，使得，使得 第68页/共81页 第69页/共81页 第70页/共81页例例2 设函数设函数 在在 上有二阶连续导数，且上有二阶连续导数，且 证明证明 第71页/共81页 第72页/共81页 第73页/共81页 第74页/共81页 第75页/共81页例例3 设函数设函数 在在 上具有连续的二阶导数，上具有连续的二阶导数，证明证明：存在存在 ，使得，使得第76页/共81页 第77页/共81页 第78页/共81页 第79页/共81页 第80页/共81页感谢您的观看！第81页/共81页