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1、 第9章 第一节第一节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念 第1页/共74页一、一、区区域域1.邻域点集称为点 P0 的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点 P0 的去心邻域记为第2页/共74页在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.第3页/共74页2.区域区域(1)内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P:若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E
2、 的内点；则称 P 为 E 的外点;则称 P 为 E 的边界点.的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.第4页/共74页(2)聚点聚点若对任意给定的,点P 的去心邻域内总有E 中的点,则称 P 是 E 的聚点.聚点可以属于 E,也可以不属于 E(因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集.E 的边界点)第5页/共74页D(3)开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；若点集 E E,则称 E 为闭集；若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称
3、 D 是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;第6页/共74页例如，例如，在平面上在平面上开区域闭区域第7页/共74页 整个平面 点集 是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.o 对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K,则称 D 为有界域,界域.否则称为无第8页/共74页3.n 维空间维空间n 元有序数组的全体称为 n 维空间,n 维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第 k 个坐标.记作即一个点,当所有坐标称该元素为 中的零元,记作 O.第9页/共74页的距离记作中点 a 的 邻域为规定为 与零元
4、 O 的距离为第10页/共74页二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例:圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式第11页/共74页定义定义1.设非空点设非空点集集点集 D 称为函数的定义域;数集称为函数的值域.特别地,当 n=2 时,有二元函数当 n=3 时,有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数,记作第12页/共74页例如例如,二元函二元函数数定义域为圆域说明:二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球第13页/共74页三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义2.设 n
5、 元函数点,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n=2 时,记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若存在常数 A,对一记作都有对任意正数 ,总存在正数,切第14页/共74页例例1.设设求证：证:故总有要证 第15页/共74页例例2.设设求证：证：故总有要证第16页/共74页 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例例3.讨论函讨论函数数函数第17页/共74页仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限二重极限不同.如果
6、它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在.第19页/共74页四四、多元函数的连续性多元函数的连续性 定义3.设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称 n 元函数连续.连续,第20页/共74页例如例如,函函数数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.第21页/共74页定理定理：若若 f(P)在有界闭域在有界闭域 D 上连续上连续,则则*(4)f(P)必在D 上一致连续.在 D 上可取得最大值
7、M 及最小值 m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)第22页/共74页解:原式例例5.求求例6.求函数的连续域.解:第23页/共74页内容小结内容小结1.区域 邻域:区域连通的开集 2.多元函数概念n 元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数第24页/共74页有3.多元函数的极多元函数的极限限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续P 题 2;4;5(3),(5)(画图);8P 题 3;4思考与练习第25页/共74
8、页解答提示解答提示:P11 题 2.称为二次齐次函数.P11 题 4.P11 题 5(3).定义域P11 题 5(5).定义域第26页/共74页P12 题 8.间断点集P72 题 3.定义域P72 题 4.令 y=k x，若令,则 可见极限不存在第27页/共74页 作业(9-1)P63 5(2),(4),(6)并画出 6(3),(5),(6)7.9.*第28页/共74页备用题备用题1.设求解法1 令第29页/共74页1.设求解法2 令即第30页/共74页2.是否存在？解：所以极限不存在.第31页/共74页 3.证明证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得第3
9、2页/共74页第33页/共74页第二节第二节一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数 偏 导 数 第9章 第34页/共74页一、一、偏导数定义及其计算偏导数定义及其计算法法引例:研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度,就是中的 x 固定于求一阶导数与二阶导数.x0 处,关于 t 的将振幅第35页/共74页定义定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意:第36页/共74页同样可定义对同样可定义对 y 的偏导的偏导数数若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为或 y 偏导数存在,第37页/共74页例如,三元函数
10、 u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)第38页/共74页二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线对 y 轴的第39页/共74页函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：注意：但在该点不一定连续.在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!第40页/共74页例例1.求求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.第41页/共74页例例2.设设证:例3.求的偏导数.(P14 例4)解:求证第42页/共
11、74页偏导数记号是一个例例4.已知理想气体的状态方已知理想气体的状态方程程求证:证:说明:(R 为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,第43页/共74页二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:第44页/共74页类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶偏导数为第45页/共74页例例5.求函求函数数解:注意:此处但这一
12、结论并不总成立.的二阶偏导数及 第46页/共74页则定理定理.例如,对三元函数 u=f(x,y,z),说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)第49页/共74页内容小结内容小结1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号;几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺
13、序)第52页/共74页思考与练习思考与练习解答提示:P73 题 5P73 题 5,6即 xy0 时,第53页/共74页P73 题题6(1)(2)第54页/共74页作业作业(9-2)P69 1（4）,（6）,（8）；3；5；6（3）；7；8；9（2）第55页/共74页备用题备用题 设方程确定 u 是 x,y 的函数,连续,且求解:第56页/共74页第57页/共74页 第9章*二、全微分在数值计算中的应用 应用 第三节第三节一元函数 y=f(x)的微分近似计算估计误差本节内容:一、全微分的定义 全微分第58页/共74页一一、全微分的定义、全微分的定义 定义:如果函数 z=f (x,y)在定义域 D
14、 的内点(x,y)可表示成其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域 D 内各点都可微,则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微，处全增量则称此函数在D 内可微.第59页/共74页(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义由微分定义:得函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即第60页/共74页定理定理1 1(必要条件必要条件)若函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数同样可证证:由全增量公式必存在,且有得到对 x 的偏增量因此有 第61页/共7
15、4页反例:函数易知 但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:定理1 的逆定理不成立.偏导数存在函数 不一定可微 !即:第62页/共74页定理定理2(充分条充分条件件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.第63页/共74页所以函数在点可微.注意到,故有第64页/共74页推广推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分.的全微分为于是第65页/共74页例例1.计算函计算函数数在点(2,1)处的全微分.解:例2.计算函数的全微分.解:第66页/共74页小结小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连
16、续第67页/共74页练习练习函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.1.选择题第68页/共74页4.设设解:利用轮换对称性,可得(L.P245 例2)注意:x,y,z 具有 轮换对称性 第69页/共74页答案:作业 P75 1(2),(3),(4);3;5;5.已已知知第70页/共74页在点(0,0)可微.备用题备用题在点(0,0)连续且偏导数存在,续,证:1)因故函数在点(0,0)连续;但偏导数在点(0,0)不连 证明函数所以第71页/共74页同理极限不存在,在点(0,0)不连续;同理,在点(0,0)也不连续.2)3)第72页/共74页4)下面证明可微:说明:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.令则第73页/共74页感谢您的观看！第74页/共74页